2023-2024学年山东省济南市莱芜区莲河学校片区联盟八年级（下）第二次月考数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省济南市莱芜区莲河学校片区联盟八年级（下）第二次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式：，，，中，最简二次根式有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列二次根式中，不能与合并的是( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A.
B.
C.
D.
4.要使式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5.如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则( )
A. B. C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.化简结果为( )
A. B. C. D.
10.在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点过点作于点，交于点下列结论：
；
四边形是菱形；
；
若，则．
其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知，则 ______．
12.已知菱形的面积为，若对角线，则这个菱形的周长为______．
13.若最简二次根式和是同类二次根式，则的平方根______．
14.如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．
15.已知：如图，正方形中，对角线和相交于点、分别是边、上的点，若，，且，则的长为______．
16.如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，分别以，，，为边长作正方形．
若，，求如图中两个正方形的面积之和；
若，，求如图中的长；
19.本小题分
已知，，求值：
；
求的值．
20.本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
求证：．
连接，如果，，求的面积．
21.本小题分
如图，四边形是菱形，对角线，于，，
求菱形的周长．
求的长．
22.本小题分
如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
23.本小题分
如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．
求证：；
若求证：四边形是菱形．
24.本小题分
如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线分别交、外角的平分线于点、．
若，，求的长；
连接、问：当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
25.本小题分
细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题．
，；，；，；
请用含有是正整数的等式表示上述变化规律．
推算出的长．
求的值．
26.本小题分
已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立．
如图，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并加以证明；
如图，当点运动到的延长线上时，中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
如图，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系？直接写出结论不必证明
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】
解：，，，，
故其中的最简二次根式为，共个．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不合题意，
故选C
原式各项化简，找出与不是同类项的即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
两条对角线的长度的和为，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
先由矩形的性质得到，，再求出，即可求出，证明是等边三角形，得到，则由勾股定理可得，据此可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，掌握勾股定理，等边三角形的性质与判定是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为，二次根式的被开方数是非负数，可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：
解得：且．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据正方形的性质得到，由作图知，，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
由作图知，，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解；、，计算错误，故本选项不符合题意；
B、，计算正确，故本选项符合题意；
C、，计算错误，故本选项不符合题意；
D、和没有意义，本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法法则和除法法则结合选项求解，选出正确选项．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则和除法法则是关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长；
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长．
本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明是解决问题的关键．由菱形的性质得出，，再由线段垂直平分线的性质得出，证出，得出，由外角性质即可求出．
【解答】
解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
所在直线是菱形的对称轴，
，
的垂直平分线交对角线于点，
，
，
，
；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：有意义，
，
解得：，
原式，
故选：．
利用二次根式的定义可得，然后再利用二次根式性质、绝对值的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，以及绝对值的性质，关键是掌握．
10.【答案】
【解析】解：平分，，，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，故正确；
由知，，，
，
，故正确；
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，故正确．
故选：．
设，则，可算出，故正确；先证明≌，再由得，即，四边形是菱形，故正确；由，得，可求出，故正确；由四边形是菱形证明≌，即可得，故正确．
此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零，得出关于的不等式组，再求的值进而得到的值，再计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：
菱形的面积等于对角线乘积的一半，，，
，，，
在中，，
即有，
解得：，
菱形的周长．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半．
13.【答案】
【解析】解；是二次根式，
，
，
最简二次根式和是同类二次根式，
，
，
，
的平方根是，
的平方根是，
故答案为：．
据二次根式的定义得到得到，再由同类二次根式的定义得到，则，据此根据平方根的定义求解即可．
本题考查二次根式的定义，最简二次根式的定义，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，
正方形
而
≌，
，，则，
根据勾股定理得到．
故答案为．
连接，根据条件可以证明≌，则，，则，根据勾股定理得到．
根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，
，
，
≌，
，
，
，即，
当点为正方形对角线交点时，线段的长度最小，
，
正方形对角线为，
长度的最小值为，
故答案为：．
先根据正方形的性质证明≌，再由全等三角形的性质得出，继而证明，当点为正方形对角线交点时，线段的长度最小，再根据正方形的性质求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式


．
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：，，
，
图中两个正方形的面积之和为；
四边形和四边形都是正方形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得，
，
或舍去．
【解析】分别求出两个正方形面积，然后求和即可得到答案；
先由正方形的性质得到，，则，再利用勾股定理得到，则．
本题主要考查了二次根式的应用，关键是正方形的性质，勾股定理的应用．
19.【答案】解：，，
，，
；
由得，，
．
【解析】先求出，，再根据进行求解即可；
根据得，，再根据进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．
解：连接．
四边形是矩形，
，，，，
在中，，则，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【解析】由矩形的性质得到，，进而证明四边形是平行四边形，即可证明；
先由矩形的性质和勾股定理得到，，再由平行四边形的性质和矩形的性质得到，则，即可得到．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
菱形的周长；
由得是等边三角形，
，
，
．
【解析】根据菱形的性质得到，，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案；
由三线合一定理得到，由勾股定理可得．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，关键是菱形性质的应用．
22.【答案】解：证明：已知矩形沿对角线折叠，
则，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
【解析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据证明三角形全等即可；
利用全等三角形的性质求解即可．
23.【答案】证明：连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
连接，交于点，证明≌，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证；
先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证．
24.【答案】证明：交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，，
，
，，
，，
，，
；
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．理由如下：
连接、，如图所示：
当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，证出，，由勾股定理求出，即可得出答案；
根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出是解题关键．
25.【答案】解：，是正整数
由得，，即，
．
．
【解析】利用已知可得，注意观察数据的变化，
结合中规律即可求出的值即可求出，
将前个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．
26.【答案】解：猜想：，
理由：如图中，
四边形是正方形，为对角线，
，，
又，
≌，
，
，
．
解：中的结论成立．
四边形是正方形，为对角线，
，，
又，
≌，
，
，
．
：，．
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
利用三角形全等即可解决问题．
证明≌，即可解决问题．
如图所示：结论：，利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】
见答案；
解：如图所示：结论：，．
理由：设交于．
四边形是正方形，为对角线，
，，，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，．
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