2023-2024学年湖南省名校联考联合体高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,若,则( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位的虚部是( )
A. B. C. D.
3.为坐标原点,为抛物线:的焦点,为上一点,若,则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知,则下列选项中正确的是( )
A. B. 关于中心对称
C. 关于直线对称 D. 的值域为
5.已知事件发生的概率为,事件发生的概率为,若在事件发生的条件下,事件发生的概率为,则在事件发生的条件下,事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知,为锐角,,,则的值为( )
A. B. C. D.
7.在矩形中,,,,分别是,上的动点,且满足,设,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数,函数,若函数有两个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数,则( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数是奇函数
C. 函数与的图象关于原点对称 D.
10.已知椭圆的左、右顶点分别为,,左焦点为,为上异于,的一点,过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为,交轴于点,则( )
A. 存在点,使 B.
C. 的最小值为 D. 周长的最大值为
11.已知数列满足,,设的前项和为,下列结论正确的( )
A. 数列是等比数列 B.
C. D. 当时,数列是单调递减数列
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.佛山被誉为“南国陶都”,拥有上千年的制陶史,佛山瓷砖享誉海内外某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标,且,现从该生产线上随机抽取片瓷砖,记表示的瓷砖片数,则 ______.
13.四棱锥各顶点都在球心为的球面上,且平面,底面为矩形,,,设,分别是,的中点,则平面截球所得截面的面积为 .
14.过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线,与双曲线分别交于,两点,且,双曲线的离心率为,则 ______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列,且,,设数列前项和为,数列满足.
求数列的通项公式及前项和;
求数列的前项和.
16.本小题分
已知四棱锥中,底面是边长为的正方形,其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形,点为的重心.
求证:;
经过点及直线作截四棱锥的截面,设截面平面,请画出直线,判断直线与平面的位置关系,并进行证明;
求二面角的余弦值.
17.本小题分
现有标号依次为,,,的个盒子,标号为号的盒子里有个红球和个白球,其余盒子里都是个红球和个白球现从号盒子里取出个球放入号盒子,再从号盒子里取出个球放入号盒子,,依次进行到从号盒子里取出个球放入号盒子为止.
当时,求号盒子里有个红球的概率;
当时,求号盒子里的红球的个数的分布列;
记号盒子中红球的个数为,求的期望
18.本小题分
已知椭圆,左、右焦点分别为,,短轴的其中一个端点为,长轴端点为,,且是面积为的等边三角形.
求椭圆的方程及离心率;
若双曲线以,为焦点,以,为顶点,点为椭圆与双曲线的一个交点,求的面积;
如图,直线:与椭圆有唯一的公共点,过点且与垂直的直线分别交轴,轴于,两点当点运动时,求点的轨迹方程.
19.本小题分
已知函数.
若为自然对数的底数,求函数的极值;
若,函数有两个零点,,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合,.
若,则且,
可得,解得,
即有.
故选:.
由交集的定义可得且,代入二次方程,求得,再解二次方程可得集合.
本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:,其虚部为.
故选:.
根据复数的四则运算,以及虚部的定义,即可求解.
本题主要考查复数的四则运算,以及虚部的定义,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:由可得抛物线的焦点,准线方程为,
由抛物线焦半径公式得,
将代入得,
的面积为,
故选:.
先根据定义求出点的横坐标,将其代入抛物线方程,求出点的纵坐标,即可得出答案.
本题考查抛物线的性质,考查转化思想,考查运算能力,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:对于,因为
所以,故A不正确;
对于,,故B不正确;
对于,可得,
,
所以,
所以可得是函数的对称轴,故C正确;
对于,因为,
所以,故D不正确.
故选:.
利用函数的周期性和对称性即可逐项求解.
本题考查函数的周期性,对称性的判断,考查了函数思想,属于中档题.
5.【答案】
【解析】解:由已知可得,,,
由,可得,
在事件发生的条件下,事件发生的概率为:
.
故选:.
利用条件概率公式求出的值,再利用条件概率公式可求出的值.
本题考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.【答案】
【解析】解:为锐角,,
,
.
,
又是锐角,
.
故选:.
依题意,可求得及,利用两角差的正切可求得,由即可求得答案.
本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力,属于中档题.
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用坐标解决问题的方法、基本不等式求最值的应用,属于中档题.
建立平面直角坐标系,可得出,,,的坐标,并设,点坐标,根据、可得相关等式,再根据基本不等式即可求出的最小值.
【解答】
解:如图,建立平面直角坐标系,
则,,,,
设,,,,,
,,
,
,当且仅当,即,时即时取等号,
故的最小值为.
故选:.
8.【答案】
【解析】解:要使函数有两个零点,即有两个实根,
即有两个实根,
即,整理为,
设函数,则上式为,
因为恒成立,所以单调递增,所以,
所以只需使有两个根,设,
,
易知,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
故函数在处取得极大值,也是最大值,则,
当时,;当时,,
要想有两个根,只需,解得,
即的取值范围是.
故选:.
变形为有两个实根,变形得到,设,则,求导得到单调性,进而求出,只需使有两个根,设,求导得到在处取得极大值,,结合函数的走势,得到,求出的取值范围.
本题主要考查利用导数研究函数的最值,函数的零点与方程根的关系,考查运算求解能力,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:因为与在上都是递增函数,故在上单调递增,A正确;
因为,
所以,即为奇函数,B正确;
因为为奇函数,图象关于原点对称,则其关于原点对称的函数为,C错误;
,,D正确.
故选:.
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断.
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用,属于中档题.
10.【答案】
【解析】解:对于,设椭圆的上顶点为,
则在中,
,
所以,故A错误;
对于,设点,
则,,,
即,
,
,
所以,故B正确;
对于,,
,,
当时,取最小值,故C正确;
对于,设椭圆的右焦点为,的周长为:
,
当且仅当,,三点共线时,等号成立,故D正确.
故选:.
对于,判断与的大小,即,可判断;对于,设点,
则,,分别求出和,可判断;对于,求出,利用二次函数求最值,可判断;对于,利用椭圆的定义,转化为求的最大值,可判断.
本题考查椭圆的性质和定义,属中档题.
11.【答案】
【解析】解:对:,
且,故数列是等比数列,故A正确;
对:,,,
由,得,故B正确;
对:因为,
所以
,,故C错误;
对:当时,是单调递减数列,也是单调递减数列,
所以是单调递减数列,故D正确.
故选:.
对:借助等比数列定义得出即可得;对:借助所给条件计算即可得;对:借助分组求和法计算即可得;对:结合单调数列的定义计算即可得.
本题考查分段数列的运用,以及等比数列的通项公式和求和公式、数列的分组求和,考查转化思想和运算能力,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:由题意,,所以正态曲线关于直线对称,
所以,因为,
所以,
由题意,,所以.
故答案为:.
由题中条件以及正态曲线的性质,可得正态曲线的对称轴方程,从而可知,再由,解出,再由二项分布的特征可得,由公式求解的值.
本题考查正态分布和二项分布的应用,属于基础题.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥的体积公式,考查了球的结构特征,及空间几何体的截面问题,属于中档题.
先求出球的直径,再利用等体积法求出点到平面的距离,进而求出截面圆的半径,即可求解.
【解答】
解:由题设知球心为中点,
所以球的直径,
所以,
所以球的体积,
设球心到平面的距离为,截面圆的半径为,
由题意可知,球心到平面的距离等于点到平面的距离,
在三棱锥中,由等体积法得,
即,
所以,
解得,
所以,
所以截面面积为.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】解:双曲线的渐近线方程为,
设焦点,由和双曲线解得交点,
同理可得,
即有,
由,由,可得,
由,可得,,递增.
又,,
可得,.
故答案为:.
求得双曲线的渐近线方程,由两直线平行的条件可得平行直线的方程,联立解得交点,的坐标,可得的长,结合,,的关系和离心率公式,可得的方程,运用零点存在定理,进而得到离心率的范围,推出结果.
本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用渐近线方程和平行线的联立,以及离心率公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
15.【答案】解:数列是等差数列,设公差为,
由,,可得,,
解得,,
则,;
,
则
.
【解析】由等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,由等差数列的通项公式和求和公式,可得所求;
由数列的分组求和与裂项相消求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式、数列的分组求和与裂项相消求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
16.【答案】解:证明:连接,交于点,连接,
四边形为正方形,
,且为中点,
又,,
平面,平面,且,
平面,而平面,
;
在平面内,过点作的平行线,即为所求的直线,且平面.
证明如下:,,,
平面,平面,
平面;
由知平面,
,过点作,为垂足,连接,
,,
平面,,
为二面角的平面角,
,,
,,,
,
,
二面角的余弦值为.
【解析】根据已知得出平面,结合线面垂直的性质定理即可得证;
在平面内,过点作的平行线,即为所求的直线,且平面,再结合线面平行性质定理即可得证;
先证明为二面角的平面角,再计算即可.
本题考查线线垂直、平行的判定以及二面角的计算,属于中档题.
17.【答案】解:由题可知号盒子里有个红球的概率为;
由题可知,可取,,,
,
,
,
所以号盒子里的红球的个数的分布列为:
记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率,则,
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率,则,
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为,且,
化解得,
得,
而,则数列为等比数列,首项为,公比为,
所以,
又由,求得,
因此.
【解析】由古典概率模型进行求解;
可取,,,求出对应的概率,再列出分布列即可;
记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率,为第号盒子有两个红球和两个白球的概率,则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为,且,化解得,即可求解.
本题考查了古典概率模型和离散型随机变量的分布列,属于难题.
18.【答案】解:因为是面积为的等边三角形,
所以,
解得,,,
则椭圆的方程为,离心率;
易知双曲线的方程为,
联立,解得,
则的面积;
联立,消去并整理得,
此时,
整理得,
不妨设,
此时,,
易知直线的方程为,
令,
解得,
即,
令,
解得,
即,
此时,
易得,
整理得.
故点的轨迹方程为.
【解析】由题意,根据题目所给信息以及,,之间的关系列出等式求出,,的值,进而即可求解;
先得到双曲线的方程,将双曲线方程与椭圆方程联立,求出,再代入三角形面积公式中即可求解;
将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式为得到,设出点的坐标和直线的方程,得到,两点的坐标,推出点的坐标,进而可得点的轨迹方程.
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题,考查了逻辑推理和运算能力,属于中档题.
19.【答案】解:函数,定义域为,
则,
令,则,
在上单调递增,
由可得,当时,,,单调递减;当时,,,单调递增,
的极小值为,无极大值;
,
令,可得,
原题意等价于有两个正根,,,
令,则,等价于有两个正根,,
当时,恒成立,故在上单调递增,
对于,,由,可得,
可得,可得,
令,由,可得,
由,整理可得,
,
原题意等价于当时,恒成立,等价于当时,恒成立,
令,则,
,则,
解得,
当时,令,
则当时,恒成立,
故在上单调递增,则,
即当时,恒成立,
故F在上单调递增,
则,可知符合题意,
综上所述:实数的取值范围为.
【解析】求出,根据的正负得到的单调性,进而求出的极值;
令,可得,原题意等价于有两个正根,,,利用换元法,令,等价于当时,恒成立,令,求导可知在上单调递增,进而求出的取值范围.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值,考查了函数的恒成立问题,属于中档题.
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