广东省佛山市南海区南海中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段考试数学试题（PDF版无答案）

南海中学 2023-2024 学年第二学期高一年级 数学科
第二次阶段考
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以
上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. 下列函数中，周期为 且为偶函数的是（ ）
A． y cos x B． y sin 2x

C． y sin 2x D． y tan x
2
2. 如图，一个水平放置的三角形 ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形 A B O ，若 B 'A ' B 'O ' 2，
那么原三角形 ABO的周长是（ ）
A．4 2 2 B． 2 2 2 2 3
C． 4 2 4 D． 4 2 8
3. 在 ABC中， A,B,C的对边分别是 a,b,c，若 a2 b2 c2，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形

4. 已知向量 e1 ，e2 是平面上两个不共线的单位向量，且 AB e1 2e2 ，BC 3e1 2e2 ，AD 3e1 6e2 ，
则（ ）
A． A、B、C三点共线 B． A、B、D三点共线
C． A、C、D三点共线 D． B、C、D三点共线
5. 已知 ， 为两个不同的平面，m，n， l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 // ，且m ，则m // B．若 l，且m//l，则m //
C．若m // ， n// ，则m//n D．若 l //m， l //n，且m，n ，则 l //
6. 如图所示，位于 A处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘
渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，相距 20
海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB前往B处救援，则 cos
等于（ ）
21 21 3 21 21
A． B． C． D．
7 14 14 28
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7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作
一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 AB 2,P为弧

AC（含端点）上的一点，则 PB PC的范围为（ ）
A． 0,2 B． 2,0 C． 1, 3 D． 3, 1
5 2
8.如图所示，在边长为 1 的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆
2
锥的高为（ ）
A． 13 B． 15 C． 17 D． 19
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．

9.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用

在行李包上的两个拉力分别为 F1,F2 ，且 F1 F2 ,F1与F2 的夹角为 ，下列结论中正确的是（ ）
1
A． 越小越省力， 越大越费力 B． | F1 |的最小值为 |G |2
2π F G π

C．当 时， 1 D．当 时， F1 G3 2
10.已知函数 f (x) 3 sin x cos x b( 0) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 2，b 1
2π 5π
B． f (x)在区间 , 上单调递增 3 6
5π
C．函数 f (x)

的图象关于点 , 0 中心对称
12
π
D．函数 f (x)的图象可由 y 2cos x b的图象向左平移 个单位长度得到
6
11.棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列选项中正确的有（ ）
A．过 A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过 A 1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 2 6,6 2
C．四棱锥C A1B1C1D1与四棱锥C1 ABCD的公共部分为八面体
2
D．四棱锥C A1B1C1D1与四棱锥C1 ABCD的公共部分体积为 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．
π
12.若 tan 5 ，则 tan 2 ．
4
13.如图，四边形 ABCD中，AD AB, ADC 1200 ,AB 2 3,AD 1,CD 2，将四边形 ABCD绕 AB所在
的直线旋转一周，则所成几何体的表面积为 .
14.在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c a C，且 sinAtan ．则C = ；若 a 8,b 5,CH是边
2c 2
m
AB上的高，且CH mCA nCB ，则 = .n
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）

已知向量 a 3,4 ，b 1, x ．

(1)若a

a b ，求 a b ；
c

(2)若 1,2 ，c// a 2b a ，求 2b与 a的夹角的余弦值．
16．（本小题满分 15 分）
如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， A1C1 B1C1 3， A1B1 4 2，D为 A1B1的中点.
(1)证明：B1C / /平面 AC1D .
(2)若以 AB1为直径的球的表面积为 48π，求三棱锥 B1 AC1D的体积.
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17．（本小题满分 15 分）
r r
已知 a ( 3sinx, cosx),b (cosx, cosx), f (x) a b．
(1)求函数 f x 图象的对称轴方程；
1
(2)设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 f B 且b 3，求 ABC周长的取值范围．2
18．（本小题满分 17 分）
如图所示的一块正四棱锥 P ABCD木料，侧棱长和底面边长均为13，M 为侧棱PA上的点．
(1)若PM :MA 1:1，如图①所示，要经过点M 和棱 BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线 （请写出
作图步骤）
(2)若PM :MA 5:8，如图②所示，在线段 BD上是否存在一点N，使直线MN∥平面 PBC 如果不存在，
请说明理由，如果存在，求出 BN :ND的值以及线段MN的长.
图① 图②
19．（本小题满分 17 分）
在 ABC中， A, B, C对应的边分别为 a,b,c, 2sinAsinBsinC 3 sin2B sin2C sin2A
(1)求 A；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789 年-1857 年），法国著名数学家．柯西在数学领
域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式．其中柯
西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
2 2
①用向量证明二维柯西不等式： x1x2 y1y2 x1 y21 x22 y22
2 2 2 x x x 2 x x x
②已知三维分式型柯西不等式： y1, y2 , y3 R
, x1 x2 x 3 1 2 3 1 2 3，当且仅当 时等号
y1 y2 y3 y1 y2 y y3 1 y2 y3
AB 4 BC AC
成立．若 a 2,P是 ABC内一点，过 P作 AB,BC, AC垂线，垂足分别为D,E,F，求T PD PE PF
的最小值．
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