第十一章 立体几何初步——2023——2024学年高一数学人教B版（2019）必修第四册单元检测卷（含解析）

第十一章 立体几何初步——2023——2024学年高一数学人教B版（2019）必修第四册单元检测卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形,且,，，则原图形OABC的面积是( )
A. B. C.12 D.10
2．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为,底边上的高为1的等腰三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3．已知圆台上底面半径为1,下底面半径为3,球与圆台的两个底面和侧面均相切,则该圆台的侧面积与球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
4．设α，β，γ是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设，是两个平面，m，n，l是三条直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
6．如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为BE的中点，则下列结论错误的是( )
A.点A，B，C，F共面 B.平面平面CDF
C. D.平面ACD
7．在正方体中,E为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．如图，菱形的对角线与交于点O，是的中位线，与交于点G，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
二、多项选择题
9．已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆,AC为底面圆O的一条直径,,B为圆O上的一个动点(不与A,C重合)，记二面角的平面角为,二面角的平面角为,则( )
A.该圆锥母线长为2
B.圆雉SO的体积为
C.若,则平面SAC
D.三棱锥的外接球的半径为
10．如图,在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是( )
A.异面直线AC与所成的角为
B.直线与平面成角为
C.二面角的正切值为
D.四面体的外接球的体积为
11．某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，，，则下列说法正确的有( )
A.该圆台的高为
B.该圆台轴截面面积为
C.该圆台的体积为
D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
12．如图,已知三棱柱,平面,,,E,D分别是,的中点,则下列说法正确的是( )
A.平面
B.平面
C.直线AD与直线DE的夹角为
D.若,则平面与平面的夹角为
三、填空题
13．已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个论断：①,②,③,④.以其中的两个论断作为命题的条件,作为命题的结论,写出一个真命题：______________.
14．如图,在棱长为1的正方体中,点A到平面距离是______.
15．在正方体中,E,F,M,N分别是,,,的中点,则异面直线和所成角的弧度数为_______________.
16．正方体的棱长为2，内壁是光滑的镜面.一束光线从A点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后到达点，则从A点射出的入射光线与平面的夹角的正切值为______.
四、解答题
17．如图,在四棱锥中,底面是菱形,M为的中点,N为的中点.
(1)求证：直线平面;
(2)过点C,D,M的平面与棱交于点Q,求证：Q是的中点.
18．如图4,已知在斜三棱柱中,,是边长为2的菱形,且,.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)若,E是AC的中点,,求AP与平面所成线面角的正弦值.
19．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点.
（1）求B到平面DEF的距离；
（2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值.
20．如图,四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,,E为PA的中点,F为PD的中点.
（1）求证:平面PDC;
（2）求异面直线BE与PD所成角的余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,直观图梯形中,，，，
则该梯形的高,
则其面积,
则原图的面积.
故选:D.
2．答案：B
解析：由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,腰长为,底边长为2,
所以圆锥的母线长,底面圆半径,
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B.
3．答案：D
解析：设圆台的上底面半径为r,下底面半径R,母线长为l,球的半径为,
球与圆台的两个底面和侧面均相切,,,
圆台的侧面积与球的表面积之比为,故选D.
4．答案：B
解析：由，，，则α，β可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：B
解析：对于A，若，，，则，相交或平行，故A错误；
对于B，若，，，
由线面平行的性质可得，故B正确；
对于C，若，，，
当，，两两相交时，m，n，l两两相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B.
6．答案：D
解析：A选项：如图，取CD的中点H，连接GH，FH，AG，AH，易得，，，则平面，平面AFH，所以A，G，H，F四点共面，由题意知，，所以四边形AGHF是平行四边形，所以，因为，所以，所以A，B，C，F四点共面，故A正确；
B选项：由选项A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因为，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正确；
C选项：由选项A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正确；
D选项：假设平面ACD，则，由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以四边形AGHF是菱形，与，矛盾，故D错误.
7．答案：B
解析：在正方体中,连接,AE,可得,
所以异面直线与所成角即为直线与所成角,
即为异面直线与所成角,不妨设,
则,,取的中点F,
因为,所以,
在直角中,可得.
故选B项.
8．答案：B
解析：菱形的对角线与交于点O，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，，而，，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，
从逐渐减小到（不包含和），当时，，
，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：设圆锥母线长为l,已知圆锥底面圆半径,则,解得,A选项错误所以圆锥的高,圆锥体积为,B选项正确;
分别作OD,OE垂直BA,BC于D,E,则,,若,则,此时,又,,所以平面SAC,C选项正确;设三棱锥的外接球半径为R,则,解得,D选项正确;故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：如图所示,连接,AO,
对A,平移直线到直线,则异面直线AC与所成的角,显然为正三角形,,故A正确;
对B,,,,平面,为线面角,,,,故B错误;
对C,在三角形中,,为二面角的平面角,,故C正确;
对D,利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球,,,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：如图，作交CD于E，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如图中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为，连接CP，可得，，，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm，故D正确.故选：BCD.
12．答案：ABD
解析：因为D,E分别是,的中点,所以,又平面,平面,则平面,故A正确;
因为平面,所以平面ABC,即,又,且,平面,则平面,即,又,且,平面,则平面,故B正确;由于D为中点,且,,因此是等腰直角三角形,E是的中点,则,故C错误;
连接,由于,,易知平面,则,因此平面与平面的夹角为,由于,因此,则,因此,故D正确.故选ABD.
13．答案：若,,则
解析：l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,
可得若,,则,
理由：在内取两条相交直线a,b,
由可得,,
又,可得,,
而a,b为内的两条相交直线,可得.
故答案为：若,,则
14．答案：/
解析：,为边长为的等边三角形,
设A到平面的距离为d,根据,
则,
解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：易得,,所以异面直线EF和MN所成的角为,
在中,,,
所以.
所以异面直线和所成角的弧度数为.
故答案为：.
16．答案：/
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则,，，则关于平面的对称点，
而A关于平面的对称点的坐标为，
设直线与平面的交点分别为T，则入射光线为，
设，则存在实数，使得，
所以，故，故，
故，故，
因为平面，故与平面所成的角为，
而平面，故，故.
故答案为：.
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)取的中点E,连接,,
因为M,N分别为,的中点,
所以,,
因为底面是菱形,即,所以,
又平面,平面,
所以平面,
同理可得平面,
又,,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面;
（2）因为过点C,D,M的平面与棱交于点Q,
又,平面,平面,所以平面,
又平面平面,平面,
所以,所以,
所以Q为的中点,即Q与中点E重合,所以Q是的中点.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:如图3,连接,取的中点Q,连接AQ,CQ,
由为菱形,所以.
又由,且,
所以平面,故而①.又由,所以为等边三角形,所以.由,所以,且,所以平面ACQ,所以②,由①②及,所以平面,故而平面平面ABC.
(2)如图4,取的中点F,连接AF,由(1)知,,,由F为的中点,则,即,由平面ABC,所以平面ABC,所以AB,AC,AF两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,由,
所以,,,,
所以,.
设,由,得:,
所以,,,所以.
令,则即令,则,,
所以,
令为AP与平面所成线面角,
所以,
所以AP与平面所成线面角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由平面，且AB，平面ABCD，
故，，又底面ABCD为正方形，
故，故AB，AD，PA两两垂直，
故可以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面DEF的法向量为，
则有，即，令，则有，，故可为，
则B到平面DEF的距离；
（2），，则，
则有，
故直线PC与平面DEF所成角的正弦值为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为四边形ABCD为正方形,则,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,,
因为,PA,平面,所以,平面PAD,
因为平面PAD,所以,,
因为,F为PD的中点,所以,,
因为,CD,平面PCD,所以,平面PCD.
（2）取AD的中点G,连接EG,BG,
因为E,G分别为PA,AD的中点,所以,且,
所以,异面直线BE与PD所成角为或其补角,
因为,四边形ABCD是边长为1的正方形,且平面ABCD,
且平面ABCD,所以,,则,故,
因为,同理可得,
取EG的中点H,连接BH,则,故.
因此,异面直线BE与PD所成角的余弦值为.