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沪科版2023-2024学年八年级（下）期末复习检测A卷
考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．关于x的一元二次方程 有实数根，则整数k的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）
A．本次调查的总人数是60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是
D．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
7．如图，在中，，，．D是的中点，E为射线上一动点，过点C作于点P，交于点F，则长度的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
10．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是 同学．
12．某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 ．
13．如图，中，，，，在线段上任意取一点，以为斜边向下作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为
．
14．如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ．
15．若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ．
16．已知，，则的值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．计算
(1)；
(2)．
20．近年来，大唐不夜城已经成为西安的新名片，这里精彩的演出让游客流连忘返，其中“不倒翁小姐姐”、“盛唐密盒”、“旋转的胡璇”、“华灯下的李白”迅速火出圈，成为游客心中的“网红天团”．格格和走走也都很喜欢网红天团，就随机抽取了所在学校部分同学，调查他们最喜欢的表演类型，要求每位被抽取的同学必须从“A（不倒翁小姐姐），B（盛唐密盒），C（旋转的胡璇），D（华灯下的李白）”四个类型中选择一项，格格将收集的数据整理后，走走绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)补全条形统计图；在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为________；
(2)被调查学生中，“最喜欢的表演类型”的“众数”为________；
(3)若该校共有2000名学生，估计该校最喜欢“不倒翁小姐姐”的学生人数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为件时，产品售价为 元/件；
(2)求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围；
(3)该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？
22．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
23．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
25．[基础巩固]
（1）如图所示，在正方形中，，分别为，上的点，交点为．求证：．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结．若为的中点，．求的值．
[拓展提高]
（3）在正方形中，为上一点，连接，，为上的点（不与，重合），在左侧，连接，作中点，连接，，．若为等腰直角三角形，，，，请直接写出的长．中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版2023-2024学年八年级（下）期末复习检测A卷考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，由平行四边形的性质得，，从而有，再由平分线的定义求出即可，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：．
2．已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：由A、，
∴，故选项A符合题意；
由B、，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
由C、，设设a、b、c的边长分别为，
∵，
∴是直角三角形，故选项C不符合题意；
由D、，则
∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A
3．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程．
【详解】解：根据题意，得．
故选：D．
4．关于x的一元二次方程 有实数根，则整数k的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据一元二次方程根的判别式可知，再求出解集，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
解得，
所以k的最大值为6．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算和除法法则对B、D选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
【详解】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）
A．本次调查的总人数是60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是
D．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
【答案】C
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，掌握相关定义是解题的关键．
根据乘车人数以及百分比求出总人数，据此可判断选项A；用总人数分别减去其它两种上学方式的人数，即可得出骑车上学的人数，据此可得判断选项B；根据圆心角百分比计算，即可判断选项C；用样本估计总体的思想解决问题，即可判断选项D．
【详解】解：A、本次调查的总人数为人，故选项正确，不符合题意；
B、调查的学生中骑车上学的有人，故选项正确，不符合题意；
C、扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是：，故选项错误，符合题意．
D、若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有人，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在中，，，．D是的中点，E为射线上一动点，过点C作于点P，交于点F，则长度的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
取的中点O，连接．根据直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线定理得出，根据三角形三边关系即可得出，即可求解．
【详解】如图，取的中点O，连接．
∵，点O是的中点，
∴，
∵点O是的中点，点D是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
8．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可．
【详解】解：，，，
，
设，则，
由折叠的性质可得，，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选B．
9．已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
解得，
∴，
∴，
解得．
故选：B．
10．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，且，
∴，，
∴原式
，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是 同学．
【答案】丁
【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解．
【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
成绩最稳定的同学是丁，
故答案为：丁．
12．某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设平均每月利润增长的百分率为x，则2月份利润为万元，3月份的利润为万元，然后列方程，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴平均每月利润增长的百分率为．
故答案为：．
13．如图，中，，，，在线段上任意取一点，以为斜边向下作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为
．
【答案】
【分析】如图，过点作于，作于，作射线，证明，再证明四边形是正方形，可知点在的平分线上，则当时，的长最小，设，则，最后由勾股定理列方程可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，作于，作射线，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
矩形是正方形，
，
点在的平分线上，
当时，的长最小，
，
设，则，
，
由勾股定理得：，
，
，
，（舍，
，，
，
则的最小值为．
故答案为：．
14．如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ．
【答案】/3厘米
【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长．
【详解】解：∵四边形是长方形，
，，
根据题意得：，
，，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，
即．
故答案为：．
15．若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的关键．
根据分式有意义的情况得到，化简分式后代入即可得到的取值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：，化简得：，
∵，即，
∴，解得：，
∵有实数根，
∴，
解得：，
∴综上且，
故答案为：且．
16．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将因式分解为，把已知条件整体代入，运用二次根式的运算法则即可求解．熟练掌握因式分解和二次根式的计算法则是解题的关键．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得到，，，进而证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，,
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
19．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）
20．近年来，大唐不夜城已经成为西安的新名片，这里精彩的演出让游客流连忘返，其中“不倒翁小姐姐”、“盛唐密盒”、“旋转的胡璇”、“华灯下的李白”迅速火出圈，成为游客心中的“网红天团”．格格和走走也都很喜欢网红天团，就随机抽取了所在学校部分同学，调查他们最喜欢的表演类型，要求每位被抽取的同学必须从“A（不倒翁小姐姐），B（盛唐密盒），C（旋转的胡璇），D（华灯下的李白）”四个类型中选择一项，格格将收集的数据整理后，走走绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)补全条形统计图；在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为________；
(2)被调查学生中，“最喜欢的表演类型”的“众数”为________；
(3)若该校共有2000名学生，估计该校最喜欢“不倒翁小姐姐”的学生人数．
【答案】(1)见解析，
(2)B（盛唐密盒）
(3)600名
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，
（1）用的人数和除以这两项所占的比例，求出总人数，进而求出的人数，补全条形图，用所占的比例求出A部分所占圆心角的度数即可；
（2）根据众数的定义，进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴组人数为：；组人数为：，
补全条形图如图：
A部分所占圆心角的度数为；
故答案为：；
（2）由条形图可知：B（盛唐密盒）的人数最多，
故众数为：B（盛唐密盒）；
故答案为：B（盛唐密盒）．
（3）（名），
答：估计该校最喜欢“不倒翁小姐姐”的学生有600名．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为件时，产品售价为 元/件；
(2)求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围；
(3)该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？
【答案】(1)
(2)（，x为整数）．
(3)该产品的售价每件应定为元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，
（1）利用售价，即可求出结论；
（2）利用日销售量，即可找出日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式；
（3）利用电商每天销售该产品获得的利润=每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：（元/件），
∴当销售量为件时，产品售价为元/件．
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵该产品的进货价为元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/件，
∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为元．
22．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米
(2)小鸟下降的距离为米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
23．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】(1)5
(2)时，；时，；
(3)时，；时，
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
（3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
【详解】（1）解：在中，，，，
；
故答案为：．
（2）解：当点P在上，
（秒）
时，；
当点P在上，
（秒）
时，；
（3）解：设点C到直线的距离为h，
，
，
当时，
，
；
当时，
，，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
【答案】(1)
(2)当时，多项式有最大值，最大值是7
(3)，
【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式．
（1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可；
（2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可；
（3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
，
当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，
，
，
，，
解得，．
25．[基础巩固]
（1）如图所示，在正方形中，，分别为，上的点，交点为．求证：．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结．若为的中点，．求的值．
[拓展提高]
（3）在正方形中，为上一点，连接，，为上的点（不与，重合），在左侧，连接，作中点，连接，，．若为等腰直角三角形，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）延长交的延长线于点，证明得出，则，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，在中勾股定理求得，根据等面积法求得，进而求得，即可求解；
（3）过点作，交于点，交于点，过点作于点，在中，勾股定理求得，进而求得，延长至使得，连接，得出四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，进而求得，证明，根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵
∴
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交的延长线于点，
∵为的中点，
由（1）可得，则
即
又∵，
∴
∴，则，
∵
∴
∵
∴，
在中，，
∴，则
∵
∴
∴
∴；
（3）解：如图所示，过点作，交于点，交于点，过点作于点，
∵为中点
∴，
∵为等腰直角三角形， ，
∴，
在中，，
∴，，
延长至使得，连接，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
又∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．沪科版2023-2024学年八年级（下）期末复习检测B卷
考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列数据中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、-是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、=2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、=2是无理数，故本选项符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2．下列哪个点不在函数的图象上（ ）
A．（-5，10） B．（，-1） C．（1，2） D．（-1，2）
【答案】C
【分析】把四个选项中点的坐标逐个代入函数解析式进行判断即可．
【详解】A．当x=-5时，y=10，故点(-5，10)在直线的图象上；
B．当x=时，y=-1，故点(，-1)在直线的图象上；
C．当x=1时，y=-2，故点(1，2)不在直线的图象上；
D．当x=-1时，y=2，故点(-1，2)在直线的图象上；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可．
【详解】解：
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
不是直角三角形，
所以是直角三角形，但不是直角三角形，
故选：D．
4．下列运算中，错误的有（ ）
①；②＝±4；③＝﹣2；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简分析得出答案．
【详解】解：①，故此选项错误，符合题意；
②＝4，故此选项错误，符合题意；
③无意义，故此选项错误，符合题意；
④故此选项错误，符合题意；
故选D
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝，b＝，c＝ B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝，b＝，c＝2
【答案】D
【分析】选项A、D根据勾股定理逆定理解题；选项B无法判断是否是直角三角形；选项C根据三角形内角和180°解题．
【详解】A. ，故A错误；
B. a＝b，∠C＝45°，不是直角三角形，故B错误；
C.最大角∠C＝180°，不是直角三角形，故C错误；
D. 是直角三角形，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断．
【详解】解：A、，不能与合并，故本选项错误；
B、，不能与合并，故本选项错误；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，能与合并，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
7．某同学对一组数据2，3，4，5，5，7进行统计分析，误把3看成了8，则这组数据的计算结果不受影响的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
【答案】D
【分析】根据平均数公式、中位数、极差和众数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．原平均数为（2＋3＋4＋5＋5＋7）÷6=
把3看成了8后的平均数为（2＋8＋4＋5＋5＋7）÷6=
而≠，即这组数据的平均数受影响，故本选项不符合题意；
B．原中位数为（4＋5）÷2=4.5，把3看成了8后的中位数为（5＋5）÷2=5
而≠5，即这组数据的中位数受影响，故本选项不符合题意；
C．原极差为7－2=5，把3看成了8后的极差为8－2=6
而5≠6，即这组数据的极差受影响，故本选项不符合题意；
D． 原众数为5，把3看成了8后的众数为5
即这组数据的众数不受影响，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是求一组数据的平均数、众数、中位数和极差，掌握平均数公式、中位数、极差和众数的定义是解决此题的关键．
8．已知，化简，的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【详解】∵（a-）2+4=a2+2+=（a+）2，（a+）2-4=a2-2+=（a-）2，
∴原式=；
∵-1＜a＜0，
∴a+<0，a-=>0；
∴原式==-a-+（a-）=-，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．
9．如图， 在中，， D为的中点， ， ，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线的性质得出得出四边形是菱形，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴
∵D为的中点，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
∴菱形的周长为，
故选：D．
10．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了千米
【答案】D
【分析】根据函数图像获取相关信息逐项判断即可解答．
【详解】解：A．前10分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙的速度慢，故本选项不符合题意；
B．甲40分钟走了千米，则其平均速度为：千米/分钟，故本选项不符合题意；
C．经过30分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙多走了千米，故本选项不符合题意；
D．前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了千米，，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．长方形的周长为100，则长方形的长y与宽x之间的函数关系式是 ．
【答案】/
【分析】根据题意，可知，再用x表示y即可．
【详解】解：由长方形的周长为100，则长方形的长y与宽x，
∴，
即，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列函数关系式，解答过程中找到长方形的长y与宽x与周长100的关系式解题关键．
12．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：=10，=0.02；机床乙：=10，=0.06，由此可知： （填甲或乙）机床性能好.
【答案】甲．
【详解】试题分析：根据方差的意义可知，方差越小，稳定性越好，由此即可求出答案．
试题解析：因为甲的方差小于乙的方差，甲的稳定性好，所以甲机床的性能好．
故答案为甲．
考点：1.方差；2.算术平均数．
13．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为 ．
【答案】20°
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE中求得．
【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=125°，
∴∠BEF=∠DEF=55°，
∴∠BED=110°，
∴∠AEB=180°-∠BED=70°
在Rt△ABE中，可得∠ABE=90°-∠AEB=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
14．若，则yx= .
【答案】9或
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知x的值，进一步得到y的值，再代入计算即可求解．
【详解】∵，
∴
∴
∴或
故答案为9或.
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于被开方数大于等于0.
15．已知在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点B的坐标为，则的周长为 ．
【答案】20
【分析】过点作轴于点，根据平行四边形的性质和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得解．
【详解】解：过点作轴于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
16．如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为 秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】分析：(1)如图,当B'与AD交于点E,作于F,根据轴对称的性质可以得出ME=MB=2t,由勾股定理就可以表示出EF,就可以表示出AE,再由勾股定理就可以求出t的值;(2)根据三角形的面积公式,分情况讨论,当和时由求分段函数的方法就可以求出结论.
详解：(1)如图,当B'与AD交于点E,作FM⊥AD于F,
∴∠DFM=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB ,AD=BC , ∠D=∠C=90°.
∴四边形DCMF是矩形,
∴CD=MF.
∵△MNB与△MNE关于MN对称,
∴△MNB≌△MNE,
∴ME=MB,NE=BN,.
∵BN=t,BM=2t,
∴EN=t,ME=2T.
∵AB=6,BC=8,
∴CD=MF=6,CB=DA=8,AN=6-t
在和中,由勾股定理,得
,,
,
,
.
,.
故答案为:;
(2)与关于MN对称,
.
,
.
,
.
,
.
∵四边形ABCD是矩形,
,
.
,,
,.
,,
,
,,
,
.
∴当时,
,
时,.
当时,.
时,.
.
∴最大值为.
点睛：本题考查了的矩形的性质的运用,勾股定理的运用,轴对称的性质的运用,二次函数的解析式的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出二次函数的解析式是关键.
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：（1）
（2）
【答案】(1)
（2）
【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可；
（2）首先化简二次根式，进而合并，利用二次根式除法运算法则求出即可．
【详解】解：（1），
=，
=
（2），
=，
=，
=
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得，
即或，
解得，．
（2）解：，
移项得，
因式分解得，
即或，
解得，．
19．某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
销售额（万元） 3 4 5 6 7 8 10
销售员人数 1 3 2 1 1 1 1
(1)求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额．
(2)如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有多少人？若以销售额的众数作定额任务指标呢？
【答案】(1)中位数为5；众数为4；平均数为5.6
(2)4；1
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的概念求解即可；
（2）根据（1）中求出的中位数和众数求解即可．
【详解】（1）解：把销售额从小到大排列为：3，4，4，4，5，5，6，7，8，10，
∴中位数为，
∵4出现的次数最多，
∴众数为4，
∴平均数为；
（2）∵中位数为5
∴如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，
由表格可得，没有完成定额任务的销售员有4人；
∵众数为4，
∴如果以销售额的众数作为每月定额任务指标，
由表格可得，没有完成定额任务的销售员有1人．
【点睛】此题考查了中位数、众数和平均数的概念，解题的关键是熟练掌握中位数、众数和平均数的求解方法．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知：如图，在中，点分别在上，平分．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的条件，使四边形为菱形．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明四边形为菱形．
【答案】(1)①或③；
(2)见解析；
【分析】（1）根据菱形的判定定理即可解答；
（2）添加条件①根据，即可得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到即可解答；
添加条件③根据角平分线的定义得到，再根据得到，进而得到最后利用得到四边形是平行四边形即可解答．
【详解】（1）解：添加的条件是或，
故答案为①或③；
（2）证明：添加条件为①，理由如下：
∵在中，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
证明：添加条件为③，理由如下：
∵在中，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍．店主嘱咐，这些科普图书以元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于元且不高于元．贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量（本）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，对应如下表：
销售单价元
销售数量本
(1)求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
(2)若某天销售科普图书获得的利润为元，则该天销售科普图书的数量为多少本？
【答案】(1)；
(2)本．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设该天科普图书的销售单价为元，根据利润为，列出方程，解方程即可求解；
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数和一元二次方程的应用，依据题意，正确求出函数关系式和列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
把；分别代入，
得，
解得，
与的函数关系式为；
（2）解：设该天科普图书的销售单价为元，
依题意得，，
解得或（舍去），
（本），
该天销售科普图书的数量为本．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由：
(2)若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
【答案】(1)DE⊥DP，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，可得∠B＝∠EDB，根据∠A＋∠B＝90°求出∠PDE＝90°，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4 x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：DE⊥DP，
理由：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180° 90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4 x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴，
∵PA＝1，
∴PD＝1，PC＝2，
∴
解得：x＝，
即DE＝．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，
(1)t取何值时，四边形为矩形？
(2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)时，四边形为矩形
(2)或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）当时，四边形为矩形，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，四边形为矩形，则有，
解得，
答：时，四边形为矩形．
（2）解：①当点F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
②当F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
25．正方形中，点是对角线的中点，点是所在直线上的一个动点，于，于．
(1)当点与点重合时如图，猜测与的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点在线段上不与点、、重合时如图，探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点在的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)图见解析，成立，A且
【分析】（1）连接，则必过点，延长交于，由于是中点，易证得，则，且，由此可证得．
（2）方法与类似，延长交于，延长交于，易证得四边形是正方形，可证得，则，；而，且与互余，故，由此可证得，所以（1）题的结论仍然成立．
（3）延长交于H，证明四边形是正方形，从而得到，证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：，，理由如下：
连接，则必过点，延长交于；
，，且四边形是正方形，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，且，即，
故A，且．
（2）（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长交于，延长交于；
，，，且，
四边形是正方形，
，；
又，，且，，
，
，
，，
，，
，即，
故A，且．
（3）（1）的结论仍然成立；
如图，延长交于H，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
综上：故A，且．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．沪科版2023-2024学年八年级（下）期末复习检测B卷
考试范围：下册全部内容，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列数据中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
2．下列哪个点不在函数的图象上（ ）
A．（-5，10） B．（，-1） C．（1，2） D．（-1，2）
3．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中，错误的有（ ）
①；②＝±4；③＝﹣2；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝，b＝，c＝ B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝，b＝，c＝2
6．下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．某同学对一组数据2，3，4，5，5，7进行统计分析，误把3看成了8，则这组数据的计算结果不受影响的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数
8．已知，化简，的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 在中，， D为的中点， ， ，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少 D．经过20分钟，甲、乙都走了千米
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．长方形的周长为100，则长方形的长y与宽x之间的函数关系式是 ．
12．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：=10，=0.02；机床乙：=10，=0.06，由此可知： （填甲或乙）机床性能好.
13．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为 ．
14．若，则yx= .
15．已知在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点B的坐标为，则的周长为 ．
16．如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为 秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：（1）
（2）
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
销售额（万元） 3 4 5 6 7 8 10
销售员人数 1 3 2 1 1 1 1
(1)求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额．
(2)如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有多少人？若以销售额的众数作定额任务指标呢？
20．先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知：如图，在中，点分别在上，平分．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的条件，使四边形为菱形．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明四边形为菱形．
22．在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍．店主嘱咐，这些科普图书以元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于元且不高于元．贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量（本）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，对应如下表：
销售单价元
销售数量本
(1)求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
(2)若某天销售科普图书获得的利润为元，则该天销售科普图书的数量为多少本？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由：
(2)若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，
(1)t取何值时，四边形为矩形？
(2)M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
25．正方形中，点是对角线的中点，点是所在直线上的一个动点，于，于．
(1)当点与点重合时如图，猜测与的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点在线段上不与点、、重合时如图，探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点在的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
