2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则．( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.已知在上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗个方面根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容不分先后次序，则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 展开式中系数最大的为
10.从含有个红球，个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取次记事件：“第次取出的球是红球”，事件：“第次取出的球是白球”，则( )
A. B. C. D.
11.函数，下列命题中正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若函数有两个极值点，则
D. 若时，总有恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为______．
13.函数的单调递减区间是______．
14.已知数列满足则 ______；设为的前项和，则 ______结果用指数幂表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极小值．
求函数的解析式；
若函数在只有一个零点，求的取值范围．
16.本小题分
年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是每个人回答是否正确互不影响．
若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，且的面积为，求边上的中线长．
18.本小题分
已知一个由正数组成的数阵，如图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，，，．
第一行，，，
第二行，，，
第三行，，，
第行，，，
求数列的通项公式；
设，，，，，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性．
若有两个极值点，
求的取值范围；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】
解：，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，，
则，即，解得．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：结合函数图象可知，当时，且单调递减，即，符合题意；
当时，且单调递增，即，不符合题意；
当时，且单调递减，即，符合题意；
当时，且单调递减，即，不符合题意，
故不等式的解集为或．
故选：．
由已知结合函数图象及导数与单调性关系即可求解不等式．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，即，解得，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设曲线的切点为，也是曲线的切点为，
又，，
则，解得，
故选：．
设曲线的切点为，也是曲线的切点为，根据导数的几何意义建立关于，，，的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容不分先后次序，一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为．
故选：．
根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果．
本题主要考查了排列组合知识在实际问题中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即为偶函数，
因为时，，，
则在时单调递增，
所以，
所以在时单调递增，
则不等式可转化为，
所以，
两边平方得，，
即，
解得．
故选：．
先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，A错误；
令，得，
令，得，
则，B正确；
令，，则，C错误；
展开式中偶数项系数为负，奇数项系数为正，则系数最大项在，，，中，
展开式的通项公式为，，，，，，，，
则，，，展开式中系数最大的为．
故选：．
根据二项式定理，利用赋值法分别进行判断即可．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，第一次取到白球的概率，故A正确；
对于，在第一次取出个红球的条件下，口袋内共有个球，其中有个红球，个白球，
则，则有，故B正确；
对于，，，
故，
，
则，C错误；
对于，事件是以下个互斥事件的和：，，，，
，故D正确．
故选：．
根据题意，由古典概型分析，由条件概率公式分析，由贝叶斯公式分析，由互斥事件的性质分析，综合可得答案．
本题考查条件概率、贝叶斯公式的应用，涉及互斥事件的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
令，可得，故在该区间上单调递增；
令，可得，故在该区间上单调递减．
又当，
故的图象如图所示：
对，数形结合可知，的解集为，故A正确；
对，由得知：在上单调递增，在上单调递减，分析可知选项B错误；
对，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需在有两根，
也即有两根，也即直线与的图象有两个交点．
数形结合则，解得．
故要满足题意，则，故C是错误的；
对，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数对任意的恒成立，
故在单调递增，则在恒成立，
也即在区间恒成立，则，故D正确．
故选：．
利用函数的单调性的应用和函数的导数的图象求出不等式的结果，利用函数的导数求出函数的单调区间，利用函数的图象确定选项C的结论，最后利用关系式的恒等变换的应用和函数的恒成立问题的应用求出参数的取值．
本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，所以，
则二项式的展开式中含的项为，
所以的系数为．
故答案为：．
利用二项式系数的性质建立方程求出的值，然后根据二项式定理即可求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
因为，
当时，，单调递减．
故答案为：．
先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，；
设，可得，，，
，
，可得，，，
，
可得
．
故答案为：；．
由数列的递推式可得，；由等比数列的通项公式，推得，，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算开始的所求和．
本题考查数列的分段形式和等比数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为函数，所以，
由题意知，，解得，
所以函数；
由函数，得；
且，
令，得，
列表如下：


单调递减 极小值 单调递增
由表中数据知，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的极小值，也是最小值，为，且，，
所以在只有一个零点时，的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，根据题意列方程组求解即可得出、；
由得，利用导数判断函数的单调性，求出极值与最值，结合题意即可求出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值、最值问题，是基础题．
16.【答案】解：设甲，乙，丙独自答对这道题分别为事件，，，
则，，，
事件，，相互独立，
，，
甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为；
设这个问题回答正确为事件，
甲，乙，丙抢到答题机会分别为事件，，，
则，，，
，，，
．
【解析】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查了全概率公式，属于中档题．
根据相互独立事件的概率乘法公式求解；
根据全概率公式求解．
17.【答案】解：，由正弦定理得：，
因为，所以，
故，即，
因为，所以，故，
所以，所以．
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以，
设的中点为，则，
两边同时平方得：，
所以，
即边上的中线长为．
【解析】由，利用正弦定理和倍角公式化简得，可得角的大小；
结合余弦定理及面积公式求出，，利用中线的向量性质，两边平方即可得解．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可得，解得，
设公比为，则，即，解得，
则；
，
数列的前项和．
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，定义域为，
，
令，得或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
因为，
所以，
若有两个极值点，，则有两个根，，
所以有两个根，，
所以，即，
所以，
所以的取值范围为．
证明：由可得，，
，
要证，
需证，
即证，
即证，
令，，
，
所以在上单调递减，
又，，
所以存在使得，即，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
由得，
所以，
因为，
所以由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以当时，，
所以，
所以得证．
【解析】当时，，求导分析的符号，的单调性．
求导得，若有两个极值点，，则有两个根，，即有两个根，，则，即可得出答案．
由可得，，，要证，即证，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
第1页，共1页