福建省厦门市厦门外国语学校2024届高三下学期模拟考试数学试题（PDF版含答案）

秘密★启用前
厦门外国语学校 2024年普通高校招生考试适应性检测
数学试题
满分为 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，
用 2B 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内
的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准
使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单选题
1．若全集U R，集合 A {x | 0 x 3}, B {x |1 x 4}，则 A ( U B) （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． ,1 D． ,1
2．若 zi3 1 5i，则 z （ ）
A．1 B． 6 C． 7 D．3
3．若三个不同的平面 , , 满足 , ,则 , 之间的位置关系是（ ）
A． / / B． C． / / 或 D． / / 或 与 相交
5
4． x 2y 2z 展开式中， xy3z的系数为（ ）
A． 320 B．320 C． 240 D．240
5．记 Sn 为等差数列 a 的前n项和，已知a1 14，a2 a4 20，则 Sn n 取最小值时， n的取值为（ ）
A．6 B．7 C．7 或 8 D．8 或 9
1 ln 3
6．设a ，b ，c e 2 ln2，设 a，b，c 的大小关系为（ ）
e 3
A． a b c B．a c b C．b c a D．c b a
1
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AB 3AD AC
7．在平行四边形 ABCD中， , [ 7,3]，则cos BAD的取值范围是（ ）
| AB | | AD | | AC |
1 1 1 1 2 1 2 1
A． , B． , C． , D． , 2 6 2 3 3 3 3 6

x2 y2
8．已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的右顶点为A ，若直线 l : x 2y a 0与C 的两条渐近线分别交于 R ，
a2 b2
S两点，且满足RS 3SA，则双曲线C 的离心率为（ ）
86
A． 3 B．2 3 C． D． 86
6
二、多选题
π π π
9．已知函数 f x sin x 0 的最小正周期大于 ，若曲线 y f x 关于点 ,0 中心对称，则下列说法
3 2 3
正确的是（ ）
π 3 π π π
A． f B． y f x 是偶函数 C． x 是函数 f x 的一个极值点 D． f x 在 0, 单调递增
2 2 12 12 3
10．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从 4000 名学生（该校男女生人数之比
为3: 2）中抽取了一个容量为 100 的样本.其中，男生平均身高为 175，方差为 184，女生平均身高为 160，方差
为 179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为 2 层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1，
x 2， s ，n ， y
2
1 2 ， s2 .记总的样本平均数为 ，样本方差为 s
2 ，则（ ）
2 1 2 2 2 2参考公式： s n1 s1 x n 2 s2 y n1 n2
1
A．抽取的样本里男生有 60 人 B．每一位学生被抽中的可能性为
40
C．估计该学校学生身高的平均值为 170 D．估计该学校学生身高的方差为 236
11．已知函数 f x 的定义域为R ，其导函数为 f x ，若函数 f 2x 3 的图象关于点 2,1 对称，
f 2 x f 2 x 4x，且 f 0 0，则（ ）
50
A． f x 的图像关于点 1,1 对称 B． f x 4 f x C． f 1026 2 D． f (i) 2499
i 1
三、填空题
2 3π
12．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为 ，若上、下底面的半径分别为 1 和 2，则母线长为 ．
3
．已知曲线 f (x) x ln x 1在 处的切线 与圆C : (x 1)213 x 1 l y2 9相交于A 、 B 两点，则 | AB | ．
2
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14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在1 2 3 100的求和运算中，提出了倒序
相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数
2x 1 2 n 1 *
f (x) ，设数列 a 满足a *
x n n
f (0) f f f f (1) n N ，若存在n N 使不等式
2 2 n n n
n2 4n 2kan 27 0成立，则 k 的取值范围是 ．
四、解答题
15． ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c．分别以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为 S1,S2 ,S3 ，且
3
S S S bc． 1 2 3
4
(1)求角A ；
π
(2)若BD 4CD， CAD ，求sin ACB．
6
16．某校为庆祝元旦，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，游戏规则如下：该游戏共两关，第一
关中四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字，才能进入第二关；第二关中四字成语给出其中两个
字，剩余两个字全部填对得 10 分，只填一个且填对得 5 分，只要填错一个或两个都不填得 0 分．
1 1
(1)已知小李知道该成语的概率是 ，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是 ，在小李通过
2 2
第一关的情况下，求他知道该成语的概率．
(2)在过第二关时，小李每个字填与不填是等可能的，且每个字填对与填不对也是等可能的．记 X 表示小李在第
二关中得到的分数，求 X 的分布列及数学期望．
17．如图，四棱台 ABCD A BC D 的底面为菱形， AB 4, DD1 3, BAD 60 1 1 1 1 ，点E 为BC中点，
D1E BC, D E 21． 1
(1)证明：DD1 平面 ABCD；
(2)若 A1D1 2，求平面 A1C1E 与平面 ABCD夹角的余弦值．
3
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．已知函数 f (x) x218 ax ln x(a R)
(1)当 a 3时，求函数 f (x)的极值；
(2)设函数 f (x)有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 ，若 f x1 m恒成立，求m 最小值．
x2 y2 3
19．已知椭圆C : 1(a b 0)的左右焦点分别为F1, F2 ，椭圆C 的短轴长为2 2 ，离心率为 . 点
a2 b2 3
P x ,y0 0 为椭圆C 上的一个动点，直线PF1与椭圆C 的另一个交点为A ，直线PF2 与椭圆C 的另一个交点为 B ，
设PF1 1F1A，PF2 2 F2B .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)证明： 1 2为定值；
(3)已知 y0 0，用 x0 , y0 表示 PAB的面积 S PAB ，并求出 S PAB 的最大值
4
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厦门外国语学校 2024年普通高校招生考试适应性检测数学试题参考答案
1．B 2．B 3．D 4．A 5．C
x 1 x
6 A 解：构造函数 f x ，则 f xx x ， e e
x
当 x 1时， f x 0，函数 f x 在 1, x 上为减函数， e
1 ln3 ln3
a f 1 b f ln3 c e 2 ln 2
2
而 ， ， f 2 ，又1 ln3 2，
e 3 eln3 e2
所以 f 1 f ln3 f 2 ，即 a b c，
故选：A
AB AD
7．A【详解】设与 AB同方向的单位向量 e1 ，与 AD同方向的单位向量 e2 ，与 AC 同方向的单位向
| AB | | AD |
AC 2 2 2 2 2
量 e3 ，由题意，所以e1 3e2 e3 ，所以 e1 3e2 2e ，即e 2 ，所以3
| AC | 1
6e1 e2 9e2 e3
2 2 10 10 1 1
1 6 1 1 cos BAC 9 2所以cos BAC ，因为 [ 7,3]，所以
2 [7,9]，所以 , ，
6 6 2 6


1 1
即 cos BAC , 2 6
.

a2
x 2y a 0 x
b 2b a
8．C【详解】易知双曲线的渐近线方程为 y x，联立 b ，解得 ，即
a y x ab
a y 2b a
a2

2 x 2y a 0 x a ab 2b a
S , ，联立 b ，解得 ，即
2b a 2b a y x ab
a y
2b a
a2 ab
R , ，因为RS 3SA，所以 yS yR 3(yA yS ) ，即 4yS yR 3yA，
2b a 2b a
4ab ab b 5 2
因为 yA 0，所以 ，解得 ，则双曲线C 的离心率
2b a 2b a a 6
2
c b 86
e 1 ．
a a 6
5
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π π 2π π
9．ABC【详解】因为 f x sin x 0 的最小正周期大于 ，所以 ，即0 4，又 y f x 关
3 2 2
π π π
于点 ,0 中心对称， 所以 kπ k Z ，所以 1 3k ，因为0 4，所以当 k 1时， 2，所
3 3 3
π π π π π 3
以 f x sin 2x ，对于A ， f sin 2 sin ，故A 正确；对于B，
3 2 2 3 3 2
π π π π π
f x sin 2 x sin 2x cos 2x ，由cos 2x cos2 x且 x是全体实数，所以 y f x
12 12 3 2 12
π π 5π π
是偶函数，故B正确；对于C ， f x 2cos 2x ，令 f x 0得 x kπ， k Z，当 x , 时，
3 12 12 12
π 7π π
f x 0，f x 单调递增，当 x , 时，f x 0，f x 单调递减，所以 x 是函数 f x 的极大值点，
12 12 12
π π π 5π π
故C 正确；对于D ， 由 2kπ 2x 2kπ， k Z，得 kπ x kπ，函数的单调递增区间为
2 3 2 12 12
5π π 5π π 7π 13π π
kπ, kπ ， k Z，当 k 0时， x , ，当 k 1时， x , ，显然函数在 0, 上不单
12 12

12 12 12 12

3
调，故D 不正确.
3
10．ABD【详解】对于A 项，抽取的样本里男生有100 60人，所以 A 项正确；对于 B 项，由题可知，每一
5
100 1
位学生被抽中的可能性为 ，所以 B 项正确；对于 C 项，估计该学校学生身高的平均值为
4000 40
3 2
x 175 160 169，所以 C 项错误；对于 D，估计该学校学生身高的方差为
5 5
2 3 2 2 2s 184 175 169 179 160 169 236，所以 D 项正确.
5 5
11．ACD【详解】对于 A 中，设函数 y f x 的图象关于 (a,b)对称，则 y f x 3 关于 (a 3,b)对称，可得
a 3 a 3
y f 2x 3 关于 ( ,b) 对称，因为函数 f 2x 3 的图像关于点 2,1 对称，可得 2,b 1，解得a 1,b 1，
2 2
所以函数 y f x 的图象关于 (1,1)对称，所以 A 正确；对于 B 中，由函数 y f x 的图象关于 (1,1)对称，可得
f x f 2 x 2，因为 f 2 x f 2 x 4x，可得 f x f x 2 4x 2，则
f x 2 f x 4 4(x 2) 2 4x 10，两式相减得 f x f x 4 8，即 f x f x 4 8，所以 B 不正
确；对于C中，令 g x f x 2x，可得 g x 4 f x 4 2(x 4) f x 4 2x 8，因为 f x f x 4 8，
所以 g x g x 4 ，所以函数 g x 是以 4 为周期的周期函数，由 g x f x 2x，可得 g x f x 2，所
以 g 1026 f 1026 2，因为函数 g x 是以 4 为周期的周期函数，则 g x 是以 4 为周期的周期函数，所以
g 1026 g 2 f 2 2，由 f 2 x f 2 x 4x，可得 f 2 x 1 f 2 x ( 1) 4，即
6
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f 2 x f 2 x 4，令 x 0，可得 f 2 f 2 4，所以 f 2 2，所以 g 2 0，所以
f 1026 f (1026) 2 f (2) 2 2，所以 C 正确；对于 D 中，因为 f 0 0，且函数 f x 关于 (1,1)对称，可
得 f 1 1, f 2 2，又因为 f 2 x f 2 x 4x，令 x 1，可得 f 3 f 1 4，所以 f 3 5，再令 x 2，
可得 f 4 f 0 8，所以 f 4 8，由 g x f x 2x，可得 g 1 1, g 2 2, g 3 1, g 4 0，可得
g 1 g 2 g 3 g 4 4又由函数 g x f x 2x是以 4 为周期的周期函数，且 f x g x 2x，所以
50
f (i) f 1 f 2 f 50 g 1 g 2 g 50 2(1 2 50)
i 1
50(1 50)
12 g 1 g 2 g 3 g 4 g 1 g 2 2(1 2 50) 12 ( 4) 1 2 2 2499，所以 D2
正确.
12．2
13． 34【详解】由 f (x) x ln x 1，定义域为 0, ，f x ln x 1，则切线斜率 k f 1 1，又 f 1 n1l 1 1 ，
所以切线方程为： y 1 x 1，化简为： x y 2 0；又因为圆的圆心C 1,0 ，半径 r 3，设圆心到直线的
1 0 2 2
距离为d ，则d ，则 AB 2 r2 d 2
1
2 9 34 .
2 2 2
59 x 1 x x 2 2 2 2 2x 2
14． , 【详解】因为 f (x) f (1 x) 1，
5 2x 2 21 x 2 2x 2 2 2 2x 2x 2 2x 2
1 1 1 2 n 1
所以 f (x)的图象关于点 , 中心对称．因为an f (0) f f f f (1)，所以
2 2 n n n
n 1 n 2 1 n 1
an f (1) f f f f (0)
2
，两式相加得 2an n 1，所以an ．由n 4n 2ka n 27 0 ，
n n n 2
2 n 1 n
2 4n 27 (n 1)2 2(n 1) 24 24
得 n 4n 2k 27 0，所以 k (n 1) 2．令
2 n 1 n 1 n 1
24
g(x) (x 1) x *N ，则当0 x 2 6 1时， g(x)单调递减；当 x 2 6 1时， g(x)单调递增．又
x 1
24 49 24 49 49 59
g(4) 5 , g(3) 4 10 g(4)，所以 g(x)min g(4) ，所以 k 2 ，即 k 的取值范围是
5 5 4 5 5 5
59
, ．
5
7
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2π 2 7 3 3 3
15．(1) (2) 【详解】（1）解：由分别以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为 S1 a
2 , S 22 b ,S c
2 ，
3 37 4 4 4
3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 b
2 c2 a2 1
则 S S S a b c bc ，可得a b c bc，由余弦定理得 cos A ，因为1 2 3
4 4 4 4 2bc 2
2π
A (0,π)，所以 A .
3
（2）解：设 ACB （其中 为锐角），在△ABD和 ACD中，由正弦定理可
π
BD AD CD AD BDsin( )
3 CDsin 5π π
得 2π π π 且 π ，于是 ，又因为BD 4CD,sin sin ，
sin( ) sin( sin(π )) sin 5π π
3 6 3 6 sin sin
6 6
6 6
sin sin
4 3
所以 π 3 1 ，化简得cos sin ，根据同角三角函数的基本关系式，可得sin( ) cos sin
3 22 2
cos2
2 7 2 7
sin2 1，因为sin 0，联立方程组，解得 sin ，即sin ACB .
7 7
2 15
16．(1) (2)分布列见解析，数学期望为 .
3 8
【详解】（1）记事件A 为“小李通过第一关”，事件 B 为“小李知道该成语”，则
1 1
P A∣B 1, P A∣B , P B P B ，由全概率公式可得
2 2
1
1 1 1 3 P(BA) 2
P A P B P A∣B P B P A∣B 1 ，则所求概率为P(B∣A) 2 .
2 2 2 4 P(A) 3 3
4
（2）设事件 Ai 表示小明填了 i 个字， i 1,2,C 表示填到的字都是正确的. X 的可能取值为 0，5，10，
1 1 1 1 1 1 11
P(X 5) P A1C ，P(X 10) P A2C ，P(X 0) 1 P(X 5) P(X 10) .
2 2 4 4 4 16 16
随机变量 X 的分布列为
X 0 5 10
11 1 1
P
16 4 16
11 1 1 15
故E(X ) 0 5 10 .
16 4 16 8
8
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2 13
17 【答案】(1)证明见解析(2)
13
【详解】（1）连接DE 、DB，
因为四边形 ABCD为菱形， BAD 60
所以 BDC是边长为4 的正三角形，
因为E 为BC中点，所以DE BC ，DE 2 3，
又因为D1E BC, D1E DE E ，D1E, DE 平面D1DE，所以BC 平面D1DE，
又DD1 平面D1DE，
所以BC DD1，
又D1E 21，DD1 3，DE 2 3，
2
所以DD1 DE
2 D1E
2
，所以DD1 DE ，
又因为DE BC E,DE,BC 平面 ABCD，
所以DD1 平面 ABCD .
（2）因为直线DA, DE, DD1两两垂直，以D为原点，DA, DE, DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标
系，
则D 0,0,0 , A 4,0,0 , E 0,2 3,0 ,C 2,2 3,0 , A1 2,0,3 ，
1
所以 A1C1 AC 3, 3,0 , EA1 2, 2 3,3
2
设平面 A1C1E 的一个法向量为n x, y, z ，
n A 1C1 3x 3y 0 y 3x
则 ，即 ，令 x 3，得 y 3 3, z4 ，所以n 3,3 3,4 ，由题意知，m 0,0,1
n EA1 2x 2 3y 3z 0 4x 3z
是平面 ABCD的一个法向量，设平面 A1C1E 与平面 ABCD的夹角为 ，
m n 4 2 13
cos 2 13
则 m n 2 13 ，所以平面 A1C1E 与平面 ABCD夹角的余弦值为 .
32 3 3 42 13
9
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5 3 1
18．(1)极大值 ln 2；极小值 2 (2) ln 2
4 2 2
2 1 2x
2 3x 1
【详解】（1）当 a 3时，有 f (x) x 3x ln x x 0 ， f x 2x 3 x 0 令 f x 0，即
x x
1 1 1
2x2 3x 1 0，解得 x 或 x 1，所以当 x 0, 时，f x 0，f x 单调递增，当 x ,1 时，f x 0，
2 2 2
1
f x 单调递减，当 x 1, 时， f x 0， f x 单调递增；所以 x 时， f x 取得极大值，极大值为
2
1 5
f ln 2， x 1时， f x 取得极小值，极小值为 f 1 2 .
2 4
1 2x22 ax 1（2）因为 f (x) x ax ln x(a R) x 0 ，所以 f x 2x a x 0 由已知函数 f (x)有两个
x x
极值点 x1, x2 ，所以方程 22x2 ax 1 0有两个相异的正根 x1 x2 所以 a 8 0，即a 2 2或a 2 2 ，
a 1 a 2
又 x1 x2 0，所以a 0，x1 x2 ，所以a 2 2；所以 y 2x
2 ax 1对称轴为 x ，二次函数与 x
2 2 4 2
2 2
轴交点为x1、x x x2，且 1 2 ，所以x1在对称轴的右侧，则有 x ，因为 2x
2
1 ax1 1 0，即 ax1 2x 1， 1 1
2

f x x2 2
2
所以 1 1 ax1 ln x1 x1 2x21 1 ln x1 x21 ln x1 1 2，其中 x ，令 g x x2 ln x 1 x ，1
2 2
1 1 2x2 2 2 2
则 g x 2x x ，令 g x 0，解得 x 均不在定义域内，所以 x 时， g x 0，x x 2 2 2
2 2 3 1 3 1 3 1
g x 在 , 上单调递减， g x g ln 2，所以m ln 2 ，即m 最小值为 ln 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2
10
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x2 y2 10 9 2
19．(1) 1(2)证明见解析(3) S PAB y0 1 2 ，
3 2 3y0 2 4
3 c b2 2
【详解】（1）由题知2b 2 2 ，得到b 2 ，又 1 1 ，解得a 3，所以椭圆C 的方程为
3 a a2 a2
x2 y2
1.
3 2
（2）由（1）知F1 01, ，F2 1,0 ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则PF1 1 x0 , 0y ，F1A x1 1, y1 ，PF2 1 x0 , y0 ，
1 x
x 01 1
1 x0 1 x 1

1 1
F2B x2 1, y2 ，由PF1 1F1A，得到 ，所以 ，
y0 1y y1 y 01
1
2 2
1 x 0 y 0 2
1
2 2
1 x0
2 x y
又 A(x1, y1) 1
y
在椭圆上，所以 ，即 0 2 .
0 0
又 1，故1 1 1 1 3 2 3 2
3 2
2
1 x0 1 x
2
2 2 2 2 20 2 ，即 1 x 2 1 1 0 1 3 x0 3 1 0 .将其展开，得到 2 1 2 1 x0 1 1 x0 3 x0 0，
3 3
2 2
即 2 1 2 1 x0 1 2x0 4 0 .从而 1 1 x0 1 x 2 0，即 ( 1 1)( 1 2 x0) 0，易知 0 1 0，所以
1 x
x2
0 1
1 x
2 x 0
2 x2 1 2
1 0 0，得到 1 2 x0 ，同理，由PF2 2 F2B，得到 ，所以 ，又B(x2 , y2 )
y0 2 y2 yy 0

2
2
2 2
1 x 0 y 0 2 1 1 x y2 2
2
x0 y
2
0 1 x x2在椭圆上，所以 0 2 0 2 . ，即 又 1，故
0 2
2 1
0 2 ，
2 2 3 2 2 1 3 2 3 3
3 2
2 2
即 1 x0 1 3 x
2 3 20 2 0 .将其展开，得到 2
2
2 2 1 x
2
0 2 1 x0 3 x0 0，即
2 22 2 1 x0 2 2x 4 0
2
0 .从而 ( 2 1 x0 2 x0 2 0，即 2 1)( 2 2 x0) 0，易知 2 0，所以
2 2 x0 0，得到 2 2 x0 ，所以 1 2 4，即 1 2为定值.
11
{#{QQABIKQQACEl4ogiA4okAJbJAJACAaA4qhVC0UEwUVCQkCiQkkCJQGkgALGagAMAhSRgOCMAAqAAZDsAwIYBFgAFBABAA=A}#=}}#}
1
PA PB sin APB
S PA PB
（3）因为 PAB 2 ，又因为PF F A，PF F B ，故
S 1PF F PF1 PF
1 1 1 2 2 2
1 2 PF 21 PF2 sin F1PF2
2
1 1 1 1 PA 1
PA PF 1 1 F1A PF1 PF1 1 PF1 ，PB PF2 F2B PF2 PF2 1 PF2 .所以 ，
1 PF1 1 2 2 1
PB 1
1 ，从而
PF2 2
S PA PB 1 PAB 1 1 1 1 1 4 1 5 1 1 1 1
1 2
1 1 .
S PF F PF1 PF2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x0 2 x0 4 x
2
1 2 0


1 1 5 5 10
又 S PF F F F y 2 y y ，故 S

PAB y0 1 y0 1 y0 1 1 2 0 0 0 2 2 然后考虑1 2 2 2 2 4 x0 y 3y 2
4 3 1 0
0

2
3 2
S PAB 的最大值.首先，由于0 y0 b 2，故 y .0 2 0 同时由 y0 y0 2 0可知
2

4y2
3 2
0 5 2y0 6 2y
2
0 5 2y0 6 2 y0 2 y0 0 2 ，故
y0 2 4y20 5 2y0 6 0，从而4y3 20 9 2y0 16y0 6 2 0，故
4y30 16y0 9 2y
2
0 6 2 .这意味着
3y2 12 y3 4y 4y310 3 16y 3 9 2y
2 6 2 3 9 2
S PAB y0 1 y
0 3 0 0 0 0 0
0 3 2
3y2
；
0 2 3y
2
0 2 3y
2
0 2 4 3y
2 2 4 3y20 0 2 4 4
3 2 3 2 1 3 2 9 2
另一方面，当 P 的坐标是 0, 2 时，有 A , ，B , ，此时 S . 2 2 2 2 PAB 3 2 2 4
9 2
所以 S PAB 的最大值是 .
4
12
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