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平行四边形压轴题型专训（七大题型）
【题型目录】
题型一 平行四边形的判定与性质压轴题型
题型二 平行四边形的翻折压轴题型
题型三 平行四边形的最值压轴题型
题型四 平行四边形存在性问题
题型五 平行四边形与函数综合
题型六 三角形的中位线压轴题型
题型七 多边形的内角和与外角和综合
【经典例题一 平行四边形的判定与性质压轴题型】
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点，
(1)求证：．
(2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)若平行四边形的面积为20，，直线在绕点O旋转的过程中，线段何时最短？并求出长度的最小值．
2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
(2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由）
(3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点．
(1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G．
①求证：；
②若，求的长；
(2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系．
4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知．
(1)尺规作图：作平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点．
①若，，，求的长；
②过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为33，则平行四边形的面积为多少（直接写出结果）．
5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）问题探究：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于点，，试说明线段．
分析：考虑通过平移，将和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明.
如图①，作且，则四边形是 （填四边形的形状），
∴；
∵，，
∴是 （填的形状），
∴.
当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）；
当时，三点在同一直线上，此时，，
∴．
问题解决：
如图②，若中，，点，点分别在上，交于点，，，，，求线段的长；
拓展应用：
如图③，中，，分别在上，交于点，若，，，，求长．
6．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
图1 图2 图3
(1)如图1，当点在线段上，时，求证：；
(2)如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
(3)如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
【经典例题二 平行四边形的翻折压轴题型】
7．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点．
(1)如图1，若于点，，求的长；
(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；
(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值．
8．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
【独立思考】
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
9．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论．
发现与证明：在中，，将沿翻折至，连接．
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：．
(1)请利用图①证明结论1和结论2．
(2)应用与探究：
在中，已知，将沿翻折至，连接．
①如图①，若，，则______°，_____；
②如图②，，，与边相交于点，直接写出的面积；
10．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，点为边上一点．
(1)如图1，若于点，，．求的长；
(2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：；
(3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：）
11．（22-23八年级下·陕西延安·期末）问题提出
（1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
12．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F．
(1)如图1，，求的度数；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，连接，的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积．
【经典例题三 平行四边形的最值压轴题型】
13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知
（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求．
解决问题
（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．
变式研究
（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．
15．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置．
(1)证明；
(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；
(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
16．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
(1)直接写出点A的坐标__________，__________；
(2)若，连接F是的中点，连接并延长交直线于点H，
①当四边形为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
(3)若，点E在上，点M位于点E的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长．
17．（22-23八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
18．（23-24九年级上·湖南怀化·开学考试）综合与探究：如图，直线AB：分别交x轴，y轴于点B，E，过点A作直线分别交x轴，y轴于点， ．
(1)求直线的解析式．
(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线，于点F，G．当时，过点G作直线轴，交y轴于点H．能否在直线上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标．
(3)M为直线上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题四 平行四边形存在性问题】
19．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为______．
(2)当时，用含的代数式表示线段的长______．
(3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
21．（21-22八年级下·山西晋中·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．
(1)请你直接写出点，的坐标；
(2)平行四边形与的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O，，，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值；
(2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
23．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
24．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状，并证明．
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
【经典例题五 平行四边形与函数综合】
25．（23-24九年级下·内蒙古·期中）直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于．
(1)点坐标为 ；点坐标为 ．
(2)求直线的函数解析式．
(3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）
(4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）
26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知．
(1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ．
(2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标．
27．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点,，给出如下定义：当点,满足时，称点是点的等积点．已知点．
(1)在，，中，点的等积点是_____．
(2)点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程．
28．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为平行四边形，点C在x轴正半轴上，，，；
(1)求B点坐标；
(2)点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，分别连接，设的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，连接，若，求S的值．
29．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点，经过点的直线交轴于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒），求与时间（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值．
30．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“银杏点”．已知，．
(1)在，，，中，线段的“银杏点”是______；
(2)点为直线上一点，若点是线段的“银杏点”且不在第二象限，求的取值范围．
【经典例题六 三角形的中位线压轴题型】
31．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，
(1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积；
(3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
32．（2024·北京房山·模拟预测）如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．
(1)补全图形；
(2)判断的位置关系______，证明结论；
(3)若，且，直接写出______．
33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．
(1)求线段的长；
(2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标．
34．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，．
(1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿．
(2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．
(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积．
35．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，E是线段上一动点，连接．
(1)如图1，若，的面积为 ；
(2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
36．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：．
（2）如图，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论．
（3）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论．
（4）如图，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数．
【经典例题七 多边形的内角和与外角和综合】
37．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则 ．
38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．
(1)如图①，则_______．
(2)如图②，则_______．
(3)如图③，设图②中的．求的度数；
(4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数．
39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】
三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是．
【问题思考】
如图1，在中，延长到点D，，分别平分和．
（1）若，，求的度数；
（2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由．
【问题拓展】
在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和．
（3）如图2，当，此时，的位置关系为 ；
（4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系；
（5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系．
40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则_____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，______；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：．
41．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是
（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，．．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程
42．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点．
【探究】
（1）如图1，和的平分线交于点，则______；
（2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示）
（3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
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平行四边形压轴题型专训（七大题型）
【题型目录】
题型一 平行四边形的判定与性质压轴题型
题型二 平行四边形的翻折压轴题型
题型三 平行四边形的最值压轴题型
题型四 平行四边形存在性问题
题型五 平行四边形与函数综合
题型六 三角形的中位线压轴题型
题型七 多边形的内角和与外角和综合
【经典例题一 平行四边形的判定与性质压轴题型】
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点，
(1)求证：．
(2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)若平行四边形的面积为20，，直线在绕点O旋转的过程中，线段何时最短？并求出长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)2
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的面积公式，平行线间的距离最短，解（1）（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出时，最短．
（1）由四边形是平行四边形，易证得，即可得；
（2）由四边形是平行四边形，易证得，即可证得；
（3）根据平行线间距离最短判断出时，最短，最后根据平行四边形的面积即可确定出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
， ，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：成立．理由：
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：①当直线在绕点旋转的过程中，直线与，相交时，时，最短，
平行四边形的面积为20，，
，
．
直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2．
②当直线在绕点旋转的过程中，直线与、的延长线相交时，时，最短，
同①的方法，得出最小值为，
即：直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2．
2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
(2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由）
(3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）
【答案】(1)①；②，证明见解析
(2)
(3)1或7
【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论；
②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可；
（2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论；
（3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可．
【详解】（1）①，证明如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
②线段，，的数量关系是：，
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（2），证明如下：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，，，
由，得；
如图②，，则，
中，，
∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键．
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点．
(1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G．
①求证：；
②若，求的长；
(2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由，可得，，，则，，由，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；②由勾股定理得，，如图1，过G作于，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可；
（2）由，可得，由，可求，，由，可得，则，，如图2，以为顶点作，交的延长线于，则，，，由，，可得，即，可得．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②解：由勾股定理得，，
如图1，过G作于，
由①可知，平分，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，以为顶点作，交的延长线于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知．
(1)尺规作图：作平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点．
①若，，，求的长；
②过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为33，则平行四边形的面积为多少（直接写出结果）．
【答案】(1)见详解
(2)①20；②66
【分析】（1）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，作和相等的边即可，分别以、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即可得到平行四边形；
（2）①利用勾股定理解得的值，然后结合“平行四边形对角线相互平分”的性质求解即可；②证明，，，易得，，，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，四边形即为所求；
（2）①如下图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题关键．
5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）问题探究：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于点，，试说明线段．
分析：考虑通过平移，将和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明.
如图①，作且，则四边形是 （填四边形的形状），
∴；
∵，，
∴是 （填的形状），
∴.
当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）；
当时，三点在同一直线上，此时，，
∴．
问题解决：
如图②，若中，，点，点分别在上，交于点，，，，，求线段的长；
拓展应用：
如图③，中，，分别在上，交于点，若，，，，求长．
【答案】问题探究：平行四边形，等边三角形，；问题解决：；拓展应用：
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形
（1）通过平移，将三条不共端点的线段平移到共端点，再根据三角形三边关系即可求得；
（2）类比（1）中的方法，作且，连接可求得是等边三角形，在中，由勾股定理得，；
（3）作且，连接，过作于，可求得是等边三角形，是等腰直角三角形，在中，由勾股定理求长.
【详解】问题探究：如图①，作且，则四边形是平行四边形（填四边形的形状），
∴；
∵，，
∴是等边三角形（填的形状），
∴.
当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）；
当时，三点在同一直线上，此时，，
∴．
故答案为：①平行四边形，②等边三角形，③＞；
方法迁移：作且，连接
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴；
拓展应用：
作且，连接，过作于，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
又
∴，
∴是等边三角形，
∴
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴
又，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
6．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
图1 图2 图3
(1)如图1，当点在线段上，时，求证：；
(2)如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
(3)如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键．
（1）由，，得，则，由旋转得，则，即可证明，得，由平行四边形的性质得，则，即可得到答案；
（2）当点E在线段延长线上，则，所以，则，而，则，即可证明，所以，则即可得到答案；
（3）当点E在线段延长线上，时，则，，所以，证明，得，所以，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图1，
于点E，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
（2），理由如下：
如图2：交的延长线于点E，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3），理由如下：
如图3，交的延长线于点E，
，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
．
【经典例题二 平行四边形的翻折压轴题型】
7．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点．
(1)如图1，若于点，，求的长；
(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；
(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案；
（2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证；
（3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在线段上取一点，使，
于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处，
，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，，，，
，
连接，则，
当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
8．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
【独立思考】
（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明．
【问题解决】
（3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
【答案】（1），证明见解析；
（2）四边形是平行四边形，证明见解析；
（3）
【分析】（1）F为的中点，，，，可得，由此可证明，结合，可得．所以为直角三角形，，.
（2） 是由沿着翻折而成的，且F为的中点，可得，，由此得到，证得，，又，故可得到是平行四边形．
（3）要求的面积，只需求的面积，根据已知角，，可求得长和边上的高，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，
F为的中点，
，
，
，又，
，
，，
，
，
为直角三角形，．
（2）如图所示，
是由沿着翻折而成的，且F为的中点，
，，
，
，
，
，又，
四边形是平行四边形．
（3）如图所示，过点M作于，
，四边形为平行四边形，
，，
是由翻折形成，且，
，，
，在中
，，
在，
，
，
．
9．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道平行四边形有很多性质．如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论．
发现与证明：在中，，将沿翻折至，连接．
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：．
(1)请利用图①证明结论1和结论2．
(2)应用与探究：
在中，已知，将沿翻折至，连接．
①如图①，若，，则______°，_____；
②如图②，，，与边相交于点，直接写出的面积；
【答案】(1)见解析
(2)①，；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）由平行四边形的性质和翻折的性质可证明，得到，即可得到结论1；进而根据等腰三角形的性质证得，根据平行线的判定即可证得结论2；
（2）①根据翻折的性质求得，从而求得，由于，得出，进而即可求得；作于，根据解直角三角形即可求得；
②作于，通过解直角三角形求得，，进而求得的长，设，则，根据勾股定理列方程求得值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）结论1：在中，，将沿翻折至，连接．如图1，
四边形是平行四边形，
，，，
将沿翻折至，
，，，
，，，
在和中，，
，
，
设、相交于，
，
是等腰三角形，即与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：，，
，
，
，，
，
；
（2）①如图1，
在中，，将沿翷折至，
，
，
，
，
，
；
作于，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
②如图2，作于，
，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
．
10．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，点为边上一点．
(1)如图1，若于点，，．求的长；
(2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：；
(3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案；
（2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证；
（3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在线段上取一点，使，
于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处，
，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
则，，，，
，
连接，则，
当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
11．（22-23八年级下·陕西延安·期末）问题提出
（1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）当在线段上时，最短，从而可得答案；
（2）如图，过点作交延长线于点，连接． 证明，求解，．可得．由，从而可得答案；
（3）如图，过点作于点，过点作于点．证明当最小时，最小．可得当最小时，最小．由，设，则，建立方程求解，可得，当在线段上时，取最小值．再求解面积即可．
【详解】解：（1）当在线段上时，最短，
此时．
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．
∵四边形是平行四边形，，，，
∴，∴，．
∵是的中点，∴，
∴，．
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点在线段上时，取最小值，即的最小值为．
（3）如图，过点作于点，过点作于点．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当在线段上时，取最小值．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形面积的最小值为．
【点睛】本题考查的是三角形三边关系的应用，平行四边形的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，熟练的利用两点之间线段最短求解线段或面积的最值是解本题的关键．
12．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F．
(1)如图1，，求的度数；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，连接，的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质，即可求解；
（2）分两种情况：若，若，结合平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，即可求解；
（3）过点M作于点Q，可得是等腰直角三角形，从而得到当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，过点A作于点S，于点T，此时是等腰直角三角形，可得，再由是等腰直角三角形，可得， 从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，然后由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
若，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
即；
若，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
综上所述，线段的长为或；
（3）解：如图，过点M作于点Q，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
∴当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，
过点A作于点S，于点T，此时是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键．
【经典例题三 平行四边形的最值压轴题型】
13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)四边形的面积不变，为定值
【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案；
（2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论；
（3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴；
（3）四边形的面积不变，为定值．
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值，
作于点，
∵，
∴，则，
∴，
综上，四边形的面积不变，为定值．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知
（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求．
解决问题
（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．
变式研究
（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键.
（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解；
（2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解；
（3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解；
【详解】解：（1）由对称可知：，
在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求，
故答案为：；两点之间，线段最短；
（2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示；
则四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）作，使得，作，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
15．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置．
(1)证明；
(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；
(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析
【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；
（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；
（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明．
【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
翻折得到，
，
，
，
，
，
；
（2）连接交于点O，连接，
点F与D关于对称，
，
当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为；
（3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上．
理由：与互相平分，，
，
，
，
，
即，
翻折得到，
，
点D、C、F在同一条直线上．
16．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
(1)直接写出点A的坐标__________，__________；
(2)若，连接F是的中点，连接并延长交直线于点H，
①当四边形为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
(3)若，点E在上，点M位于点E的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长．
【答案】(1)；4
(2)①；②t为0或或
(3)
【分析】（1）根据直线即可求解；（2）①根据平行四边形的性质即可求解 ；②根据点的位置进行分类讨论即可 ；（3）根据四边形的面积最大时，可求出线段的最大值，进而可求解．
【详解】（1）解：∵直线交y轴，x轴于点
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
由点A、B的坐标得，，
故答案为： 4
（2）解：①∵，则点，
∵F是的中点，则由中点坐标公式得，点，
设点，∵F是的中点，，易证，
∴，
当四边形为平行四边形时，则，
∴，
解得；
②由的坐标得：，
∵F是的中点，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，∴，，
∴，
1°当点E在线段上时，
当，为等腰三角形时，
∴，
∴，解得；
当，为等腰三角形时，
过点F作于G，
∵，，∴，
∵F是BD的中点，，轴，
∴，
∴在中，有，
即，
解得，∴此时点E与点O重合，即此时；
2°当E在延长线上时，
∵是钝角，∴只存在，为等腰三角形这种情况，
同理可证：，
∴．又，∴，
∴，解得，
综上，当t为0或或时，存在以BF为腰的等腰．
（3）解：如图所示，过点E作交BC于点N，
∴，
取BN中点G，连接EG，
∵，
∴，∴，
∵在中，G为BN中点，设，
∴，
∴当时，r取得最小值2．
此时，，ME取得最大值，四边形EBCM的面积最大．
如下图所示，在中，，∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴
过点C作交DM的延长线于点Q，易知，
∵，，
∴，∴，，
在，中，，，，
∴，，∴．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数中的特殊四边形及三角形、一次函数与面积等相关知识点．需要学生具备较强的逻辑推导能力．
17．（22-23八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
【答案】(1)点的坐标为
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据解析式求得点的坐标，过点作轴于证明则进而即可求得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点连接延长交轴于点则点就是所求的最大值点待定系数法求直线解析式，即可求得点
（3）先求得直线的解析式为，直线的解析式为进而求得点，的坐标，分三种情况讨论，以为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）解：令则
令则
过点作轴于
由旋转得
点的坐标为
（2）作点关于轴的对称点连接延长交轴于点则点就是所求的最大值点
设直线的解析式为
，
解得，
（3）
设直线的解析式为，
则
解得
直线的解析式为，
设直线的解析式为
解得：
∴直线的解析式为
设
以为平行四边形的对角线时，
，
解得，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
当为平行四边形的对角线时
，
解得，
综上所述点的坐标为或或
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，根据轴对称的性质求线段的差的最值，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
18．（23-24九年级上·湖南怀化·开学考试）综合与探究：如图，直线AB：分别交x轴，y轴于点B，E，过点A作直线分别交x轴，y轴于点， ．
(1)求直线的解析式．
(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线，于点F，G．当时，过点G作直线轴，交y轴于点H．能否在直线上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标．
(3)M为直线上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标，或，或．
【分析】（1）运用待定系数求解即可；
（2）可证，设，则，再根据对称性得、、，根据两点之间线段最短，可知点P为与直线的交点时， 取最小值．确定直线的解析式为，再令，求解；
（3）分三种情况讨论：四边形分别为，，，结合平行四边形的判定和点与坐标关系求解．
【详解】（1）解；设直线解析式为，由， 得
，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：与y轴交于点，与y轴交于点，
∴．
∴．
设，则，
将代入，得，解得，
∴，，．
直线AB：与y轴于点， 与点重合.
设F关于直线的对称点，则，
∵点P在上，由对称知，，
∴，
如图，连接，则,
当P，D ，三点共线，即点P为与直线的交点时，，此时取最小值．
设直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为．
令，得，
∴．
（3）解：存在，点Q的坐标，或，或．
①如图，当，时，四边形是平行四边形；
由，时，，得，
∴
∴
∴．
②如图，当，时，四边形是平行四边形，
∵，
∴
③如图，当，，四边形是平行四边形，
过点P作轴，垂足为N，过点M作轴，垂足为K，
∵，
∴．
而，
∴．
∴．
又，，
∴．
∴，．
∴点M的纵坐标为．
时，，得
∴
综上，点Q的坐标为，或，．
【点睛】本题考查确定一次函数解析式，轴对称的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定等，掌握数形结合的思想，由平行四边形判定方法得到线段间的数量关系是是解题的关键．
【经典例题四 平行四边形存在性问题】
19．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)求线段的长；
(3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质，二次根式非负性．
（1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性分别求出的长度即可；
（2）利用计算即可；
（3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，再利用平移的性质求坐标即可．
【详解】（1）∵，
∴，，，
∴，，，（负值舍去），
∴，，；
（2）∵，，，
∴，，
∵，
∴
（3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，如图所示：
点向左平移10个单位长度到点，由平行四边形可得点向左平移10个单位长度到点，
同理，，
∴存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为或或．
20．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为______．
(2)当时，用含的代数式表示线段的长______．
(3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意可知当时，点Q在线段的延长线上，得，即可求解；
（3）连接, ，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当时，点Q在线段的延长线上，，
故答案为：；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，,
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与互相平分；
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21．（21-22八年级下·山西晋中·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．
(1)请你直接写出点，的坐标；
(2)平行四边形与的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O，，，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)平行四边形；
(3)存在，点D的坐标是或或
【分析】（1）由平移的性质即可得出答案．
（2）过点B作轴于点E，由平行四边形的性质和平移的性质可得，，即可求解．
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解： ∵先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到，
∴点，点向右平移4个单位后，再向下平移个单位分别得到，，
∵，，
∴，．
故答案为：，．
（2）解：过点B作轴于点E，
∵四边形和四边形是平行四边形，
∴，，
∵经平移得到，
∴，
∴，
同理，
∴与的重叠部分的形状是平行四边形，
∵点A的坐标为，
∴，
∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点在线段上，，．
∴点是线段的中点，
∵轴，
∴点G平分线段
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在点D，使以O，，，D为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当为平行四边形的边时，，，，
①四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向平移3个单位后得到，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴
②四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴；
当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的边时，
∵点O向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，
∴点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到D，
∴，
综上所述，点D的坐标是或或．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
22．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值；
(2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形；
(2)点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，，
由题意得，
解得，
若点在点的右侧，四边形为平行四边形，，
，
解得，
综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形；
（2）解：点的坐标为或或或．
理由如下：
点，，
，，
，
如图，以为边，四边形是菱形，
，
；
如图，以为边，四边形是菱形，
，，
；
如图，以为边，四边形是菱形，
，，
；
如图，以为对角线，四边形是菱形，
设，
，
，
，
，
，
；
综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或．
23．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，，
【分析】（1）根据非负数的性质求得，的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点作轴于，证明，得出，，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；
（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为；
（2）如图所示，过点作轴于，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，过点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；
（3）存在，点的坐标为，，．
∵，，
∴，
又∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴；
当为对角线时，
得：，
解得：
∴，
当为对角线时，
得：，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
24．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，请判定四边形的形状，并证明．
(2)当时，求t的值．
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析
(2)或时，
(3)存在，当为4或者或者时，为等腰三角形
【分析】（1）根据题意有：，，进而有，，当时，可得，结合，即可作答；
（2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案；
（3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形．理由：根据题意有：，，
∵，，
∴，，
当时，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）当，四边形PQCD是平行四边形时，
即有：，则，解得，；
当时，四边形PQCD是等腰梯形时，
过P点作于M，过D点于N，如图，
根据，，，可得四边形是矩形，
则，，
即，，
∵梯形为等腰梯形，于M，
∴，，
根据（1）有，，，，
∴，
∴，解得，
综上所述：或时，．
（3）存在，理由如下：
根据（1）有，，，，
根据（2）有，
当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图，
根据（2）可知：时，
∵为等腰三角形，∴，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，如图，
∴，解得，即此时；
当为等腰三角形，且时，
过D点于P，过Q点于G，如图，
根据（2）同理可知四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，∴，
在中，，
∴，解得：，
综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
【经典例题五 平行四边形与函数综合】
25．（23-24九年级下·内蒙古·期中）直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于．
(1)点坐标为 ；点坐标为 ．
(2)求直线的函数解析式．
(3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）
(4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）
【答案】(1) ，；
(2)；
(3)；
(4)的值为或．
【分析】()分别把代入，代入即可求解；
()利用待定系散法可求得直线的函数解析式；
()用可分别表示出的坐标，则可表示出与之间的关系式；
()由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由()的关系式可得到关于的方程，解方程即可求得的值；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
点，
过作轴于，
把代入中可得，
，
故答案为：，；
（2）解：∵直线与轴相交于，
可设直线解析式为，
把点坐标代入中可得，，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：由题意可知，
把代入中可得，
，
把代入，可得，
，
∴，
点在线段上，且，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可得，；
（4）解：由题意可知，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知．
(1)点的坐标是 ，直线的表达式是 ．
(2)若点为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点为线段中点，点为轴上一动点，以为直角边作等腰直角，当点落在直线上时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)存在，点坐标为或；
(3)点坐标为或．
【分析】（1）由，，可得，待定系数法求表达式即可；
（2）由，点G为线段上一点，可得，待定系数法求的表达式为；则的表达式为，联立求得，待定系数法求直线的表达式为，设，，由题意知，
分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况，根据中点坐标相同进行求解即可；
（3）由题意知，，设，如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；①当在点上方，如图，过作于，于，证明，则，代入，求的值，可得点坐标，②当在点下方，如图，同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点在轴正半轴上，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
故答案为：，；
（2）解：存在，理由：如图，连接，
∵，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴直线的表达式为，
联立直线和的表达式得，
，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴分①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，三种情况求解：
①当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，，即；
②当分别为对角线时，的中点坐标为，
的中点坐标为，
∴，
解得，
∴；
③当分别为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，同①，
综上，存在，点坐标为或；
（3）解：由题意知，，设，
如图，分当在点上方，当在点下方两种情况求解；
①当在点上方，如图，过作于，于，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
②当在点下方，如图，
同理①可得，∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
27．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点,，给出如下定义：当点,满足时，称点是点的等积点．已知点．
(1)在，，中，点的等积点是_____．
(2)点是点的等积点，点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标，写出求解过程．
【答案】(1)和
(2)或
【分析】本题是四边形综合题，考查了图形与坐标、平行四边形的判定、新定义问题的求解，正确理解新定义和应用平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据定义通过计算即可得出答案；
（2）设，则，即，可知点在直线上，且，根据平行四边形的性质得，求出的值再求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，
不是的等积点；
，
是的等积点；
，
是的等积点，
故答案为：和；
（2）如图，
设，
点是点的等积点，
，
，
，
点在轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴下方，，，
设直线的解析式为：，
把代入，可得：，
，
点的坐标为．
当点在轴上方，，，，
把代入，可得：，
，
，
点的坐标为．
综上，点C的坐标为或．
28．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为平行四边形，点C在x轴正半轴上，，，；
(1)求B点坐标；
(2)点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，分别连接，设的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的关系式（不要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，连接，若，求S的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点B作于D，根据平行四边形的性质得到，则，据此求出，即可得到答案；
（2）先求出点P的纵坐标为，由题意得，，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）设与y轴交于H，在上取一点K，使得，连接，设，则，证明，得到，再根据平行四边形的性质得到；如图所示，作交延长线于T，则四边形是平行四边形，可得，，则可证明，得到，求出，，在中，由勾股定理得，解得或（舍去），则．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于D，
∵四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴点P的纵坐标为，
由题意得，，则，
∴；
（3）解：如图所示，设与y轴交于H，在上取一点K，使得，连接，
∵，
∴可设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
如图所示，作交延长线于T，则四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
29．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点，经过点的直线交轴于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒），求与时间（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)；
(3)符合条件的值为秒或秒．
【分析】（1）先求得点的坐标以及的长，再利用求得点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）求得点的坐标，得到点和点的坐标，分当和时，两种情况讨论，利用两点间的距离公式求解即可；
（3）利用平行四边形的性质得到，利用（2）的结论分两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，
令，则；令，则；
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由题意得，且，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴当时，，
当时，，
综上，；
（3）解：∵轴，即，
∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
综上，符合条件的值为秒或秒．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点，勾股定理，平行四边形的性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是本题的关键．
30．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“银杏点”．已知，．
(1)在，，，中，线段的“银杏点”是______；
(2)点为直线上一点，若点是线段的“银杏点”且不在第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)且
【分析】本题考查新定义题型，涉及平行四边形的性质，一次函数的交点问题．
（1）根据新定义知，四边形为平行四边形，则对角线的中点重合，可求出点，再判断即可；
（2）联立两直线解出点坐标，再根据其不在第二象限，根据象限符号的特点解答即可．
【详解】（1）解：设，
的中点为
四边形为平行四边形
的中点就是的中点
在直线上，
由，，，知
，在直线上，，不在直线上，
故线段的“银杏点”是，，
故答案为：，；
（2）由（1）知，在直线上，而点为直线上一点
为直线和直线的交点
当时，两直线平行，没有交点，
当时
由得
设在第二象限，则
，即
解得
不在第二象限
且
即的取值范围是且．
【经典例题六 三角形的中位线压轴题型】
31．（2023·四川南充·模拟预测）如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，
(1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积；
(3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即；
（2）如图2中，过点O作于H，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由全等三角形的性质即可得，计算求解即可；
（3）如图3，延长到使，连接、，则是以为顶点的等腰直角三角形，同理（1），，，，由分别为的中点，可得是的中位线，则，进而可得．
【详解】（1）解：如图1，设与交于点E，
∵和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：如图2，过点O作于H．
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴的面积为；
（3）解：，理由如下；
如图3，延长到使，连接、，
∴，，
∴是以为顶点的等腰直角三角形，
又∵是以为直角顶点的等腰直角三角形，
同理（1），，
∴，，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线是解题的关键．
32．（2024·北京房山·模拟预测）如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．
(1)补全图形；
(2)判断的位置关系______，证明结论；
(3)若，且，直接写出______．
【答案】(1)画图见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）如图所示，延长到H，使得，连接，则是的中位线，得到，，由旋转的性质可得，可证明；再由线段之间的关系证明，即可证明，得到，则由三线合一定理可得；
（3）设，由（2）得，则，证明，则，，即可得到．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：，证明如下：
如图所示，延长到H，使得，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵是中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，由（2）得，
又∵，
∴，
∵，是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．
(1)求线段的长；
(2)点为线段的中点，动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度秒，连接，设的面积为，运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，且，在线段的延长线上取一点，连接，过点作于点，连接交延长线于点，若，，求点的坐标．
【答案】(1)线段的长为
(2)；
(3)点坐标为，
【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；
（1）先求得点的坐标，进而得出，根据勾股定理，即可求解；
（2）根据（1）可得线段的长为，则点从点运动到点的时间为秒，进而分，和两种情况讨论，即可求解；
（3）根据已知条件导角得出，则，根据是直角三角形，取的中点，连接得出则是的中位线，设，则，，在中，根据，勾股定理求得，进而可得，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，故点，，
∴，
∴，
（2）当时，，解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∵动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为个单位长度/秒，设的面积为，运动时间为秒，
∴，
当时，，，
当时，点与点重合，不存在，
当时，，，
（3）解：如图所示，
∵，，
∴，
又∵
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形，取的中点，连接，
则是的中位线，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是上的点，
设，
∴，
解得：，
∴点坐标为，
34．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，．
(1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿．
(2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．
(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积．
【答案】(1)；
(2)成立；理由见解析
(3)的面积为
【分析】（1）延长交于点F，取的中点H，连接，，证明、M、H三点共线，根据中位线性质得出，根据平行线性质得出，，得出为等腰直角三角形，即可证明结论；
（2）延长交于点G，连接、，证明， 得出，，证明，得出，，根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）分两种情况进行讨论：点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：延长交于点F，取的中点H，连接，，如图所示：
∵、为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，H为的中点，
∴，
∴、M、H三点共线，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，；
（2）解：成立；理由如下：
延长交于点G，连接、，如图所示：
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
根据旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
即，；
（3）解：如图，点E在线段上时，
∵在中，，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
根据解析（2）可知：，
，
∴；
当点E在线段延长线上时，如图所示：
∵在中，，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
根据解析（2）可知：，
，
∴；
综上分析可知：的面积为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，旋转的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
35．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，E是线段上一动点，连接．
(1)如图1，若，的面积为 ；
(2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
【答案】(1)32
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点C作于M，由等腰三角形性质及勾股定理可求得的长度，再由含30度角直角三角形的性质可求得的长度，从而可求得面积；
（2）延长到Q，使，连接，取的中点R，连接，由条件可得，从而，则，由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，得，即可得．
（3）在的上方作，且使，连接，证明，则可得，当点D在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点F作于点N，连接，易得，由（1）可计算出的长度．
【详解】（1）解：过点C作于M，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：32；
（2）证明：延长到Q，使，连接，取的中点R，连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，即点G是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在的上方作，且使，连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当点D在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点F作于点N，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，
而由（1）知，即，
∴垂直平分线段，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
在（1）中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即取得最小值时的长度为．
【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，综合性强，构造辅助线是解题的关键．
36．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：．
（2）如图，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论．
（3）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论．
（4）如图，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形；（3）是直角三角形；（4）
【分析】（1）取的中点，连接、，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可；
（2）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（3）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形是等边三角形，再进一步确定，进而求出，故的形状可证；
（4）连接，取的中点连接，，根据三角形的中位线的性质得到，，，，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得，再求解即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，取的中点，连接、，
、分别是、的中点，
、分别是、的中位线，
，，，
，
，
，
，，
，，
；
（2）解：是等腰三角形．
理由：如图，取的中点，连接，，
点、、分别是、、的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（3）解：是直角三角形．
理由：如图连接，取的中点，连接、，
是的中点，
，，
同理，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
，
即是直角三角形；
（4）解：连接，取的中点，连接，，
、分别是、的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【经典例题七 多边形的内角和与外角和综合】
37．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知：在中，．过边上的点D作，垂足为点E．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含的代数式表示∠H，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，与交于点M，用含的代数式表示，则 ．
【答案】(1)①，见解析；②，见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系；
（2）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出．
（3）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可．
【详解】（1）解：①，理由如下
∵，，
∴．
又∵，
∴，即，
∴．
②，理由如下
∵，，
∴，
∴．
（2），理由如下
∵，，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
又∵，，
∴，
整理得，
∴．
将其代入，
得．
（3）∵，
∴．
又∵，，，
∴，
∴．
将其代入，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系进行等量代换．
38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．
(1)如图①，则_______．
(2)如图②，则_______．
(3)如图③，设图②中的．求的度数；
(4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数．
【答案】(1)48
(2)222
(3)
(4)或
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理可得的度数；
（2）根据四边形内角和定理可得的度数；
（3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案；
（4）分两种情况：或或时，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：48；
（2）解：，
，
故答案为：222；
（3）解：由（2）知，
，
由折叠知，
，
，
得：；
（4）解：如图，当时，
，
，
，
由（3）知，
，
由折叠知，
；
如图，当时，
；
如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意；
综上可知，的度数为或．
39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】
三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是．
【问题思考】
如图1，在中，延长到点D，，分别平分和．
（1）若，，求的度数；
（2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由．
【问题拓展】
在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和．
（3）如图2，当，此时，的位置关系为 ；
（4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系；
（5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系．
【答案】（1）；（2）不变，；（3）平行；（4），说明见解析；（5）图见解析，
【分析】（1）根据角平分线的定义可求得和的度数，再根据，即可求出的度数．
（2）由（1）得，将，代入化，再将
代入化简以后的式子中即可得与m的关系式．
（3）根据四边形的内角和等于，且，可得，进一步可得．根据角平分线的定义及平行线的性质可得．
（4）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，．再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系．
（5）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，，再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系．
【详解】（1），
．
∵，分别平分和，
，，
，
．
（2）的大小不变，理由如下：
由（1）得，
．
（3）∵四边形内角和等于，
而，
，
，
，
∵，分别平分和，
，，
，
．
故答案为：平行
（4）∵四边形中，
，
，
，
∵、分别平分和，
，，
．
（5）如图，时，
∵四边形中，
，
，
．
∵、分别平分和，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则_____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，______；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：．
【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析．
【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键．
（1）根据组角的定义直接得答案；
（2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论；
（3）根据（2）的结论可直接得出答案；
（4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论．
【详解】解：（1）、互为组角，且，
，
故答案为：；
（2）钝角；
理由：优角与钝角互为组角，
优角钝角，
四边形的内角和是，
优角，
钝角；
（3）由（2）得，在镖型中，，
在镖型中， ，
，
故答案为：；
（4）的平分线交于点M，
，
令．
由（2）中的结论可知在镖形中，有
在镖形中，有，
于是根据等式的性质得出，
而，
，即．
41．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是
（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，．．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明和，即可得到；
（2）延长到点G，使，连接，也可证明和，即可得到；
（3）延长到点G，使，连接，也可证明和，根据得到即可解答．
【详解】解：（1）延长到点G，使，如图1，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）仍成立，理由如下：
延长到点G，使，如图2，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
（3），理由如下：
延长到点G，使，如图3，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
42．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点．
【探究】
（1）如图1，和的平分线交于点，则______；
（2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示）
（3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
【答案】探究：（1）25；（2）；（3），证明见解析；挑战：
【分析】探究：（1）由四边形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的性质得出，通过等量代换即可求解；
（2）同（1）可得，，通过等量代换即可求解；
（3）根据，可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，；
挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解．
【详解】解：（1），
，
和的平分线交于点，
，
，
，
故答案为：25；
（2）由（1）得，，
，
故答案为：；
（3）若，则，证明如下：
，
，
平分，平分，
，
，
，
；
挑战：如图4，，证明如下：
平分，平分，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件是解题的关键．
