2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位为纯虚数，则的值是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为，则该圆锥的体积等于
( )
A. B. C. D.
7.在边长为的正方形中，点为的中点，点在边上且，则( )
A. B. C. D.
8.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面说法正确的是( )
A. 多面体至少有四个面
B. 棱柱所有的面都是平行四边形
C. 棱台的侧面都是梯形
D. 以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
10.设，为复数，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D.
11.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则一定为等腰三角形
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则解的个数为
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正三棱柱所有棱长都为，则其表面积为______．
13.已知向量，为单位向量，当向量，的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是______．
14.已知正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为______，体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，为虚数单位．
求；
若，求的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知：，，向量与的夹角为．
求；
求；
求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，其中为锐角，
求；
设为边上的中线，若，，请选择以下思路之一求出的长．
思路：利用
思路：利用
思路：利用
思路：其它方法
18.本小题分
某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，注：点，，，在同一平面内
Ⅰ求的面积；
Ⅱ求点，之间的距离．
19.本小题分
在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值；
若在上，且，设，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，解得．
故选：．
结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于向量，向量，若，
所以，整理得．
故选：．
直接利用向量共线的充要条件求出结果．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求得的值．
【解答】
解：已知，，，且，
，
则实数，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
利用正弦定理：，
整理得：．
故选：．
直接利用正弦定理和三角函数的值求出结果．
本题考查的知识点：三角函数的值，正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
作平面直角坐标系，使与重合，在轴上，且，在轴上，且，
过作，且，则四边形为原平面图形，其面积为．
故选：．
由题意还原原四边形，再由梯形面积公式求解．
本题考查利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，熟记画法是关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．
根据题意求出圆锥的母线、底面半径和高，再计算圆锥的体积．
【解答】
解：如图所示，
圆锥的母线为，底面半径为，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，
．
故选：．
由题意画出图形，把问题转化为的数量积求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化、数形结合思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，由托勒密定理知，，
，
又，，
．
故选：．
设等边三角形的边长为，利用同弧所对的圆周角相等及其运用托勒密定理得到，由，计算可得所求四边形的面积．
本题考查了托勒密定理的应用、圆内接四边形的性质、三角形的面积的求法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，多面体至少有四个面，A正确；
对于，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，B错误；
对于，棱台的侧面都是梯形，C正确；
对于，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，D错误．
故选：．
根据题意，由多面体的定义分析，由棱柱的定义分析，由棱台的定义分析，由圆台的定义分析，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱台、圆台的结构特征，注意多面体的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：由于，为复数，，，则，故A正确；
对于：设，故，由于，故，所以，故B正确；
对于：设，，故，故点满足的条件是以为圆心，为半径的圆，故，故的最大值为，故C错误；
对于：根据三角不等式：，故D正确．
故选：．
直接利用复数的运算，三角不等式，复数的定义判断、、、的结论．
本题考查的知识点：复数的运算，三角不等式，复数的定义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，由正弦定理可得，所以三角形为等腰三角形，所以A正确；
对于，因为，
可得，
由正弦定理可得，
所以，所以为钝角，所以为钝角三角形，所以B正确；
对于，因为，，，
由正弦定理可得，错误，这样的三角形不存在，则解的个数为，所以C正确；
对于，因为，
所以由余弦定理可得，可得，
解得或，
所以或，故D错误．
故选：．
中，由正弦定理可得，可得三角形为等腰三角形，判断出的真假；
中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可得，可得为钝角，即可判断出的真假；
中，由正弦定理可得，可得这样的三角形不存在，判断出的真假；
中，由题意利用余弦定理可得，解得的值，进而利用三角形的面积公式即可判断．
本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为正三棱柱所有棱长都为，
所以其表面积为：．
故答案为：．
直接根据棱柱的表面积公式计算即可．
本题主要考查棱柱的表面积求解，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为，
故答案为：．
通过投影公式进行计算即可
本题考查投影向量的定义，考查平面向量数量积运算公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：正方体外接球半径，
所以外接球的表面积，
体积为．
故答案为：；．
求出正方体外接球半径，计算表面积和体积即可得解．
本题考查正方体的外接球的体积与表面积的计算，属于基础题．
15.【答案】解：，，
则；
，，
，
．
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为
【解析】结合复数的四则运算，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：．
．
由题意知，，
所以．
【解析】由向量数量积的定义，求解即可；
根据向量模长的计算方法，即可得解；
根据向量的夹角公式，求解即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，夹角和模长的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由正弦定理，得，
又，所以，
又为锐角，所以
在中，由余弦定理得，
所以；
若选择思路
由，
得，解得；
若选择思路
由得到，
即；
若选择思路，
得．
若选择思路，比照上述标准给分．
【解析】直接运用正弦定理可得出，再由为锐角即可得出角的大小；首先运用余弦定理可得，再分别选择思路、
、、并分别采用余弦定理、余弦定理和向量的模的计算公式对其进行求解即可．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面积为．
Ⅱ由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．
即点，之间的距离为．
【解析】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．
Ⅰ由三角形内角关系求出，利用正弦定理可得，计算，利用三角形面积公式计算可得结果；
Ⅱ中由余弦定理可得结果．
19.【答案】解：由、、共线，则存在使，
，整理得：，
由、、共线，则存在使，
，整理得：，
根据平面向量基本定理：，解得，
；
，，
，，，
，，
故的余弦值是；
由知：，则，
由，共线，设，
而，有，
，
可得，
，，即，
解得，
的取值范围为．
【解析】本题考查平面向量及其应用，属于中档题．
由、、共线，则存在使，由、、共线，则存在使，根据平面向量基本定理求出，再表示即可；
由得，，根据向量的余弦公式，计算即可；
，则，设，得到，结合计算的取值范围即可．
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