2023-2024学年江苏省苏州五中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州五中高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.水平放置的，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形，则是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
3.在四边形中，与交于点，且，，，则( )
A. B. 四边形是梯形
C. 四边形是菱形 D. 四边形是矩形
4.某地新建了一处云顶观景塔，引来广大市民参观，张同学在与塔底水平的处，利用无人机在距离地面的处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面的处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知的部分图象如图所示，，，是相邻的两个零点，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则
B. 当时，在区间上的最小值为
C. 当时，在区间上单调递增
D. 当时，将图象向右平移个单位长度得到的图象
10.如图，在直角梯形中，，，且为的中点，，分别是，的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是( )
A. 不论折至何位置不在平面内，都有平面
B. 不论折至何位置不在平面内，都有
C. 不论折至何位置不在平面内，都有
D. 在折起过程中，一定存在某个位置，使
11.如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的可能取值是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为
13.已知的内角、、的对边分别为，，，，且的面积为，，则 ______．
14.如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，是虚数单位．
若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
16.本小题分
在中，，_____．
Ⅰ求；
Ⅱ求以的值．
从，，这两个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答．
17.本小题分
如图，平面平面，四边形是边长为的正方形，，是的中点．
在图中作出并指明平面和平面的交线；
求证：；
当时，求与平面所成角的正切值．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小值及对应的的值：
Ⅱ设的内角是，，，若，且，的角平分线交于，，求：的值．
19.本小题分
在中，满足：，是的中点．
Ⅰ若，求向量与向量的夹角的余弦值；
Ⅱ若是线段上任意一点，且，求的最小值；
Ⅲ若点是内一点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
．
故选：．
根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：水平放置的，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形，
根据斜二测画法作平面图形的直观图原理，得中有一角为钝角，是钝角三角形．
故选：．
根据斜二测画法作平面图形直观图的原理，可得中有一角为钝角，是钝角三角形．
本题考查了斜二测画法作平面图形的直观图和原三角形形状的判断等知识，是基础题目．
3.【答案】
【解析】解：与交于点，且，，，
则四边形对角线互相平分且相等，四边形是矩形．
故选：．
结合矩形的判定定理，即可求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设塔顶为点，为塔高，作交于，
如图所示：
易知，，所以，
根据题意可得，，，所以，
所以，
同理，
即塔高，所以该塔的高度为．
故选：．
设塔顶为点，作于，由题意可得塔高的值．
本题考查勾股定理的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
因为，
所以，
故选：．
由已知结合正弦函数的周期及特殊点即可求解．
本题主要考查了正弦函数周期性的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
解：取的中点，连接，，，设，
则，，所以，
连接，，因为，
所以异面直线与所成角即为，在中，
故选：．
由题意知异面直线与所成角即为，在中可求角．
本题考查异面直线所成的角，属于简单题．
7.【答案】
【解析】解：因为的外接圆的面积为，
所以，
因为，
则，
即，
根据正弦定理，
根据余弦定理，
所以，
故为最长边．
故选：．
由已知先求出，然后结合同角平方关系及余弦定理可求，进而可求，再由正弦定理可求．
本题主要考查了同角平方关系，余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，
由知，，
，，三点共线，，
由知，，
，，三点共线，，
由得：，
，
而，
，
故选：．
待定系数法将分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算．
本题考查了平面向量基本定理和数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：函数．
对于：由于函数的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，故，解得，所以，故A错误；
对于：当时，，由于，故，所以函数的最小值为，故B正确；
对于：当时，，由于，所以，故函数在该区间上不单调，故C错误；
对于：当时，将图象向右平移个单位得到的图象，故D正确；
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用判断的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知，在未折叠的原梯形中，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
折叠后如图所示，
过点作，交于点，连结，
因为，分别是，的中点，
所以为的中点，
故，
又，，
所以平面平面，又平面，
故平面，
故选项A正确；
由已知，，，
所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
故选项B正确；
假设，则与确定平面，
从而平面，平面，
与和是异面直线矛盾，
故选项C错误；
当时，，
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
故选项D正确．
故选：．
利用平面几何知识得到四边形为平行四边形，由此画出折叠后的立体图形，利用线线、线面位置关系的判定进行逐一分析判断，即可得到答案．
本题考查了判断线面平行、线线平行、线线垂直，涉及了平面中线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是能正确画出折叠后的立体图形，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：点是线段上任一点，，
，，
，
又，，
，
，
，
的可能取值为，．
故选：．
根据条件可得出，，然后进行数量积的运算即可得出，然后根据即可求出的取值范围，从而得出正确的选项．
本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用平移变换求出的解析式，利用对称性是解决本题的关键，属于中档题．
利用平移变换求出函数的解析式，利用对称性进行求解．
【解答】
解：将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
即，
的图象的一条对称轴是直线，
，，
即，，
得，，
，
当时，取得最小，最小值为，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由，结合正弦定理得，，
，即，
由余弦定理可得，，
，
的面积为，解得，
又，，
解得．
故答案为：．
利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，即可解出．
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，学生的数学运算能力，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，向量三点共线问题，以及基本不等式的应用，属于中档题．
先得到，进而得到，由，，三点共线，得到，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：如图，
设与的交点为，则由，得，
，，
，
，，三点共线，
，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最大值为．
故答案为：．
15.【答案】解：，，，
在复平面内对应的点落在第一象限，
，解得，即实数的取值范围是；
由虚数是实系数一元二次方程的根，
得，即，
整理得，
，解得．
故．
【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
由已知结合复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部与虚部均大于列不等式组求解的范围；
把代入实系数一元二次方程，整理后利用复数相等的条件列式求得与值．
16.【答案】解：若选择，由，则，
又，
则，
又由三角形内角和定理可得，矛盾，故这样的不存在；
若选择，
由于，
则由正弦定理可得，
因为为三角形内角，，
所以可得，
则，解得；
Ⅱ由余弦定理可得，即，
解得舍负，
所以．
【解析】选择，由得知不满足；
选择，由正弦定理化边为角求出，即可求出；Ⅱ由余弦定理求出，再结合面积公式即可求解；
本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行求解，属于中档题．
17.【答案】解：如图，延长与交于点，连接，
直线即为所求交线．
证明：因为四边形是正方形，所以．
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：如图，过点作于点，连接，
因为平面平面，
平面平面，，
平面，所以平面．
所以即为与平面所成的角，
在中，，，，所以，，
从而，，
在中，，
所以．
【解析】延长与交于点，连接，直线即为所求交线；
由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；
过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果．
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．
18.【答案】解：Ⅰ函数
由于，
所以，
故当时，函数的最小值为．
Ⅱ由于，
所以，
由于，所以
所以或不合题意，舍去
由于为的平分线，
所以，
，
所以，
故，
所以，由于，
所以，故，
利用正弦定理：，
，
所以：．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果；
Ⅱ利用正弦定理和两角差的正弦公式求出结果．
19.【答案】解：设向量与向量的夹角为
，
令
，
设，则，
而
当且仅当时，的最小值是
设
当且仅当
【解析】利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；
通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而
，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值．
设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
解决向量的夹角问题，一般利用的是向量的数量积公式．是一道综合题．
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