2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高一（下）自主练习数学试卷（5月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高一（下）自主练习数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.如图，在边长为的正三角形中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.最大视角问题是年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，若在离地面米的处看此树，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若是非零复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知是边长为的正六边形内一点含边界，且，，则下列正确的是( )
A. 的面积为定值 B. 使得
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，且，，则 ______．
13.已知一个圆锥的底面半径为，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为______．
14.已知三棱锥，，，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若向量，求向量与向量的夹角的大小；
若向量，求向量在向量上投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．
证明：直线平面；
若，，求的体积．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为边的中点，求的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，其中．
若，，求的值；
若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在，且上恰好有个零点，求的最小值；
令，对任意实数，当时，有成立将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数满足其中为虚数单位，
由条件得，
所以在复平面内对应的点为，在第一象限．
故选：．
利用复数的除法运算求得，求得对应的坐标，得出答案．
本题考查复数的运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：单调递增，
，
，
又在上函数的图象是连续不断的一条曲线，
函数在区间上存在零点．
故选：．
判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点．
本题考查函数零点存在的条件，须满足两条：在区间上图象连续不断；端点处函数值异号，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，，
由正弦定理可得：，即，
所以或，
又，所以，符合大边对大角原理，
所以满足条件的三角形个数为个．
故选：．
由正弦定理求出的值，验证大边对大角原理即可．
本题考查正弦定理及三角形中大边对大角的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，，解得，
则．
故选：．
利用辅助角公式和二倍角公式求解．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线线线、线面间的位置关系，涉及线面垂直的判定与性质，属于基础题．
根据空间中线线、线面位置关系进行判断即可．
【解答】解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
在中，若，，，，
由线面垂直的判定定理可知，当直线，相交时才能得到，
若直线，平行，则不能推出，故A错误；
在中，若，，则，又，则可得，故B正确；
在中，若，，则，又，则，故C错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
所以
，
因为正三角形的边长为，
所以
．
故选：．
根据向量的线性运算得到，再由数量积的运算代入数值求解即可．
本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交于点，
则，，，
设，，
在中，，
在中，，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
故选：．
过点作，交于点，设，，可求，，进而利用两角差的正切公式以及基本不等式即可求解．
本题考查三角恒等变换和基本不等式，考查直观想象、数学运算的核心素养，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，在中，，
在中，，，
，由正弦定理，
得，
又在中，．
故选：．
先在中求出的长度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出，最后在中利用三角函数的定义求出的长度即可．
本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：中，，则A错误；
中，，则B错误；
中，，则C正确；
中，，则D正确．
故选：．
由已知结合和差角公式，二倍角公式检验各选项即可判断．
本题考查二倍角公式、两角和差公式，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，则A错误．
因为，所以，解得或舍去，则B正确．
设，且，
则，所以，则C正确．
由，得．
设，且，则，
，从而，则D正确．
故选：．
利用共轭复数的定义可判定、，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定、．
本题考查复数的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得，即，可得，
因此，在正六边形的对角线上运动，
对于，因为，即点到的距离为定值，所以的面积为定值，故A项正确；
对于，因为正六边形关于直线对称，
所以不论在何处，总有，即不存在，使得，故B项不正确；
对于，根据图形的对称性，当为中点时，达到最大值，
当与或重合时，达到最大值，故的取值范围是，项正确；
对于，因为正六边形边长为，所以平行线、的距离，
当与点在上的射影重合时，有最小值，可见的取值范围不是，故D项不正确．
故选：．
根据题中向量等式，可推导出，所以点在对角线上运动，由此判断出项的正误；根据正六边形的轴对称性质，判断出项的正误；观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断出、两项的正误．
本题主要考查正六边形的性质、向量的线性运算、解三角形及其应用等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为向量与的夹角为，且，，
所以，，
所以．
故答案为：．
利用向量的模的运算法则，转化求解向量的模即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，模的计算，属于基础题．
13.【答案】：
【解析】解：如图所示，，，设，
由∽，得，
所以截得的小圆锥的侧面积为，
截得的圆台的侧面积为，
所以：：，
即截得小圆锥的侧面积与截得圆台的侧面积之比为：．
故答案为：：．
设出小圆锥的母线长，利用三角形的相似确定大圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式，即可求得答案．
本题考查了圆锥与圆台的侧面积公式计算问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：记为的中点，连接，，
由题意知，且，
所以外接圆的直径为，且，即半径，
过作平面，因为平面，则，
又点到平面的距离是，即，而，
所以，同理，
又，所以，是同一个点，所以平面，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，
则三棱锥的外接球表面积为．
故答案为：．
根据题意求得外接圆的半径，再利用勾股定理证得平面，从而利用侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的性质即可得解．
本题主要考查了三棱锥的外接球，还考查了球表面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：向量，，且向量，所以，
所以，，
，，，
设向量与向量的夹角为，则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为；
由，得，解得，
所以，
所以向量在向量上投影向量的坐标为．
【解析】根据向量求出，写出、，求两向量夹角的大小即可；
由得，列方程求出，再求向量在上投影向量的坐标．
本题考查了共线向量与平面向量的数量积应用问题，是基础题．
16.【答案】证明：取中点，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以直线平面．
解：．
【解析】先证四边形为平行四边形，再用线线平行证线面平行即可；
利用几何体的特征转化顶点，然后利用体积公式计算三棱锥的体积即可．
本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
所以，
化简得，因为，所以，
因为，
所以；
因为，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，，所以．
解得．
所以的长为．
【解析】由正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
由中线的向量表示，进而可得的值．
本题考查正弦定理，余弦定理，中线的向量表示，属于中档题．
18.【答案】解：证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】先利用勾股定理证明，由平面，知，再由线面、面面垂直的判定定理，即可得证；
由，，根据二面角的定义知，由平面平面，知即为所求，再由三角函数的知识，求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面垂直的判定定理、性质定理，线面角、二面角的定义与找法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数，
若，，
则与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
由，解得；
，
，
所以，
所以或，
解得或，
又，得，
所以，
函数最小正周期，
令，即，
解得或，
若在上恰好有个零点，则，
要使最小，则，恰好为的零点，
所以的最小值为；
由题意，
因为，，
所以，当且仅当，时取等号，
又因为函数的最大值为，
所以，同时取得最大值，
所以，
所以，
所以满足条件的的最小值为．
【解析】利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，即可得；
由图像平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则，恰好为的零点，由此求的最小值；
根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而可求出．
本题考查了三角恒等变换、三角函数图象的变化及正弦型函数的性质，属于中档题．
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