2023-2024 学年度第二学期第二次段考
高二年级 数学试题——参考答案
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．若 z (1＋i)＝1－i，则 z 的共轭复数为( )
A．－i B．i C．1－i D．1+i
【答案】 B
1－i (1－i)2
【解析】 因为 z z ＝ ＝ ＝－i，所以 z ＝i.
1＋i (1＋i)(1－i)
2．已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有 f(m)＝g(n)，则 n 的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】 C
【解析】 由 f(x)＝ex>0，f(m)＝g(n)，则 g(n)＝ln n>0，∴n>1.
3．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，
则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
【答案】 C
3
40×
b c bsin C 2
【解析】由正弦定理得 ＝ ，∴sin B＝ ＝ ＝ 3>1.
sin B sin C c 20
∴角 B 不存在，即此三角形无解．
4．通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，
n(ad－bc)2
并由 χ2＝ 计算得：χ2≈7.822，参照附表，则下列结论正确的是（ ）
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值 α＝0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值 α＝0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超
过 0.001
C．根据小概率值 α＝0.01 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【答案】 A
【解析】因为 7.822<10.828，所以根据小概率值 α＝0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，
且这个结论犯错误的概率超过 0.001，故 A 正确，B 错误；
又因为 7.822>6.635，所以根据小概率值 α＝0.01 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯
错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故 C 和 D 错误．
5. 已知点 O、N、P 在△ABC 所在平面内，且 |OA |=|OB |=|OC |， NA+NB+NC = 0，
PA PB = PB PC = PC PA，则点 O、N、P 依次是△ABC 的（ ）
A. 重心、外心、内心 B. 重心、外心、垂心
C. 外心、重心、内心 D. 外心、重心、垂心
【答案】 D
【题源】《选修 2》习题 6.4 第 2 题
【详解】 | OA |=| OB |=| OC |，则点 O 到△ABC 的三个顶点距离相等， O 是△ABC 的外心.
NA+NB+NC = 0， NA+NB = NC，
设线段 AB 的中点为 M，则2NM = NC ，由此可知 N 为 AB 边上中线的三等分点(靠近中点 M)，
1
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
所以 N 是△ABC 的重心.
PA PB = PB PC ， PB (PA PC) = PB CA = 0 .
即 PB ⊥CA，同理由 PB PC = PC PA，可得PC ⊥ AB . 所以 P 是△ABC 的垂心.
x2 y2
6. 已知过点 P(1,2)可作双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线 C 的左、右a b
两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．( 5, ＋∞) B．(1， 5) C．(1， 3) D．( 3，＋∞)
【答案】 B
b
【解析】要满足题意，点 P(1,2)必须在渐近线 y＝ x 与 y 轴围成的区域内，且不能在渐近线及 y 轴上．
a
b
所以必须满足 <2，
a
c a2＋b2 b
所以 e＝ ＝ ＝ 1＋ 22 < 5，又 e>1，所以 17．已知圆 C：(x－2)2＋y2＝2，直线 l：y＝kx－2，若直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两条切线 l1，l2，使
得 l1⊥l2，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．[0, 2－ 3)∪(2＋ 3, ＋∞) B．[2－ 3，2＋ 3]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
【答案】 C
【解析】 由题意得，圆 C 的圆心为(2,0)，半径 r＝ 2，
因为两条切线 l1⊥l2，如图，
PA⊥PB，由切线性质定理，知 PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，
所以四边形 PACB 为正方形，所以|PC|＝2，
则(x－2)2＋y2＝4，即点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆．
直线 l：y＝kx－2 过定点(0，－2)，直线方程即 kx－y－2＝0，
只要直线与 P 点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
|2k－2|
即 d＝ ≤2，解得 k≥0，即实数 k 的取值范围是[0，＋∞)．
k2＋1
0
8. 设正整数n = a0 2 + a1 2 + + ak 1 2
k 1 + ak 2
k
，其中ai 0,1 ，记 (n) = a0 +a1 + +ak ．
则下列结论错误的是（ ）
A. (2n) = (n) B. (2n+3) = (n)+1
C. ( n8n+5) = (4n+3) D. (2 1) = n
【答案】 B
【题源】2021 年高考题
【思路分析】利用 (n)的定义可判断 ACD 的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误.
(n) = a +a + +a 2n = a 21 + a 22 + + a 2k + a 2k+1【解析】：对于 A 选项， 0 1 k ， 0 1 k 1 k ，
所以， (2n) = a0 +a1 + +ak = (n)，A 选项正确；
对于 B 选项，取n = 2，2n+3= 7 =1 20 +1 21 +1 22 ， (7) = 3，
而2 = 0 20 +1 21，则 (2) =1，即 (7) (2)+1，B 选项错误；
3 4
对于 C 选项，8n + 5 = a0 2 + a1 2 + + a 2
k+3
k + 5 =1 2
0 +1 22 + a 230 + a 2
4 + + a k+31 k 2 ，
所以， (8n+5) = 2+a0 +a1 + + ak ，
4n + 3 = a0 2
2 + a1 2
3 + + a 2k+2 + 3 =1 20 +1 21 + a 22 + a 23 + + a 2k+2k 0 1 k ，
所以， (4n+3) = 2+a0 +a + +a ，因此， 1 k (8n+5) = (4n+3)，C 选项正确；
n
对于 D 选项，2n 1= 20 + 21 + + 2n 1 ，故 (2 1) = n，D 选项正确.
2
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
π
9．函数 f(x)＝－cos 2x＋ ，则下列结论正确的是（ ） 2
A．f(x)的最小正周期为 π
π π 1
B．f(x)在区间 ， 上的最小值为 6 2 2
π π
C．f(x)在区间 － ， 上单调递增 4 6
D．直线 x=π 为 f(x)图象的对称轴
【答案】 AC
π
【解析】f(x)＝-cos 2x＋ = sin2x 2
2π
选项 A，f(x)的最小正周期 T＝ ＝π，故 A 正确；
2
π π π
选项 B，由 x∈ ， ，知 2x∈ ，π ，则 sin 2x∈[0,1]，所以 f(x)最小值为 0，故 B 错误； 6 2 3
π π π π π π
选项 C，令 2x∈ － ， ，则 x∈
－ ，
，所以 f(x)在
－ ，
上单调递增，故 C 正确； 2 2 4 4 4 6
选项 D，令 x＝π，则 f(x)＝0，故 D 错误．
10. 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，P 是线段 BC1上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 D1－PA1A 的体积为定值
B．AP＋PC 的最小值为 2 2
C．A1P∥平面 ACD1
π
D．直线 A1P 与 AC 所成的角的取值范围是 0， 3
【答案】 ACD
【解析】对于 A，由正方体可得平面 DAA1D1∥平面 BCC1B1，且 B，P∈平面 BCC1B1，
所以点 B 到平面 DAA1D1的距离等于点 P 到平面 DAA1D1的距离，
1 1 1 1
所以三棱锥 D1－PA1A 的体积V ×1＝ × ×1×1×1＝ 为定值，故 A 正确； P－A1D1A＝VB－A1D1A＝ S△A D A3 1 1 3 2 6
对于 B，当 P 与 B 重合时，AP＋PC＝AB＋BC＝2<2 2，
所以 AP＋PC 的最小值不为 2 2，故 B 错误；
对于 C，连接 A1C1，A1B，
由正方体可得 AA1＝CC1，AA1∥CC1，
所以四边形 AA1C1C 是平行四边形，所以 AC∥A1C1，
因为 AC 平面 ACD1，A1C1 平面 ACD1，
所以 A1C1∥平面 ACD1，
同理可得 BC1∥平面 ACD1
因为 A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面 A1C1B，
所以平面 A1C1B∥平面 ACD1，
因为 A1P 平面 A1C1B，
所以 A1P∥平面 ACD1，故 C 正确；
对于 D，因为 AC∥A1C1，
所以∠PA1C1(或其补角)为直线 A1P 与 AC 所成的角，
π
由图可得当 P 与 B 重合时，此时∠PA1C1最大为 ， 3
当 P 与 C1 重合时，此时∠PA1C1最小为 0，
π
所以直线 A1P 与 AC 所成的角的取值范围是 0， ，故 D 正确． 3
3
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
x2 y2
11．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，长轴长为 4，点 P( 2，1)在椭圆 C 外，a b
点 Q 在椭圆 C 上，则（ ）
2
A．b 的取值范围是 0，
2
3
B．当椭圆 C 的离心率为 时，|QF1|的取值范围是[2－ 3，2＋ 3] 2
—→ —→
C．存在点 Q 使得QF1·QF2＝0
1 1
D. ＋ 的最小值为 1
|QF1| |QF2|
【答案】 BCD
【解析】由题意得 a＝2，
2 1
又点 P( 2，1)在椭圆 C 外，则 ＋
4 b2
>1，解得 b< 2，故 A 不正确；
（或用椭圆 C 上的点 M( 2，y0)，由|y0| <1 解得 b< 2）
3
当 e＝ 时，c＝ 3，b＝ a2－c2＝1，
2
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－ 3，2＋ 3]，故 B 正确；
设椭圆的上顶点为 A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
—→ —→ —→ —→
由于AF1 ·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，所以存在点 Q 使得QF1·QF2＝0，故 C 正确；
1 1 |QF2| |QF1|
(|QF1|＋|QF2|) ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2＝4， |QF1| |QF2| |QF1| |QF2|
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2 时，等号成立，
1 1
又|QF1|＋|QF2|＝4，所以 ＋ ≥1，故 D 正确． |QF1| |QF2|
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知集合 A = 2,0,2,4 , B = x x 3 m ，若 A B = A，则m 的最小值为_______．
【答案】 5
【详解】由 A B = A，故 A B ，
由 x 3 m，得 m+3 x m+3，
4 m + 3 m 1
故有 ，即 ，即m 5，即m 的最小值为 5.
2 m + 3 m 5
1
1
3 3an a
已知数列 a 的首项a = ，且a = ，则 n+1
1
13. n 1 n+1 =_______；
5 2an +1 1 3 1
an
1 1 1 1
满足 + + + + 120204 的最大整数 n 的值为_______.
a1 a2 a3 an
1
【答案】 ；2023 （说明：第一空 2 分，第二空 3 分）
3
【题源】《选必 2》习题 4.3 第 11 题
3a 1 1 1n 1 2 1 1
【分析】由an+1 = ，化简得到 1= ( 1) = ( )
n 1 n
，求得 = 2 ( ) +1，根据等比数列的
2an +1 a 3 a an 3 3 3n+1 n
1 1 1 1 1
求和公式，求得 Sn = + + + + = n+1 ，根据 Sn<2024，即可求解.
a1 a2 a
n
3 an 3
3a 1 2an +1 1 1 2
【详解】由题意，数列 a 满足an+1 = n ，可得 = = +n ， 2an +1 an+1 3an 3 an 3
4
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
1
1
1 1 1 2 1 1 a
可得 1= + 1= ( 1)，即 n+1
1
= ，
a 1 3n+1 3 an 3 3 an 1
an
3 1 2 1 2 1
又由a1 = ，所以 1= ， 所以数列 1 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
5 a1 3 an 3 3
1 2 1 n 1 1 n 1 2 1 1= ( ) = 2 ( ) = ( )n 1
1 n
可得 ，所以 = 2 ( ) +1
an 3 3 3 an 3 3 3
1
设数列 的前 n 项和为 Sn ，
an
1 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ( ) ]
S = + + + + = 2( + + + + )+ n = 2 3 3
1
则 n + n = n +1 ，
a 2 2 n 1 n1 a2 a3 an 3 3 3 3 31
3
1
若 Sn<2025，即n+1 120204，
3n
1
因为函数 y = x +1 为单调递增函数，
3x
所以满足 Sn<2024 的最大整数 n 的值为 2023.
14. 已知a 5且ae5 = 5ea , 则b 函4数 y = a|x-1| 的单调增区间为_________.
【答案】(- , 1) （说明：(- , 1]也正确）
【题源】2021 年高考模拟演练题
【解析】因为ae5 = 5ea , a 5，故a 0，
ex e
x (x 1)
令 f ( x) = , x 0，则 f (x) = ，
x x2
当0 x 1时， f (x) 0，当 x 1时， f (x) 0，
故 f (x)在 (0,1)为减函数，在 (1,+ )为增函数，
5 a e
5 ea
因为ae = 5e , a 5，故 = ，即 f (5) = f (a)，而0 a 5，故0 a 1，
5 a
由复合函数的单调性得：函数 y = a|x-1| 的单调增区间为(- , 1).
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题共 13 分）
AB = BC = BD √
6
在三棱锥 A-BCD 中，且 =1，AD= ， CBA= DBC =120 ．
2
（1）求证：平面 ABC⊥平面 BCD．
（2）求二面角 A-BD-C 的余弦值．
【题源】《选必 1》1.4.2 空间向量的应用：练习第 4 题
【详解】（1）作 AO⊥BC 于点 O，连 DO，
因 CBA= DBC =120 ，AB=BD=1，则 AOB≌ DOB，
√3
所以 DO⊥OB，AO=DO= ，…………………………………(2 分)
2
6
在 AOD 中， √AD= ，AO2 +DO2=AD2,
2
所以 AO⊥DO，又因为 BC DO＝O，………………………………………………(4 分)
所以 AO⊥平面 BCD. ………………………………………………(5 分)
又 AO 平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 BCD. ………………………………………………(6 分)
5
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
（2）由（1）知，AO, OC, OD 两两垂直，以点 O 为原点，OD，OC，OA 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴
方向，建立坐标系，得下列坐标：
3 1 3 3
O( 0,0,0) ， D ,0,0 B ， 0, ,0 ， C 0, ,0 ， A 0,0,
2
2 2 2
3 3 1 3
AD = ,0, ， AB = 0，， ………………………………………………(8 分)
2 2 2 2
显然n = (0,0,1)为平面 BCD 的一个法向量 ………………………………………………(9 )1 分
设平面 ABD 的法向量为n2 = (x, y, z)则
1 3
y z = 0 n2·AB = 0 2 2
所以 ，即 ，
n2·AD = 0 3 3x z = 0
2 2
令 z =1，则 x =1， y = 3 ，则n2 = (1, 3,1)………………………………………………(11 分)
| n1 n2 | 1 5
设平面 ABD 和平面 BDC 的夹角为 ，则 cos = = = . …………(12 分)
| n | n 1 5 51 2
5
由图知，二面角 A-BD-C 为钝角．因此二面角 A-BD-C 的余弦值为－ ． ………………(13 分)
5
16. （本小题共 15 分）
已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且an+1 = 2Sn + 2(n N*)．
（1）求数列 an 的通项公式．
（2）在an 与 an+1之间插入 n 个数，使这n + 2个数组成一个公差为 dn 的等差数列，求dn 及其最小值．
【题源】《选必 2》复习参考题 4 第 12 题
【分析】（1）由题意知 an 为等比数列，取n =1、2 代入等式即可解出a1、q ，即可写出an .
（2）根据题意结合第一问先写出dn 的通项公式，再利用单调性求最值.
【详解】（1）由题意知：
当n =1时：a1q = 2a1 + 2 ① ………………………………………………(2 分)
当n = 2时：a
2
1q = 2(a1 + a1q) + 2 ②
联立①②，解得a1 = 2,q = 3. ………………………………………………(5 分)
n 1
所以数列 an 的通项公式an = 2 3 .………………………………………………(6 分)
n 1
（2）证明：由（1）知a = 2 3 ， a nn n+1 = 2 3 .
所以an+1 = an + (n+ 2 1)d . ………………………………………………(8 分)
a a 4 3n 1
所以d = n+1 n = . ………………………………………………(10 分) n
n +1 n +1
4×3
所以 dn+1 = ，
+2
4×3 4×3 1
因 dn+1-dn =
+2 +1
( +1)×4×3 ( +2)×4×3 1 4×3 1×(2 +1)
= = >0，
( +2)( +1) ( +2)( +1)
所以{ dn }是递增数列， ………………………………………………(13 分)
故 dn 的最小值为 d1=2. ………………………………………………(15 分)
6
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
17. （本小题共 15 分）
甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 6%，乙工厂加工的次品率为 5%，
现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 5.25%；
（1）求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比;
（2）从混放在一起的零件中有放回地抽 5 个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 X.
（i）求 X 的分布列和数学期望；
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，
求误差的绝对值不超过 0.1 的概率.
【题源】《选必 3》7.1.2 全概率公式例 5、7.4.2 超几何分布例 6
【详解】（1）设混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比为 p，
记 B＝“混放在一起的零件中任取一个为次品”
A1＝“零件来自甲工厂”， A2＝“零件来自乙工厂” ，
则 Ω = A1+A2，且 A1、A2互斥，
P(A1)=p，P(A2)=1-p，P(B|A1)=0.06，P(B|A2)= 0.05.………………………………………(2 分)
由全概率公式得：
P(B) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) ………………………………………………(4 分)
则 0.0525=p 0.06+(1-p) 0.05，求得：p=0.25 ………………………………………………(6 分)
（2）（i）从混放在一起的零件中有放回地抽 5 个作为样本，每个零件中来自甲工厂的概率为 0.25，
且各自试验之间的结果是独立的，故 X ~ B(5, 0.25)，其分布列为
1 3
P( X = k ) = 5 ( )
( )5 ，k=0, 1, 2, 3, 4, 5. ………………………………………………(8 分)
4 4
1 5
其数学期望为 EX=5 = . ………………………………………………(10 分)
4 4
（ii）样本中来自甲工厂的零件个数占比 是一个随机变量，
5
1
误差不超过 0.1 的概率 P(| | 0.1) ………………………………………………(12 分)
5 4
3 7
=P( ≤X≤ )=P(X=1) …………………………………………(13 分)
4 4
1 1 3 4 405= 5 ( ) = ………………………(15 分) 4 4 1024
18. （本小题共 17 分）
如图，抛物线 C：x2＝4y 上异于坐标原点Ｏ的两不同动点 A、B 满足 OA⊥OB．
（1）求证：直线 AB 过定点；
（2）过点 A, B 分别作抛物线 C 的切线交于点 M，求△MAB 的面积的最小值.
【题源】《选必 1》习题 3.3 第 6 题
【详解】（1）设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，A(x1, y1), B(x2, y2)，
y＝kx＋m，
与抛物线方程联立，得
x2 ＝4y， ……………(1 分)
所以 x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， …………… (3 分)
OA⊥OB，所以OA OB = x x + y y = 0， …………………………………………(4 分) 1 2 1 2
2 2 21 2 ( 1 2)
而 y1y2= = ， ………………………………………………(5 分)
4 4 16
代入得：－4m+m2=0，解得：m＝4 或 m=0（舍去），………………………………………(6 分)
∴直线 AB 的方程为 y＝kx＋4, 必过一定点(0, 4). …………………………………………(7 分)
1 1
(2)由抛物线的方程为 x2＝4y，得：y＝ x2，所以 y ′＝ x，
4 2
x2 x x21 1 2 x2
AM：y－ ＝ (x－x1)，BM：y－ ＝ (x－x2)， ……………………………………………(9 分) 4 2 4 2
x 21 x1
y＝ x－ ，2 4
联立方程 由（1）知： x1＋x2＝4k，x2 1x2＝－16， x2 x2
y＝ x－ ， 2 4
= 2
解得{ , 即 M(2k，-4)． ………………………………………………(12 分)
= 4
7
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}
| 2 +4+4| 2| 2+4|
点 M 到直线 AB 的距离 d＝ ＝ ………………………………………(13 分)
√1+ 2 √1+ 2
|AB|＝ (1＋k2)[(x ＋x )2－4x x ]＝4√(1 + 2)( 21 2 1 2 + 4)，……………………………………(14 分)
1 2|
2+4| 3
所以 S＝ ×4√(1 + 2)( 2 + 4)× ＝4( 2 + 4)2 ………………………………(15 分)
2 √1+ 2
3 3
因 k2 0，所以 S＝4( 2 + 4)2≥4 × 42=32， ………………………………(16 分)
故当 k＝0 时，△MAB 的面积取得最小值 32. ………………………………………………(17 分)
19. （本小题共 17 分）
已知函数 （f x) =ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若a 0，讨论 f (x) 的零点个数.
【题源】《选必 2》复习参考题 5 第 19 题、5.3.2 例 7，2017 年高考题
【分析】（1）讨论 f (x) 单调性，首先进行求导，并及时因式分解，再对a 按 a 0，a 0进行讨论；
1
（2）根据第（1）问，当a 0时，当 x = lna时， f (x) 取得最小值，求出最小值 f ( ln a)，=1根 据a+ l=n1a，
a
a (1,+ )，a (0,1)进行讨论.
【解析】（1） f (x)的定义域为 ( ,+ )，
f (x) = 2ae2x + (a 2)ex 1，= ( a e x 1 ) ( 2 e x + 1 ) …………………………………………(1 分)
f (x) = 2ae2x + (a 2)ex 1= (aex 1)(2ex +1)， …………………………………………(2 分)
（ⅰ）若a 0，则 f (x) 0，所以 f (x)在 ( ,+ )单调递减.………………………………(4 分)
（ⅱ）若a 0，则由 f (x) = 0得 x = lna .
当 x ( , lna)时， f (x) 0；当 x ( lna,+ )时， f (x) 0，
所以 f (x)在 ( , lna)单调递减，在 ( lna,+ )单调递增.…………………………………(6 分)
1
（2）若a 0，由（1）知，当 x = lna时， f (x)取得最小值 f ( lna) =1 + lna . ………(7 分)
a
1 1 1
令 g(a)= f ( lna) =1 + lna ，则 g' (a)=
2
+ > 0，
a
得：g(a)在(0,+ )上单调递增，且 g(1)=0; ………………………………………………(8 分)
①当a =1时，则 g(a)= f ( lna) = 0，故 f (x)只有一个零点； …………………………………(9 分)
1
②当a (1,+ )时，则 g(a)=1 + lna 0，即 f ( lna) 0，故 f (x)没有零点；……………(10 分)
a
1
③当a (0,1)时，则 g(a)=1 + lna 0，即 f ( lna) 0 . ………………………………(11 分)
a
2 2
又 f ( 2) = ae 4 + (a 2)e 2 + 2 2e 2 +2 0，（或 f (-1)= + +1>1- >0)
2
故 f (x)在 ( , lna)有一个零点； ……………………………………………………………(13 分)
在 ( lna,+ )内，要使 f(x)=ae2x+(a﹣2) ex﹣x= ex (aex+a﹣2) -x 取正值，
3
因 ex > x，只需(aex+a﹣2) 1，即 ≥ 即可，
3
故取 n0 满足n0 ln 1 ，
a
则 f ( n n n nn 0 00 ) = e (ae + a 2) n0 e 0 n 02. 00 n 0 0 ………………………………(15 分)
3
由于 ln 1 lna，因此 f (x)在 ( lna,+ )有一个零点. ………………………………(16 分)
a
8
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综上，当a =1时， f (x)只有一个零点；
当a (1,+ )时， f (x)没有零点；
当a (0,1)时， f (x)有两个零点. ………………………………(17 分)
【另解】（分离参数）
（2）求函数 f(x)=ae2x+(a﹣2) ex﹣x 的零点，即求方程 a(e2x+ex)= 2ex+x 的根的个数，
2 +
参数分离得：求方程 a = 的解的个数， ………………………………(7 分) ( +1)
2 +
构造函数 g(x) = ,
( +1)
2 +
只需求直线 y=a 与函数 g(x) = 图像的交点个数.
( +1)
(2 +1)( ( +1)) (2 + )( (2 +1)) (2 +1)( +1)
求导得：g'(x)= =
( ( +1))2 ( ( +1))2
(2 +1)( + 1)
=
2
……………………………………………………(8 分)
( +1)
设 h(x)= ex+x-1，
因 h'(x)= ex+1>0，所以 h(x)在(- , + )上是增函数；
又 h(0)= 0，所以 h(x)在(- , + )上有且只有一个零点 0； ………………………………(9 分)
令 g'(x)=0 得： x=0，
当 x (- , 0)时，g'(x)>0，当 x (0, + )时，g'(x)<0，
则当 x (- , 0)时，g(x)单调递增，当 x (0, + )时，g(x)单调递减，
所以当 x=0 时，g(x)取得最大值 g(0)=1； ………………………………(10 分)
当 x>0 时，g(x)>0，g(x)单调递减，且当 x→+ 时，g(x) →0， ……………………………(11 分)
故 g(x)在(0, + )上没有零点； ……………………………………………………………(12 分)
(2 )
当 x<0 时，g(0)=1>0，g(-1)= <0， ………………………………………………(13 分)
+1
故 g(x)在(- , 0)上有且只有一个零点； ………………………………………………(14 分)
根据以上信息，画出 g(x)的大致图形，如右图：………………………………………………(16 分)
所以，关于方程 a = g(x)的解的个数有如下结论：
当a =1时，只有一个解；
当a (1,+ )时，无解；
当a (0,1)时，有两个解.
即：当a =1时， f (x)只有一个零点；
当a (1,+ )时， f (x)没有零点；
当a (0,1)时， f (x)有两个零点. ………………………………………………(17 分)
9
{#{QQABBQKEogCAAIIAAQhCUwFACkMQkAGACSgORBAIMAABQBFABAA=}#}秘密★启用前
2023-2024 学年度第二学期第二次段考
高二年级 数学试题
教学处命题中心
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本卷共 4 页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．若 z (1＋i)＝1－i，则 z 的共轭复数为（ ）
A．－i B．i C．1－i D．1+i
2．已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有 f(m)＝g(n)，则 n 的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
3．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，
则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
4．通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，
n ad－bc 2
并由 χ2＝ 计算得：χ2≈7.822，参照附表，则下列结论正确的是（ ）
a＋b c＋d a＋c b＋d
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值 α＝0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值 α＝0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超
过 0.001
C．根据小概率值 α＝0.01 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
1
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5. 已知点 O、N、P 在△ABC 所在平面内，且 |OA | |OB | |OC |， NA NB NC 0，
PA PB PB PC PC PA，则点 O、N、P 依次是△ABC 的（ ）
A. 重心、外心、内心 B. 重心、外心、垂心
C. 外心、重心、内心 D. 外心、重心、垂心
x2 y2
6. 已知过点 P(1,2)可作双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线 C 的左、右a b
两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．( 5, ＋∞) B．(1， 5)
C．(1， 3) D．( 3，＋∞)
7．已知圆 C：(x－2)2＋y2＝2，直线 l：y＝kx－2，若直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两条切线 l1，l2，使
得 l1⊥l2，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．[0, 2－ 3)∪(2＋ 3, ＋∞) B．[2－ 3，2＋ 3]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
8. 设正整数n a 2
0 a 2 a 2k 1 a 2k ，其中ai 0,1 ，记 n a a0 1 k 1 k 0 1 ak ．
则下列结论错误的是（ ）
A. 2n n B. 2n 3 n 1
C. 8n 5 n 4n 3 D. 2 1 n
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
π
9．函数 f(x)＝－cos 2x＋ ，则下列结论正确的是（ ） 2
A．f(x)的最小正周期为 π
π π 1
B．f(x)在区间 ， 6 2 上的最小值为 2
π π
C．f(x)在区间 － ， 上单调递增 4 6
D．直线 x=π 为 f(x)图象的对称轴
10. 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，P 是线段 BC1上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 D1－PA1A 的体积为定值
B．AP＋PC 的最小值为 2 2
C．A1P∥平面 ACD1
π
D．直线 A1P 与 AC 所成的角的取值范围是 0， 3
x2 y2
11．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，长轴长为 4，点 P( 2，1)在椭圆 C 外，a b
点 Q 在椭圆 C 上，则（ ）
2
A．b 的取值范围是 0，
2
3
B．当椭圆 C 的离心率为 时，|QF1|的取值范围是[2- 3, 2+ 3] 2
—→ —→
C．存在点 Q 使得QF1·QF2＝0
1 1
D. ＋ 的最小值为 1
|QF1| |QF2|
2
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知集合 A 2,0,2,4 , B x x 3 m ，若 A B A，则m 的最小值为_______．
1
1
3 3a a 1
13. 已知数列 an
n
的首项a ，且an 1 ，则
n 1 _______
1 ；
5 2a 1n 1 3 1
an
1 1 1 1
满足 120204 的最大整数 n 的值为_______.
a1 a2 a3 an
14. 已知a 5且ae5 5ea , 则b 函4数 y = a|x-1| 的单调增区间为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题共 13 分）
√6
在三棱锥 A-BCD 中，且 AB BC BD =1，AD= ， CBA DBC 120 ．
2
（1）求证：平面 ABC⊥平面 BCD．
（2）求二面角 A-BD-C 的余弦值．
16. （本小题共 15 分）
已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且an 1 2Sn 2(n N*)．
（1）求数列 an 的通项公式．
（2）在an 与 an 1之间插入 n 个数，使这n 2个数组成一个公差为 dn 的等差数列，求dn 及其最小值．
17. （本小题共 15 分）
甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 6%，乙工厂加工的次品率为 5%，
现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 5.25%；
（1）求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比;
（2）从混放在一起的零件中有放回地抽 5 个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 X.
（i）求 X 的分布列和数学期望；
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，
求误差的绝对值不超过 0.1 的概率.
3
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18. （本小题共 17 分）
如图，抛物线 C：x2＝4y 上异于坐标原点Ｏ的两个不同动点 A、B 满足 OA OB．
（1）求证：直线 AB 过定点；
（2）过点 A, B 分别作抛物线 C 的切线交于点 M，求△MAB 的面积的最小值.
19. （本小题共 17 分）
已知函数 （f x) ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若a 0，讨论 f (x) 的零点个数.
4
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