2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列对的求导运算，结果正确的是( )
A. B. C. D.
2.个旅游团要从个景点中选择一个参观，不同的选法为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.( )
A. B. C. D.
5.广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为，现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
6.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. 是函数的最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上单调递增
D. 在处的切线的斜率大于
8.已知离散型随机变量的分布列如下表：若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有( )
A. 的值最大 B.
C. 随着的增大而减小 D. 随着的增大而增大
11.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B.
C.
D. 当时，不等式对于任意的恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数字，，，，可组成无重复数字的两位数的个数是______．
13.已知随机变量的分布列为，，，，，则 ______．
14.已知函数在上为减函数，则的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程：；
计算：．
16.本小题分
名男生和名女生站成一排．
甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
17.本小题分
设，已知．
求实数的值；
求的值；
求的值．
18.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求、的值；
当，时，求函数单调减区间和最值．
19.本小题分
甲、乙两个同学进行答题比赛，比赛共设三个题目，每个题目胜方得分，负方得分，没有平局比赛结束后，总得分高的同学获得冠军已知甲在三个题目中获胜的概率分别为，，，各题目的比赛结果相互独立．
求乙同学获得冠军的概率；
用表示甲同学的总得分，求的分布列与均值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，．
故选：．
根据基本初等函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，每个旅游团从个景点中选择一个参观，
即每个旅游团有种选择方法，
即，
所以不同的选法为种．
故选：．
根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果．
本题考查了排列组合的混合问题，计数原理的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图象可知在上单调递增，
故，即．
故选：．
由导数的几何意义结合图象判断直线斜率的大小，即可判断，，的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
利用二项式展开的系数求解．
本题主要考查了二项展开式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取到乙车间的产品”，
则，，，，
所以取到优品的概率．
故选：．
根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得它的展开式中，的系数为，
故选：．
由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据导函数图象可知当时，，在时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极值，故B正确；
因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；
因为函数在处的导数大于，即切线的斜率大于零，故D正确．
故选：．
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，解得，
而．
故选：．
由分布列中各概率之和为求得参数，进一步将所求变形为即可求解．
本题考查离散型随机事件概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，
，
，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
利用排列数性质求解．
本题考查排列数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
取进行分析，即可判断选项A；由题中给出的分布列，即可判断选项B；求出的表达式，利用二次函数的性质，即可判断选项C，．
【解答】
解：对于，当时，，而，故选项A错误；
对于，，故选项B正确；
对于，，由题意，由于，
所以随着的增大而增大，故选项C错误，选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为，定义域为，，
由可得，由可得，
所以函数的增区间为，减区间为，对；
因为函数在上单调递减，，，错；
由在区间上递减可得，，
故，错；
于选项，若对于任意恒成立，则，
令，，
则，
由可，，由可得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以，则，
所以，当时，不等式对于任意的恒成立，对．
故选：．
利用导数分析函数的单调性，可判断选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断选项；由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最大值，可判断选项．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了单调性在函数值大小比较中的应用及不等式恒成立的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当两位数不含时，有种；当这个两位数含有时，只有种情况，
总的个数为．
故答案为：．
分两位数不含和含两种情况，进行求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，，，，
，
则，
．
故答案为：．
由分布列先求出期望和方差，然后由方差的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，，
所以，当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故，所以的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范围即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：由题意可得或，
解得舍去或，
即；
由题意原式．
【解析】直接利用组合数公式求解即可；
直接利用排列数公式求解即可．
本题考查了排列数、组合数公式的运用，是基础题．
16.【答案】解：种，
甲、乙两人必须站在两端的站法有种．
种，
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有种．
种．
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有种．
【解析】由特殊元素优先法，即可得到结果；
由捆绑法即可得到结果；
由倍缩法即可得到结果；
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
17.【答案】解：，
，
由知，原式，令，得，
再令，得，
所以，．
在式子，令，可得．
【解析】直接利用展开式的通项求出的值；
利用赋值法的应用求出结果；
利用赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，则，
由题意得，即；
当时，，则，
列表如下：

单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，当时，函数的减区间为，单调递增区间为，
函数的极大值为，极小值为．
又因为，
因此，函数．
【解析】根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；
求得，列表分析函数的单调区间和极值，并求出、的值，即可得出函数在上的减区间和最大值、最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
19.【答案】解：设乙在三个题目中获胜的事件依次记为，，，
由题，，，
所以乙同学获得冠军的概率为
；
依题可知，的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
则．
【解析】根据乙同学获得冠军，则乙至少个题目中获胜，分类讨论求概率即可；
根据甲获胜题目数对应得分，求出概率，列出分布列求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
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