吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题（含解析）

吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中数学试卷(解析版)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数f（x）＝3x2+cosx的导函数是（　　）
A．f'′（x）＝6x+sinx B．f′（x）＝6x﹣sinx
C．f'′（x）＝x3﹣sinx D．f'′（x）＝x3+sinx
2．（5分）（x﹣2）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
3．（5分）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（　　）
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
4．（5分）已知x≠0，n∈N*，则“n＝8”是“的二项展开式中存在常数项”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（5分）已知曲线y＝x2﹣lnx在点A处的切线与直线x+y﹣2＝0垂直，则点A的横坐标为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
6．（5分）已知函数f（x）＝（2x2+ax+a）ex，若f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则a的取值范围是（　　）
A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
7．（5分）若N＝16+32（x﹣1）+24（x﹣1）2+8（x﹣1）3+（x﹣1）4，则N＝（　　）
A．（x﹣1）4 B．（x+1）4 C．（x﹣3）4 D．（x+3）4
8．（5分）若函数在区间（1，4）内存在单调减区间，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1） D．（0，1）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。
（多选）9．（6分）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
（多选）10．（6分）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数之和为32
B．第3项的二项式系数最大
C．常数项为60
D．有理项的个数为3
（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当0＜x＜1时，f（x）的图象位于x轴下方
B．f（x）有且仅有一个极值点
C．f（x）有且仅有两个极值点
D．存在x0，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 　 　种．
13．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调减区间为 　 　．
14．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x）在R上恒成立，则不等式e2f（2x﹣1）﹣e3xf（1﹣x）＞0的解集是 　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）（1）求值：；
（2）解不等式：．
16．（15分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝32．
（1）求n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
17．（15分）为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
18．（17分）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
19．（17分）已知函数，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若xf（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数f（x）＝3x2+cosx的导函数是（　　）
A．f'′（x）＝6x+sinx B．f′（x）＝6x﹣sinx
C．f'′（x）＝x3﹣sinx D．f'′（x）＝x3+sinx
【分析】根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝3x2+cosx，其导数f′（x）＝6x﹣sinx，
故选：B．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2．（5分）（x﹣2）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
【分析】利用二项式定理直接求解即可．
【解答】解：易知，（x﹣2）5的展开式中x3的系数为．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（　　）
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在其他3个节目中选出1个，与学习经验介绍和新闻报道两个节目一起在第一天播出，②剩下的3个节目在第二天播出，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在其他3个节目中选出1个，与学习经验介绍和新闻报道两个节目一起在第一天播出，
有＝18种播出方案，
②剩下的3个节目在第二天播出，有＝6种播出方案，
则有18×6＝108种播出方案．
故选：A．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）已知x≠0，n∈N*，则“n＝8”是“的二项展开式中存在常数项”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，分类求出n的值，再根据充分必要条件的定义即可判断求解．
【解答】解：因为二项式（2x3+）n的展开式的通项公式为T＝，r＝0，1，…，n，
令3n﹣4r＝0，即3n＝4r，且n，r∈N，则当r＝3时，n＝4；当r＝6时，n＝8；..．
所以“n＝8”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断，涉及到二项式定理的应用，属于基础题．
5．（5分）已知曲线y＝x2﹣lnx在点A处的切线与直线x+y﹣2＝0垂直，则点A的横坐标为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】求导数得切线的斜率，根据切线与直线x+y﹣2＝0垂直，可求得结果．
【解答】解：函数的定义域为：{x|x＞0}，
设A（x，y），则y′＝2x﹣，
因为曲线在点A处的切线与直线x+y﹣2＝0垂直，
所以2x﹣＝1，解得x＝1或x＝﹣（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程，属于中档题．
6．（5分）已知函数f（x）＝（2x2+ax+a）ex，若f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则a的取值范围是（　　）
A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【分析】由题意，对函数求导，再讨论a的值与极值的大小关系，从而得出结果．
【解答】解：因为f（x）＝（2x2+ax+a）ex，
所以f′（x）＝[2x2+（a+4）x+2a]ex＝（x+2）（2x+a）ex，
令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣，
当﹣＜﹣2，即a＞4时，
f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞） 上单调递增，
可得f（x）在x＝﹣处取得极大值，f（x）在x＝﹣2处取得极小值满足题意．
故选：A．
【点评】本题考查导数的极值，考查学生的综合能力，属于中档题．
7．（5分）若N＝16+32（x﹣1）+24（x﹣1）2+8（x﹣1）3+（x﹣1）4，则N＝（　　）
A．（x﹣1）4 B．（x+1）4 C．（x﹣3）4 D．（x+3）4
【分析】根据二项式定理的性质化简即可判断求解．
【解答】解：因为（x+1）4＝[2+（x﹣1）]4＝C+C
＝16+32（x﹣1）+24（x﹣1）2+8（x﹣1）3+（x﹣1）4，
所以N＝（x+1）4，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）若函数在区间（1，4）内存在单调减区间，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1） D．（0，1）
【分析】对f（x）求导，分a 0和a＜0两种情况，结合f（x）在区间（1，4）内存在单调减区间，求出a的取值范围即可．
【解答】解：，则，
当a 0时，f′（x）＞0，不符合题意；
当a＜0时，令f′（x）＜0，解得．
因为函数在区间（1，4）内存在单调减区间，
所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，属基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。
（多选）9．（6分）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【分析】根据题意，由插空法求得A，B不相邻时的排法总数判断选项AB；由捆绑法求得A，B相邻时的排法总数判断选项CD，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，
若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，
则方法总数为种，故A正确，B错误；
若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种），故C正确；D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）在的展开式中，下列命题正确的是（　　）
A．偶数项的二项式系数之和为32
B．第3项的二项式系数最大
C．常数项为60
D．有理项的个数为3
【分析】对于A：根据偶数项的二项式系数之和为2n﹣1，分析求解；
对于B：根据二项式的最值分析求解；
对于C：结合二项展开式的通项分析求解；
对于D：根据二项展开式的通项分析求解．
【解答】解：对于选项A：偶数项的二项式系数之和为25＝32，故A正确；
对于选项B：因为n＝6，可知二项式系数最大值为，为第4项，故B错误；
对于选项C：因为展开式的通项为，r＝0，1，…，6，
令6﹣，可得r＝4，所以常数项为，故C正确；
对于选项D：若为展开式中的有理项，则为整数，即r为偶数，
当r＝0时，，当r＝2时，，
当r＝4时，，当r＝6时，，
以上均满足有理项要求，故共有4项，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当0＜x＜1时，f（x）的图象位于x轴下方
B．f（x）有且仅有一个极值点
C．f（x）有且仅有两个极值点
D．存在x0，使得
【分析】由指数函数和对数函数的性质容易判断选项A，利用导数与极值的关系可判断选项BC，求得函数f（x）的最大值，可判断选项D．
【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lnx＜0，ex＞0，
则f（x）＜0，故选项A正确；
对于BC，，
令，则在（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又h（1）＝1＞0，，
所以 x0∈（1，2），使得h（x0）＝0，即，
所以当0＜x＜x0时，f'（x）＞0，当x＞x0时，f'（x）＜0，
故f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以f（x）有且仅有一个极值点，故选项B正确，选项C错误；
对于D，，故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 　8　种．
【分析】结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，
不同的选法有2×2×2＝8种．
故答案为：8．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
13．（5分）函数f（x）＝x﹣lnx的单调减区间为 　{x|0＜x＜1}　．
【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．
【解答】解：∵f（x）＝x﹣lnx∴f'（x）＝1﹣＝
令＜0，则0＜x＜1
故答案为：{x|0＜x＜1}
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．
14．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x）在R上恒成立，则不等式e2f（2x﹣1）﹣e3xf（1﹣x）＞0的解集是 　　．
【分析】由题意构造函数，可得g（x）在R上单调递增，将所求不等式转化为g（2x﹣1）＞g（1﹣x），利用单调性可解不等式，即可得出答案．
【解答】解：令，
∵函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x）在R上恒成立，
∴，即g（x）在R上单调递增，
又e2f（2x﹣1）﹣e3xf（1﹣x）＞0，即，
∴g（2x﹣1）＞g（1﹣x），
又g（x）在R上单调递增，则2x﹣1＞1﹣x，解得，
∴不等式e2f（2x﹣1）﹣e3xf（1﹣x）＞0的解集是．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）（1）求值：；
（2）解不等式：．
【分析】（1）根据组合数性质＝进行计算；
（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算求解出不等式解集．
【解答】解：（1）因为＝，所以﹣＝，
所以＝+（）+（）…+（）+（）＝＝＝165；
（2）因为，
所以，
化简可得，
解得x∈{3，4，5}，
所以不等式解集为{3，4，5}．
【点评】本题主要考查了组合数性质的应用，考查了排列数的阶乘形式，属于基础题．
16．（15分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b＝32．
（1）求n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
【分析】（1）先利用题给条件列出关于n的方程，解之即可求得n的值；
（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．
【解答】解：（1）因为a＝2n，b＝（﹣2）n，所以2n+（﹣2）n＝32，
当n为奇数时，此方程无解，
当n为偶数时，方程可化为2×2n＝32，解得n＝4；
（2）由通项公式，
当为整数时，Tr+1是有理项，则r＝0，2，4，
所以有理项为．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
17．（15分）为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算．
（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得．
【解答】解：（1）两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为60+60＝120（种），
故一共有120种不同的分组方案．
（2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，
而丁和戊的排列有种，
所以不同排列方式的种数是．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
18．（17分）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【分析】（1）代入a＝1，求出f（1），f′（1）即可求得切线方程；
（2）函数求导 ，对a分类讨论，进而求得单调性．
【解答】解：（1）当a＝1时，，，
，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为．
（2），
①当a＝0时，f′（x）＝x＞0，所以函数在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）＝0，则x1＝﹣2a（舍）或x2＝a，
f′（x）＜0，0＜x＜a，当x∈（0，a）时，函数f（x）单调递减；
f′（x）＞0，x＞a，当x∈（a，+∞）时，函数f（x）单调递增．
③当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝﹣2a或x2＝a（舍），
f′（x）＜0，0＜x＜﹣2a，当x∈（0，﹣2a）时，函数f（x）单调递减；
f′（x）＞0，x＞﹣2a，当x∈（﹣2a，+∞）时，函数f（x）单调递增．
综上所述：当a＝0时，函数在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递减，函数f（x）在（a，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在（0，﹣2a）上单调递减，函数f（x）在（﹣2a，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
19．（17分）已知函数，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若xf（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，然后分a＞0和a＜0两种情况求出f（x）的单调区间即可；
（2）由xf（x）+1≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即，结合不等式特点构造函数，结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
①当a＞0时，令f'（x）＞0，可得，
此时函数f（x）的增区间为，减区间为，
②当a＜0时，令f'（x）＞0，可得，此时函数f（x）的增区间为，
减区间，
综上，当a＞0时，f（x）的增区间为，减区间为，
当a＜0时，函数f（x）的增区间为，减区间为．
（2）不等式xf（x）+1≥0可化为，
由 恒成立，取x＝1，有a﹣3+1≥0，可得a≥2，
又由，
可化为，
令，有，
令g'（x）＞0，可得，此时函数g（x）的增区间为 ，减区间为，
有，可得，
可得，
下面证明2x2﹣xlnx﹣3x+1≥0，即证明，
令，有，
令h′（x）＞0，可得x＞1，可得函数h（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），
有h（x）≥h（1）＝2﹣0﹣3+1＝0，
可得不等式2x2﹣xlnx﹣3x+1≥0 成立，
故若xf（x）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．