黑龙江省哈尔滨市黑龙江实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试题（含答案）

黑龙江省实验中学2024年高三第四次模拟考试
数学学科试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知角为第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的部分图像大致为（ ）.
A. B.
C. D.
4.已知向量，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，角所对的边为若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知拋物线，其捧点到准线的距离为2，过焦点且斜率大于0的直线交拋物线于两点，以为直径的圆与准线相切于点，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.定义：满足为常数，的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知圆台的上 下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则（ ）
A.该圆台的母线长为
B.该圆台的表面积为
C.该圆台的体积为
D.该圆台的外接球的表面积为
11.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长 短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线，则下列描述正确的为（ ）
A.点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B.若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C.若上任意一点都满足，则
D.若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设，则__________.
13.已知函数，若曲线在处的切线方程为，则__________.
14.二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克编号从小到大为，，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间，由于是未知的，除了最右边的区间外，其他个区间都是已知的.由于这个数是随机抽取的，所以可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.例如，缴获坦克的编号是，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
已知双曲线的左 右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
17.（本小题满分15分）
已知四棱锥的底面是棱长为2的菱形，，若，且与平面所成的角为为的中点，点在线段上，且平面.
（1）求；
（2）求平面与平面夹角的大小.
18.（本小题满分17分）
2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为.
（1）令，则，且，求，并证明：；
（2）第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点；
（3）以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列.
参考数据：，则，.
19.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示.
（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，求证：.
黑龙江省实验中学四模参考答案
一 选择题
1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B
二 多选题
9.BCD 10.ACD 11.BCD
三 填空题
12. 13. 14.
四 解答题
15.（1）
（2）
【分析】（1）根据等差 等比数列的通项公式可得，解之即可求解；
（2）由（1）得，结合裂项相消求和法和等比数列前项和公式计算即可求解
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
由得，
两式相除得，
所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以.
16.（1）
（2）或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公
式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即，所以双曲线的方程为：.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
设，由题可知，
联立，
所以，
点到直线的距离，
所以
，
令，化简得：，解得：或，
所以或.
17.（1）；
（2）.
【分析】（1）连接，利用线面平行的性质结合三角形重心及菱形性质求解作答.
（2）取中点，利用给定条件探求平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【详解】（1）连接，连接，由菱形知是中点，而为的中点，
则为的重心，有，
因为平面，平面平面平面，因此，所以.
（2）菱形中，由，知为等边三角形，有，又，
则，即有，取的中点，连接，则，而，且两相交直线在平面内，于是平面，而平面，有平面平面，
在平面内过做于点，平面平面，
从而平面是与平面所成的角，则，
因为，则，又，因此与重合，
以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
于是.
所以求平面与平面夹角的余弦值为.
18.（1）0.02275；证明见解析.
（2）（i）分布列见解析
（ii）能，.
【分析】
（1）利用正态分布的对称性即可求得结果；
（2）先利用导数求出，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.
【详解】（1），又，
所以.
因为，根据正态曲线对称性，，
又因为，所以.
（2），
.
令，得.
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数.
所以的最大值点，从而.
（i）的可能取值为.
所以的分布列为
3 2 1 0
（ii）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为.
19.（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦 余弦公式得到点的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦 余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算，证明即可.
【详解】（1）可求得，设，则，，
设点，
故
所以.
（2）设，则，
故
所以坐标变换公式为，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵，向量，则.
，
对应变换公式为：，
所以
故对应变换公式同样为
所以得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，
则：.