2024成都中考数学三轮冲刺 阅读材料题专项训练 (含解析)

2024成都中考数学三轮冲刺 阅读材料题专项训练
1．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
2．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
3．（2023年重庆市渝中区巴蜀中学校中考三模数学试题）对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______．
4．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六秩数”．若，，记，则______；若N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数，记，则的最大值与最小值的差为______．
5．（2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题）对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若为整数，则称数m为“重九数”，______，若“重九数”（，，c，，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是______．
6．（2023年重庆市育才中学教育集团中考三模数学试题）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______．
7．（2023年重庆市第一中学中考三模数学试题）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为______，M的值为______．
8．（2023年重庆市实验外国语学校中考二模数学试题）一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算______；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为______．
9．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1）______；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为______．
10．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，若，则的值为______；满足条件的所有数n的最大值为______．
11．（2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷）把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为，把N的千位数字与百位数字的乘积记为，十位数字与个位数字的乘积记为，称为N的“陪伴值”．
（1）4164的“陪伴值”为 ___________________；
（2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且，则满足条件的N的最小值是 _________．
12．（2023年重庆市江津中学中考数学二模试题）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则 __________，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝ __________．
13．（2023年重庆市九龙坡区中考二模数学试题）对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为__________．
14．（2023年重庆市第一中学校中考一模数学试题）一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则___________，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数___________．
15．（2023年重庆市大渡口区中考二模数学试题）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“平方差数”．一个“平方差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，当满足条件的M取得最大值时，__________，最大值为__________．
16．（2023年重庆南岸区中考一模数学试题）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”．
（1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______；
（2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是______．
17．（2023重庆中考模拟预测）一个四位自然数M，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中．设它的千位数字和百位数字组成的两位数为A，十位数字和个位数字组成的两位数为B，且A与B的和等于M的百位数字与十位数字和的10倍．记，当为5的倍数时，则满足条件的M取得最小值时，_______，此时M的最小值为_______．
18．（2023年重庆实验外国语学校中考一模数学试题）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称 m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N 的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为______，m的值为______．
19．（重庆市第八中学2022-2023学年九年级下学期适应考试数学试题）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是______；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为______．
20．（2022年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
21．（重庆市2021年中考数学真题（B卷））对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．
22．（重庆市2021年中考数学真题（A卷））如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
23．（重庆市2020年中考数学试题A卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
24．（重庆市2020年中考数学试题（B卷））在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
25．（重庆市2019年中考数学试题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
26．（重庆市2019年中考数学（A卷）试题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
参考答案与详细解析
1．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
【答案】 6200 9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
2．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
【答案】 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
3．（2023年重庆市渝中区巴蜀中学校中考三模数学试题）对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______．
【答案】 82 6939
【分析】①根据题目所给“双倍差数”的定义，以及的运算法则，计算出的值即可；②将M化为，即可得出各个数位上的数字，再得出的表达式，根据“双倍差数”的定义，得出，根据 除以13余1，得出能被13整除，进而得出能被13整除，根据a和b的取值范围，得出a关于b表达式，进行分类讨论，当a取最大值时，M才取最大值，最后逐个求出各个字母即可．
【详解】解：①，，
∴，
∵该四位数为“双倍差数”，
∴，解得：，
∴；
②
∵，，，，
∴，，，，
∴M个位上的数字为，十位上的数字为，百位上的数字为，千位上是数字为，
∵，，
∴ ，
∵M是“双倍差数”，
∴，整理得：，
∴
，
∵除以13余1，
∴能被13整除，
即能被13整除，
∵
，
∴能被13整除，
∵，，
∴，，则
∴，
∴，
（1）当 时，，
∵，，且a、b为整数，
∴此情况不符合题意，舍去；
（2）当 时，，
∵，，且a、b为整数，
∴，
（3）当 时，，
∵，，且a、b为整数，
∴此情况不符合题意，舍去；
（4）当 时，，
∵，，且a、b为整数，
∴此情况不符合题意，舍去；
（5）当 时，，
∵，，且a、b为整数，
∴此情况不符合题意，舍去；
综上：，
∵千位上数字为，
∴当时，M取最大值，
把代入，解得：，
∵，
∴，则，
∵，
∴当时，取最大值，则
综上：当M取最大值时，，，，，
∴满足条件的M的最大值为．
故答案为：82，6939．
【点睛】本题主要考查了新定义下是实数运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算法则．
4．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六秩数”．若，，记，则______；若N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数，记，则的最大值与最小值的差为______．
【答案】 6，8，4，3，
【分析】根据题意用表示这个四位数，根据定义推出可能的值，计算比较出最大值和最小值，计算即可．
【详解】设
∵
即
整理得
故
根据题意N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数
则满足，且是一个完全平方数
∵是一个完全平方数
故或
当时，，根据进行推算：
①，，此时，故
若，，则
若，，则
若，，则
若，，则
的最大值与最小值的差为
②，，此时，故
若，，则
若，，舍去
若，，则
若，，舍去
若，，舍去
若，，舍去
若，，则
若，，舍去
若，，则
的最大值与最小值的差为
③，，此时，故，舍去
④，，此时，故
若，，则
若，，舍去
若，，舍去
若，，舍去
若，，则
的最大值与最小值的差为
⑤，，此时，故
若，，则
若，，则
若，，则
若，，则
的最大值与最小值的差为
⑥，，此时，故，舍去
⑦，，此时，故，舍去
当时，，根据进行推算：
①，，此时，故
若，，舍去
若，，则
若，，舍去
若，，则
若，，舍去
的最大值与最小值的差为
综上，的最大值与最小值的差为6，8，4，3，
故答案为：；6，8，4，3，
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过且是一个完全平方数，结合进行推算，得到可能性的数值，计算．
5．（2023年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校中考三模数学试题）对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若为整数，则称数m为“重九数”，______，若“重九数”（，，c，，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是______．
【答案】 10 9891
【分析】（1）根据得出的结果；
（2）根据“重九数”的定义得出均需被9整除，从最大4位数依次取符合要求的数中寻找符合是7的倍数的数，得出答案．
【详解】解：（1）．
故答案为：10．
（2）由题意得：
，
的结果为整数，
为整数，
故是9的整数倍，
同理是9的整数倍，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，并且满足是7的倍数，故．
故答案为：9891．
【点睛】本题考查了对新定义的理解，其中对整除的理解是解题的关键．
6．（2023年重庆市育才中学教育集团中考三模数学试题）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______．
【答案】
【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，2，3，4，5，6，7，8时：，，，，1，，，，即可求出k的所有取值之积．
【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵能被20整除，
∴，则，即：
∴，，
当，2，3，4，5，6，7，8时：，，，，1，，，，
∴k的所有取值之积为：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键．
7．（2023年重庆市第一中学中考三模数学试题）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为______，M的值为______．
【答案】 7 4169
【分析】根据给出的新定义来化简，即可求出；表示出M、N，从而表示出，根据为整数即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，为整数，
∴；
设，，
∴，
∵，
∴，为整数，
∴
∴；
故答案为：7；4169．
【点睛】本题主要考查整式的计算，通过新定义来推导对应的关系，用a、b、c、d来表示，通过讨论求出最终的解．
8．（2023年重庆市实验外国语学校中考二模数学试题）一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算______；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为______．
【答案】 23 85
【分析】根据题目所给新定义即可计算；根据题意得出，，结合完全平方数的定义和得出，则，根据得出，根据，以及n为两位数，即可得出或，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，
∵，，
∴，
，
∵是一个完全平方数，且是一个两位数，
∴．
∵，
∴．
∴，则，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∴或14，
∴或，
当时，，
∵，n为两位数，
∴当时，n有最大值85；
当时，，
∵，n为两位数，
∴当时，n有最大值83；
综上：n的最大值为85，
故答案为：23，85．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．
9．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1）______；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为______．
【答案】 2187 4176
【分析】（1）根据定义，计算即可．
（2）根据定义，结合分类思想计算即可．
【详解】（1）∵6312中，
∴，
∴6312是“倍和数”，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，
∴；
故答案为：2187．
（2）设四位数m为，
∵m是“倍和数”，
∴，
∴，
∴，
∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，
∴，
∵，
∴，
∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数，
当时，，能被7整除，此时；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，能被7整除，此时；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，能被7整除，；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
当时，，不能被7整除，舍去；
故所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为，
故答案为：4176．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．
10．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，若，则的值为______；满足条件的所有数n的最大值为______．
【答案】 9 5438
【分析】由题意知，，整理得，，即，则为91的整数倍，且，进而可得，由得，，是9的整数倍，由，可得，当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，则当为5438时，是满足条件的最大值，进而作答即可．
【详解】解：由题意知，，
整理得，，
∴，
∵a，b，c，d为整数，，且，
∴为91的整数倍，且，
∴，
∴，则，是9的整数倍，
∵，
∴，
∴当时，，即，，不符合要求；
当时，，即，，不符合要求；
当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；
∵为千位数字，，
∴越小，越大，越大，
∴当为5438时，是满足条件的最大值，
故答案为：9，5438．
【点睛】本题考查了平方差，新定义下的实数的运算．解题的关键在于理解题意．
11．（2023年重庆市两江新区中考数学一模试卷）把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为，把N的千位数字与百位数字的乘积记为，十位数字与个位数字的乘积记为，称为N的“陪伴值”．
（1）4164的“陪伴值”为 ___________________；
（2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且，则满足条件的N的最小值是 _________．
【答案】 7252
【分析】（1）根据新定义要求，计算求解即可．
（2）根据新定义要求，计算求解即可．
【详解】解：（1）∵4164，
∴，
∴4164的“陪伴 值” ．
故答案为：．
（2）设N的四位数分别为a，b，c，d，（a，b，c，d均不为零）
由题意得：其中n是正整数，
∵，
∴，∴，，
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，此时的四位数是；
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，不是整数，舍去；
当时，，解得，不是整数，舍去；
∴满足条件的N的最小值是7252．
故答案为：7252．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．
12．（2023年重庆市江津中学中考数学二模试题）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则 __________，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝ __________．
【答案】 77 275
【分析】（1）分别求出7与12的“趣味数”，代入中，联立方程组即可求出a、b的值，从而确定的表达式，再求出的“趣味数”是，代入所求的表达式即可；
（2）设s的十位数字为a，个位数字为b，分别表达出，由题意可得等式，再根据b的取值与等式成立的条件确定，由此列式计算，从而确定；再结合t是的“趣味数”，进一步确定t的值，从而求解．
【详解】解：（1）7的“趣味数”是9，
∴；
12的“趣味数”是14，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵的“趣味数”是，
∴；
故答案为：77；
（2）设s的十位数字为a，个位数字为b，
由题意可知，，
∵是s的9倍，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴满足条件的a与k为：
或或，
∵，
∴s'为135，315，
∵t是的“趣味数”，
∴t为195，915，“趣味数”为115，
∵，
∴，
∴的最小值为275．
故答案为：275．
【点睛】本题考查因式分解的应用；准确理解题意，根据三位数的特点，能用字母表示数，再结合数的特点逐步确定各位数字的具体数是解题的关键．
13．（2023年重庆市九龙坡区中考二模数学试题）对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为__________．
【答案】8154
【分析】根据“坎数”的定义可以得到，可得出，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知，则可知，，故，则最大的值为，，即可求解．
【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到，
∴，
∵为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当，时，N有最大值，
∴，
∴N的最大值为8154，
故答案为：8154．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．
14．（2023年重庆市第一中学校中考一模数学试题）一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则___________，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数___________．
【答案】 6 8316
【分析】（1）根据题意，找出千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字，再根据条件列数相关算式，即可解决问题
（2）先通过算式分别表示和，在通过条件化简整式，利用条件找出符合题意的最大的A
【详解】解：（1）由题干可得：千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字
可得：
∵，且为整数
∴
（2）
由可得：
∴
等号左边是9的倍数，∴
个位越大，A越大，所以A最大＝8316
【点睛】本题属于数与式中的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题关键
15．（2023年重庆市大渡口区中考二模数学试题）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“平方差数”．一个“平方差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，当满足条件的M取得最大值时，__________，最大值为__________．
【答案】 9 6318
【分析】根据为“平方差数”可得，则，，进而得到是整数，设，（为整数且），因此，得到或8，当时，对，进行取值，并求出此时；当时，对，进行取值，并求出此时，即可求解．
【详解】解： ，且，
四位数为“平方差数”，
，
，
，
是整数，
是整数，
由为整数可知，，
设（为整数且），
，
，
或8，
当时，
①若，则，此时，不符合题意；
②若，则，此时，；
③若，则，此时，；
④若，则，此时，；
⑤若，则，不符合题意；
当时，
①若，则，此时，；
②若，则，不符合题意．
综上，符合条件的有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318，此时．
故答案为：①9；②6318．
【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含，的代数式表示出是解题关键．
16．（2023年重庆南岸区中考一模数学试题）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”．
（1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______；
（2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是______．
【答案】
42，36
【分析】（1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得；
（2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数．
【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”，
∴，
∴，
故答案为；
（2）∵和是一对“友谊数对”， ，，，，，
∴，
∴，
解得或 （舍去），
∴，，，，
∴两个两位数分别是，，
故答案为，．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力．
17．（2023重庆中考模拟预测）一个四位自然数M，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中．设它的千位数字和百位数字组成的两位数为A，十位数字和个位数字组成的两位数为B，且A与B的和等于M的百位数字与十位数字和的10倍．记，当为5的倍数时，则满足条件的M取得最小值时，_______，此时M的最小值为_______．
【答案】 2327
【分析】由题意得，，，，则，化简得，故有，由为5的倍数，可得M的最小值．
【详解】解：由题意得，，
由题意可得，，，
∵，
∴，
化简得，，
∴，
∵为5的倍数，
∴若要M最小，则有，，，，
∴，此时M的最小值为2327．
故答案为：；2327．
【点睛】本题考查了数字整除问题，运用题设条件进行数值分析是解题的关键．
18．（2023年重庆实验外国语学校中考一模数学试题）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称 m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N 的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为______，m的值为______．
【答案】
【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解．
【详解】解：设一个“一致数”满足且，
则，
∴，
一个两位数，将N 的各个数位数字之和记为，
则，
∵
即
∴
∴，
∵满足为偶数时，为偶数，
∵，
∴且为偶数，
当时，则，
当，时，（，舍去）
当，时，（，舍去）
当，时，，则，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了整除，整式的加减，求不等式组的整数解，理解题意解题的关键．
19．（重庆市第八中学2022-2023学年九年级下学期适应考试数学试题）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是______；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为______．
【答案】 1001 8778
【分析】①根据“交替数”的概念结合求最小时让千位、百位、十位、个位上的数字尽可能小进行判断即可；②根据题意列出方程，利用“交替数”概念以及平方差公式进行变形得到二元一次方程组，然后根据求最大的“交替数”的要求进行计算即可．
【详解】解：①∵是四位正整数，
∴
最小为1
当时，
∴是“交替数”且最小，
∴最小的“交替数”是1001
②解;设
由题意得：（为正整数）
，
或
解得：或
（为正整数）
或或
∴的最大值为8778
【点睛】本题主要考查新定义的理解以及运用和平方差公式，二元一次方程组的求解，熟练掌握平方差公式变形以及二元一次方程组的解法，对新定义的概念的充分理解是解决本题的关键．
20．（2022年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
（2）∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
21．（重庆市2021年中考数学真题（B卷））对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去，
当时，则
当时，
此时： ，而不为偶数，舍去，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，则
而则不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
22．（重庆市2021年中考数学真题（A卷））如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．
【详解】解：（1）
不是“合和数”，是“合和数”．
，，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字，
是“合和数”．
（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），
则．
∴．
∴（是整数）．
，
，
是整数，
或，
①当时，
或，
或．
②当时，
或，
或．
综上，满足条件的有，，，．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
23．（重庆市2020年中考数学试题A卷）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
【详解】解：（1）∵；，
∴49不是“差一数”，
∵；，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
24．（重庆市2020年中考数学试题（B卷））在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析．
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
25．（重庆市2019年中考数学试题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）2000，2001，2002，2010，2011，2012；（2）0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【分析】（1）根据“纯数”的概念，从2000至2019之间找出“纯数”；
（2）根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义解答．
【详解】解：（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行的运算时要产生进位．
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；
（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【点睛】本题考查的是整式的加减、有理数的加法、数字的变化，正确理解“纯数”的概念是解题的关键．
26．（重庆市2019年中考数学（A卷）试题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当时，，
∵计算时，个位为，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当时，，
∴个位为，不需要进位：十位为，不需要进位：百位为，不需要进位：千位为，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.