2023-2024学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的首项为，递推公式为，则( )
A. B. C. D.
3.将个不同的文件发往个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为( )
A. B. C. D.
4.函数的导数是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
7.将甲、乙、丙、丁个人全部分配到，，三个地区工作，每个地区至少有人，则不同的分配方案为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的倍，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列，，，，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第项
C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第项
10.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递减
B. 有极小值
C. 有个极值点
D. 在处取得最大值
11.下列组合数公式中恒成立的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线的方程是______．
13.已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．
14.如图，某水果店门前用根绳子挂了串香蕉，从左往右的串数依次为，，到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取串挂在一列的只能先收下面的，则将这些香蕉都取完的不同取法种数？______结果用数字表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且，，成等比数列，
求的通项公式；
设数列的前项和为，求的最小值及此时的值．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项求：
的值；
所有二项式系数的和；
所有项的系数的和．
18.本小题分
有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
选人排成一排；
全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
全体排成一排，女生必须站在一起；
全体排成一排，男生互不相邻．
19.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，且，．
求数列的通项公式．
设，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，，解得，
又，所以，
又因为，，成等差数列，所以．
故选：．
根据等差数列的性质，结合题意，求解即可．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：依题意，由及，
可得，
．
故选：．
根据题干递推公式及逐项代入即可计算出的值．
本题主要考查数列由递推公式求某项的值，迭代法，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：每个文件可以发个邮箱地址，则个不同的文件可以发，
故选：．
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单计算问题，利用分步计数原理是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：
故选：．
根据分式函数和正弦函数导数公式，以及导数的运算法则可得答案．
本题主要考查导数的运算法则．属基础题，求导公式一定要熟练掌握．
5.【答案】
【解析】解：根据 的展开式的通项公式为，令，解得，
故的展开式中常数项为．
故选：．
直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数，
则，
因为在处取极值，
所以，解得：，
经检验满足题意．
故．
故选：．
求出函数的导数，得到关于，的方程组，解出即可．
本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁个人全部分配到，，三个地区工作，每个地区至少有人，
则，，三个地区中必有一个地区有人，
可以先先把个人按：：分成组，再将组分配到，，三个地区即可，
共有种．
故选：．
根据题意，先把个人按：：分成组，再分配到三个不同地区即可．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前项和公式，要认真审题，属于中档题．
依题意可得，解出即可．
【解答】
解：依题意可得，
整理可得，
设，
则，
解得或，
当时，，解得，舍去，
当时，，则，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：数列，，，，即，，，，，
则此数列的通项公式为，故A正确，C错误，
令，解得，
故是它的第项，故B正确，D错误．
故选：．
根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知，，时，有极值，所以有个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：．
首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当，，时，有极值，所以有个极值点，再找出最大值和极小值即可．
本题考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由组合数的性质可得：，A正确；
，故B正确；
由组合数的性质可得：，故C错误；
由于，
两边展开可得，，
比较两边的系数可得，，故D正确．
故选：．
由组合数的性质分别检验各选项即可判断出结论．
本题考查组合数的计算公式，注意组合数公式的形式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的方程是，即．
故答案为：．
利用导数的几何意义即可求解．
本题考查利用导函数求切线方程，属于中档题．
13.【答案】，
【解析】解：由，可得，
当时，，
上式对也成立，
所以，．
故答案为：，．
由数列的通项与前项和的关系，化简可得所求．
本题考查数列的通项与前项和的关系，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，串香蕉任意收取有种方法，
其中中间一列按从下往上有种，占，
最右一列按从下往上只有种，占，
所以不同取法数是种．
故答案为：．
根据给定条件，串香蕉任意收取有种方法，再利用倍缩法列式计算作答．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
15.【答案】解：，
是以公差为的等差数列，
又，，成等比数列，
，即，
解得，又，
所以的通项公式为；
由得，
所以当时，取得最小值，且最小值为．
【解析】为等差数列，公差为，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；
求出，再结合二次函数的图象与性质即可求出的最小值及此时的值．
本题考查等差数列的通项公式及前项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
16.【答案】解：，
令，解得或，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
由知，在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，
故所求最大值为，最小值为．
【解析】求导，分别由导函数大于和导函数小于求得原函数的单调区间；
由可得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
17.【答案】解：二项展开式的通项为．
因为第项为常数项，
即当时，，
即，解得；
；
令，得．
【解析】根据通项结合第项为常数项即可求解；
由所有二项式系数的和为即可求解；
由赋值法即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：从人中选人排列，有种；
先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种；
捆绑法将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有种；
插空法先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有种．
【解析】由排列数公式分析可得答案；
根据题意，先分析甲的排法，再分析剩下人的排法，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，先将名女生看成一个整体，再将这个整体与名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：设数列的公比为，则，
因为，，
所以，，
解得，
所以．
，
所以，
所以．
【解析】利用等比数列的通项公式，可得关于首项和公比的方程组，解之即可；
根据对数的运算法则，可得，再采用裂项求和法，得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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