2024成都中考数学三轮冲刺：相似、面积、动点综合题预测精选（PDF版，含答案）
文档属性
| 名称 | 2024成都中考数学三轮冲刺：相似、面积、动点综合题预测精选（PDF版，含答案） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-02 19:25:51 | ||
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文档简介
2024成都中考数学相似、面积、动点综合题预测精选
一．解答题（共 11 小题）
1．（2022 苏州）（1）如图 1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交 AB于点 D，DE∥AC，交
BC于点 E．
①若 DE＝1，BD＝ ，求 BC的长；
②试探究 ﹣ 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图 2，∠CBG和∠BCF是△ABC的 2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交 AB的延
长线于点 D，DE∥AC，交 CB的延长线于点 E．记△ACD的面积为 S1，△CDE的面积为 S2，△BDE
的面积为 S3．若 S1 S3＝ ，求 cos∠CBD的值．
第 1页（共 39页）
2．（2021 苏州）如图，在矩形 ABCD中，线段 EF、GH分别平行于 AD、AB，它们相交于点 P，点 P1、
P2分别在线段 PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接 P1H、P2F，P1H与 P2F相交于点 Q．已知 AG：
GD＝AE：EB＝1：2，设 AG＝a，AE＝b．
（1）四边形 EBHP的面积 四边形 GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形 PP1QP2的面积为 S1，四边形 CFQH的面积为 S2，求 的值．
第 2页（共 39页）
3．（2024 姑苏区一模）（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为边 BC上一动点，将点 A
绕点 D按顺时针方向旋转，得到点 A′，使得∠ADA′＝∠B，过点 C作 AD的平行线，交直线 DA′
于点 E，连接 AE．
①若 BD＝2，求 AD的长度；
②求 AD CE的最大值．
（2）如图②，当点 D在 BC的延长线上时，将点 A绕点 D按顺时针方向旋转，得到点 A′，使得∠
ADA′＝∠B，过点 C作 AD的平行线，交直线 DA′于点 E，连接 AE．记△ABD的面积为 S1，△ADE
的面积为 S2，△CDE的面积为 S3，若 ，求 sin∠ADB的值．
第 3页（共 39页）
4．（2024 高新区模拟）已知矩形 ABCD中，E是 BC的中点，DF⊥AE于点 F．
（1）如图 1，若 BE＝ ，求 AE AF的值；
（2）如图 2，连接 AC交 DF于点 G，若 ＝ ，求 cos∠FCE的值；
（3）如图 3，延长 DF交 AB于点 G，若 G点恰好为 AB的中点，连接 FC，过 A作 AK∥FC交 FD于 K，
设△ADK的面积为 S1，△CDF的面积为 S2，则 的值为 ．
第 4页（共 39页）
5．（2024 惠山区一模）如图 1，矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝8，点 P为线段 BC边上一点，点 E为线段
AP上一点，取线段 DE的中点 F，以 PE，PF为邻边向上作 PEGF，EG、GE所在直线分别交 AD 于
M、N．设 ．
（1）当点 G落在 AD上时（如图 2），m的值为 ．
（2）若 P为 BC的中点，且点 G到直线 AD的距离为 1时，求 m的值．
（3）设△GMN的面积为 s，求 s与 m的函数表达式．
第 5页（共 39页）
6．（2023 吉安县模拟）课本再现
如图 1，在等边△ABC中，E为边 AC上一点，D为 BC上一点，且 AE＝CD，连接 AD与 BE相交于点
F．
（1）AD与 BE的数量关系是 ，AD与 BE构成的锐角夹角∠BFD的度数是 ；
深入探究
（2）将图 1中的 AD延长至点 G，使 FG＝BF，连接 BG，CG，如图 2所示．求证：GA平分∠BGC．（第
一问的结论，本问可直接使用）
迁移应用
（3）如图 3，在等腰△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边 BC，AC上的点，AD与 BE相交于点 F．若
∠BAC＝∠BFD，且 BF＝3AF，求 值．
第 6页（共 39页）
7．（2023 苏州模拟）如图①，点 E为矩形 ABCD中较短边 AB上一任意点，连接 DE，在 AD上方以 DE
为边作正方形 DEFG，分别连接 CE、CF、CG，F与 BC交于点 H，若△ECD的面积 y1与 BE的长度 x
的函数关系的图象如图②中直线的一部分，正方形 DEFG的面积 y2与 BE的长度 x的函数关系的图象
如图②中抛物线的一部分．
（1）①矩形 ABCD的面积＝ ；
②求出矩形 ABCD的周长；
（2）E、C、G三点能否共线，若能，求出此时 x的值，若不能，请说明理由；
（3）连接 FB，令△BFE的面积为 S1，△CEF的面积为 S2，当 x为间值时， 取得最大值？此时∠FCB
和∠CGD是否相等？请说明理由．
第 7页（共 39页）
8．（2023 工业园区一模）如图①，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝5， ．点
P在 AB上，连接 BD、PC、PD．
（1）求 AB的长；
（2）探索：是否存在这样的点 P，使得 PC平分∠BCD、PD平分∠ADB同时成立？若存在，求出 PA
的长；若不存在，说明理由；
（3）如图②，PC与 BD相交于点 E，过点 P作 PF∥CD，PF与 BD相交于点 F．设△PEF、△PCD
的面积分别为 S1、S2．若 S2＝6S1，求 PA的长．
第 8页（共 39页）
9．（2023 涟水县二模）如图，△ABC是边长为 3的等边三角形，D是 AB上一动点，连接 CD，以 CD为
边向 CD的右侧作等边三角形 CDE，连接 AE．
（1）【尝试初探】
如图 1，当点 D在线段 AB上运动时，AC，DE相交于点 F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持
全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图 2，当点 D在线段 AB上运动时，延长 ED，交 CB的延长线于点 H，随着 D点位置的变化，H点
的位置随之发生变化，当 AD＝2BD时，求 tan∠DHC的值．
（3）【拓展延伸】
如图 3，当点 D在 BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点 F，设△ADF的面积为 S1，△CEF的面积
为 S2，当 S2＝4S1时，求 BD的长．
第 9页（共 39页）
10．（2021 吴江区模拟）如图，以△ABC的边 AB为直径的⊙O与边 AC相交于点 D，BC是⊙O的切线，
E为 BC的中点，连接 AE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设△CDE的面积为 S1，四边形 ABED的面积为 S2．若 S2＝5S1，求 tan∠BAC的值；
（3）在（2）的条件下，若 AE＝3 ，求⊙O的半径长．
第 10页（共 39页）
11．（2020 工业园区一模）【探索规律】
如图①，在△ABC 中，点 D，E，F分别在 AB，BC，AC上，且 DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边
DF上的高为 h1，△EFC的边 CE上的高为 h2．
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为 3，1，则 ＝ ；
（2）设△ADF、△EFC、四边形 BDFE的面积分别为 S1，S2，S，求证：S＝2 ；
【解决问题】
（3）如图②，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC上，点 F，G在 BC上，且 DE∥BC，DF∥EG．若
△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为 3，7，5，求△ABC的面积．
第 11页（共 39页）
参考答案与试题解析
一．解答题（共 11 小题）
1．【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝ ；
② ﹣ 是定值．
∵DE∥AC，
∴ ，
同①可得，CE＝DE，
∴ ，
∴ ＝1，
∴ ﹣ 是定值，定值为 1；
（2）∵DE∥AC，
第 12页（共 39页）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵S1 S3＝ ，
∴ ，
设 BC＝9x，则 CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝ ∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴ ，
∴CD2＝CB CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点 D作 DH⊥BC于点 H，
第 13页（共 39页）
∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝ BC＝ x，
∴cos ．
2．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形 PFCH为矩形，
同理可得，四边形 AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形 EBHP的面积＝PE PH＝2ab，四边形 GPFD的面积＝PG PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知 PE PH＝2ab，PG PF＝2ab，
∴PP2 PH＝PP1 PF，
即 ＝ ，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
第 14页（共 39页）
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接 P1P2、FH，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴ ＝ ＝ ， ＝（ ）2＝ ，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S1＝ + ，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝ S△CFH+ S△FQH＝ S2，
∴ ＝ ．
第 15页（共 39页）
3．【解答】解：（1）①如图 1，
作 AF⊥BC于 F，作 DG⊥AB于 G，
∴∠BGD＝∠AFB＝90°，
∵AB＝AC＝10，
∴BF＝CF＝ BC＝6，
∴AF＝8，
∵∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BAF，
∴ ，
∴ ，
∴DG＝ ，BG＝ ，
∴AG＝AB﹣BG＝10﹣ ＝ ，
∴AD＝ ＝4 ；
第 16页（共 39页）
②∵CE∥AD，
∴∠DEC＝∠ADA′，
∵∠ADA′＝∠B，
∴∠CED＝∠B，
∵∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B，∠ADB+∠CDE＝180°﹣∠ADA′，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DEC，
∴ ，
∴AD CE＝BD CD＝BD （12﹣BD）＝﹣（BD﹣6）2+36，
∴当 BD＝6时，（AD BD）最大＝36；
（2）如图 2，
作 AF⊥BD于 F，设 CD＝x，
∵DF＝CF+CD＝x+6，AF＝8，
∴AD2+82+（x+6）2＝x2+12x+100，
∵CE∥AD，
∴S△ADE＝S△ACD，∠CED＝∠ADA′，∠ADB＝∠DCE，
∵∠B＝∠ADA′，
∴∠CED＝∠B，
∴△CDE∽△DAB，
∴ ＝ ，
第 17页（共 39页）
∴S△CDE＝ S△ABD，
∵ ，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ，
∴x2＝38，x2＝﹣2（舍去），
∴CD＝38，DF＝38+6＝44，
∴AD＝ ＝20 ，
∴sin∠ADB＝ ．
4．【解答】解：（1）∵E是 BC的中点，
∴BC＝2BE＝2 ，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2 ，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ABE∽△DFA，
∴ ＝ ，
∴AE AF＝AD BE＝2 × ＝4；
（2）延长 DE交 CB的延长线于 H，连接 DE、AH，如图 2所示：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，
∴△ADG∽△CHG，
第 18页（共 39页）
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝ BC，
∵E是 BC的中点，
∴BE＝CE＝BH，
∴EH＝BC＝AD，
∴四边形 ADEH是平行四边形，
∵DF⊥AE，
∴四边形 ADEH是菱形，
∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，
∴CE＝ DE，
∴∠CDE＝30°，
∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEH＝∠AED＝60°，
∵DF⊥AE，
∴∠FDE＝30°＝∠CDE，
∴FE＝CE，
∴∠FCE＝∠CFE＝ ∠AEH＝30°，
∴cos∠FCE＝ ；
（3）过 F作 PQ⊥AB于 P，交 CD于 Q，作 KH⊥AD于 H，如图 3所示：
则 PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，
∵G是 AB的中点，E是 BC的中点，
∴AB＝2AG，BC＝2BE，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAG，
第 19页（共 39页）
∴ ＝ ，
∴AB AG＝AD BE，即 AB2＝ AD2，
∴AB＝AD，
∴四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，
设 AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，
则 BE＝AG＝2a，
∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝ ＝ ，AE＝DG＝ ＝2 a，
∵DF⊥AE，
∴AF＝ ＝ ＝ a，
∵PQ∥BC，
∴△APF∽△ABE，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：AP＝ a，PF＝ a，
∴CQ＝PB＝AB﹣AP＝4a﹣ a＝ a，
FQ＝PQ﹣PF＝4a﹣ a＝ a，
∵KH⊥AD，
∴tan∠ADG＝ ＝ ，
设 KH＝x，则 DH＝2x，
∵PQ∥AD，AK∥FC，
∴∠DAF＝∠QFE，∠KAF＝∠CFE，
∴∠DAK＝∠QFC，
又∵∠AHK＝∠FQC＝90°，
∴△AHK∽△FQC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
第 20页（共 39页）
解得：AH＝ x，
∵AH+DH＝AD，
∴ x+2x＝4a，
解得：x＝ a，
∴KH＝ a，
∵△ADK的面积为 S1＝ AD×KH，△CDF的面积为 S2＝ CD×FQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
5．【解答】解：（1）∵四边形 PEGF是平行四边形，
∴GF＝PE，GF∥PE，
∴△DGF∽△DAE，
∴ ，
∵F是 DE的中点，
∴DF＝ DE，
∴ ，
第 21页（共 39页）
∴AE＝2GF，
∴ ，
∴m＝ ，
故答案为： ；
（2）如图 1，
当点 G在矩形 ABCD的外部时，
作 GH⊥AD于 H，作射线 DG，交 PA的延长线于 W，作 WQ⊥PA，交 PA的延长线于点 Q，
由（1）得，
G是 DW的中点，
同理可得 WQ＝2GH＝2，PE＝FG＝ WE，
设 PE＝FG＝x，则 WE＝2x，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵P时 BC的中点，
∴PB＝ BC＝4，
∴AB＝PB，
∴∠WAQ＝∠DAP＝∠PAB＝45°，
∴AW＝ WQ＝2 ，AP＝ AB＝4 ，
∴WP＝AW+AP＝6 ，
由 WE+PE＝WP得，
2x+x＝6 ，
∴x＝2 ，
第 22页（共 39页）
∴PE＝2 ，
∴AE＝AP﹣PE＝2 ，
∴m＝1，
如图 2，
当点 G在矩形 ABCD的内部时，
由上可知：AW＝2 ，
∴PW＝AP﹣﹣AW＝2 ，
∴PE＝ PW＝ ，
∴AE＝4 ＝ ，
∴m＝ ，
综上所述：m＝1或 ；
（3）如图 3，
当 m＜ 时，
延长 EP至 X，使 PX＝EP，连接 DP，DX，
∵点 F是 DE的中点，
∴PF∥DX，
第 23页（共 39页）
∵EM∥PF，
∴EM∥DX，
∴∠AME＝∠ADX，
∵GF∥PE，
∴∠MNG＝∠DAX，
∴△MNG∽△DAX，
∴ ，
∵S△ADP＝ AD AB＝ ， ，
∴S△DPX＝S△DEP＝ S△ADP＝ ，
∴S△ADX＝S△ADP+S△DPX＝16+ ＝ ，
设 AE＝x，则 GF＝PE＝mx，
∵FN＝ AE＝ x，
∴NG＝FN﹣GF＝ ，
∵AX＝AE+PE+PX＝x+2mx＝（1+2m）x，
∴ ＝（ ）2，
∴S＝ ，
如图 4，
第 24页（共 39页）
当 m＞ 时，
同理可得，
，NG＝FG﹣NF＝（m﹣ ）x，AX＝（1+2m）x，
∴S＝ ，
综上所述：S＝ ．
6．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
故答案为：AD＝BE，60°；
（2）证明：由（1）可知，∠BFD＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵FG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴BF＝BG，∠FBG＝∠BGF＝60°，
第 25页（共 39页）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠FBG，
∴∠ABC﹣∠FBD＝∠FBG﹣∠FBD，
即∠ABF＝∠CBG，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠AFB＝∠CGB＝120°，
∴∠CGF＝∠CGB﹣∠BGF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BGF＝∠CGF，
∴GA平分∠BGC；
（3）解：如图 3，延长 FD至点 G，使 FG＝BF，连接 BG、CG，过点 D作 DM⊥BG于点 M，DN⊥CG
于点 N，
∵AB＝AC，FG＝BF，
∴ ＝ ，
∵∠BAC＝∠BFD，
∴△ABC∽△FBG，
∴ ＝ ，∠ABC＝∠FBG，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠FBG﹣∠CBE，
即∠ABF＝∠CBG，
∴△ABF∽△CBG，
∴ ＝ ＝3，∠BAF＝∠BCG，
∵∠ADB＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠ABD，
∵AB＝AC，FG＝BF，
第 26页（共 39页）
∴∠ABC＝∠ACB，∠FBG＝∠FGB，
∵∠BAC＝∠BFD，
∴∠BAC＝∠FGB，
∴∠CGD＝∠FGB，
∴DG平分∠BGC，
∵DM⊥BG，DN⊥CG，
∴DM＝DN，
∵S△BGD＝ BG DM，S△CGD＝ CG DN，
∴ ＝ ＝ ＝3，
又∵ ＝ ，
∴ ＝3．
方法二：如图 4，过点 D作 DP∥AB交 AC于点 P，
则∠BAF＝∠ADP，∠ABC＝∠PDC，
∵∠BAC＝∠BFD，∠BFD＝∠ABF+∠BAF，∠BAC＝∠BAF+∠DAP，
∴∠ABF＝∠DAP，
∴△ABF∽△DAP，
∴ ＝ ，
即 ＝ ＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠PDC，
∴PD＝PC，
第 27页（共 39页）
∵DP∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝3．
7．【解答】解：（1）①由图②知，△ECD的面积为 6，
∴ CD AD＝6，
∴CD AD＝12，
∴矩形 ABCD的面积为 12；
故答案为：12；
②由图②知，正方形 DEFG的面积最大为 25，此时边 DE最大，E与 B重合，
∴AB2+AD2＝25，
由矩形 ABCD，结合①可知 AB AD＝CD AD＝12，
∴AB+AD＝ ＝ ＝7，
∴矩形 ABCD的周长为 14；
（2）E、C、G三点不能共线，理由如下：
由（1）知 AB+AD＝7，AB AD＝12，
∴AB＝3，AD＝4（AB为矩形 ABCD的较短边，AB＝4，AD＝3已舍去），
以 A为原点，AD所在直线为 x轴建立直角坐标系，过 G作 GK⊥CD交 DC延长线于 K，如图：
∵∠KDG＝90°﹣∠EDC＝∠EDA，∠K＝90°＝∠EAD，DE＝DG，
∴△DKG≌△DAE（AAS），
∴DK＝AD＝4，KG＝AE，
设 AE＝m，则 KG＝m，
∴E（0，m），G（4+m，4），
第 28页（共 39页）
∴直线 EG函数表达式为 y＝ x+m，
若 C（4，3）在直线 EG上，则 3＝ ×4+m，
变形整理得：m2﹣3m+4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，
∴C（4，3）不可能满足 y＝ x+m，
∴C不可能在直线 EG上，故 E、C、G三点不能共线；
（3）过 F作 FT⊥y轴于 T，FW⊥BC于 W，如图：
∵∠TEF＝90°﹣∠AED＝∠ADE，∠ETF＝90°＝∠EAD，EF＝ED，
∴△EFT≌△DEA（AAS），
∴TF＝AE，TE＝AD＝4，
∵BE＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣x＝TF，
∵BH∥TF，
∴ ＝ 即 ＝ ，
∴BH＝﹣ + x，
∴CH＝4﹣BH＝ ﹣ x+4，
∴S1＝ BE TF＝ x （3﹣x）＝﹣ x2+ x，S2＝ CH TE＝ （ ﹣ x+4）×4＝ ﹣ x+8，
∴ ＝ ＝﹣1+ ，
第 29页（共 39页）
当 x2﹣3x+16最小时， 最大，从而 最大，
∵x2﹣3x+16＝（x﹣ ）2+ ，
∴当 x＝ 时，x2﹣3x+16最小为 ，此时 取得最大值，
∴BE＝ ，
∴AE＝TF＝3﹣ ＝ ，TB＝TE﹣BE＝4﹣ ＝ ，
∴BW＝TF＝ ，FW＝TB＝ ，
∴CW＝BC﹣BW＝4﹣ ＝ ，
∴CW＝FW，
∴△CFW是等腰直角三角形，
∴∠FCB＝45°，
∵∠EGD＝45°，
∴∠FCB＝∠EGD，
由（2）知 C不在 EG上，
∴∠CGD≠∠FCB．
∴当 x＝ 时， 取得最大值，此时∠FCB与∠CGD不相等．
8．【解答】解：（1）如图 1，过 D作 DM⊥BC于 M，则四边形 ABMD是矩形，
∴AB＝DM，BM＝AD＝3（矩形性质），
∴CM＝BC﹣BM＝2，
在 Rt△CDM中，
由勾股定理得 ，
第 30页（共 39页）
∴AB＝4，
∴AB的长为 4；
（2）不存在，理由如下：
如图 2，过 P作 PH∥AD交 BD于 G，交 CD于 H，
∴PH∥AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPG，∠HPC＝∠BCP（两直线平行，内错角相等），
∠GHD＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵PC平分∠BCD，
∴∠ADP＝∠PDG（角平分线的性质），
∴∠DPG＝∠PDG，
∴PG＝DG（等角对等边），
在 Rt△ABD中， ，
由勾股定理得 ，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠GHD＝∠BDC，
∴DG＝GH，
∴PG＝DG＝GH，
设 PG＝DG＝GH＝a，则 BG＝5﹣a， ，
∵∠PBG＝∠ABD，∠BPG＝∠A＝90°，
∴△PBG∽△ABD，
∴ ，
即 ，
第 31页（共 39页）
解得 ，
∴ ，
∵GH∥BC，
∴△DGH∽△DBC，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
若 PD平分∠ADB，则∠BCP＝∠HCP＝∠HPC，即 PH＝CH，
∵ ，与 PH＝CH矛盾，
∴不存在这样的点 P，使得 PC平分∠BCD、PD平分∠ADB同时成立；
（3）令△PEF中 PE边上的高为 h1，△PCD中 PC边上的高为 h2，
∵PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CDE，∠FPE＝∠DCE，
∴△PFE∽△CDE，
设 ，则 ，
∴PE＝kCE，h1＝kh2，
∴ ，
，
∵S2＝6S1，即 ，
整理得 6k2﹣k﹣1＝0，则（2k﹣1）（3k+1）＝0，
解得 ， （舍去），
∴ ，
如图 3，过 E作 EQ∥AD交 AB于 Q，
第 32页（共 39页）
∴QE∥BC，
∴△PQE∽△PBC，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴AP的长为 ．
9．【解答】解：（1）如图 1，△BCD≌△ACE，理由如下：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）如图 2，过点 D作 DG⊥BC于 D点 G，
第 33页（共 39页）
∵△ABC是边长为 3的等边三角形，AD＝2BD，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD＝1，AD＝2，
∵DG⊥BC，
∴BG＝ ，
DG＝ BG＝ ，
由（1）得，△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝1，∠CAE＝∠CBA＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE∥CH，
∴△ADE∽△BDH，
∴ ，
∵AD＝2BD，AE＝1，
∴ ，
∴BH＝ ，
∴GH＝BH+BG＝1，
∵DG⊥BC，
∴tan∠DHC＝ ；
（3）如图 3，过点 C作 CH⊥AB于点 H，
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，
第 34页（共 39页）
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC＝∠AEC，
又∵∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
∵S2＝4S1，
∴CE＝2AD，
设 BD＝x，
则 AD＝BD﹣AB＝x﹣3，
CD＝CE＝2（x﹣3）＝2x﹣6，
∵CH⊥AB，△ABC是边长为 3的等边三角形，
∴AH＝ ，
CH＝ AH＝ ，
∴DH＝AH+AD＝ ，
∵CH⊥AB，
∴CH2+DH2＝CD2，
即（ ） ＝（2x﹣6）2，
解得 x＝ ，
∵点 D在 BA的延长线上，
∴BD＞AB，
∴x＞3，
第 35页（共 39页）
∴x＝ ，
即 BD＝ ．
10．【解答】（1）证明：连接 OD，
∴OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E为 BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以 AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵S2＝5 S1
∴S△ADB＝2S△CDB
∴
∵△BDC∽△ADB
∴
∴DB2＝AD DC
第 36页（共 39页）
∴ ＝
∴tan∠BAC＝ ＝ ．
（3）∵tan∠BAC＝ ＝
∴ ＝ ，得 BC＝ AB
∵E为 BC的中点
∴BE＝ AB
∵AE＝3 ，
∴在 Rt△AEB中，由勾股定理得
，解得 AB＝4
故⊙O的半径 R＝ AB＝2．
11．【解答】解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为 3，1，
∴ ，
∴ ，
∵△ADF的边 DF上的高为 h1，△EFC的边 CE上的高为 h2，
∴ ；
故答案为： ．
（2）证明：如图①，设 AD＝a，BD＝b，DB与 EF间的距离为 h，
第 37页（共 39页）
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形 DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
由（1）知△ADF∽△FEC，
∴ ，
∵S1＝ ah，
∴S2＝ ，
∴S1S2＝ ，
∴bh＝2 ，
∵S＝bh，
∴S＝2 ．
（3）如图②，过点 D作 DM∥AC交 BC于点 M，
∴∠DMF＝∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥EG，
第 38页（共 39页）
∴四边形 DFGE为平行四边形，
∴DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴S△DFM＝S△EGC＝5，
∵S△DBF＝7，
∴S△BDM＝7+5＝12，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
同理，△ADE∽△ABC，
∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27．
第 39页（共 39页）
一．解答题（共 11 小题）
1．（2022 苏州）（1）如图 1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交 AB于点 D，DE∥AC，交
BC于点 E．
①若 DE＝1，BD＝ ，求 BC的长；
②试探究 ﹣ 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图 2，∠CBG和∠BCF是△ABC的 2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交 AB的延
长线于点 D，DE∥AC，交 CB的延长线于点 E．记△ACD的面积为 S1，△CDE的面积为 S2，△BDE
的面积为 S3．若 S1 S3＝ ，求 cos∠CBD的值．
第 1页（共 39页）
2．（2021 苏州）如图，在矩形 ABCD中，线段 EF、GH分别平行于 AD、AB，它们相交于点 P，点 P1、
P2分别在线段 PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接 P1H、P2F，P1H与 P2F相交于点 Q．已知 AG：
GD＝AE：EB＝1：2，设 AG＝a，AE＝b．
（1）四边形 EBHP的面积 四边形 GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形 PP1QP2的面积为 S1，四边形 CFQH的面积为 S2，求 的值．
第 2页（共 39页）
3．（2024 姑苏区一模）（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为边 BC上一动点，将点 A
绕点 D按顺时针方向旋转，得到点 A′，使得∠ADA′＝∠B，过点 C作 AD的平行线，交直线 DA′
于点 E，连接 AE．
①若 BD＝2，求 AD的长度；
②求 AD CE的最大值．
（2）如图②，当点 D在 BC的延长线上时，将点 A绕点 D按顺时针方向旋转，得到点 A′，使得∠
ADA′＝∠B，过点 C作 AD的平行线，交直线 DA′于点 E，连接 AE．记△ABD的面积为 S1，△ADE
的面积为 S2，△CDE的面积为 S3，若 ，求 sin∠ADB的值．
第 3页（共 39页）
4．（2024 高新区模拟）已知矩形 ABCD中，E是 BC的中点，DF⊥AE于点 F．
（1）如图 1，若 BE＝ ，求 AE AF的值；
（2）如图 2，连接 AC交 DF于点 G，若 ＝ ，求 cos∠FCE的值；
（3）如图 3，延长 DF交 AB于点 G，若 G点恰好为 AB的中点，连接 FC，过 A作 AK∥FC交 FD于 K，
设△ADK的面积为 S1，△CDF的面积为 S2，则 的值为 ．
第 4页（共 39页）
5．（2024 惠山区一模）如图 1，矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝8，点 P为线段 BC边上一点，点 E为线段
AP上一点，取线段 DE的中点 F，以 PE，PF为邻边向上作 PEGF，EG、GE所在直线分别交 AD 于
M、N．设 ．
（1）当点 G落在 AD上时（如图 2），m的值为 ．
（2）若 P为 BC的中点，且点 G到直线 AD的距离为 1时，求 m的值．
（3）设△GMN的面积为 s，求 s与 m的函数表达式．
第 5页（共 39页）
6．（2023 吉安县模拟）课本再现
如图 1，在等边△ABC中，E为边 AC上一点，D为 BC上一点，且 AE＝CD，连接 AD与 BE相交于点
F．
（1）AD与 BE的数量关系是 ，AD与 BE构成的锐角夹角∠BFD的度数是 ；
深入探究
（2）将图 1中的 AD延长至点 G，使 FG＝BF，连接 BG，CG，如图 2所示．求证：GA平分∠BGC．（第
一问的结论，本问可直接使用）
迁移应用
（3）如图 3，在等腰△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边 BC，AC上的点，AD与 BE相交于点 F．若
∠BAC＝∠BFD，且 BF＝3AF，求 值．
第 6页（共 39页）
7．（2023 苏州模拟）如图①，点 E为矩形 ABCD中较短边 AB上一任意点，连接 DE，在 AD上方以 DE
为边作正方形 DEFG，分别连接 CE、CF、CG，F与 BC交于点 H，若△ECD的面积 y1与 BE的长度 x
的函数关系的图象如图②中直线的一部分，正方形 DEFG的面积 y2与 BE的长度 x的函数关系的图象
如图②中抛物线的一部分．
（1）①矩形 ABCD的面积＝ ；
②求出矩形 ABCD的周长；
（2）E、C、G三点能否共线，若能，求出此时 x的值，若不能，请说明理由；
（3）连接 FB，令△BFE的面积为 S1，△CEF的面积为 S2，当 x为间值时， 取得最大值？此时∠FCB
和∠CGD是否相等？请说明理由．
第 7页（共 39页）
8．（2023 工业园区一模）如图①，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝5， ．点
P在 AB上，连接 BD、PC、PD．
（1）求 AB的长；
（2）探索：是否存在这样的点 P，使得 PC平分∠BCD、PD平分∠ADB同时成立？若存在，求出 PA
的长；若不存在，说明理由；
（3）如图②，PC与 BD相交于点 E，过点 P作 PF∥CD，PF与 BD相交于点 F．设△PEF、△PCD
的面积分别为 S1、S2．若 S2＝6S1，求 PA的长．
第 8页（共 39页）
9．（2023 涟水县二模）如图，△ABC是边长为 3的等边三角形，D是 AB上一动点，连接 CD，以 CD为
边向 CD的右侧作等边三角形 CDE，连接 AE．
（1）【尝试初探】
如图 1，当点 D在线段 AB上运动时，AC，DE相交于点 F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持
全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图 2，当点 D在线段 AB上运动时，延长 ED，交 CB的延长线于点 H，随着 D点位置的变化，H点
的位置随之发生变化，当 AD＝2BD时，求 tan∠DHC的值．
（3）【拓展延伸】
如图 3，当点 D在 BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点 F，设△ADF的面积为 S1，△CEF的面积
为 S2，当 S2＝4S1时，求 BD的长．
第 9页（共 39页）
10．（2021 吴江区模拟）如图，以△ABC的边 AB为直径的⊙O与边 AC相交于点 D，BC是⊙O的切线，
E为 BC的中点，连接 AE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设△CDE的面积为 S1，四边形 ABED的面积为 S2．若 S2＝5S1，求 tan∠BAC的值；
（3）在（2）的条件下，若 AE＝3 ，求⊙O的半径长．
第 10页（共 39页）
11．（2020 工业园区一模）【探索规律】
如图①，在△ABC 中，点 D，E，F分别在 AB，BC，AC上，且 DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边
DF上的高为 h1，△EFC的边 CE上的高为 h2．
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为 3，1，则 ＝ ；
（2）设△ADF、△EFC、四边形 BDFE的面积分别为 S1，S2，S，求证：S＝2 ；
【解决问题】
（3）如图②，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC上，点 F，G在 BC上，且 DE∥BC，DF∥EG．若
△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为 3，7，5，求△ABC的面积．
第 11页（共 39页）
参考答案与试题解析
一．解答题（共 11 小题）
1．【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝ ；
② ﹣ 是定值．
∵DE∥AC，
∴ ，
同①可得，CE＝DE，
∴ ，
∴ ＝1，
∴ ﹣ 是定值，定值为 1；
（2）∵DE∥AC，
第 12页（共 39页）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵S1 S3＝ ，
∴ ，
设 BC＝9x，则 CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝ ∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴ ，
∴CD2＝CB CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点 D作 DH⊥BC于点 H，
第 13页（共 39页）
∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝ BC＝ x，
∴cos ．
2．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形 PFCH为矩形，
同理可得，四边形 AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形 EBHP的面积＝PE PH＝2ab，四边形 GPFD的面积＝PG PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知 PE PH＝2ab，PG PF＝2ab，
∴PP2 PH＝PP1 PF，
即 ＝ ，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
第 14页（共 39页）
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接 P1P2、FH，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴ ＝ ＝ ， ＝（ ）2＝ ，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S1＝ + ，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝ S△CFH+ S△FQH＝ S2，
∴ ＝ ．
第 15页（共 39页）
3．【解答】解：（1）①如图 1，
作 AF⊥BC于 F，作 DG⊥AB于 G，
∴∠BGD＝∠AFB＝90°，
∵AB＝AC＝10，
∴BF＝CF＝ BC＝6，
∴AF＝8，
∵∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BAF，
∴ ，
∴ ，
∴DG＝ ，BG＝ ，
∴AG＝AB﹣BG＝10﹣ ＝ ，
∴AD＝ ＝4 ；
第 16页（共 39页）
②∵CE∥AD，
∴∠DEC＝∠ADA′，
∵∠ADA′＝∠B，
∴∠CED＝∠B，
∵∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B，∠ADB+∠CDE＝180°﹣∠ADA′，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DEC，
∴ ，
∴AD CE＝BD CD＝BD （12﹣BD）＝﹣（BD﹣6）2+36，
∴当 BD＝6时，（AD BD）最大＝36；
（2）如图 2，
作 AF⊥BD于 F，设 CD＝x，
∵DF＝CF+CD＝x+6，AF＝8，
∴AD2+82+（x+6）2＝x2+12x+100，
∵CE∥AD，
∴S△ADE＝S△ACD，∠CED＝∠ADA′，∠ADB＝∠DCE，
∵∠B＝∠ADA′，
∴∠CED＝∠B，
∴△CDE∽△DAB，
∴ ＝ ，
第 17页（共 39页）
∴S△CDE＝ S△ABD，
∵ ，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ，
∴x2＝38，x2＝﹣2（舍去），
∴CD＝38，DF＝38+6＝44，
∴AD＝ ＝20 ，
∴sin∠ADB＝ ．
4．【解答】解：（1）∵E是 BC的中点，
∴BC＝2BE＝2 ，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2 ，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ABE∽△DFA，
∴ ＝ ，
∴AE AF＝AD BE＝2 × ＝4；
（2）延长 DE交 CB的延长线于 H，连接 DE、AH，如图 2所示：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，
∴△ADG∽△CHG，
第 18页（共 39页）
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝ BC，
∵E是 BC的中点，
∴BE＝CE＝BH，
∴EH＝BC＝AD，
∴四边形 ADEH是平行四边形，
∵DF⊥AE，
∴四边形 ADEH是菱形，
∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，
∴CE＝ DE，
∴∠CDE＝30°，
∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEH＝∠AED＝60°，
∵DF⊥AE，
∴∠FDE＝30°＝∠CDE，
∴FE＝CE，
∴∠FCE＝∠CFE＝ ∠AEH＝30°，
∴cos∠FCE＝ ；
（3）过 F作 PQ⊥AB于 P，交 CD于 Q，作 KH⊥AD于 H，如图 3所示：
则 PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，
∵G是 AB的中点，E是 BC的中点，
∴AB＝2AG，BC＝2BE，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAG，
第 19页（共 39页）
∴ ＝ ，
∴AB AG＝AD BE，即 AB2＝ AD2，
∴AB＝AD，
∴四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，
设 AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，
则 BE＝AG＝2a，
∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝ ＝ ，AE＝DG＝ ＝2 a，
∵DF⊥AE，
∴AF＝ ＝ ＝ a，
∵PQ∥BC，
∴△APF∽△ABE，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得：AP＝ a，PF＝ a，
∴CQ＝PB＝AB﹣AP＝4a﹣ a＝ a，
FQ＝PQ﹣PF＝4a﹣ a＝ a，
∵KH⊥AD，
∴tan∠ADG＝ ＝ ，
设 KH＝x，则 DH＝2x，
∵PQ∥AD，AK∥FC，
∴∠DAF＝∠QFE，∠KAF＝∠CFE，
∴∠DAK＝∠QFC，
又∵∠AHK＝∠FQC＝90°，
∴△AHK∽△FQC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
第 20页（共 39页）
解得：AH＝ x，
∵AH+DH＝AD，
∴ x+2x＝4a，
解得：x＝ a，
∴KH＝ a，
∵△ADK的面积为 S1＝ AD×KH，△CDF的面积为 S2＝ CD×FQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
5．【解答】解：（1）∵四边形 PEGF是平行四边形，
∴GF＝PE，GF∥PE，
∴△DGF∽△DAE，
∴ ，
∵F是 DE的中点，
∴DF＝ DE，
∴ ，
第 21页（共 39页）
∴AE＝2GF，
∴ ，
∴m＝ ，
故答案为： ；
（2）如图 1，
当点 G在矩形 ABCD的外部时，
作 GH⊥AD于 H，作射线 DG，交 PA的延长线于 W，作 WQ⊥PA，交 PA的延长线于点 Q，
由（1）得，
G是 DW的中点，
同理可得 WQ＝2GH＝2，PE＝FG＝ WE，
设 PE＝FG＝x，则 WE＝2x，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵P时 BC的中点，
∴PB＝ BC＝4，
∴AB＝PB，
∴∠WAQ＝∠DAP＝∠PAB＝45°，
∴AW＝ WQ＝2 ，AP＝ AB＝4 ，
∴WP＝AW+AP＝6 ，
由 WE+PE＝WP得，
2x+x＝6 ，
∴x＝2 ，
第 22页（共 39页）
∴PE＝2 ，
∴AE＝AP﹣PE＝2 ，
∴m＝1，
如图 2，
当点 G在矩形 ABCD的内部时，
由上可知：AW＝2 ，
∴PW＝AP﹣﹣AW＝2 ，
∴PE＝ PW＝ ，
∴AE＝4 ＝ ，
∴m＝ ，
综上所述：m＝1或 ；
（3）如图 3，
当 m＜ 时，
延长 EP至 X，使 PX＝EP，连接 DP，DX，
∵点 F是 DE的中点，
∴PF∥DX，
第 23页（共 39页）
∵EM∥PF，
∴EM∥DX，
∴∠AME＝∠ADX，
∵GF∥PE，
∴∠MNG＝∠DAX，
∴△MNG∽△DAX，
∴ ，
∵S△ADP＝ AD AB＝ ， ，
∴S△DPX＝S△DEP＝ S△ADP＝ ，
∴S△ADX＝S△ADP+S△DPX＝16+ ＝ ，
设 AE＝x，则 GF＝PE＝mx，
∵FN＝ AE＝ x，
∴NG＝FN﹣GF＝ ，
∵AX＝AE+PE+PX＝x+2mx＝（1+2m）x，
∴ ＝（ ）2，
∴S＝ ，
如图 4，
第 24页（共 39页）
当 m＞ 时，
同理可得，
，NG＝FG﹣NF＝（m﹣ ）x，AX＝（1+2m）x，
∴S＝ ，
综上所述：S＝ ．
6．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
故答案为：AD＝BE，60°；
（2）证明：由（1）可知，∠BFD＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵FG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴BF＝BG，∠FBG＝∠BGF＝60°，
第 25页（共 39页）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠FBG，
∴∠ABC﹣∠FBD＝∠FBG﹣∠FBD，
即∠ABF＝∠CBG，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴∠AFB＝∠CGB＝120°，
∴∠CGF＝∠CGB﹣∠BGF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BGF＝∠CGF，
∴GA平分∠BGC；
（3）解：如图 3，延长 FD至点 G，使 FG＝BF，连接 BG、CG，过点 D作 DM⊥BG于点 M，DN⊥CG
于点 N，
∵AB＝AC，FG＝BF，
∴ ＝ ，
∵∠BAC＝∠BFD，
∴△ABC∽△FBG，
∴ ＝ ，∠ABC＝∠FBG，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠FBG﹣∠CBE，
即∠ABF＝∠CBG，
∴△ABF∽△CBG，
∴ ＝ ＝3，∠BAF＝∠BCG，
∵∠ADB＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠ABD，
∵AB＝AC，FG＝BF，
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∴∠ABC＝∠ACB，∠FBG＝∠FGB，
∵∠BAC＝∠BFD，
∴∠BAC＝∠FGB，
∴∠CGD＝∠FGB，
∴DG平分∠BGC，
∵DM⊥BG，DN⊥CG，
∴DM＝DN，
∵S△BGD＝ BG DM，S△CGD＝ CG DN，
∴ ＝ ＝ ＝3，
又∵ ＝ ，
∴ ＝3．
方法二：如图 4，过点 D作 DP∥AB交 AC于点 P，
则∠BAF＝∠ADP，∠ABC＝∠PDC，
∵∠BAC＝∠BFD，∠BFD＝∠ABF+∠BAF，∠BAC＝∠BAF+∠DAP，
∴∠ABF＝∠DAP，
∴△ABF∽△DAP，
∴ ＝ ，
即 ＝ ＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠PDC，
∴PD＝PC，
第 27页（共 39页）
∵DP∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝3．
7．【解答】解：（1）①由图②知，△ECD的面积为 6，
∴ CD AD＝6，
∴CD AD＝12，
∴矩形 ABCD的面积为 12；
故答案为：12；
②由图②知，正方形 DEFG的面积最大为 25，此时边 DE最大，E与 B重合，
∴AB2+AD2＝25，
由矩形 ABCD，结合①可知 AB AD＝CD AD＝12，
∴AB+AD＝ ＝ ＝7，
∴矩形 ABCD的周长为 14；
（2）E、C、G三点不能共线，理由如下：
由（1）知 AB+AD＝7，AB AD＝12，
∴AB＝3，AD＝4（AB为矩形 ABCD的较短边，AB＝4，AD＝3已舍去），
以 A为原点，AD所在直线为 x轴建立直角坐标系，过 G作 GK⊥CD交 DC延长线于 K，如图：
∵∠KDG＝90°﹣∠EDC＝∠EDA，∠K＝90°＝∠EAD，DE＝DG，
∴△DKG≌△DAE（AAS），
∴DK＝AD＝4，KG＝AE，
设 AE＝m，则 KG＝m，
∴E（0，m），G（4+m，4），
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∴直线 EG函数表达式为 y＝ x+m，
若 C（4，3）在直线 EG上，则 3＝ ×4+m，
变形整理得：m2﹣3m+4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，
∴C（4，3）不可能满足 y＝ x+m，
∴C不可能在直线 EG上，故 E、C、G三点不能共线；
（3）过 F作 FT⊥y轴于 T，FW⊥BC于 W，如图：
∵∠TEF＝90°﹣∠AED＝∠ADE，∠ETF＝90°＝∠EAD，EF＝ED，
∴△EFT≌△DEA（AAS），
∴TF＝AE，TE＝AD＝4，
∵BE＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣x＝TF，
∵BH∥TF，
∴ ＝ 即 ＝ ，
∴BH＝﹣ + x，
∴CH＝4﹣BH＝ ﹣ x+4，
∴S1＝ BE TF＝ x （3﹣x）＝﹣ x2+ x，S2＝ CH TE＝ （ ﹣ x+4）×4＝ ﹣ x+8，
∴ ＝ ＝﹣1+ ，
第 29页（共 39页）
当 x2﹣3x+16最小时， 最大，从而 最大，
∵x2﹣3x+16＝（x﹣ ）2+ ，
∴当 x＝ 时，x2﹣3x+16最小为 ，此时 取得最大值，
∴BE＝ ，
∴AE＝TF＝3﹣ ＝ ，TB＝TE﹣BE＝4﹣ ＝ ，
∴BW＝TF＝ ，FW＝TB＝ ，
∴CW＝BC﹣BW＝4﹣ ＝ ，
∴CW＝FW，
∴△CFW是等腰直角三角形，
∴∠FCB＝45°，
∵∠EGD＝45°，
∴∠FCB＝∠EGD，
由（2）知 C不在 EG上，
∴∠CGD≠∠FCB．
∴当 x＝ 时， 取得最大值，此时∠FCB与∠CGD不相等．
8．【解答】解：（1）如图 1，过 D作 DM⊥BC于 M，则四边形 ABMD是矩形，
∴AB＝DM，BM＝AD＝3（矩形性质），
∴CM＝BC﹣BM＝2，
在 Rt△CDM中，
由勾股定理得 ，
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∴AB＝4，
∴AB的长为 4；
（2）不存在，理由如下：
如图 2，过 P作 PH∥AD交 BD于 G，交 CD于 H，
∴PH∥AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPG，∠HPC＝∠BCP（两直线平行，内错角相等），
∠GHD＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵PC平分∠BCD，
∴∠ADP＝∠PDG（角平分线的性质），
∴∠DPG＝∠PDG，
∴PG＝DG（等角对等边），
在 Rt△ABD中， ，
由勾股定理得 ，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠GHD＝∠BDC，
∴DG＝GH，
∴PG＝DG＝GH，
设 PG＝DG＝GH＝a，则 BG＝5﹣a， ，
∵∠PBG＝∠ABD，∠BPG＝∠A＝90°，
∴△PBG∽△ABD，
∴ ，
即 ，
第 31页（共 39页）
解得 ，
∴ ，
∵GH∥BC，
∴△DGH∽△DBC，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
若 PD平分∠ADB，则∠BCP＝∠HCP＝∠HPC，即 PH＝CH，
∵ ，与 PH＝CH矛盾，
∴不存在这样的点 P，使得 PC平分∠BCD、PD平分∠ADB同时成立；
（3）令△PEF中 PE边上的高为 h1，△PCD中 PC边上的高为 h2，
∵PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CDE，∠FPE＝∠DCE，
∴△PFE∽△CDE，
设 ，则 ，
∴PE＝kCE，h1＝kh2，
∴ ，
，
∵S2＝6S1，即 ，
整理得 6k2﹣k﹣1＝0，则（2k﹣1）（3k+1）＝0，
解得 ， （舍去），
∴ ，
如图 3，过 E作 EQ∥AD交 AB于 Q，
第 32页（共 39页）
∴QE∥BC，
∴△PQE∽△PBC，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴AP的长为 ．
9．【解答】解：（1）如图 1，△BCD≌△ACE，理由如下：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）如图 2，过点 D作 DG⊥BC于 D点 G，
第 33页（共 39页）
∵△ABC是边长为 3的等边三角形，AD＝2BD，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD＝1，AD＝2，
∵DG⊥BC，
∴BG＝ ，
DG＝ BG＝ ，
由（1）得，△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝1，∠CAE＝∠CBA＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE∥CH，
∴△ADE∽△BDH，
∴ ，
∵AD＝2BD，AE＝1，
∴ ，
∴BH＝ ，
∴GH＝BH+BG＝1，
∵DG⊥BC，
∴tan∠DHC＝ ；
（3）如图 3，过点 C作 CH⊥AB于点 H，
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，
第 34页（共 39页）
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC＝∠AEC，
又∵∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
∵S2＝4S1，
∴CE＝2AD，
设 BD＝x，
则 AD＝BD﹣AB＝x﹣3，
CD＝CE＝2（x﹣3）＝2x﹣6，
∵CH⊥AB，△ABC是边长为 3的等边三角形，
∴AH＝ ，
CH＝ AH＝ ，
∴DH＝AH+AD＝ ，
∵CH⊥AB，
∴CH2+DH2＝CD2，
即（ ） ＝（2x﹣6）2，
解得 x＝ ，
∵点 D在 BA的延长线上，
∴BD＞AB，
∴x＞3，
第 35页（共 39页）
∴x＝ ，
即 BD＝ ．
10．【解答】（1）证明：连接 OD，
∴OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E为 BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以 AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵S2＝5 S1
∴S△ADB＝2S△CDB
∴
∵△BDC∽△ADB
∴
∴DB2＝AD DC
第 36页（共 39页）
∴ ＝
∴tan∠BAC＝ ＝ ．
（3）∵tan∠BAC＝ ＝
∴ ＝ ，得 BC＝ AB
∵E为 BC的中点
∴BE＝ AB
∵AE＝3 ，
∴在 Rt△AEB中，由勾股定理得
，解得 AB＝4
故⊙O的半径 R＝ AB＝2．
11．【解答】解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为 3，1，
∴ ，
∴ ，
∵△ADF的边 DF上的高为 h1，△EFC的边 CE上的高为 h2，
∴ ；
故答案为： ．
（2）证明：如图①，设 AD＝a，BD＝b，DB与 EF间的距离为 h，
第 37页（共 39页）
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形 DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
由（1）知△ADF∽△FEC，
∴ ，
∵S1＝ ah，
∴S2＝ ，
∴S1S2＝ ，
∴bh＝2 ，
∵S＝bh，
∴S＝2 ．
（3）如图②，过点 D作 DM∥AC交 BC于点 M，
∴∠DMF＝∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥EG，
第 38页（共 39页）
∴四边形 DFGE为平行四边形，
∴DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴S△DFM＝S△EGC＝5，
∵S△DBF＝7，
∴S△BDM＝7+5＝12，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
同理，△ADE∽△ABC，
∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27．
第 39页（共 39页）
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