2023-2024学年四川省成都市实外高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市实外高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列，，，，，中，这个数列的项是( )
A. B. C. D.
2.已知，则数列是( )
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 摆动数列 D. 既等差数列又等比数列
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.在等差数列中，若，是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
6.设函数在定义域内可导，图象如图所示，则导函图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.“”是“，，成等比数列”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.定义：为个正数，，，的“均倒数”，若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 数列，，，和数列，，，是相同的数列
B. 数列，，，，，，，是无穷数列
C. 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
D. 数列的通项公式是唯一的
10.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
11.已知数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. 若是等差数列，，，则使的最大正整数的值为
B. 若是等比数列，为常数，则必有
C. 若是等差数列，，，必为等差数列
D. 若，，则数列为递增等差数列
12.已知数列满足，，，用表示不超过的最大整数，如，，则( )
A.
B. 是单调递增数列
C.
D. 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数在处的导数，则的值为______．
14.函数，的单调增区间是______．
15.为推动全民健身，宣传四川的特点成都马拉松赛于年月日如期举行如图，，，分别包含个、个、个、个成都马拉松赛的“熊猫”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“熊猫”， ______， ______．
16.设数列满足，，若存在常数，使得对于任意的，恒有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，，．
求公差及的通项公式；
求．
18.本小题分
已知函数，，、在点处有公切线．
求公切线的方程；
求的解析式．
19.本小题分
已知数列中，，且满足，设，．
求，证明数列是等比数列；
求及数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
写出函数的定义域，求当时的单调区间；
若，在区间上为减函数，求的取值范围．
21.本小题分
记为数列的前项和，且，．
求及数列的通项公式；
若，前项和为，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，记，且，．
求，；
设，，
(ⅰ)证明：数列是等差数列；
(ⅱ)数列的前项和为，且对任意的，满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，数列，，，，，，其通项公式为，
则其第项．
故选：．
根据题意，归纳数列的通项公式，进而计算可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，，则，
数列是以为公差的等差数列，
故选：．
将化为：，利用等差数列的定义判断即可．
本题考查了等差数列的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，可得，，
，，，
可得数列是最小正周期为的数列，
则．
故选：．
计算数列的前几项，推得数列是最小正周期为的数列，可得所求值．
本题考查数列中的项，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，由图可得，
而，
故，
故选：．
根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，，
是等差数列，．
故选：．
利用韦达定理，结合等差数列的性质求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由图象得：
时，递减，，
时，先递增再递减又递增，先正再负又正，
故选：．
由图象得出函数的单调性，从而得出的导函数的正负，进而得出答案．
本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查读图能力，是一道基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，成等比数列，
则，解得，
故“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
即，
当时，；
当时，，对也成立，
所以，．
故选：．
由“均倒数”的定义，可得，由数列的通项与前项和的关系，可得所求通项公式．
本题考查“均倒数”的定义，以及数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数列，，，和数列，，，不是相同的数列，A错误；
对于，数列，，，，，，，有无数项，是无穷数列，B正确；
对于，由数列的函数特性，数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，C正确；
对于，数列的通项公式是不唯一的，D错误．
故选：．
根据题意，由数列的定义分析、和，由数列的函数特性分析，综合可得答案．
本题考查数列的定义，涉及数列的表示方法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
令，解得或，
则点的坐标为或，即或．
故选：．
对求导，根据题意令，求得的值，由此可得点的坐标．
本题考查导数的几何意义以及两直线平行的条件，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若是等差数列，，，可得，
，
使的最大正整数的值为，故A错误；
若是等比数列，为常数，可得，
当时，，由于对也成立，可得，即有，故B正确；
若是公差为的等差数列，，，必为公差为的等差数列，故C正确；
若，，可得，
即有，则数列为递增等差数列，故D正确．
故选：．
由等差数列的性质和求和公式，可判断；由数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的性质，可判断；由等差数列的定义可判断；由数列的通项与前项和的关系，结合等差数列的定义可判断．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的通项与前项和的关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，，，可得，，故A正确；
由题意可得，，即，则是单调递增数列，故B正确；
由，可得，即有，
则，
可得，则，故C错误；
由是单调递增数列，且，，可得时，，
则，故D正确．
故选：．
由数列的递推式，可得，结合的定义，可判断；由，可判断；由数列的裂项相消法和不等式的性质、的定义，可判断．
本题考查数列的递推式和数列的单调性、裂项相消法，以及的定义，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
则，解得．
故答案为：．
求出原函数的导函数，利用列式求解的值．
本题考查导数值的求法，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，且，
则当时，；
，的单调增区间是
故答案为
，令，求解不等式，可得增区间．
本题考查了利用导数求函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，，，
所以，
因为，，，，，
累加得，，
所以，
所以．
故答案为：；．
归纳可得，再利用累加法求出，进而求出．
本题主要考查了归纳推理，考查了累加法求数列的通项公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意，存在常数，使得对于任意的，恒有，可得，得，即可得出结果．
【解答】
解：由题意，存在常数，使得对于任意的，恒有，
所以，
，
得，
又
所以；
即，
由，可得：，
又
所以的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：因为等差数列中，，，
所以公差，；
．
【解析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解，然后结合等差数列的通项公式即可求解；
结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由，，
得，，
、在点处有公切线，
，得．
即公切线的斜率为，则公切线的方程为；
由知，则．
【解析】求出两函数的导函数，利用两函数在处的导数值相等列式求，进一步可得切线的方程；
直接把中求解的代入即可得到的解析式．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
19.【答案】解：由数列中，，且满足，设，
可得；
证明：由，可得，即，
则数列是首项和公比均为的等比数列；
由可得，．
【解析】直接代入计算可得，由等比数列的定义可得证明；
由等比数列的通项公式、求和公式，计算可得所求．
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可得函数的定义域为，
当时，，定义域为，
，解得或舍去，
当，时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
，定义域为，
，
在区间上为减函数，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
解得或，
又，
的取值范围为．
【解析】由函数表达式即可得出函数定义域，求出函数的导数，利用导数的正负性即可判断单调性；
由在区间上为减函数，可得在区间上恒成立，构造函数在区间上恒成立，建立不等式即可求得的范围．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
化为，
即，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即；
由，
可得前项和为，
由递增，可得，
又，可得，
则的取值范围为
【解析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质和数列的单调性，可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数，可得，
；
证明：由可得，，
又，可得，
而，
则，，
由，可得，
即有，
可得数列是首项和公差均为的等差数列；
(ⅱ)由(ⅰ)可得，即，
，
，
上面两式相减可得，
则，
又对任意的，满足，
可得恒成立，
设，则，
当，时，，即，
当时，，即，
可得的最大值为，且，
所以，即，
即的取值范围是．
【解析】由导数的运算法则分别求得，；
由导数的运算和函数的解析式可得，，结合等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得证明；
(ⅱ)由等差数列的通项公式可得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查导数的运算，以及等差数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和、等比数列的求和公式、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
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