重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（含解析）

重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若函数，则( )
A.0 B. C. D.
2．若函数在点处的切线与垂直,则( )
A.2 B.0 C. D.
3．在等差数列中,,,则( )
A.4 B.5 C.6 D.8
4．函数在上的大致图象为( )
A. B. C. D.
5．五一小长假前夕,甲,乙,丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩,其中甲到过A景点,所以甲不选A景点,则不同的选法有( )
A.60 B.48 C.54 D.64
6．已知双曲线的焦距为,则C的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
7．若函数在单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知函数若对任意的,恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设从东,西,南,北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,现要从一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则下列结论正确的是( )
A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法
C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法
10．已知函数在R上可导且,其导函数满足,对于函数,下列结论正确的是( )
A.函数在上为增函数 B.是函数的极小值点
C.函数必有2个零点 D.
11．已知函数,其中,则( ).
A.不等式对恒成立
B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点,则的取值范围是
C.方程恰有3个实根
D.若关于x的不等式恰有1个负整数解,则a的取值范围为
三、填空题
12．已知数列,,b,4成等差数列且,c,成等比数列,则的值是______.
13．某厂生产某种产品件的总成本(万元),已知产品单价的平方与产品件数成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为______件时,总利润最大.
14．如图,对于曲线G所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角a,使得对于曲线G上的任意两个不同的点A,B,恒有成立,则称角为曲线G的相对于点O的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线:(其中e是自然对数的底数),O为坐标原点,曲线C的相对于点O的“确界角”为,则______.
四、解答题
15．已知等比数列的公比为整数,且,,数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的通项公式.
16．已知函数.
（1）若,曲线在点处的切线斜率为1,求该切线的方程;
（2）讨论的单调性.
17．已知椭圆的右顶点为A,左焦点为F,椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆W过点.记坐标原点为O,圆E过O,A两点且与直线相交于两个不同的点P,Q(P,Q在第一象限,且P在Q的上方),,直线QA与椭圆W相交于另一个点B.
（1）求椭圆W的方程;
（2）求的面积.
18．已知函数，m是大于0的常数，记曲线在点处的切线为l，l在x轴上的截距为，.
（1）若函数，，求的单调区间；
（2）当时，求的取值范围.
19．柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,其形式为:,等号成立条件为或,,,2,3,…,n至少有一方全为0.柯西不等式用处很广,高中阶段常用来证明一些距离最值问题,还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.数列满足,.
（1）证明数列为等差数列.
（2）证明:;
（3）证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：，
所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：,,
即函数在点处的切线的斜率是,
直线的斜率是,
所以,解得.
点在函数的图象上,则,
,所以D选项是正确的.
3．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,
,,,
所以.
故选:C
4．答案：A
解析：依题意,,即函数为奇函数,选项C,D不满足;
当时,,而,即,选项B不满足,选项A符合要求.
故选:A
5．答案：B
解析：因甲不选A景点,应该分步完成:第一步,先考虑甲在B,C,D三个景点中任选一个,有3种选法;
第二步,再考虑乙和丙,从A,B,C,D中分别任选一个景点,有中选法.
由分步乘法计数原理,可得不同选法有:种.
故选:B.
6．答案：C
解析：因为焦距为,故,故,故
故渐近线方程为,
故选:C.
7．答案：C
解析：因为,所以,
因为在单调递减,所以,
即,
令,所以在上恒成立,
令,,
故,即,解得,
故选:C.
8．答案：A
解析：由可得,当时,显然成立;
当时,由可得.
设,则,.
设,则,当时,,当时,,
故的最小值为,故,即,当且仅当时等号成立.
故,当且仅当,即时等号成立,
又满足,故,即,
故实数a的取值范围为.
故选:A
9．答案：ABD
解析：
10．答案：BD
解析：因为,所以,
因为导函数满足,
当时,,则,所以是增函数;
当时,,则,所以是减函数;
故A错误,B正确;
又,则,
当时,没有零点;
当时,有一个零点;
当时,可能有1个或2个零点,故C错误;
因为函数在上为增函数,
所以,即,整理得,故D正确;
故选:BD
11．答案：AD
解析：对于选项A,,
当或时,,所以在,上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
所以在出取得极小值,,
在处取得极大值,,
而时,恒有成立,
所以的最小值是,即,对恒成立,故A正确;
对于B选项,若函数与直线有且只有两个交点,
由A选项分析,函数的大致图象如下,
由图知,当或时,
函数与直线有且只有两个交点,故B错误;
对于C选项,由,得,解得,
令,和,而,
由图象知,和分别有两
综上,方程共有4个根,C错误;
对于D选项,直线过原点,且,,
记,,
易判断,,
不等式恰有1个负整数解,
即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数,
由图可得,即,故D正确.
故选:AD
12．答案：
解析：
13．答案：25
解析：设产品单价为m,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,所以,(其中k为非零常数),
又生产100件这样的产品单价为50万元,所以,
故,所以,
记生产x件产品时,总利润为,
所以,
则,
由,得;由,得,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
因此当时,取最大值,即产量定为25件时,总利润最大.
故答案为:25
14．答案：0
解析：当时,过原点作的切线,
设切点,,,
则切线方程为,
又切线过点,所以,
所以.
设,,则为增函数,且,所以,,
当时,过原点作的切线,
设切点,,,
则切线为,又切线过点,
所以,又,,,
因为,所以两切线垂直,所以,.
故答案为:0.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意,设等比数列的公比为q,
则,,
,
,
化简整理,得,
解得(舍去),或,
,.
（2）由题意,设,
则数列的前项和,
则当时,,
当时,
,
当时,也满足上式,
,,
,,
,.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）若,则,,
,
所以曲线在点处的切线斜率为,即,
解得,
所以,
所以切线的方程为,即.
（2）函数,,
,
令,,则为开口向上,对称轴为,,
又,
当,即时,在上单调递增,
所以,
所以在上,单调递增,
当,即时,
①若,即时,,
所以在上,单调递增,
②若,即时,有两个根,,
若,即时,,
所以在上,,单调递增,
在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
综上所述,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题有,又,所以,
所以椭圆W的方程为,
又点在椭圆W上,所以,
解得,
所以椭圆W的方程为.
（2）设,,,,,
因为,所以,①
圆E过点O与A且与直线相交于两个不同的点P,Q,则圆心E的坐标为,
又,所以,
解得,②
(另法一:设直线与x轴交于点G,则有,
又,,所以,②
另法二:由知,,,②)
由①②解得,,
所以,,
所以直线QA的方程为,
与椭圆方程联立消去y得,
解得B点的横坐标,
所以,
又O到直线QA的距离,
所以的面积.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，由，得，由，得，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为，增区间为.
（2）函数，求导得，切线l方程为：，
令，得，由，得，
又，，，又由，得，
即，令，，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在区间单调递增，在区间单调递减，
而，则由，得，
所以的取值范围是.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）,.故是以为首项,为公差的等差数列.
（2）证明:当时,构造函数,则,函数在上单调减
,;
所以令得,即,
,于是,
从而
（3）证明:欲证
即证(左右同时乘2)
即证.
由柯西不等式得:
令,即.
得到:.
故原命题只需证.
即证:.
当从n增加到时左侧增加量为,右侧增加量为.
即只需证时不等式成立且即可.
时,成立.
由切线不等式:(需证)
替换x:,.
替换x:.
替换x:.
即.
所以.证毕.