专题6.1 概率初步（全章知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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6.1 概率初步（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】必然事件、不可能事件和随机事件
（1）必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
特别提醒：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
【知识点二】概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率（probability)，记为.
特别提醒：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0【考点目录】
【考点1】判断事件发生可能性的大小； 【考点2】概率意义的理解；
【考点3】改变条件使事件发生可能性相同； 【考点4】列举随机事件的可能性结果；
【考点5】根据概率公式 进行运算.
【考点1】判断事件发生可能性的大小；
【例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：
（1）“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
（2）“摸到红球”是必然事件；
（3）“摸到两个黄球”是随机事件；
（4）“摸到两个黄球”是确定事件．
【变式1】（2023·湖北武汉·一模）在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定性事件
【变式2】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）一只不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的可能性最大，则m可以为 （写出一个符合条件的m的值）．
【考点2】概率意义的理解；
【例2】（17-18七年级下·全国·单元测试）根据下列事件发生的概率，把A，B，C，D填入事件后的括号里．
A．发生的概率为0　　　　　B．发生的概率小于
C．发生的概率大于 D．发生的概率为1
（1）从一副扑克牌中任意抽取一张，是红桃；（　　）
（2）2024年2月有29天；（　　）
（3）小波能举起500 kg的大石头；（　　）
（4）从5张分别写有数字1，2，4，6，8的卡片中任取一张，卡片上数字恰为偶数．（ ）
【变式1】（2023·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件
为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ．
填符合条件的序号
说明做次这种试验，事件必发生次；
说明做次这种试验，事件可能发生次；
说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生；
说明事件发生的频率是．
【考点3】改变条件使事件发生可能性相同；
【例3】（20-21八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
【变式1】（19-20九年级上·湖北武汉·阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【变式2】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
【考点4】列举随机事件的可能性结果；
【例4】（16-17八年级下·江苏泰州·期中）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球．
（1）会有哪些等可能的结果；
（2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？
【变式1】（2016·河北保定·一模）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【变式2】（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况．
【考点5】根据概率公式 进行运算；
【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）重庆一中初一年级在“六一儿童节”举行了“礼成人生，礼达天下”的成长仪式，随后在本年级学生中进行了满意度调查，采取随机抽样的调查方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；并根据调查结果绘制如图两幅不完整统计图：
（1）这次一共调查了_____名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）请在参与调查的这些学生中，随机抽取一名学生，求抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率．
【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）希希问望望的书包里有多少本数学作业本？望望告诉他：“我的书包里只有英语作业本和数学作业本这两种作业本，如果从中随机抽取一本，那么取出的是英语作业本的概率为；如果你另外给我3本数学作业本放进去的话，那么再取出一本是英语作业本的概率就变成了．”则望望的书包里数学作业本有（ ）．
A．1本 B．2本 C．3本 D．4本
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）甲、乙二人参加电视台的知识竞答，其中有6个选择题和4个判断题，甲先抽（抽题后不放回），乙后抽，那么甲抽到选择题的概率是 ，乙抽到判断题的概率是 ．
专题6.1 概率初步（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】必然事件、不可能事件和随机事件
（1）必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
特别提醒：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事
件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
【知识点二】概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率（probability)，记为.
特别提醒：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0【考点目录】
【考点1】判断事件发生可能性的大小； 【考点2】概率意义的理解；
【考点3】改变条件使事件发生可能性相同； 【考点4】列举随机事件的可能性结果；
【考点5】根据概率公式 进行运算.
【考点1】判断事件发生可能性的大小；
【例1】（20-21九年级上·全国·课后作业）盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：
（1）“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
（2）“摸到红球”是必然事件；
（3）“摸到两个黄球”是随机事件；
（4）“摸到两个黄球”是确定事件．
【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）；(2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；
(3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）．
【分析】（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可；
（2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球；
（3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球；
（4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球．
（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件；
（2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件；
（3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件；
（4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件．
【变式1】（2023·湖北武汉·一模）在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定性事件
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：对方出“剪刀”．这个事件是是随机事件，
故选：B．
【变式2】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）一只不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的可能性最大，则m可以为 （写出一个符合条件的m的值）．
【答案】9（答案不唯一，大于8即可）
【分析】根据摸到哪种球的可能性最大，哪种球的数量最多确定答案即可．
解：∵从袋子中任意取一个球，摸到黑球的可能性最大，
∴黑球的数量最多，
∴m可以为9，
故答案为：9（答案不唯一，大于8即可）．
【考点2】概率意义的理解；
【例2】（17-18七年级下·全国·单元测试）根据下列事件发生的概率，把A，B，C，D填入事件后的括号里．
A．发生的概率为0　　　　　B．发生的概率小于
C．发生的概率大于 D．发生的概率为1
（1）从一副扑克牌中任意抽取一张，是红桃；（　　）
（2）2024年2月有29天；（　　）
（3）小波能举起500 kg的大石头；（　　）
（4）从5张分别写有数字1，2，4，6，8的卡片中任取一张，卡片上数字恰为偶数．（ ）
【答案】 (1)B；(2)D；(3)A；(4)C.
分析：根据概率与可能性的关系分别解答即可．
解：（1）从一副扑克牌中任意抽取一张，是红桃；(　B　)
（2）)2024年2月有29天；(　D　)
（3）小波能举起500 kg的大石头；(　A　)
（4）从5张分别写有数字1，2，4，6，8的卡片中任取一张，卡片上数字恰为偶数．(　C　)
故答案为(1)B；(2)D；(3)A；(4)C.
【变式1】（2023·湖北襄阳·一模）下列说法正确的是（ ）
某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖
从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件
为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【答案】D
【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断．
A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误；
C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误；
D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ．
填符合条件的序号
说明做次这种试验，事件必发生次；
说明做次这种试验，事件可能发生次；
说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生；
说明事件发生的频率是．
【答案】②
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误；
②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确；
③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误；
④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误．
故答案为：．
【考点3】改变条件使事件发生可能性相同；
【例3】（20-21八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．
【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断；
（2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现；
（3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小；
（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．
解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；
（2）不能事先确定摸到的一定是红球；
（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；
（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．
【变式1】（19-20九年级上·湖北武汉·阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【答案】D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得．
解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；
事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件；
故选：D．
【变式2】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
【答案】2
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1-2=2．
故答案为：2．
【考点4】列举随机事件的可能性结果；
【例4】（16-17八年级下·江苏泰州·期中）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球．
（1）会有哪些等可能的结果；
（2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？
【答案】（1）红、绿1、绿2、白1、白2、白3；（2）白球、红球
【分析】（1）摸到每种球都有可能；（2）哪种球的数量多可能性就大，否则就小．
解：（1）从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球；
（2）∵白球最多，红球最少，
∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小．
【变式1】（2016·河北保定·一模）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【答案】A
【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．
解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，
可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，
∴至少有1个球是黑球，
故选：A．
【变式2】（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况．
【答案】5
【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得．
解：一副牌去掉大小王后剩下张牌，
则红桃牌的总张数为（张），
甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，
剩下的红桃牌的张数为（张），
所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况，
故答案为：5．
【考点5】根据概率公式 进行运算；
【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）重庆一中初一年级在“六一儿童节”举行了“礼成人生，礼达天下”的成长仪式，随后在本年级学生中进行了满意度调查，采取随机抽样的调查方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；并根据调查结果绘制如图两幅不完整统计图：
（1）这次一共调查了_____名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）请在参与调查的这些学生中，随机抽取一名学生，求抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率．
【答案】(1)50，补全的条形统计图见详解 (2)
【分析】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的相关知识以及概率的求法．
（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数，计算出选择C的学生数，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据得出“比较喜欢”或“感觉一般”的人数总和再除以总人数即可求出答案．
（1）解：由题意可得，本次调查的学生是：（名），
故答案为：50，
选择C的学生有：，
补全的条形统计图如图所示；
（2）由题意可得，
抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率是，
答：抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率是．
【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）希希问望望的书包里有多少本数学作业本？望望告诉他：“我的书包里只有英语作业本和数学作业本这两种作业本，如果从中随机抽取一本，那么取出的是英语作业本的概率为；如果你另外给我3本数学作业本放进去的话，那么再取出一本是英语作业本的概率就变成了．”则望望的书包里数学作业本有（ ）．
A．1本 B．2本 C．3本 D．4本
【答案】C
【分析】根据原有取出英语作业本的概率，设原有英语作业本本，根据再放进3本数学作业本后概率变成列式，即可求解，本题考查了已知概率求数量，解题的关键是：根据改变后的概率列式．
解：设书包里原有英语作业本本，则原有作业本总数本，原有数学作业本本，
根据题意得：，解得：，
原有数学作业本，
故选：．
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）甲、乙二人参加电视台的知识竞答，其中有6个选择题和4个判断题，甲先抽（抽题后不放回），乙后抽，那么甲抽到选择题的概率是 ，乙抽到判断题的概率是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了利用概率公式求解概率的知识，总题数是10题，选择题的题数除以总题数即可得甲抽选择题的概率；因为甲抽题后不放回，所以需要分类讨论．
解：任取一道题，有10种情况，甲抽到选择题有6种情况，其概率为；
若甲抽到判断题，
剩下九道题，其中有6个选择题和3个判断题，
则乙抽到判断题的概率为：；
若甲抽到选择题，
剩下九道题，其中有5个选择题和4个判断题，
则乙抽到判断题的概率为：；
∴乙抽到判断题的概率为或．
故答案为：或．