河北省保定市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段测试数学试卷（含解析）

保定市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知全集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
2．若关于x的不等式成立的充分条件是,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
4．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A.-4 B.4 C.5 D.8
5．已知函数则下列描述中正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称
C.函数有最小值,无最大值 D.函数的图象是两条射线
6．已知函数是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知函数,若实数a,b满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
8．已知定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知关于x的不等式的解集为M,则下列说法错误的是( )
A.,则
B.若,则关于x的不等式的解集为
C.若为常数,且,则的最小值为
D.若,的解集M一定不为
10．已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则( )
A. B.
C.函数为减函数 D.函数的图象关于点对称
11．若,则( )
A.的最小值是 B.的最小值是
C.的最大值是0 D.的最大值是
三、填空题
12．已知,且对于任意的实数a,b有,又,则______．
13．已知,且,函数,若存在最小值,则实数a的取值范围为______________．
14．函数,给出下列四个结论：
①的值域是；
②,且,使得；
③任意,且,都有；
④规定,,其中,则．
其中,所有正确结论的序号是______________．
四、解答题
15．已知函数的定义域为集合A,集合．
（1）求；
（2）设集合,若,求实数a的取值范围．
16．已知函数,．
（1）当时,求函数的值域；
（2）设函数,若对任意,存在,使得,求实数m的取值范围．
17．新能源汽车是低碳生活必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召,2020年积极引进新能源汽车生产设备,通过分析,全年需要投入固定成本2000万元.每生产x（百辆）新能源汽车,需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车售价5万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
（2）2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.
18．已知定义在R上的函数满足：．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若,求；
（3）若,,判断并证明的单调性．
19．已知函数,且
（1）求的解析式；
（2）设函数,若方程有个不相等的实数解,,,求的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：由图可知图中阴影部分所表示的集合为,
由于全集,集合,,
故,则,
故选：C.
2．答案：D
解析：依题意,,解不等式,得,
由不等式成立的充分条件是,得,
于是,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
3．答案：C
解析：命题“,”的否定是:,.
故选：C.
4．答案：C
解析：由的解集为，
则，且m，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故，设，
函数在上单调递增，
所以
所以的最小值为5.
故选：C.
5．答案：B
解析：函数的图象如下图所示：
由图可得：函数的图象无对称轴,故A选项错误；
函数的图象关于点对称,故B选项正确；
函数有最小值,有最大值,故C选项错误；
函数的图象是两条射线和一条线段,故D选项错误.
故选：B．
6．答案：D
解析：因为函数是R上的增函数,
所以,解得,
即a的取值范围是.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为,所以,即有,
所以关于点中心对称,又,
所以,即,
所以,
当且仅当,即时取等号,
故选：B.
8．答案：A
解析：在R上的奇函数满足,则,
于是,即函数的周期为4,
而,则,,又当时,,
所以.
故选：A
9．答案：AC
解析：由题意,关于的不等式的解集为,
对于A中,若,即不等式的解集为空集,
根据二次函数的性质,则满足,所以A错误;
对于B中,若,可得和是方程 两个实根,且,
可得,解得,
则不等式,可化为,
即,解得或,
即不等式的解集为,所以B正确;
对于C中,若,为常数,可得是唯一的实根,且,
则满足,解得,所以,
令,因为且,可得,且,
则,
当且仅当时,即时,即时,等号成立,
所以的最大值为,所以C错误;
对于D中,当时,函数表示开口向下的抛物线,
所以当,的解集M一定不为,所以D正确.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：若,则,,,即.
对于A,,当且仅当,
即,时,等号成立,可得,故A错误；
对于B,由,可得,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,故B正确；
对于C,由,可得,
所以,
当且仅当,时,等号成立,故C正确；
对于D,由,可得,可知,
故,
令,可知,,
故,
当且仅当,即,时,等号成立,故的最大值是,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：2020
解析：满足对任意的实数a,b都有,
令得,,变形可得,
则（共有1010项）
．
故答案为：2020．
13．答案：
解析：由题意,令,,,
当时,在上单调递减,在上单调递减,
则在上的值域为,
因为存在最小值,故需,解得,
结合,此时；
当时,在上单调递减,在上单调递增,
则在上的值域为,
因为存在最小值,故需,即,解得,
这与矛盾；
当时,,此时,无最小值；
当时,在上单调递增,在上单调递增,
则在上的值域为,在上的值域为,
此时无最小值；
综合以上可知实数a取值范围为,
故答案为：.
14．答案：①④
解析：对于①：因为的定义域为R,关于原点对称,
且,可知为奇函数,
当时,,可知函数在内单调递增,
且,可得,则,
结合为奇函数,可知：当时,函数在内单调递增,且,
所以的值域是,故①正确；
对于②：由①可知： 可知函数是R上增函数,
所以对任意,且,均有,故②错误；
对于③：当任意,且时,
令,,,
,显然,
因此不成立,故③不正确；
对于④：当时,,
可得,,
,,
以此类推可得,因此,故④正确；
故答案为：①④.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得或,
或,
,
由可得,
,
；
（2）,
,
,,
,解得,
即实数a的取值范围．
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,
令,因为,则,
所以,其中,
则时,,时,,即,
所以的值域为；
（2）由,,
设,则函数在上单调递减,在上单调递增,
而函数为增函数,所以函数在上单调递减,在上单调递增,故,
因为对任意,存在,使得,则,
所以,在上恒成立,
令,因为,则,即在上恒成立,
则在上恒成立,因为函数在上单调递增,
故,所以,即．
17．答案：（1）
（2）年产量为90百辆时利润最大,最大利润为2820万元.
解析：（1）每辆车售价5万元,年产量（百辆）时销售收入为万元,
总成本为,
所以
.
所以年利润.
（2）由（1）当时,
（百辆）时（万元）,
当时,
当且仅当（百辆）时,等号成立,
因为2820万元万元,
所以年产量90百辆时利润最大,最大利润为2820万元.
18．答案：（1）奇函数,证明见解析
（2）4
（3）在R上单调递增,证明见解析
解析：（1）是奇函数,证明如下：
因为,令,得到,
令,得到,即,所以是奇函数.
（2）令,得到,由（1）知是奇函数,
所以.
（3）在R上单调递增,证明如下：
在R上任取,令,
则
,
又因为,,而,所以,
即,得到,所以在R上单调递增.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题有时,解得或,
因为,所以,
故；
（2）由（1）,则方程为
设,当且仅当,即时等号成立,
可得
则原方程可化为,
令,
因为,故函数为R上的偶函数,
设,
,
,
,即函数在上单调递增,
由偶函数得在上单调递减,最小值为
故原条件等价于方程在有两个不相等的实数根,
即,解得,
不妨设的两根为,,的两根为,由为R上的偶函数,
可得,即,,
所以.