2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.已知，，，则的大小为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.折扇在我国有着悠久的历史“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图甲图乙是扇形的一部分，两个圆弧所在圆的半径分别是和，且若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是( )
A. B. C. D.
7.已知，，在所在平面内，满足，且，则点，，依次是的( )
A. 外心，垂心，重心 B. 重心，外心，内心 C. 垂心，外心，重心 D. 外心，重心，内心
8.已知中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，不正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
C. 平行四边形的直观图是平行四边形
D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正三棱锥
10.在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 向量对应的复数是
D.
11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则不一定为直角三角形
D. 若，，，则解的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法画出的直观图与原图形的面积之比为______．
13.远赴仙境惊鸿宴，一睹人间盛世颜位于河南洛阳的老君山群山竞秀，拔地通天一位同学在领略老君山的美景时，用无人机测量了其中一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高如图，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底即小山的最高处的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为______；古塔的塔高为______
14.已知平面四边形满足，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，记在方向上的投影向量为．
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
设是虚数，若，是关于的方程的一个根，求．
17.本小题分
如图，底面边长为且侧棱长为的正六棱锥，是底面的中心，在其内部有一个高为的内接圆柱圆柱的下底面在棱锥的底面上，上底面圆周与棱锥各侧面相切．
求棱锥的表面积；
求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求，；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
古希腊的数学家海伦在其著作测地术中给出了由三角形的三边长，，计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，我国南宋著名数学家秦九韶在数书九章中给出了由三角形的三边长，，计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．
已知的三条边分别为，，，求的面积；
利用题中所给信息，证明三角形的面积公式；
在中，，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用和幂的运算性质计算可得结果
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，因为，不存在实数，使，
所以、不共线，可以作为该平面内所有向量的一组基底；
对，因为，可得，
所以、共线，不能作为该平面内所有向量的一组基底；
对，因为，不存在实数，使，
所以、不共线，可以作为该平面内所有向量的一组基底；
对，因为，不存在实数，使，
所以、不共线，可以作为该平面内一组基底．
综上所述，只有项中的不可作为该平面内所有向量的一组基底．
故选：．
根据题意，若向量、不共线，则，可作为该平面内一组基底，由此对各项加以判断，可得答案．
本题主要考查平面向量基本定理及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
，
则或，
故C或．
故选：．
结合正弦定理，以及三角形内角和定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
则，，
，
故的大小为．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，，
，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
利用弧长公式可得，解得，
又，解得，
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积．
故选：．
根据圆台的侧面展开图分别求出上下底面圆半径，再由圆台侧面积公式计算可得结果．
本题考查圆台侧面积，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，到三角形三个顶点的距离相等，
是三角形的外心，
，，，，
同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心，
，
，
所在直线经过中点，与中线共线，
同理可得，分别与，边的中线共线，
是三角形中三条中线交点，是重心；
故选：．
根据到三角形三个顶点的距离相等，得到是三角形的外心，根据向量垂直，即得到是三角形的垂心，根据中线的性质，可得为重心．
本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
设，两边都减去，得，即，所以、、三点共线，
结合，可得的延长线交于点，满足，．
由，得，整理得，
设，则，整理得，
因为，所以，解得，即，同理可证出：．
因为，所以，
同理，可得，
因此，．
故选：．
根据，推算出的延长线交于点，满足，，然后证出，结合证出，同理证出，接下来利用正弦定理的面积公式，推导出且，进而可得的值．
本题主要考查平面向量基本定理、向量平行的性质、三角形的面积公式及其应用等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，若侧棱不平行，则不为棱柱，故A错误；
对于，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，若侧棱延长后不交于一点，则不为棱台，故B错误；
对于，由直观图中平行四边形的对边互相平行，则平行四边形的直观图是平行四边形，故C正确；
对于，棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，若底面为三角形，则此棱锥可能是正三棱锥，故D正确．
故选：．
由棱柱、棱台的定义可判断；由直观图的画法可判断；由正三棱锥的定义可判断．
本题考查棱柱、棱锥和棱台的定义、直观图的画法，考查推理能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：复数对应的点为，复数对应的点为，
对于，，
，
，故A错误；
对于，，
，
，故B正确；
对于，，，，
向量对应的复数是，故C正确；
对于，，
，
，故D正确．
故选：．
利用复数的概念、运算法则、几何意义求解．
本题考查复数的概念、运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，若为锐角三角形，则，
所以，
所以，即选项A正确；
选项B，若，则或，
所以或，
所以为等腰或直角三角形，即选项B正确；
选项C，若，则，
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
整理得，
所以或，
即或，
所以一定是直角三角形，即选项C错误；
选项D，由余弦定理知，，
所以只有一解，
所以解的个数为，即选项D正确．
故选：．
选项A，利用，结合诱导公式，即可判断；选项B，由，知或，化简即可判断的形状；选项C，先利用二倍角公式化简已知等式，再结合正余弦定理化角为边，化简运算即可判断；选项D，利用余弦定理求出的值，即可判断．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，诱导公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，由斜二测画法的步骤：
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它画成对应的轴、轴，使或，
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于或轴的线段，
已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．
则直观图与原图形的面积之比为．
故答案为：．
根据题意，由斜二测画法的步骤分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及原图的面积与直观图面积的关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，在，，，，，
由正弦定理，
又，
所以，
延长交于，
则，
又无人机飞行的海拔高度为，
所以该座小山的海拔为，
在中，，
又，
由正弦定理有，
得到
故答室为：，．
在，根据条件，利用正弦定理得到的值，延长交于，则的值，即可求出小山的海拔；在，根据条件，利用正弦定理，即可求出塔高．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式在实际问题求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，，则，，
所以，，
，
，
当即时，有最大值．
故答案为：．
设，，由平面向量的线性运算和数量积运算，三角恒等变换知识化简后求三角函数的最值即可．
本题考查平面向量的数量积的求法，属于中档题．
15.【答案】解：已知，
则在方向上的投影向量，
所以；
因为与的夹角是锐角，
所以，且与不能同向共线，
所以，
即，
当与同向共线时，
设，
得，
所以且，
即实数的取值范围为．
【解析】由平面向量数量积的运算，结合投影的运算及平面向量模的运算求解；
由平面向量数量积的运算，结合共线向量的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影的运算及平面向量模的运算，属中档题．
16.【答案】解：由题意，设，
，，
是关于的方程的一个根，
，
，
，解得，，
．
【解析】求出，从而，进而，由此能求出结果．
本题考查复数的概念、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：是正六棱锥，是底面的中心，是棱锥的高，连接，可知，
在中，可知，即棱锥的高为，
设的中点为，由是等腰三角形可知，，
因此是斜高，从而，即棱锥的斜高为，
的面积为，棱锥的侧面积为，
又底面正六边形的底面积为，
棱锥的表面积为．
作出圆柱上底面圆周与棱锥侧面相切时的轴截面，
圆柱的高，
易知，
设圆柱底面半径为，则，即，
则圆柱的侧面积为．
当且仅当即时，有最大值为．
此时，圆柱底面半径为．
【解析】由已知利用勾股定理求得圆锥的母线长，再由表面积公式求解；
圆柱的底面半径为，利用三角形的相似比把用含有的代数式表示，写出圆柱的侧面积，再由不等式的性质求最值．
本题考查圆柱与圆锥位置关系的应用，考查旋转体表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：，可得，
可得，
又由正弦定理可得，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
的面积为，
，
，由余弦定理，得，即，
，即，
；
由题意可得，，
周长，
由于为锐角三角形，
，
解得：，
，
，
，
的周长的取值范围为．
【解析】利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合题意可求的值；
利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，即可解得，的值；
由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长，可求得，利用正切函数的性质即可求解的周长的取值范围．
本题考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：；
．
证明：由余弦定理，得，
将上式代入，得，
则，
因为，且，
所以，
解：，
将上式代入，化简可得，
根据正弦定理，得，
因为，所以，得，
由海伦公式得，，
当且仅当即时，面积取最大值．
【解析】先求出，代入已知公式即可求解；
由已知面积公式，结合余弦定理及同角基本关系进行化简即可证明；
由已知等式，结合同角基本关系及二倍角公式进行化简，再由正弦定理及已知面积公式即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，辅助角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
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