因式分解
选择题
1. 一个正方形边长为 2. 若将边长增加 6 ，则新的正方形的面积增加 （ ）
A. 36 2 B. 12 2
C. (36 + 12 ) 2 D. 以上都不对
2. 下列步骤从左至右属于因式分解的是 （ ）
A. ( 2)( + 2) = 2 4
B. + + + 1 = ( + 1)( + 1)
C. ( + )2 = 2 + 2 + 2
D. 2 + 3 + 2 2 1 = ( + )( + 2 ) 1
3. 如果多项式 2 + + 4 2能写成两数和的平方，那么 为（ ）
A. 2 B.±2 C. 4 D.±4
4. 若 = = 2， 2 + 2 + 2 = 11，则代数式 + + 的值为 （ ）
A. 24 B. 22 C. 1 D. 11
5. 与(2 + 1)( 1) ( 2 + 2)的结果相同的式子是 （ ）
A. ( + 3)( 1) B. ( 1)2 C. ( + 3)( 1) D. ( 2)
6. 若 = 5， + = 4， = 3，则 2 2的值为 （ ）
A. 60 B. 45 C. 50 D. 75
7. 为任意整数，( + 11)2 2的值总是可以被 整除，则 的值为（ ）
A. 11 B. 22 C. 11 的倍数 D. 11 或 22
8. 如果 3 + 2 + + 8有两个因式 + 1和 + 2，则 + 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 21
9. 已知 , , 为任意有理数，则( )2 4( )( )的值一定（ ）
A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0 D.大于或等于 0
10. 为了书写简便，数学家欧拉就引进了求和符号“∑”. 例如：记
∑ =0 = 1 + 2 + 3 + ，∑
=3 ( + ) = ( + 3) + ( + 4) ( + ).
已知∑ =2 [( + )( )] = 3
2 + ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 16 C. 25 D. 29
填空题
11. 分解因式：4 4 2 = ； 2 5 + 6 = .
12. 分解因式： 3 2 2 + = ； 2 9 18 = .
13. 分解因式：16 8( ) + ( )2 = .
1
14. 由图形的转变，我们可以得到很多乘法公式。如图①所示，在一个边长为 的正方形
中，镶入一个面积为 2的正方形，通过剪裁，的到图②，则阴影部分的转变过程可转变
为公式 .
15. 如图③，在一个长为 10，宽为 6 的长方形中嵌入两个边长分别为 和 的正方形，且
重合部分恰好是个面积为 1的正方形. 若 5S 2 21 = S2，则 + 的值为 .
2
2 6
1
图① 图② 10
图③
16. 已知 = 2， = 2， + = 14，则 2 2的值为 .
17. 已知一个三角形有一个角为 60°且有两边长为 8 3 3，(2 )(4 2 + 4 + 2)，
则这个三角形的形状是 三角形.
18. 若代数式 3 + 3 + 3 2 + 2含有因式 ，则 = . 在实数的范围内将这
个代数式因式分解，结果为 .
19. 小明在实验室里检测出某种球形病毒的半径为 0.000 000 103米，则该种病毒的直径
用科学记数法表示为 米.
20. 若 2 + 2 =7， 2 2 = 1， 2 6 = 17，则 + + 的值为 .
21. 已知 = 2 2 ， = 2 2， = 2 2( ≠ ) 用”<”表示 、 、 之间的
关系 .
作答题
22. 分解因式： 2( ) + 2 ( ) + 2( )
23. 分解因式：( )2 +1 + ( )2 1
24. 学习下列方法并解决问题：
分解因式： 5 + + 1
解：∵ 当 =± 1时 , 5 + + 1的值都不是 0
∴ 5 + + 1没有一次因式
不妨设原式 = ( 2 + + 1)( 3 + 2 + + 1)
∴ 原式 = 5 + ( + ) 4 + (1 + + ) 3 + (1 + + ) 2 + ( + ) + 1
+ = 0
∴ 1 + + = 0
= 1
1 + + = 0 = 1 原式 = (
2 + + 1)( 3 2 + 1)
+ = 1 = 0
2
∵ 因式分解的结果是唯一的
∴ 不用再考虑其他情况
问题 1：因式分解 5 + 4 + 1
问题 2: 6 + 3 1能否分解为两个整系数的三次因式的积？并说明理由.
25. 观察探索：
◎( 1)( + 1) = 2 1
◎( 1)( 2 + + 1) = 3 1
◎( 1)( 3 + 2 + + 1) = 4 1
(1) 根据以上规律，则( 1)( 5 + 4 + 3 + 2 + + 1) = .
(2) 由此归纳出一般规律( 1)( + 1……+ + 1) = .
(3) 根据以上规律计算：
1 3100 + 399 +……+ 32 + 3 + 1
2 ( 2)2022 + ( 2)2021 + ……+ ( 2)2 1
3 2100 + 299 +……+ 23 + 22 + 2
26. 因式分解：
（1）4 2 4 575 （2）( 2 + 4)( 2 + + 3) + 10
（3） 3 9 + 8 （4） 3 + 2 2 5 + 6
27. 化简：
1 + 1 1 1 1 1 1（1）
2+3 +2 2
+ 2 （2）+5 +6 +7 +12 2 + 1 2 + + 4 +3 2 8 +15 2 12 +35
3
2 + 2 + 2 （3）
2 + 2 + 2 +
3+ 3
28. 求证： 3 =
+
+( )3 +( )
29. 已知 4 7是 7 的倍数，求证8 2 + 10 3 2是 49 的倍数．
30. 求证：( 1)2( + 3)( + 5) + 12不是完全平方数.
31. 求证： 2 2 + 2 + + + 4不能因式分解.
32. 已知 、 、 是△ 的三边长，且满足 4 + 2 2 = 4 + 2 2. 试判断△ 的形状.
33. 配方是自招考试中常见的解题思路，请利用相关知识求出下列各式的最小值.
（1） 2 + 2 + 2
（2） 2 2 + 2
（3）2 2 + 3 2 4 12 + 20
（4）7 2 + 9 2 12 6 + 2
4
选择题答案
1. 一个正方形边长为 cm2. 若将边长增加 6 ，则新的正方形的面积增加 （ ）
A. 36 2 B. 12 2
D. (36 + 12 ) 2 D. 以上都不对
解析：C
新的正方形增加的面积为( + 6)2 2，
可化简为( + 6 + )( + 6 ) = 6(2 + 6) = (12 + 36) 2 .
2. 下列步骤从左至右属于因式分解的是 （ ）
A. ( 2)( + 2) = 2 4
B. + + + 1 = ( + 1)( + 1)
C. ( + )2 = 2 + 2 + 2
D. 2 + 3 + 2 2 1 = ( + )( + 2 ) 1
解析：B
3. 如果多项式 2 + + 4 2能写成两数和的平方，那么 为（ ）
A. 2 B.±2 C. 4 D.±4
解析：D
4. = = 2， 2 + 2 + 2 = 11，则代数式 + + 的值为 （ ）
A. 24 B. 22 C. 1 D. 11
解析：C
= 2
由题意得 = 2，
= 4
故( )2 + ( )2 + ( )2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 2 2 2 = 24
∵ 2 + 2 + 2 = 11
∴ 2 2 2 = 2
∴ + c + = 1
5. 与(2 + 1)( 1) ( 2 + 2)的结果相同的式子是 （ ）
A. ( + 3)( 1) B. ( 1)2 C. ( + 3)( 1) D. ( 2)
解析：B
原式= 2 2 + 2 1 2 2 = 2 2 + 1 = ( 1)2.
6. 若 = 5， + = 4， = 3，则 2 2的值为 （ ）
A. 60 B. 45 C. 50 D. 75
解析：A
2 2 = ( 2 2) = ( + )( ).
当 = 5， + = 4， = 3时， 2 2 = 5 × 4 × 3 = 60.
1
7. 为任意整数，( + 11)2 2的值总是可以被 整除，则 的值为（ ）
A. 11 B. 22 C. 11的倍数 D. 11或 22
解析：A
( + 11)2 2 = 2 + 22 + 121 2 = 22 + 121
其中有一个因式为 11，故只能被 11整除，选 A.
8. 如果 3 + 2 + + 8有两个因式 + 1和 + 2，则 + 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 21
解析：D
设 3 + 2 + + 8 = ( + 1)( + 2)( + )，
则 3 + 2 + + 8 = 3 + (3 + ) 2 + (2 + 3 ) + 2c，则 2 = 8得 = 4，
由上述的 3 + = a2 + 3 = b，由方程组解得
= 7
= 14，代入 得 = 21. 故选 D.
9. 已知 , , 为任意有理数，则( )2 4( )( )的值一定（ ）
A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0 D.大于或等于 0
解析：D
∵ ( )2 4( )( ) = 2 2 + 2 4 + 4 + 4 2 4 c
= 2 + 2 + 2 4 4 c + 4 2 = ( + 2 )2
又∵ ( + 2 )2 ≥ 0
∴( )2 4( )( )的值一定大于或等于 0，故选 D.
10. 为了书写简便，数学家欧拉就引进了求和符号“∑”. 例如：记
∑ =0 = 1 + 2 + 3 + ，∑
=3 ( + ) = ( + 3) + ( + 4) ( + ).
已知∑ =2 [( + )( )] = 3
2 + ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 16 C. 25 D. 29
解析：D
∑ =2 [( + )( )] = ∑
( 2 =2
2) 由 3 2 + 得知有 3个 2，则 = 3.
则∑ ( 2 2) = 2 4+ 2 =2 9+
2 16 = 3 2 29 = 29，故选 D.
填空题答案
11. 分解因式：4 4 2 = ； 2 5 + 6 = .
解析：4(1 + )(1 ) ; ( 2)( 3)
12. 分解因式： 3 2 2 + = ； 2 9 18 = .
解析： ( 1)2 ; ( + 3)( + 6)
13. 分解因式：16 8( ) + ( )2 = .
解析：(4 + )2
14. 由图形的转变，我们可以得到很多乘法公式。如图①所示，在一个边长为 的正方形
中，镶入一个面积为 2的正方形，通过剪裁，的到图②，则阴影部分的转变过程可转变
为公式 .
解析： 2 2 = ( + )( )
2
15. 如图③，在一个长为 10，宽为 6 的
2
长方形中嵌入两个边长分别为 和 的正
2
方形，且重合部分恰好是个面积为 1 的 6
正 方 形 . 5S1 = S2 ， 则 2 + 2 的 值 图① 1
为 . 10
解析：25 图② 图③
+ 1 = 6 + = 7
5S1 = S2 5( 1)( 1) = ( 1)( 1) + 6(11 )
∴ 4( 1)( 1) = 6(11 ) 4( 1)( 1) = 6 × (11 7)
4( 1)( 1) = 6 × (11 7) 4( 1)( 1) = 24
4( + 1) = 24
∴ + 1 = 6 7 + 1 = 6
∴ = 12 2 + 2 = ( + )2 2 = 49 24 = 25
16. 已知 = 2， = 2， + = 14，则 2 2的值为 .
解析： 56
= 2 ①
∵
= 2 ②
∴①+②得 = 4 2 2 = ( )( + ) = 4 × ( 14) = 56
17. 已知一个三角形有一个角为 60°且有两边长为 8 3 3，(2 )(4 2 + 4 + 2)，
则这个三角形的形状是 三角形.
解析：等边
8 3 3 = (2 )(4 2 + 4 + 2) 等腰三角形；有 60°角为等边三角形.
18. 若代数式 3 + 3 + 3 2 + 2含有因式 ，则 = .在实数的范围内将这个
代数式因式分解，结果为 .
解析：5；( + 2 + 5 )( + 2 5 )
令 3 + 3 + 3 2 + 2 = ( )( 2 + + 2)，得 = 4， = 1， = 5
∴ = 5， 3 + 3 + 3 2 + 2 = 3 + 3 + 3 2 5 2
∴ 3 + 3 + 3 2 5 2 = ( )( + 2 + 5 )( + 2 5 )
19. 小明在实验室里检测出某种球形病毒的半径为 0.000 000 103米，则该种病毒的直径
用科学记数法表示为 米.
解析：2.06 × 10 7
20. 若 2 + 2 =7， 2 2 = 1， 2 6 = 17，则 + + 的值为 .
解析：3
因为 2 + 2 =7， 2 2 = 1，， 2 6 = 17，
所以 2 6 + 2 + 2 + 2 2 = 11，得( 3)2 + ( + 1)2 + ( 1)2 = 0
= 3
所以 = 1，所以 + + = 3
= 1
21. 已知 = 2 2 ， = 2 2， = 2 2( ≠ ) 用”<”表示 、 、 之间的
关系 .
3
解析： < <
作答题答案
22. 分解因式： 2( ) + 2 ( ) + 2( )
解：原式 = ( )3
23. 分解因式：( )2 +1 + ( )2 1
解：原式 = ( )2m 1( + 1)( 1)
24. 学习下列方法并解决问题：
分解因式： 5 + + 1
解：∵ 当 =± 1时 , 5 + + 1的值都不是 0
∴ 5 + + 1没有一次因式
不妨设原式 = ( 2 + + 1)( 3 + 2 + + 1)
∴ 原式 = 5 + ( + ) 4 + (1 + + ) 3 + (1 + + ) 2 + ( + ) + 1
+ = 0
∴ 1 + + = 0
= 1
2
1 + + = 0 = 1 原式 = ( + + 1)(
3 2 + 1)
+ = 1 = 0
∵ 因式分解的结果是唯一的
∴ 不用再考虑其他情况
问题 1：因式分解 5 + 4 + 1
解：∵当 =± 1时, 5 + 4 + 1的值都不是 0
∴ 5 + 4 + 1没有一次因式
不妨设原式= ( 2 + + 1)( 3 + 2 + + 1)
∴ 原式 = 5 + ( + ) 4 + (1 + + ) 3 + (1 + + ) 2 + ( + ) + 1
+ = 1
∴ 1 + + = 0
= 1
1 + + = 0 = 0 原式 = (
2 + + 1)( 3 + 1)
+ = 0 = 1
∵ 因式分解的结果是唯一的
∴ 不用再考虑其他情况
问题 2: 6 + 3 1能否分解为两个整系数的三次因式的积？并说明理由.
解：∵ 当 =± 1时 , 6 + 3 1的值都不是 0
∴ 6 + 3 1没有一次因式
不妨设原式= ( 3 + 2 + + 1)( 3 + 2 + 1)
原式化简后得如下代数式
6 + ( + ) 5 + ( + + ) 4 + ( + ) 3 + ( + ) 2 + ( ) 1
+ = 0
+ + = 0 =
∴ + = 1 + = 0 ( + ) = 1
+ = 1 + = 1
= 0
∵ + = 0
∴ ( + )不可能为 1，矛盾！
∴ 不能
25. 观察探索：
4
◎( 1)( + 1) = 2 1
◎( 1)( 2 + + 1) = 3 1
◎( 1)( 3 + 2 + + 1) = 4 1
(1) 根据以上规律，则( 1)( 5 + 4 + 3 + 2 + + 1) = .
解析： 6 1
(2) 由此归纳出一般规律( 1)( + 1……+ + 1) = .
解析： +1 1
(3) 根据以上规律计算：
1 3100 + 399 +……+ 32 + 3 + 1
2 ( 2)2022 + ( 2)2021 +……+ ( 2)2 1
3 2100 + 299 +……+ 23 + 22 + 2
3101= 1 3
101 1
①解：原式 =
3 1 2
2023 2023
②解：原式= ( 2)2022 + ( 2)2021 +……+ ( 2)2 2+ 1 = ( 2) 1 = 2 +1
( 2) 1 3
101
③解：原式= (2100 + 299 + ……+ 23 + 22 + 2 + 1) 1 = 2 1 1 = 2101 2
2 1
26. 因式分解：
（1）4 2 4 575 （2）( 2 + 4)( 2 + + 3) + 10
解：原式= 4 2 4 + 1 576 解：设 2 + = ，
= (2 1)2 242 则原式= ( 4)( + 3) + 10 = 2 + 2
= (2 + 23)(2 25) = ( + 1)( 2)
= ( 2 + + 1)( 2 + 2)
= ( 2 + + 1)( + 2)( 1)
（3） 3 9 + 8 （4） 3 + 2 2 5 + 6
解：当 = 1时，原式为 0. 解：（参考答案选拆二次项与一次项）
因此原式有因式( 1). 原式= ( 3 + 2) + ( 2 + ) (6 + 6)
原式= ( 3 1) 9( 1) = 2( + 1) + ( + 1) 6( + 1)
= ( 1)( 2 + + 1) 9( 1) = ( 2 + 6)( + 1)
= ( 1)( 2 + 8) = ( + 3)( 2)( + 1)
27. 化简：
1
（1） 2 +
1 + 1 1 1 1 12 （2） + + + +3 +2 +5 +6 2+7 +12 2 1 2 4 +3 2 8 +15 2 12 +35
= 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
( +1)( +2) ( +2)( +3) ( +3)( +4) ( +1)( 1) ( 1)( 3) ( 3)( 5) ( 5)( 7)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 1 + 1 1 + 1 1 = ( + + + + )
+1 +2 +2 +3 +3 4 2 +1 1 1 3 3 5 5 7
3 = 1= ·
( +1) ( +7)
2+5 +4 2 ( +1)( +7)
= 4
2 6 +7
2 + 2 + 2 （3）
2 + 2 + 2 +
= ( )+( )+ ( )+( )+ ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= 1 + 1 + 1 1 1 1
= 0
5
3+ 3 +
28. 求证：
3
=
+( )3 +( )
证明：∵ 3 + 3 = ( + )( 2 + 2)，
3 + ( )3 = 3+( 3 3 2 + 3 2 3) = 2 3 3 2 + 3 2 3
∴
3+ 3 = ( + )(
2 + 2) = ( + )(
2 + 2) = + = + 3+( )3 2 3 3 2 +3 2 3 (2 )( 2 + 2) 2 +( )
29. 已知 4 7是 7 的倍数，证明8 2 + 10 3 2是 49 的倍数．
证明：由题意得8 2 + 10 3 2 = (2 + 3 )(4 ).
∵ 4 7是 7 的倍数
∴设 4 = 7 （ 为整数）
∴ = 4 7
∴ 2x + 3y = 2x + 12x 21n = 21x 21n = 7(2x 3n)
∴ 2x + 3y是 7的倍数
∴ 8 2 + 10 3 2是 49 的倍数
30. 求证：( 1)2( + 3)( + 5) + 12不是完全平方数.
证明：原式= ( + 1)( + 3)( 1)( + 5) + 12
= ( 2 + 4 + 3)( 2 + 4 5) + 12
= ( 2 + 4 )2 2( 2 + 4 ) 15 + 12 = ( 2 + 4 )2 2( 2 + 4 ) 3
= ( 2 + 4 + 1)( 2 + 4 3)
所以( 12)( + 3)( + 5) + 12不是完全平方数
31. 求证： 2 2 + 2 + + + 4不能因式分解.
证明：∵ 2 2 + 2 = ( )2
∴ 不妨设原式= ( + )( + )
∴原式= 2 2 + 2 + ( + ) ( + ) +
+ = 1
∴ ( + ) = 1
= 4
∴ + = ( + ) = 1，矛盾
∴原式不能因式分解
32. 已知 、 、 是△ 的三边长，且满足 4 + 2 2 = 4 + 2 2. 试判断△ 的形状.
解：等腰三角形或直角三角形
证明：∵ 4 + 2 2 = 4 + 2 2
∴ 4 + 2 2 4 2 2 = 0，即( 2 2)( 2+ 2 2) = 0
∴ 2 2 = 0或 2+ 2 2 = 0
∴△ 是等腰三角形（ = ）或直角三角形（ 2+ 2 = 2，勾股定理）
33. 配方是自招考试中常见的解题思路，请利用相关知识求出下列各式的最小值.
（1） 2 + 2 + 2
（2） 2 2 + 2
（3）2 2 + 3 2 4 12 + 20
（4）7 2 + 9 2 12 6 + 2
解：（1）原式= ( + 1)2 + 1，最小值为 1.
（2）原式= ( )2，最小值为 0.
（3）原式= 2( 1)2 + 3( 2)2 + 6，最小值为 6.
（4）原式= (2 3 )2 + 3( 1)2 1，最小值为 1.
6因式分解
选择题
一个正方形边长为. 若将边长增加6 ，则新的正方形的面积增加 （ ）
B.
D. 以上都不对
下列步骤从左至右属于因式分解的是 （ ）
如果多项式能写成两数和的平方，那么为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
若，，则代数式的值为 （ ）
24 B. 22 C. 1 D. 11
与的结果相同的式子是 （ ）
B. C. D.
若，，，则的值为 （ ）
60 B. 45 C. 50 D. 75
为任意整数，的值总是可以被整除，则的值为（ ）
11 B. 22 C. 11的倍数 D. 11或22
如果有两个因式和，则的值为（ ）
7 B. 8 C. 15 D. 21
已知为任意有理数，则的值一定（ ）
大于0 B. 等于0 C. 小于0 D.大于或等于0
为了书写简便，数学家欧拉就引进了求和符号. 例如：记
，.
已知 ，则的值为（ ）
B. C. D.
填空题
分解因式： ； .
分解因式： ； .
分解因式： .
由图形的转变，我们可以得到很多乘法公式。如图①所示，在一个边长为的正方形中，镶入一个面积为的正方形，通过剪裁，的到图②，则阴影部分的转变过程可转变为公式 .
如图③，在一个长为10，宽为6的长方形中嵌入两个边长分别为和的正方形，且重合部分恰好是个面积为1的正方形. 若，则的值为 .
已知，，，则的值为 .
已知一个三角形有一个角为且有两边长为，，则这个三角形的形状是 三角形.
若代数式含有因式，则 . 在实数的范围内将这个代数式因式分解，结果为 .
小明在实验室里检测出某种球形病毒的半径为米，则该种病毒的直径用科学记数法表示为 米.
若7，，，则的值为 .
已知，， 用””表示、、之间的关系 .
作答题
分解因式：
分解因式：
学习下列方法并解决问题：
分解因式：
解：
不妨设
问题1：因式分解
问题2: 能否分解为两个整系数的三次因式的积？并说明理由.
观察探索：
◎
◎
◎
根据以上规律，则 .
由此归纳出一般规律 .
根据以上规律计算：
因式分解：
（1） （2）
（4）
化简：
求证：
已知是7的倍数，求证是49的倍数．
求证：不是完全平方数.
求证：不能因式分解.
已知是的三边长，且满足. 试判断的形状.
配方是自招考试中常见的解题思路，请利用相关知识求出下列各式的最小值.
选择题答案
一个正方形边长为 . 若将边长增加6 ，则新的正方形的面积增加 （ ）
B.
D. 以上都不对
解析：C
新的正方形增加的面积为，
可化简为.
下列步骤从左至右属于因式分解的是 （ ）
解析：B
如果多项式能写成两数和的平方，那么为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
解析：D
，，则代数式的值为 （ ）
24 B. 22 C. 1 D. 11
解析：C
由题意得，
故
∵
∴
∴
与的结果相同的式子是 （ ）
B. C. D.
解析：B
原式.
若，，，则的值为 （ ）
60 B. 45 C. 50 D. 75
解析：A
.
当，，时，.
为任意整数，的值总是可以被整除，则的值为（ ）
11 B. 22 C. 11的倍数 D. 11或22
解析：A
其中有一个因式为11，故只能被11整除，选A.
如果有两个因式和，则的值为（ ）
7 B. 8 C. 15 D. 21
解析：D
设，
则，则得 ，
由上述的，由方程组解得，代入得. 故选D.
已知为任意有理数，则的值一定（ ）
大于0 B. 等于0 C. 小于0 D.大于或等于0
解析：D
又
∴的值一定大于或等于0，故选D.
为了书写简便，数学家欧拉就引进了求和符号. 例如：记
，.
已知 ，则的值为（ ）
B. C. D.
解析：D
由 得知有3个，则.
则，故选D.
填空题答案
分解因式： ； .
解析： ;
分解因式： ； .
解析： ;
分解因式： .
解析：
由图形的转变，我们可以得到很多乘法公式。如图①所示，在一个边长为的正方形中，镶入一个面积为的正方形，通过剪裁，的到图②，则阴影部分的转变过程可转变为公式 .
解析：
如图③，在一个长为10，宽为6的长方形中嵌入两个边长分别为和的正方形，且重合部分恰好是个面积为1的正方形. ，则的值为 .
解析：25
已知，，，则的值为 .
解析：
已知一个三角形有一个角为且有两边长为，，则这个三角形的形状是 三角形.
解析：等边
等腰三角形；有角等边三角形.
若代数式含有因式，则 .在实数的范围内将这个代数式因式分解，结果为 .
解析：5；
令，得，，
，
小明在实验室里检测出某种球形病毒的半径为米，则该种病毒的直径用科学记数法表示为 米.
解析：
若7，，，则的值为 .
解析：3
因为7，，，，
所以，得
所以，所以
已知，， 用””表示、、之间的关系 .
解析：
作答题答案
分解因式：
解：
分解因式：
解：
学习下列方法并解决问题：
分解因式：
解：
不妨设
问题1：因式分解
解：
不妨设原式
问题2: 能否分解为两个整系数的三次因式的积？并说明理由.
解：
不妨设原式
不可能为1，矛盾！
观察探索：
◎
◎
◎
根据以上规律，则 .
解析：
由此归纳出一般规律 .
解析：
根据以上规律计算：
①解：原式
②解：原式
③解：原式
因式分解：
（1） （2）
解：原式
解：设，
则原式
（4）
解：当时，原式为.
因此原式有因式.
原式
解：（参考答案选拆二次项与一次项）
原式
化简：
求证：
证明：，
已知是7的倍数，证明是49的倍数．
证明：由题意得.
是7的倍数
设（为整数）
是7的倍数
是49的倍数
求证：不是完全平方数.
证明：原式
所以不是完全平方数
求证：不能因式分解.
证明：
妨设原式
原式
，矛盾
原式不能因式分解
已知是的三边长，且满足. 试判断的形状.
解：等腰三角形或直角三角形
证明：
，即
或
是等腰三角形（）或直角三角形（，勾股定理）
配方是自招考试中常见的解题思路，请利用相关知识求出下列各式的最小值.
解：（1）原式，最小值为1.
（2）原式，最小值为0.
（3）原式，最小值为6.
（4）原式，最小值为1.
