2023-2024学年九年级数学上学期期末复习之相似三角形
1．（2023·上海·九年级假期作业）下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）
A．由同一张底片印出来大小不同的照片
B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片
C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像
D．五星红旗上的大五角星和小五角星
【答案】C
【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【解析】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意；
B、一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片，是相似图形，不合题意；
C、小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像，不是相似图形，符合题意；
D、五星红旗上的大五角星和小五角星，相似图形，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（ ）
A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似
【答案】B
【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案．
【解析】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；
B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确；
C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误；
D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解析】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
【解析】解：A、，是成比例线段，故本选项符合题意；
B、，不是成比例线段，故本选项不符合题意；
C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意；
D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
5．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）已知，下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据内项之积等于外项之积可对A、B、C进行判断；利用合比性质可对D进行判断．
【解析】解：A．2x=3y，则，所以A选项不符合题意；
B．2x=3y，则，所以B选项不符合题意；
C．2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意；
D．2x=3y，则，所以，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
6．（2022·上海·九年级专题练习）如果，那么下列四个选项中，不正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据比例内向的积等于比例外项之积即可求解
【解析】解：∵
∴
A. ，即，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，即，故该选项正确，不符合题意；
D. 即，故该选项不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
7．（2023·上海·九年级假期作业）已知：，，求代数式的值．
【答案】
【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：设，则，，，
，
，
解得：，
，，，
．
【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便．
8．（2023·上海·九年级假期作业）设，求的值．
【答案】0
【分析】根据分式基本性质，得，令，进而即可求解．
【解析】根据分式基本性质，得，
令，
则有，，，
三式相加，即得．
【点睛】本题考查比例的性质的综合应用，掌握比例的性质，设参数求解是解题的关键．
9．（2021秋·上海奉贤·九年级校考期中）已知：a：b：c＝3：4：5
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
【答案】（1）；（2） a=3，b=4，c=5
【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），
则；
（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：
9k-4k+5k=10，
解得k=1．
则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
10．（2022·上海·九年级专题练习）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．
【解析】解：∵b是a、c的比例中项，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
11．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么线段的长为（ ）
A． B．6 C． D．36
【答案】B
【分析】利用比例中项的平方等于两个外项的积，进行计算即可．
【解析】解：由题意，得：，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查比例选段．熟练掌握比例中项的平方等于两个外项的积，是解题的关键．
12．（2023·上海·九年级假期作业）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答．
【解析】解：设，，则，
∵是和的比例中项，
∴，即，
∴，
解得：，（舍去），即，
∴，
∴ ，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
13．（2022秋·上海·九年级上海市民办明珠中学校考期中）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则两地间的实际距离为（ ）
A．10m B．25m C．100m D．250m
【答案】C
【分析】根据比例尺=图上距离÷实际距离，变形计算，再转化单位即可．
【解析】解：因为比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，
所以两地间的实际距离为：，
故选C．
【点睛】本题考查了比例尺的计算，熟练掌握比例尺的定义即比例尺=图上距离÷实际距离是解题的关键．
14．（2023·上海·一模）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
【答案】60
【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．
【解析】解：设A、B两地的实际距离为
则：
解得千米
A、B两地的实际距离为千米
故答案为：.
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．
15．（2023·上海·一模）已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
16．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则
【答案】/
【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可．
【解析】解：如图，点P是线段上的黄金分割点，且，，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键．
17．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）已知，点、是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 .
【答案】
【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可．
【解析】解：如图，点、是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．
18．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（ ）
A． B．是和的比例中项
C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【解析】解：点是线段的黄金分割点且，
是和的比例中项，，
，
故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
19．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点是线段的黄金分割点，且，则，即可．
【解析】∵点是线段的黄金分割点，且
∴
∴
∴A、B、C等式成立，D等式不成立
故选：D．
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金比例的公式．
20．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是 米（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】解：∵点P是线段上的一个黄金分割点，且米，，
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
21．（2019秋·九年级校考阶段练习）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．
求证：点C是线段AB的黄金分割点．
【答案】见解析
【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD-DE=-1，再利用画法得到AC=AE=-1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．
【解析】证明：∵AB＝2，BD＝AB，
∴BD＝1．
∵BD⊥AB于点B，
∴AD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，
∴AC＝AE＝﹣1，
∴AC＝AB，
∴点C就是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
22．（2021·上海·九年级专题练习）梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心．
（1）求证：G1G2//AD；
（2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．易得EF为的中位线，故EF//AD，根据重心的性质可得，即//，即可得证；
（2）根据点P为黄金分割点，可得，再根据中位线的性质即可求解．
【解析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．
因为、为三角形AOB和三角形COD的重心，
所以点E、F为AO、DO的中点，
所以EF为的中位线，
所以EF//AD，
又因为，
所以//，
所以//．
（2）
因为点P为黄金分割点，
所以，
又因为RQ是中位线，
所以RQ//BC，，
因为AD//PQ，
所以，
所以．
【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键．
23．（2023·上海·九年级假期作业）如图，下列式子不一定能推得的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【解析】A．，能推得，故不符合题意；
B． ，能推得，故不符合题意；
C． ，能推得，故不符合题意；
D． ，不能推得，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应边是解题关键．
24．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．
【解析】解：∵AD CE＝AE BD，
∴，
∴DEBC，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论．
【解析】解：A、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意；
B、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；
C、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；
D、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
26．（2023·上海·九年级假期作业）在中，、分别在的边、上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、，不能判定，故A符合题意；
B、∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
27．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直线，直线与这三条直线分别交于点和点若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由平行线分线段成比例可得再代入数据可得答案．
【解析】解：∵，
∴
∵，
∴
∴．
故选A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“由平行线得到成比例的线段，再代入数据进行计算”是解本题的关键．
28．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可
【解析】＝，
,
故A选项正确，不符合题意；
l1∥l2∥l3，且＝，
,
故B选项正确，不符合题意；
故D选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．
29．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例逐项判断即可．
【解析】∵，
∴，，
所以A，D，不正确；C正确．
B中的线段不是对应线段，所以不正确.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关键．
30．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么 ．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则即可．
【解析】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
31．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
【答案】
【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案；
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得．
32．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据与等高，得出，，根据平行线分线段成比例定理得出．
【解析】解：∵与等高，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据求出，是解题的关键．
33．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ．
【答案】/3.5
【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案．
【解析】解：梯形中，，梯形的中位线为，
，，
，，
，
，是的中点，
由平行线分线段成比例得到，
，
为的中位线，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键．
34．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知为角平分线，，如果，，那么 ．
【答案】
【分析】由可得，再根据题干条件，即可求解．
【解析】解：∵，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
35．（2023春·上海徐汇·八年级统考期末）下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的意义和性质进行分析作答．
【解析】解：A、，选项正确，故不符合题意．
B、，选项不正确，故符合题意．
C、，选项正确，故不符合题意．
D、，选项正确，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
36．（2023春·上海松江·八年级统考期末）下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性计算，逐一进行判断即可．
【解析】解：A.，原式错误；
B.，正确；
C.，正确；
D.，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
37．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）在矩形中，，则向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在矩形中，，，，则，，由勾股定理求得，由即可得到答案.
【解析】解：如图，
在矩形中，，，，
，，
，
，
向量的长度为，
故选：A
【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是熟练掌握矩形的性质和三角形法则.
38．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）下列关于向量说法错误的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模
C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的
【答案】D
【分析】根据向量的相关定义，逐项分析判断即可求解．
【解析】A. 既有大小，又有方向的量叫做向量，故该选项正确，符合题意；
B. 向量的大小叫做向量的模，故该选项正确，符合题意；
C. 长度为零的向量叫做零向量，故该选项正确，符合题意；
D. 零向量有方向的，但方向不是确定的，故该选项不正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的相关定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键．
39．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的定义与运算法则即可判断各选项．
【解析】解：∵梯形中，，
∴，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是向量的线性运算，熟记运算法则是解本题的关键．
40．（2023春·上海·八年级专题练习）已知，非零向量，且，则一定有（ ）
A． B．，且，方向相同
C． D．，且，方向相反
【答案】B
【分析】根据向量和的关系，根据两向量和的模等于模的和，即可求解．
【解析】解：∵，非零向量，且，
∴，且，方向相同，
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量和的关系，向量的模的定义，理解题意是解题的关键．
41．（2023·上海·九年级假期作业）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到．
【解析】解：根据题意知，，，
则，，
则，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
42．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
43．（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．
【答案】/
【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解．
【解析】解：如图，连接
∵、分别是的两条中线，
∴，是的中位线
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则是解题的关键．
44．（2023·上海·一模）如图，在中，平分，，，．
(1)求的值；
(2)设，求向量（用向量表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明，，结合角平分线的定义可得，证明，结合相似三角形的性质可得答案；
（2）先求解，结合（1）可得，可得，再利用，从而可得答案．
【解析】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，而，
∴，而，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的方法，难度一般．
45．（2023·上海·一模）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
(1)求证：；
(2)设，，请直接写出关于、的分解式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，，进而得，，得， 再证得，从而即可得证；
(2)由向量的差可知，，再证，从而．
【解析】（1）证明：∵
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，'，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1） 知，，，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
46．（2023·上海徐汇·统考一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．
【解析】两个相似三角形的对应边上的中线之比，
两个相似三角形的相似比为，
两个相似三角形的面积之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．
47．（2023·上海奉贤·统考一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 ．
【答案】
【分析】由两个等边三角形相似，然后根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【解析】解：∵两个等边三角形相似，两个等边三角形的边长的比是，
∴它们的周长比是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
48．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可．
【解析】A. 因为 ，，所以，即为直角三角形，故A正确．
B. 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确．
C. 因为，而且，所以，那么，即为直角三角形，故C正确．
D. ，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误．
故选：D
【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
49．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知点D在的边上，联结，如果与相似，那么下列四个说法：①；②；③；④．一定成立的是（ ）．
A．②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】根据三角形外角大于不相邻的任何一个内角，判定，从而得到或，列比例式计算选择即可．
【解析】因为三角形外角大于不相邻的任何一个内角，
所以，
所以或，
当时，
所以，，
所以，
所以，，
当时，
所以，，，
所以，，，
所以
所以，
所以一定成立的是②④，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角性质，灵活运用分类思想判定相似是解题的关键．
50．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到，，且，由此即可求解．
【解析】解：∵等边三角形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形相似的综合应用，掌握三角形相似的判定是解题的关键．
51．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
【答案】C
【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．
【解析】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．
52．（2023·上海松江·统考一模）已知，是边上一点，、的重心分别为、，那么的值为 ．
【答案】
【分析】由重心可知线段，得到，从而得出面积比，再利用中线的性质得到最后的面积之比．
【解析】解：是，的重心，
，
，
，
，
分别是的中点，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查重心的性质以及线段比与面积的关系，熟练掌握重心的性质以及利用线段比求面积比是解决本题的关键．
53．（2022秋·上海徐汇·九年级校考期中）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于，交于，交的延长线于．那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质证出，，再根据对应边成比例即可解答．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
即．
所以选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用平行四边形的性质证明三角形相似．
54．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，可得，结合可证，从而可证成立；
（2）先证明，然后通过证明可证结论成立．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．
55．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且．
(1)求证：；
(2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，，得，由，得，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，再由相似三角形的性质即可证明结论；
（2）先证明，由相似三角形的性质推出和，据此即可证明结论．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键．
56．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在梯形ABCD中，，，，点E、F分别在线段、上，．的延长线交边于点G，AF交于点N、其延长线交的延长线于点H．设x．
(1) ； ；（用x的代数式表示、）
(2)如果的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结，当与相似时，求的长．
【答案】(1)；
(2)
(3)3或
【分析】（1）可证得，，进而得出结果；
（2）作于M，过点N作于Q，交于P，根据勾股定理得出的值，证明，从而求得的值，进一步得出结果；
（3）分为和．当时，可推出，从而求得x的值；当时，可推出，可推出，从而求得的值，进而求得x的值．
【解析】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：如图1，
作于M，过点N作于Q，交于P，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，
当，此时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
综上所述：AD=3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．2023-2024学年九年级数学上学期期末复习之相似三角形
1．（2023·上海·九年级假期作业）下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）
A．由同一张底片印出来大小不同的照片
B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片
C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像
D．五星红旗上的大五角星和小五角星
2．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（ ）
A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似
3．（2023·上海·九年级假期作业）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）已知，下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海·九年级专题练习）如果，那么下列四个选项中，不正确（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·上海·九年级假期作业）已知：，，求代数式的值．
8．（2023·上海·九年级假期作业）设，求的值．
9．（2021秋·上海奉贤·九年级校考期中）已知：a：b：c＝3：4：5
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
10．（2022·上海·九年级专题练习）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么线段的长为（ ）
A． B．6 C． D．36
12．（2023·上海·九年级假期作业）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·上海·九年级上海市民办明珠中学校考期中）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则两地间的实际距离为（ ）
A．10m B．25m C．100m D．250m
14．（2023·上海·一模）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
15．（2023·上海·一模）已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么 ．
16．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则
17．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）已知，点、是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 .
18．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（ ）
A． B．是和的比例中项
C． D．
19．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是 米（结果保留根号）
21．（2019秋·九年级校考阶段练习）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．
求证：点C是线段AB的黄金分割点．
22．（2021·上海·九年级专题练习）梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心．
（1）求证：G1G2//AD；
（2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值．
23．（2023·上海·九年级假期作业）如图，下列式子不一定能推得的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
24．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2023·上海·九年级假期作业）在中，、分别在的边、上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直线，直线与这三条直线分别交于点和点若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
28．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）如图、已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么 ．
31．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
32．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ．
34．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知为角平分线，，如果，，那么 ．
35．（2023春·上海徐汇·八年级统考期末）下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023春·上海松江·八年级统考期末）下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）在矩形中，，则向量的长度为（ ）
A． B． C． D．
38．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）下列关于向量说法错误的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模
C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的
39．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）如图，梯形中，为对角线与的交点，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．（2023春·上海·八年级专题练习）已知，非零向量，且，则一定有（ ）
A． B．，且，方向相同
C． D．，且，方向相反
41．（2023·上海·九年级假期作业）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
42．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
43．（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为 ．
44．（2023·上海·一模）如图，在中，平分，，，．
(1)求的值；
(2)设，求向量（用向量表示）．
45．（2023·上海·一模）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
(1)求证：；
(2)设，，请直接写出关于、的分解式．
46．（2023·上海徐汇·统考一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为 ．
47．（2023·上海奉贤·统考一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 ．
48．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
49．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知点D在的边上，联结，如果与相似，那么下列四个说法：①；②；③；④．一定成立的是（ ）．
A．②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
50．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
51．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米
52．（2023·上海松江·统考一模）已知，是边上一点，、的重心分别为、，那么的值为 ．
53．（2022秋·上海徐汇·九年级校考期中）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于，交于，交的延长线于．那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
54．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
55．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且．
(1)求证：；
(2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：．
56．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在梯形ABCD中，，，，点E、F分别在线段、上，．的延长线交边于点G，AF交于点N、其延长线交的延长线于点H．设x．
(1) ； ；（用x的代数式表示、）
(2)如果的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结，当与相似时，求的长．
