(共24张PPT)
（华师大版）九年级
上
22.2 .1 因式分解法和直接开平方法
二次根式
第22章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程； (重点)
2. 了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
新知导入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
知识回顾
新知讲解
试一试
解下列方程：
(1)x = 4; (2)x －1=0;
对于题(1)，有这样的解法：
方程 x = 4
意味着x是4的平方根，所以
x = ± ，
即 x = ±2
新知讲解
一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得x1 = ，x2 = -，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
这里得到了方程的两个根，通常也表示成
x1 = 2，x2 = -2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
新知讲解
(2) x －1= 0
对于题(2)，有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x－1)(x+1) =0，
必有
x－1= 0 或 x+1= 0
分别解这两个一元一次方程，得
x1=1, x2= -1
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
新知讲解
因式分解法的基本步骤
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
典例精析
例1 用直接开平方法解下列方程．
(1) x2 - 2 = 0；
(2) 16x2 - 25 = 0.
解：(1) 移项，得x2 = 2，
直接开平方，得 x = ± ，
即x1 = ，x2 = - .
解：(2) 移项，得 16x2 = 25，
方程两边都除以 16，得x2= ，
直接开平方，得 x = ±
即x1 = ，x2 = - .
新知讲解
(2)当 p = 0 时，方程(I)有两个相等的实数根 = 0;
(3)当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为方程 x2 = p ( p 是常数 )， (I)
(1)当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等的实数根
归纳
新知讲解
问题： 对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
由方程 x2 = 25 得 x = ±5.
由此想到：由方程 (x+3)2 = 5 ， ②
得
于是方程 (x+3)2 = 5 的两个根为
即 ③
新知讲解
上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了.
新知讲解
例2 解下列方程：
解：(1) 方程左边分解因式，得
x(3x＋2) = 0.
分解 x = 0或 3x＋2 = 0.
得 x1 = 0，
(2) x2 = 3x；
(1) 3x2 + 2x = 0；
解：(2) 移项，得
x2－3x = 0.
方程左边分解因式，得
x(x－3) = 0.
所以 x = 0或 x - 3 = 0.
得
新知讲解
探究
小张在做例2(2)时，是这样做的：
x2 = 3x
方程的两边同时除以 x，得 x = 3.
故原方程的解为 x = 3.
不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为 x = 0.
小林的解法
对吗？
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( )
A．x＝ B．x＝-1
C．x1＝- ，x2＝1 D．x1＝ ，x2＝-1
D
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.下列方程:①(x- 1)2-1=0; ②x2-5=0; ③(x2- 4x)-4=0;④(x-3)2+ 2=0；⑤x2=x;⑥x -x2- 3=0;⑦(5x+1)2=16.
可以用直接开平方法求解的有____________;可以用因式分解法求解的有____________.
① ② ⑦
① ② ⑤ ⑦
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(1)整理，得x2=1，
所以方程的两个根为x1=1，x2=-1
(2)整理，得(x＋6)2＝9，x＋6＝3或x＋6＝-3，
所以方程的两个根为x1＝-3，x2＝-9.
3.用直接开平方法解下列方程：
(1)2x2+3=5; (2)(x＋6) -9=0
课堂总结
因式分解法的基本步骤
一移——方程的右边 = 0；
二分——方程的左边因式分解；
三化——方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程两个解.
因式分解法的依据：
如果 a·b=0，
那么 a = 0 或 b = 0．
简记口诀：
右化零 左分解
两方程 各求解
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
C
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.对于方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m______；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m_____；
(3)若方程无实数根，则m_____．
＞1
＝1
＜1
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.解方程：
解：
∴ 方程的两根为
或
作业布置
移项,得x(3x＋2)=6(3x＋2)
4.小张和小林一起解方程 x(3x＋2)-6(3x＋2)=0
小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)=0
所以 3x＋2＝0 或 x－6＝0
得
小林的解法是这样的：
方程两边都除以 3x＋2
得 x＝6
小林说：“我的方法多简便！”
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
可另一个根
哪里去了呢？
【综合拓展类作业】
Thanks!
2
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.2 .1 因式分解法和直接开平方法
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤 . 2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用.
课前学习任务
复习引入 复习引入 复习巩固 1.平方根的概念 如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a, x叫做a的平方根. 2.因式分解 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
课上学习任务
【学习任务一】 探究点一 直接开平方法 一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做 . 【归纳】 一般的，对于方程 x2 ＝ p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 ＝ p有两个不相等的实数根 ，； （2）当p＝0 时，方程x2 ＝ p有两个相等的实数根x1＝x2＝0； （3）当p<0 时,因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 ＝p无实数根. 用2种方法解：x2-900＝0. 【学习任务二】 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2-2=0； (2) 16x2 - 25 = 0. 【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中 ，由方程（1）得到（2）， 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把 方程转化为我们会解的方程了. 探究点二 用因式分解法解一元二次方程 例2 (1) 3x2 + 2x = 0；(2) x2 = 3x； 【学习任务三】 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？ 【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）. 所以方程（x+2）2＝25的两个根为 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？ 【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）. 所以方程（x+2）2＝25的两个根为 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( ) A．x＝ B．x＝-1 C．x1＝- ，x2＝1 D．x1＝ ，x2＝-1 选做题： 2.下列方程:①(x- 1)2-1=0; ②x2-5=0; ③(x2- 4x)-4=0;④(x-3)2+ 2=0；⑤x2=x;⑥x -x2- 3=0;⑦(5x+1)2=16. 可以用直接开平方法求解的有____________;可以用因式分解法求解的有_________. 【综合拓展类作业】 1. 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( ) A．x＝ B．x＝-1 C．x1＝- ，x2＝1 D．x1＝ ，x2＝-1 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 选做题： 2.对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m______； (2)若方程有两个相等的实数根，则m_____； (3)若方程无实数根，则m_____． 【综合拓展类作业】 3.解方程： 4.小张和小林一起解方程 x(3x＋2)-6(3x＋2)=0 小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)=0 所以 3x＋2＝0 或 x－6＝0 小林的解法是这样的：移项,得x(3x＋2)=6(3x＋2) 方程两边都除以 3x＋2 小林说：“我的方法多简便！” 可另一个根 哪里去了呢？ 小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
内容分析 本章主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《一元二次方程》这一章是是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
单元目标 教学目标1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.?2.进一步深化理解一元二次方程的四种解法，能灵活运用四种解法解一元二次方程.?3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.?4.进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.（二）教学重点、难点教学重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问题.教学难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数 22.1 一元二次方程122.2.1直接开平方法和因式分解法122.2.2 配方法122.2.3用公式法解一元二次方程122.2.4一元二次方程根的判别式122.2.5一元二次方程根与系数的关系 122.3.1 图形的面积问题122.3.2 增长（降低）率问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.?2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.1.进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.2.正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.任务一：情境导入，根据数量关系列方程.任务二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.任务三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动任务四：针对训练，请学生回答问题..22.2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法1.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.2.理解一元二次方程无实根的解题过程.任务一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务二：探究新知，理解开平方法，配方法.任务3：例题精讲，用开平方法，因式分解法解一元二次方程.22.2.2 配方法1.了解配方法的概念，掌握用配方法解简单的一元二次方程。2.让学生参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发展的过程，培养学生运算技巧和能力，发展数学思维3.通过降次与转化的数学思想的渗透，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极思考，发展学生合作意识.1.让学生用配方法解简单的一元二次方程.2.让学生从特殊的例子中发现规律、归纳方法.任务1：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务2：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程..22.2.3用公式法解一元二次方程1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3．在推导求根公式过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．1.熟练地用求根公式解一元二次方程．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．任务1：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.任务2：合作学习，一元二次方程求根公式.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．1.根的判别式的正确理解与运用．2.会掌握含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．任务1：利用配方法推导一元二次方程的求根公式．任务2：掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况．任务3：巩固例题，掌握由Δ确定方程根的情况的一般步骤．22.2.5一元二次方程根与系数的关系 1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。1.根的判别式和韦达定理的学习．2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯．任务1：经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程任务2：掌握根的判别式和韦达定理任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.3.1 图形的面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理。1.掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.任务1：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型任务2：归纳一元二次方程解应用题的一般步骤.22.3.2 增长（降低）率问题1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.任务1：解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.2. 掌握“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.
《一元二次方程》单元教学设计
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分课时教学设计
第2课时《22.2 .1 因式分解法和直接开平方法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 使学生灵活应用因式分解法解一元二次方程. 了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法.
学习者分析 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.
教学目标 1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤 . 2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用．
教学重点 理解直接开平方法和因式分解法.
教学难点 会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 复习巩固 1.平方根的概念 如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a, x叫做a的平方根. 2.因式分解 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 复习巩固 1.平方根的概念 如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a, x叫做a的平方根. 2.因式分解 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题，复习平方根的概念及 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 环节二：新知探究教师活动2： ?探究点一 直接开平方法 一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 【归纳】 一般的，对于方程 x2 ＝ p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 ＝ p有两个不相等的实数根 ，； （2）当p＝0 时，方程x2 ＝ p有两个相等的实数根x1＝x2＝0； （3）当p<0 时,因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 ＝p无实数根. 【问题2】活动2（师生互动） 用2种方法解：x2-900＝0. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 引导学生掌握．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.理解直接开平方法和因式分解法. 环节三：典例精析 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2-2=0； (2) 16x2 - 25 = 0. 【解】（1）直接开平方，得x1 =，x2 = - . （2） 移项，得 16x2 = 25， 方程两边都除以 16，得x2= ， 直接开平方，得 x = ± 即x1 = ，x2 = - . 即学即练 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？ 【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）. 所以方程（x+2）2＝25的两个根为 【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中 ，由方程（1）得到（2）， 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把 方程转化为我们会解的方程了. 探究点二 用因式分解法解一元二次方程 例2 (1) 3x2 + 2x = 0；(2) x2 = 3x； (1) 方程左边分解因式，得 x(3x＋2) = 0. 分解 x = 0或 3x＋2 = 0. 得 x1 = 0， (2) 移项，得 x2－3x = 0. 方程左边分解因式，得 x(x－3) = 0. 所以 x = 0或 x - 3 = 0. 得 【归纳】 1.因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法的基本步骤 （1）移项：将方程的右边化为0; （2）化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; （3）转化：将方程转化为两个一元一次方程; （4）求解：解两个一元一次方程，写出方程的解. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( ) A．x＝ B．x＝-1 C．x1＝- ，x2＝1 D．x1＝ ，x2＝-1 选做题： 2.下列方程:①(x- 1)2-1=0; ②x2-5=0; ③(x2- 4x)-4=0;④(x-3)2+ 2=0；⑤x2=x;⑥x -x2- 3=0;⑦(5x+1)2=16. 可以用直接开平方法求解的有____________;可以用因式分解法求解的有____________. 【综合拓展类作业】 3.用直接开平方法解下列方程： (1)2x2+3=5; (2)(x＋6) -9=0
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 选做题： 2.对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m______； (2)若方程有两个相等的实数根，则m_____； (3)若方程无实数根，则m_____． 【综合拓展类作业】 3.解方程： 4.小张和小林一起解方程 x(3x＋2)-6(3x＋2)=0 小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)=0 所以 3x＋2＝0 或 x－6＝0 小林的解法是这样的：移项,得x(3x＋2)=6(3x＋2) 方程两边都除以 3x＋2 小林说：“我的方法多简便！” 可另一个根 哪里去了呢？ 小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
教学反思 (1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式； ②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根. (2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根．
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