四川省金堂县金龙中学北师版九上数学每周自主评价练习 课件（16分打包）

(共37张PPT)
第七周自主评价练习
【第四章第1－5节】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上
标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（　 　）
A. 都相似
B. 都不相似
C. 只有图1中的两个三角形相似
D. 只有图2中的两个三角形相似
（第1题图）
A
2. 如图，在△ ABC 中，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 边上，且∠1
＝∠2＝∠3，则与△ ADE 相似的三角形的个数为（　C　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（第2题图）
C
3. 在三角形纸片 ABC 中， AB ＝8， BC ＝4， AC ＝6，按下列方
法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ ABC 相似的是
（　D　）
A
B
C
D
D
4. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部
以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美
感.如图，按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像，则该雕像
的下部设计高度约是（结果精确到0.01 m，参考数据：
≈1.414， ≈1.732， ≈2.236）（　B　）
A. 0.73 m B. 1.24 m
C. 1.37 m D. 1.42 m
B
5. 下列判断中，不正确的有（　C　）
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
C. 有一个角相等的两个等腰三角形相似
D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似
C
6. 如图，点 D ， E ， F ， G 在△ ABC 的边上，其中 DG 与 EF 交
于点 H . 若∠ ABC ＝∠ EFC ＝70°，∠ ACB ＝60°，∠ DGB ＝40°，则下列三角形相似的一组是（　B　）
A. △ BGD 和△ CEF
B. △ ABC 和△ CEF
C. △ ABC 和△ BGD
D. △ FGH 和△ ABC
（第6题图）
B
7. 如图，已知∠ DAB ＝∠ EAC ，补充下列条件，不一定能使
△ ADE ∽△ ABC 的是（　B　）
A. ＝
B. ＝
C. ∠ AED ＝∠ C
D. ∠ BED ＝∠ CAE
（第7题图）
B
8. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，
点 E 为 BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　D　）
A. ∠ DBC ＝30° B. △ ABC ≌△ CBD
C. CE ＝ CD D. ∠ ABC ＝∠ CBD
（第8题图）
D
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 在△ ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△A'B'C'的两边长
分别为1.5，1，要使这两个三角形相似，则△A'B'C'的第三条边
长应该是 .
10. 如图，线段 AD 与 BC 相交于点 E . 若 AE ＝3，
BE ＝4， DE ＝5，要使△ BDE ∽△ ACE ，则线
段 CE 的长为 .
2　
　
（第10题图）
11. 如图，点 D 是等边三角形 ABC 的边 AB 上的一点，且 AD ＝
1， BD ＝2.现将△ ABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕为 EF ，
点 E ， F 分别在 AC 和 BC 上.若 BF ＝ ，则 CE 的长为 　 　.
（第11题图）
　
12. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在 BC ， AC 上，且 AD 平
分∠ BAC . 若∠ C ＝∠ ABE ， BE 与 AD 交于点 F ，则图中相似三
角形有 对.
（第12题图）
3　
13. 采用如下方法可以得到线段的黄金分割点.如图，设 AB 是已
知线段，经过点 B 作 BD ⊥ AB ，使 BD ＝ AB ，连接 DA ，在 DA
上截取 DE ＝ DB ，在 AB 上截取 AC ＝ AE ，点 C 即为线段 AB 的
黄金分割点.若 BD ＝2，则 BC 的长为 .
（第13题图）
6－2 　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）如图，已知∠ ACB ＝∠ ADC ＝90°， AC ＝ ， AD ＝2，
当 AB 的长为多少时，△ ABC ∽△ CAD ？请说明理由.
解：当 AB ＝3 时，△ ABC ∽△ CAD . 理由如下：
在Rt△ ACD 中， AC ＝ ， AD ＝2，
∴ CD ＝ ＝ .
∵△ ABC ∽△ CAD ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得 AB ＝3 .
∴当 AB ＝3 时，△ ABC ∽△ CAD .
（2）如图2，已知 BD 是△ ABC 的角平分线，点 E 在边 BC 上，
且∠ CDE ＝∠ ABD ，求证：△ ABD ∽△ DBE .
证明：∵ BD 是△ ABC 的角平分线，
∴∠ ABD ＝∠ DBE .
∵∠ BDC 是△ ABD 的外角，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD .
∵∠ CDE ＝∠ ABD ，∠ BDC ＝∠ BDE ＋∠ CDE ，
∴∠ A ＝∠ BDE .
又∵∠ ABD ＝∠ DBE ，∴△ ABD ∽△ DBE .
15. （本小题满分8分）如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高.
若 AD2＝ BD · CD ，求证：△ ABD ∽△ CBA .
证明：∵ AD 是 BC 边上的高.
∴∠ ADB ＝∠ CDA ＝90°.
又∵ AD2＝ BD · CD ，∴ ＝ .
∴△ ABD ∽△ CAD .
∴∠ BAD ＝∠ ACD .
又∵∠ B ＝∠ B ，
∴△ ABD ∽△ CBA .
16. （本小题满分8分）如图，在△ ABC 中，已知 CE ⊥ AB ， BF
⊥ AC . 求证：△ AEF ∽△ ACB .
证明：∵ CE ⊥ AB ， BF ⊥ AC ，
∴∠ BFA ＝∠ CEA ＝90°.
∵∠ A ＝∠ A ，∴△ AEC ∽△ AFB .
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠ EAF ＝∠ CAB ，
∴△ AEF ∽△ ACB .
17. （本小题满分10分）如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，连
接 AC ，点 F ， E 分别在线段 BC ， AC 上，且∠ CAF ＝∠ ADE ，
AC ＝ AD .
（1）求证： DE ＝ AF ；
证明：（1）∵ AD ∥ BC ，
∴∠ DAE ＝∠ ACF .
在△ DAE 和△ ACF 中，
∴△ DAE ≌△ ACF . ∴ DE ＝ AF .
（2）若∠ BAF ＝∠ DCE ，求证： AF2＝ BF · CE .
证明：（2）∵△ DAE ≌△ ACF ，∴∠ DEA ＝∠ AFC .
∴180°－∠ AFC ＝180°－∠ DEA ，
即∠ AFB ＝∠ CED .
在△ ABF 和△ CDE 中，
∴△ ABF ∽△ CDE . ∴ ＝ .
由（1）知， DE ＝ AF ，∴ ＝ .∴ AF2＝ BF · CE .
18. （本小题满分10分）在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是中
线， AC ＝ BC ，一个以点 D 为顶点的45°角绕点 D 旋转，使角的
两边分别与 AC ， BC 的延长线相交，交点分别为点 E ， F ， DF
与 AE 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N .
（1）如图1，若 CE ＝ CF ，求证： DE ＝ DF .
（1）证明：∵∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， CD 是中线，
∴∠ BCD ＝∠ ACD ＝45°，∠ BCE ＝∠ ACF ＝90°.
∴∠ DCE ＝∠ DCF ＝135°.
在△ DCE 和△ DCF 中，
∴△ DCE ≌△ DCF . ∴ DE ＝ DF .
（2）如图2，在∠ EDF 绕点 D 旋转的过程中.
①试证明： CD2＝ CE · CF 恒成立；
（2）①证明：∵∠ DCF ＝∠ DCE ＝135°，
∴∠ CDF ＋∠ F ＝180°－135°＝45°.
∵∠ CDF ＋∠ CDE ＝45°，∴∠ F ＝∠ CDE .
∴△ CDF ∽△ CED .
∴ ＝ .∴ CD2＝ CE · CF .
②若 CD ＝2， CF ＝ ，求 DN 的长.
②解：如图，过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ，
则∠ DGN ＝∠ ECN ＝90°，∴ CG ＝ DG .
∵ CD ＝2， CF ＝ ，且 CD2＝ CE · CF ，
∴ CE ＝2 .∵ CG ＝ DG ，∠ DGC ＝90°，
∴ CG ＝ DG ＝ .
∵∠ ECN ＝∠ DGN ＝90°，∠ ENC ＝∠ DNG ，
∴△ CEN ∽△ GDN . ∴ ＝ ＝ ＝2.
∴ GN ＝ CG ＝ × ＝ .
∴ DN ＝ ＝ ＝ .
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝3， BC ＝1，将
△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转90°，得到△AB'C'.连接BB'，交
AC 于点 D ，则 CD 的长为 .
　
【解析】如图，作 B ' E ⊥ AC ，垂足为 E . 由旋
转的性质可知，∠ CAC '＝90°， AC '＝ AC ＝3， B ' C ＝ BC ＝1，则四边形 AC ' B ' E 为矩形，
∴ AE ＝ B ' C '＝1， B ' E ＝ AC '＝3，且 B ' E ∥ BC .
∴ ＝ ＝ .∴ CD ＝ CE ＝ ×（3－1）＝ .故答案为 .
答图
答图
20. 如图，在Rt△ ABC 和Rt△ BDE 中，∠ ABC ＝∠ BDE ＝90°，
点 A 在边 DE 的中点上.若 AB ＝ BC ， DB ＝ DE ＝2，连接 CE ，
则 CE 的长为 .
　
【解析】如图，过点 E 作 EF ⊥ BC ，交 CB 延
长线于点 F ，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G .
在Rt△ BDE 中，∠ BDE ＝90°， DB ＝ DE ＝2，
∴ BE ＝ ＝2 ，∠ BED ＝45°.
∵点 A 在边 DE 的中点上，∴ AD ＝ AE ＝1.
∴ AB ＝ ＝ .∴ AB ＝ BC ＝ .
∵∠ BED ＝45°， AG ⊥ EG ，∴△ AEG 是等腰直角三角形.
∴ EG ＝ AG ＝ AE ＝ .∴ BG ＝ BE － EG ＝ .
∵∠ ABC ＝∠ F ＝90°，∴ EF ∥ AB .
∴∠ BEF ＝∠ ABG . ∴△ BEF ∽△ ABG .
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .
解得 BF ＝ ， EF ＝ .
∴ CF ＝ BC ＋ BF ＝ .
∴ CE ＝ ＝ .故答案为 .
二、解答题（本大题满分12分）
21. 【问题提出】
如图1，在△ ABC 和△ DEC 中，∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ AC ， EC ＝ DC ，点 E 在△ ABC 内部，直线 AD 与 BE 交于点 F ，
连接 CF ，线段 AF ， BF ， CF 之间存在怎样的数量关系？
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，如图2，当点 D ， F 重合时，求 AF ，
BF ， CF 之间的数量关系.
解：（1）∵∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°，
∴∠ ACD ＋∠ ACE ＝90°，∠ ACE ＋∠ BCE ＝90°.
∴∠ BCE ＝∠ ACD .
∵ BC ＝ AC ， EC ＝ DC ，
∴△ BCE ≌△ ACD （SAS）.∴ BE ＝ AD ＝ AF .
在等腰直角三角形 CEF 中， DE ＝ EF ＝ CF .
∴ BF ＝ BE ＋ EF ＝ AF ＋ CF ，即 BF － AF ＝ CF .
（2）再探究一般情形，如图1，当点 D ， F 不重合时，（1）中
的结论是否仍然成立？并证明.
解：（2）（1）中结论仍然成立.证明如下：
由（1）知，△ ACD ≌△ BCE ，
∴∠ CAF ＝∠ CBE ， AD ＝ BE .
如图1，过点 C 作 CG ⊥ CF 交 BF 于点 G .
∴∠ ACF ＋∠ ACG ＝90°.
又∵∠ ACG ＋∠ GCB ＝90°，
∴∠ ACF ＝∠ GCB .
在△ ACF 和△ BCG 中，
∴△ ACF ≌△ BCG （ASA）.
∴ FC ＝ GC ， AF ＝ BG .
∴△ GCF 为等腰直角三角形.
∴ GF ＝ CF .
∴ BF ＝ BG ＋ GF ＝ AF ＋ CF ，
即 BF － AF ＝ CF .
【问题拓展】
（3）如图3，在△ ABC 和△ DEC 中，∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°，
BC ＝ kAC ， EC ＝ kDC （ k 是常数），点 E 在△ ABC 内部，直线
AD 与 BE 交于点 F ，连接 CF ，求线段 AF ， BF ， CF 之间的数量
关系，并说明理由.
解：（3）由（2）知，∠ BCE ＝∠ ACD .
∵ BC ＝ kAC ， EC ＝ kDC ，∴ ＝ ＝ k .
∴△ BCE ∽△ CAD . ∴∠ CBE ＝∠ CAD .
如图2，过点 C 作 CG ⊥ CF 交 BF 于点 G .
由（2）知，∠ BCG ＝∠ ACF ，
∴△ BGC ∽△ AFC . ∴ ＝ ＝ ＝ k .
∴ BG ＝ kAF ， CG ＝ kCF .
在Rt△ CGF 中，根据勾股定理，得
GF ＝ ＝ ＝
· CF .
∴ BF ＝ BG ＋ GF ＝ kAF ＋ · CF .
演示完毕 谢谢观看(共54张PPT)
第十三周自主评价练习
（月考三）
【第五、六章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 某城市市区人口 x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人
拥有绿地 y 平方米，则 y 与 x 之间的函数表达式为（　C　）
A. y ＝ x ＋50 B. y ＝50 x
C. y ＝ D. y ＝
C
2. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是
（　A　）
（第2题图）
A
A
B
C
D
3. 已知反比例函数 y ＝－ 的图象过点 P （ a ， b ），则代数式
ab 的值为（　A　）
A. －3 B. 3 C. － D.
4. 对于反比例函数 y ＝－ ，下列说法不正确的是（　D　）
A. 点（－2，1）在它的图象上
B. 它的图象在第二、四象限
C. 当 x ＞0时， y 的值随 x 值的增大而增大
D. 当 x ＜0时， y 的值随 x 值的增大而减小
A
D
5. 如图，正方体 ABCD － EFGH ，点 I ， J ， K ， L 均为棱的中
点.若将正方体 ABCD － EFGH 沿平面 IJKL 切割，去掉一个三棱
柱后，形成一个新的几何体.则其左视图为（　C　）
（第5题图）
C
A
B
C
D
6. 函数 y ＝ 和 y ＝－ kx ＋2（ k ≠0）在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（　D　）
A
B
C
D
D
7. 已知点 A （ x1，－4）， B （ x2，8）， C （ x3，5）都在反比
例函数 y ＝－ 的图象上，则下列大小关系正确的是（　C　）
A. x1＜ x3＜ x2 B. x1＜ x2＜ x3
C. x3＜ x2＜ x1 D. x2＜ x3＜ x1
C
8. 如图，在平面直角坐标系中，点 P （2，2）是一个光源，木
杆 AB 两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆 AB 在 x 轴
上的投影A'B'的长为（　D　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
（第8题图）
D
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 科技小组为了验证某电路的电压 U （V）、电流 I （A）、电
阻 R （Ω）三者之间的关系： I ＝ ，测得数据如下：
R/Ω 100 200 220 400
I/A 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 R ＝55 Ω时，电流 I ＝ A.
4　
10. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的
示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜
反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB ⊥ BD ， CD ⊥
BD ，且测得 AB ＝4 m， BP ＝6 m， PD ＝12 m，那么该古城墙
CD 的高度是 m.
（第10题图）
8　
11. 已知反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象与正比例函数 y ＝ ax
（ a ≠0）的图象相交于 A ， B 两点.若点 A 的坐标是（1，2），
则点 B 的坐标是 .
12. 如图，反比例函数 y ＝ 的图象经过点 A
（ m ，3），则当 y ＞3时， x 的取值范围为
.
（－1，－2）　
0＜ x ＜2　
（第12题图）
13. 如图，双曲线分支①②③④分别是反比例函数 y1＝ ， y2＝
， y3＝ ， y4＝ 图象的一部分，则反比例函数中的常数 a ，
b ， c ， d 按从小到大的顺序排列为 .
（第13题图）
a ＜ b ＜ c ＜ d 　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你
所看到的几何体的形状图.
解：如图所示：
（2）一次函数 y ＝ kx ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的
图象交于 A （ a ，6）， B （3， a ＋1）两点，求反比例函数
的表达式.
解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于 A ， B 两点，
∴ m ＝6 a ＝3（ a ＋1）.
∴ a ＝1， m ＝6.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
15. （本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y
＝－ x ＋3与反比例函数 y ＝－ 交于 A ， B 两点，与 y 轴交于
点 C ，连接 OA ， OB ，求△ AOB 的面积.
解：联立
解得或
∴点 A 的坐标为（－2，6），点 B 的坐标为（4，－3）.
令 y ＝－ x ＋3中的 y ＝0，则 x ＝3，
∴点 C 的坐标为（0，3）.
∴ OC ＝3.
∴ S＝△ AOB 的面积为 OC ×[4－（－2）]＝9.
16. （本小题满分8分）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段
AB 所示，他在地面上的影子如图中线段 AC 所示，乙的身高如
图中线段 FG 所示，路灯 M 在线段 DE 上.
（1）请你确定路灯 M 所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成
的影子线段；
解：（1）如图所示，路灯 M ， FN 即为所求.
（2）如果灯距离地面12 m，乙的身高1.6 m，乙与灯杆的距离
为6.5 m，请求出乙影子的长度.
解：（2）由题意，得 MD ＝12 m， FG ＝1.6 m， DF ＝6.5 m.
∵ FG ∥ DE ，
∴△ NGF ∽△ NMD .
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴ FN ＝1 m.
∴乙影子的长度为1 m.
17. （本小题满分10分）如图，直线 AC 与函数 y ＝－ 的图象相
交于点 A （－1， m ），与 x 轴交于点 C ，点 C 的坐标为（5，
0），点 D 是线段 AC 上任意一点.
（1）求 m 的值及直线 AC 的函数表达式；
解：（1）∵直线 AC 与函数 y ＝－ 的图象相
交于点 A （－1， m ），
∴ m ＝－ ＝6.
∴ A （－1，6）.
设直线 AC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
把点 A （－1，6）， C （5，0）代入，得
解得
∴直线 AC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋5.
（2）将 OD 绕点 O 按逆时针方向旋转90°得到OD'，点D'恰好落
在函数 y ＝－ 的图象上，求点 D 的坐标.
解：（2）∵直线 AC 的函数表达式为
y ＝－ x ＋5，
∴可设 D （ x ，－ x ＋5）.
如图，过点 D 作 DM ⊥ x 轴，垂足为 M ，过 D '
作 D ' N ⊥ x 轴，垂足为 N .
易得△D'NO≌△ OMD ，
∴D'N＝ OM ＝ x ， NO ＝ DM ＝－ x ＋5.
∴D'（ x －5， x ）.
∵点D'恰好落在函数 y ＝－ 的图象上，
∴ x （ x －5）＝－6.
∴ x2－5 x ＋6＝0.解得 x ＝2或 x ＝3.
∴点 D 的坐标为（2，3）或（3，2）.
18. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶
点坐标为 A （0，0）， B （6，0）， C （6，8）， D （0，8），
AC ， BD 交于点 E .
（1）如图1，双曲线 y ＝ 过点 E ，直接写出点 E 的坐标和反比
例函数的表达式；
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴ DE ＝ EB .
∵ B （6，0）， D （0，8），∴ E （3，4）.
∵双曲线 y ＝ 过点 E ，∴ k1＝12.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）如图2，双曲线 y ＝ 与 BC ， CD 分别交于点 M ， N ，点 C
关于 MN 的对称点C'在 y 轴上，求证△ CMN ∽△ CBD ，并求点
C'的坐标；
解：（2）∵点 M ， N 在反比例函数的图象上，
∴ DN · AD ＝ BM · AB .
∵ BC ＝ AD ， AB ＝ CD ，∴ DN · BC ＝ BM · CD .
∴ ＝ .∴ MN ∥ BD .
∴△ CMN ∽△ CBD .
∵ B （6，0）， D （0，8），
∴易得直线 BD 的函数表达式为 y ＝－ x ＋8.
∵点 C ， C '关于 MN 对称，∴ CC '⊥ BD .
∵ C （6，8）.
∴直线CC'的函数表达式为 y ＝ x ＋ .
∴C'（0， ）.
（3）如图3，将矩形 ABCD 向右平移 m （ m ＞0）个单位长度，
使过点 E 的双曲线 y ＝ 与 AD 交于点 P ，当△ AEP 为等腰三角
形时，求 m 的值.
解：（3）由题意，得 AB ＝6， BC ＝8，∴ AC ＝10.
①当 AP ＝ AE ＝5时， P （ m ，5）， E （ m ＋3，4）.
∵点 P ， E 在反比例函数图象上，
∴5 m ＝4（ m ＋3）.
∴ m ＝12.
②当 EP ＝ AE 时，点 P 与点 D 重合， P （ m ，8），
E （ m ＋3，4）.∵点 P ， E 在反比例函数图象上，
∴8 m ＝4（ m ＋3）.∴ m ＝3.
③当 AP ＝ EP 时，∴ P （ m ， n ）， E （ m ＋3，4），
A （ m ，0）.∴ n ＝ ，解得 n ＝ .
∵点 P ， E 在反比例函数图象上，
∴ m ＝4（ m ＋3），解得 m ＝－ （舍去）.
综上所述，满足条件的 m 的值为3或12.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示.若 AB ＝6， BC ＝
4，则该圆柱体的侧面积为 （结果保留π）.
（第19题图）
24π　
【解析】由主视图可知，圆柱体的高 AB ＝6，底面圆的直径 BC ＝4，∴该圆柱体的侧面积为4π×6＝24π.故答案为24π.
20. 如图，已知点 A 是反比例函数 y ＝－ （ x ＜0）图象上的一
个动点，连接 OA ，若将线段 OA 绕点 O 按顺时针方向旋转90°得
到线段 OB ，则过点 B 的反比例函数的表达式为 .
（第20题图）
y ＝ 　
【解析】作 AC ⊥ x 轴，垂足为点 C ，作 BD ⊥ x 轴，垂足为 D ，则△ AOC ≌△ OBD ，
∴ AC ＝ OD ， OC ＝ BD . ∵ AC · OC ＝2，
∴ OD · BD ＝2.∴过点 B 的反比例函数的表达式为 y ＝ .故答案为 y ＝ .
21. 如图，在斜坡的底部有一铁塔 AB ，点 B
是 CD 的中点， CD 是水平的，在阳光的照
射下，塔影 DE 留在坡面上.已知铁塔底座
宽 CD ＝12 m，塔影长 DE ＝24 m，小明和
小华的身高都是1.6 m，同一时刻，小明站
在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地
上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m和1 m，则塔高 AB 为 m.
28.8　
（第21题图）
【解析】如图，过点 D 作 DF ∥ AE 交
AB 于点 F . ∵点 B 是 CD 的中点， CD
＝12 m，∴ BD ＝6 m.根据题意，得
＝ ，即 ＝ .∴ BF ＝9.6 m.
∵ ＝ ，即 ＝ .∴ AF ＝19.2 m.
∴ AB ＝ AF ＋ BF ＝19.2＋9.6＝28.8（m）.故答案为28.8.
22. 如图， ABCD 在第一象限内，点 A 是一次函数 y ＝ x 图象上
一动点，点 B ， C 的坐标分别是（ b ，1），（ b ＋1，2）.若反
比例函数 y ＝ 和 y ＝ 在第一象限的图象分别经过点 A ， D ，
则 － ＝ .
1　
（第22题图）
【解析】∵点 A 在一次函数 y ＝ x 的图象上，∴设 A （ a ，
a ）.∵四边形 ABCD 为平行四边形， B （ b ，1）， C （ b ＋1，
2），∴点 B 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得
到点 C ，∴ D （ a ＋1， a ＋1）.∵点 A ， D 分别在 y ＝ ， y ＝
的图象上，∴ a2＝ k1，（ a ＋1）2＝ k2.∴ ＝ a ， ＝ a
＋1.∴ － ＝1.故答案为1.
23. 如图，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 A （2，1），过点 A 作 AB ⊥ y 轴于点 B ，连接 OA ，直线 CD ⊥ OA ，交 x 轴于点 C ，交 y 轴于点 D . 若点 B 关于直线 CD 的对称点 B '恰好落在该反比例函数的图象上，则点 D 的纵坐标为 .
　
（第23题图）
【解析】如图，设 BB '交直线 CD 于点 E ，过
点 E 作 EG ⊥ BD 于 G ，过 B '作 B ' F ⊥ BD 于
点 F . ∵点 B 与点 B '关于直线 CD 对称，
∴ CD 垂直平分 BB '.
即点 E 为 BB '的中点， EB ＝ EB '.∵ EG ⊥ BD ，
B ' F ⊥ BD ，∴ EG ∥ B ' F .
∴ EG ＝ B ' F . ∵ A （2，1），∴直线 OA 的函数表达式为 y ＝
x .∵ CD ⊥ OA ， BB '⊥ CD ，∴ BB '∥ OA .
设直线BB'的函数表达式为 y ＝ x ＋ b .∵ B （0，1），∴ b ＝1.
∴直线BB'的函数表达式为 y ＝ x ＋1.
∵反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 A （2，1），
∴ k ＝2.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
联立解得
∵点B'在第一象限，∴B'（ －1， ）.∴B'F＝ －1，
∴ EG ＝ . ∵ AB ⊥ BD ，∴∠ BAO ＝∠ BEG ＝∠ ODC .
∴△ ABO ∽△ EGB ∽△ DGE ，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ BG ＝
EG ＝ ， DG ＝2 EG ＝ －1.
∴ OD ＝ OB ＋ BG ＋ DG ＝ ，即点 D 的纵坐标为 .故
答案为 .
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）把边长为1 cm的10个相同正方体摆成如
图所示的几何体.
（1）求该几何体的体积和表面积；
解：（1）该几何体的体积为10 cm3，表面积为2×（6＋6＋6）×1＋2＝38（cm2）.
（2）如果在这个几何体上再添加 n 个相同的正方体，并保持这
个几何体的左视图和俯视图不变，求 n 的最大值.
解：（2）要保持这个几何体的左视图和俯视图不
变，最多可以放4个正方体，故 n 的最大值为4.
25. （本小题满分10分）【操作与研究】如图1，△ ABC 被平行
于 CD 的光线照射， CD ⊥ AB 于点 D ， AB 在投影面上.
（1）图中线段 AC 的投影是 ，线段 BC 的投影是 ；
AD 　
BD 　
（2）若∠ ACB ＝90°，求证： AC2＝ AD · AB （这个结论我们称
之为射影定理）；
证明：（2）∵ CD ⊥ AB ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ ADC ＝∠ ACB ＝90°.
∵∠ CAD ＝∠ BAC ，
∴△ ACD ∽△ ABC .
∴ ＝ .
∴ AC2＝ AD · AB .
【验证与应用】
（3）如图2，正方形 ABCD 的边长为15，点 O 是对角线 AC ，
BD 的交点，点 E 在 CD 上，过点 C 作 CF ⊥ BE ，垂足为 F ，连接
OF ，请运用射影定理求证：△ BOF ∽△ BED .
证明：（3）∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ OC ⊥ BO ，∠ BCD ＝90°.∴ BC2＝ BO · BD .
∵ CF ⊥ BE ，∴ BC2＝ BF · BE .
∴ BO · BD ＝ BF · BE ，即 ＝ .
又∵∠ OBF ＝∠ EBD ，∴△ BOF ∽△ BED .
26. （本小题满分12分）反比例函数 y ＝ 的图象与直线 y ＝－ x
＋8的交点为点 A ， B ，且点 A 在点 B 的左侧.
（1）如图1，连接 OA ， OB ，求点 A 的坐标和△ AOB 的面积；
解：（1）联立
解得或
∴ A （2，6）， B （6，2）.
设直线 AB 与 x 轴交于点 E ，则点 E （8，0）.
∴ S△ AOB ＝ S△ AOE － S△ BOE ＝ OE · yA － OE · yB ＝ OE ·
（ yA － yB ）＝ ×8×（6－2）＝16.
（2）如图2，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转45°，得到线
段 OP ，点 P 在反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象上，求 k 的值；
解：（2）如图1，过点 P 作 OP 的垂线，与 OA 的延长线交于 点 F ，过点 P 作 y 轴的平行线，与 x 轴的交点为点 G ，过点 F 作 x 轴的平行线，与直线 GP 的交点为点 H .
∵∠ AOP ＝45°，∠ OPF ＝90°，
∴△ POF 为等腰直角三角形， OP ＝ PF .
∵∠ GPO ＋∠ HPF ＝∠ HPF ＋∠ HFP ＝90°，
∴∠ GPO ＝∠ HFP .
在△ POG 和△ FPH 中，
∴△ POG ≌△ FPH （AAS）.
∴ OG ＝ HP ， PG ＝ HF .
设点 P 坐标为（ a ， b ），则 OG ＝ HP ＝－ a ， PG ＝ HF ＝ b ，
∴ OP2＝ a2＋ b2，点 F 的坐标为（ a ＋ b ， b － a ），
由题意，得 OA2＝40，直线 OA 的函数表达式为 y ＝3 x ，
∴解得
∴点 P 的坐标为（－2 ，4 ）.
将点 P 的坐标代入反比例函数 y ＝ （ k ≠0），得 k ＝－16.
（3）如图3，过点 A 作 x 轴的平行线与反比例函数 y ＝ （ m ＜
0， x ＜0）图象的交点为点 D ，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为
E ，连接 AE ，作点 O 关于直线 AE 的对称点O'，若点O'到 AD 的
距离等于4，求 m 的值.
解：（3）过 O '作 AD 的垂线，垂足为 M ，连接 OO '交 AE 于点
N ，过点 N ， A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q ， C . 由题知， O ' M
＝4， O ' A ＝ OA ＝ ＝2 .∴ AM ＝ ＝2 .
①如图2，若点O'在 AD 下方时，
点O'的坐标为（2－2 ，2）.
∵ AE 垂直平分OO'，
∴点 N 的坐标为（1－ ，1）.
∴ NQ ＝1， OQ ＝ －1.
∵ NQ ∥ AC ，
∴△ ENQ ∽△ EAC .
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .
∴ EQ ＝ .∴ OE ＝ ，
∴点 E 的坐标为（ ，0）.
∴点 D 的坐标为（ ，6），
将点 D 坐标代入反比例函数表达式，得 m ＝ .
②如图3，若点O'在 AD 上方时，点O'的坐标为（2－2 ，10）.
∵ AE 垂直平分OO'，
∴点 N 的坐标为（1－ ，5）.
∴ NQ ＝5， OQ ＝ －1.
∵ NQ ∥ AC ，∴△ ENQ ∽△ EAC .
∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ ＝5.
∴ EQ ＝5 ＋5.
∴ OE ＝6 ＋4，
∴点 E 的坐标为（－6 －4，0）.
∴点 D 的坐标为（－6 －4，6），
将点 D 的坐标代入反比例函数表达式，得 m ＝－36 －24.
综上， m 的值为－36 －24或 .
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第十二周自主评价练习
【第六章全章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是（　A　）
A. y ＝ B. y ＝ C. y ＝ D. y ＝ x2
2. 反比例函数 y ＝－ 的图象分别位于（　D　）
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
A
D
3. 若反比例函数 y ＝ 的图象过点（3，6），则它一定还经过的
点是（　D　）
A. （2，－9） B. （－4， ）
C. （－ ，5） D. （－3，－6）
D
4. 下列关于反比例函数 y ＝ 的说法错误的是（　C　）
A. 函数图象必过点（2，1）
B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当 x ＞0时， y 的值随 x 值的增大而增大
D. 当 x ＞0时， y 的值随 x 值的增大而减小
C
5. 若点 A （－3， y1）， B （－1， y2）， C （2， y3）都在反比
例函数 y ＝ （ k ＜0）的图象上，则 y1， y2， y3的大小关系是
（　A　）
A. y3＜ y1＜ y2 B. y2＜ y1＜ y3
C. y1＜ y2＜ y3 D. y3＜ y2＜ y1
A
6. 如图是同一平面直角坐标系中函数 y1＝2 x 和 y2＝ 的图象.观
察图象可得，不等式2 x ＞ 的解集为（　D　）
A. －1＜ x ＜1
B. x ＜－1或 x ＞1
C. x ＜－1或0＜ x ＜1
D. －1＜ x ＜0或 x ＞1
（第6题图）
D
7. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝90°， AC ＝6， AB ∥
CD ， AC 平分∠ DAB . 设 AB ＝ x ， AD ＝ y ，则 y 关于 x 的函数关
系用图象大致可以表示为（　D　）
（第7题图）
D
A
B
C
D
8. 如图，直线 l 交 x 轴于点 C ，交反比例函数 y ＝ （ a ＞1）的
图象于 A ， B 两点，过点 B 作 BD ⊥ y 轴，垂足为 D . 若 S△ BCD ＝
5，则 a 的值为（　D　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
（第8题图）
D
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 已知反比例函数 y ＝－ 的图象关于直线 y ＝ kx （ k ≠0）对
称，则 k 的值为 .
10. 如图，已知点 A （3，3）， B （3，1），且反
比例函数 y ＝ （ k ≠0）图象的一支与线段 AB 有
交点，则 k 的取值范围是 .
±1　
3≤ k ≤9　
（第10题图）
11. 在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ x 与双曲线 y ＝ 交于
A ， B 两点.若点 A ， B 的纵坐标分别为 y1， y2，则 y1＋ y2的值
为 .
12. 如图，已知反比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象
经过点 A ，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B ，且△ AOB
的面积为6，则 k 的值为 .
0　
－12
（第12题图）
13. 如图，已知矩形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都
在反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象上，点 B 的坐标为（2，4），则点 E 的坐标为 .
（第13题图）
（4，2）　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）已知函数 y ＝（ m ＋3） 是 x 的反比例函数，求
m 的值；
解：由题意，得8－ m2＝－1， m ＋3≠0.解得 m ＝3.
（2）求一次函数 y1＝ x ＋2与反比例函数 y2＝ 图象的交
点坐标.
解：联立两个函数表达式，得 x ＋2＝ .解得 x1＝3， x2＝－6.
∴一次函数 y1＝ x ＋2与反比例函数 y2＝ 图象的交点坐标为
（3，4）和（－6，－2）.
15. （本小题满分8分）将直线 y ＝－ x ＋3向上平移 a （ a ＞0）
个单位长度后与反比例函数 y ＝ 图象有且只有一个交点，求 a
的值.
解：将直线 y ＝－ x ＋3向上平移 a （ a ＞0）个单位长度后得
到 y ＝－ x ＋3＋ a .
联立得 x2－（ a ＋3） x ＋4＝0.
∵直线 y ＝－ x ＋3＋ a 与反比例函数 y ＝ 图象有且只有一
个交点，∴Δ＝0，即 －4×1×4＝0.
解得 a ＝1或 a ＝－7（舍去）.∴ a 的值为1.
16. （本小题满分8分）如图，正比例函数 y ＝ kx 的图象与反比
例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象交于点 A （ a ，4）.点 B 为 x 轴正半
轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C ，交正
比例函数的图象于点 D ，连接 AC . 若 CD ＝ ，求四边形 AOBC
的面积.
解：将点 A 的坐标代入 y ＝ （ x ＞0），得4＝ ，解得 a ＝2.将点 A （2，4）代入 y ＝ kx ，得4＝2 k ，解得 k ＝2.
设点 B 的坐标为（ b ，0）（ b ＞0），则点 C 的坐标为（ b ， ），点 D 的坐标为（ b ，2 b ）.
由 CD ＝ ，得 CD ＝2 b － ＝ .解得 b ＝5或－ （舍去）.
故点 C 的坐标为（5， ），点 D 的坐标为（5，10）.
∴四边形 AOBC 的面积＝ S△ OBD － S△ ACD ＝ OB · BD － CD ·
（5－2）＝ ×5×10－ × ×3＝ .
17. （本小题满分10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上
听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生
兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开
始分散.学生注意力指标 y 随时间 x （分）变化的函数图象如图所
示，当0≤ x ＜10和10≤ x ＜20时，图象是
线段；当20≤ x ≤45时，图象是反比例函
数的一部分.
（1）求点 A 对应的指标值.
解：（1）设当20≤ x ≤45时，反比例函数的表达式为 y ＝ .
将点 C （20，45）的坐标代入，得45＝ ，解得 k ＝900.
∴该反比例函数的表达式为 y ＝ .
当 x ＝45时， y ＝ ＝20，∴ D （45，20）.
∴ A （0，20），即点 A 对应的指标值为20.
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能
否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力
指标都不低于36？请说明理由.
解：（2）设当0≤ x ＜10时，直线 AB 的函
数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
将点 A （0，20）， B （10，45）的坐标代
入，得解得
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝ x ＋20.
当 y ≥36时， x ＋20≥36，解得 x ≥ .
由（1）知，反比例函数的表达式为 y ＝ .
当 y ≥36时， ≥36，解得 x ≤25.
∴当 ≤ x ≤25时，注意力指标都不低于36.
∵25－ ＝ （分）＞17（分），
∴他能经过适当的安排，使学生在听这道
综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
18. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝
kx ＋ b 与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B （0，2），与
反比例函数 y ＝ 在第四象限内的图象交于点 C （6， a ）.
（1）求反比例函数的表达式.
解：（1）把点 A （4，0）， B （0，2）的坐
标分别代入 y ＝ kx ＋ b 中，
得解得
∴直线的函数表达式为 y ＝－ x ＋2.
当 x ＝6时， y ＝－ ×6＋2＝－1，
∴ C （6，－1）.
把点 C （6，－1）的坐标代入 y ＝ 中，
得－1＝ ，
解得 m ＝－6.
∴反比例函数的表达式为 y ＝－ .
（2）当 kx ＋ b ＞ 时，写出 x 的取值范围.
解：（2）联立解得或
∴一次函数与反比例函数的两个交点的坐标
分别为（6，－1），（－2，3）.由函数图象
可知，当 x ＜－2或0＜ x ＜6时，一次函数图
象在反比例函数图象上方.
∴当 kx ＋ b ＞ 时， x ＜－2或0＜ x ＜6.
（3）在反比例函数 y ＝ 的图象上是否存在点 P ，使△ ABP 是
以点 A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求
出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）如图，设直线 AP 交 y 轴于点 M
（0， m ）.∵ A （4，0）， B （0，2），
∴ BM2＝ m2－4 m ＋4， AB2＝22＋42＝20， AM2＝42＋ m2＝ m2＋16.
∵△ ABP 是以点 A 为直角顶点的直角三角形，
∴∠ BAM ＝90°.∴ BM2＝ AB2＋ AM2.
∴ m2－4 m ＋4＝20＋ m2＋16.解得 m ＝－8.
∴ M （0，－8）.
设直线 AM 的函数表达式为 y ＝ ax ＋ n .
将点 A （4，0）， M （0，－8）的坐标分别代入，
得解得
∴直线 AM 的表达式为 y ＝2 x －8.
联立解得或
∴点 P 的坐标为（3，－2）或（1，－6）.
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角
形 ABC 的斜边 BC ⊥ x 轴于点 B ，直角顶点 A 在
y 轴上，双曲线 y ＝ （ k ≠0）经过 AC 边的中
点 D . 若 BC ＝2 ，则 k ＝ 　－ 　.
－ 　
（第19题图）
20. 如图，正方形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y ＝ （ k1＞
0）和 y ＝ （ k2＞0）第一象限的图象上.若 BD ∥ y 轴，点 D 的
横坐标为3，则 k1＋ k2＝ .
18　
（第20题图）
二、解答题（本大题满分12分）
21. 已知反比例函数 y ＝ 的图象与直线 y ＝ kx ＋ b 的交点为 A
（－4，－3）， B （2，6）.
（1）如图1，求反比例函数和一次函数的表达式；
解：（1）将点 A （－4，－3）， B （2，6）的坐标分别代入 y ＝ kx ＋ b ，
得解得
∴一次函数的表达式为 y ＝ x ＋3.
将点 A （－4，－3）的坐标代入 y ＝ ，得－3＝ ，
解得 m ＝12.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）如图2，点 C 是反比例函数 y ＝ （ x ＞0）上一点，点 D 是
平面内一点，连接 BC ， CD ， DA ，若四边形 ABCD 是矩形，求
点 D 的坐标；
解：（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ⊥ BC .
设直线 BC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ t .
将点 B （2，6）的坐标代入，得 t ＝ .
∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
设点 C （ x ，－ x ＋ ）.∵点 C 在反比例函数 y ＝ 的图象上，
∴ x ×（－ x ＋ ）＝12.解得 x ＝9或 x ＝2（舍去）.
∴ C （9， ）.设点 D （ x0， y0）.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴解得
∴点 D 的坐标为（3，－ ）.
（3）如图3，点 P 是 x 轴上一点，以 BP 为边向线段 BP 右侧作等
边三角形 BPE ，若点 E 在第四象限且到 x 轴的距离是 ，求点
P 的坐标.
解：（3）如图，过点 E 作 EM ⊥ BP 于点 M .
∵△ BPE 为等边三角形，
∴∠ PBE ＝60°.
∴ ＝ .
过点 M 作 RQ ⊥ x 轴，过点 B 作 BR ⊥ RQ 于点 R ，过点 E 作 EQ ⊥
RQ 于点 Q .
易知，△ MQE ∽△ BRM ，∴ ＝ ＝ .
设 BR ＝ a ， MQ ＝ a ，则 M （2－ a ， a － ）.
设点 P （ xP ，0）.∵点 M 为 BP 的中点，
∴解得
∴点 P 的坐标为（－2 ，0）.
演示完毕 谢谢观看(共21张PPT)
第三周自主评价练习
【第二章全章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的是（　C　）
A. （ x －1）（ x ＋2）＝ x2 B. ax2＋ bx ＋ c ＝0
C. x2＋1＝0 D. x2－2 xy ＋ y2＝0
2. 一元二次方程 x2＋（ m ＋1） x － n ＝0有一个根为1，则 m － n
的值是（　A　）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
C
A
3. 一元二次方程 x2－2 x ＝0的解是（　D　）
A. x ＝0 B. x ＝2
C. x1＝0， x2＝－2 D. x1＝0， x2＝2
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋6 x － c ＝0配方后得到方程（ x ＋
3）2＝2 c ，则 c 的值为（　D　）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 9
5. 已知一元二次方程 x2－4 x ＋ k ＝0有两个实数根，则 k 的取值
范围是（　C　）
A. k ＜4 B. k ＞4 C. k ≤4 D. k ≥4
D
D
C
6. 已知一元二次方程 x2－ x －2 024＝0的两个实数根是 m ， n ，
则代数式 m ＋ n ＋ mn 的值为（　B　）
A. －2 022 B. －2 023
C. －2 024 D. －2 025
7. 某学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400
棵，第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为 x ，
根据题意，可列出方程为（　B　）
A. 400（1＋2 x ）＝625 B. 400（1＋ x ）2＝625
C. 625（1－2 x ）＝400 D. 625（1－ x ）2＝400
B
B
8. 某中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地
上划出四分之一的区域种花，小宇同学设计方案如图所示，求
花带的宽度.设花带的宽度为 x m，则可列出方程为（　D　）
A. （30－ x ）（20－ x ）＝ ×20×30
B. （30－2 x ）（20－ x ）＝ ×20×30
C. 30 x ＋2×20 x ＝ ×20×30
D. （30－2 x ）（20－ x ）＝ ×20×30
D
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 一元二次方程 x2－3 x ＋4＝0的根的情况为 .
10. 若关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0有两个相等的实数
根，则 k ＝ .
11. 若关于 x 的一元二次方程 ax2＋2 x －1＝0有两个不相等的实
数根，则 a 的取值范围是 .
无实数根　
　
a ＞－1且 a ≠0　
12. 已知一个三角形的两边长分别为4和7，第三条边长是方程 x2
－8 x ＋12＝0的解，则该三角形的周长是 .
13. 关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的两个根是 x1， x2，且
x1＝2 x2，则 k ＝ .
17　
2　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分10分，每题5分）解下列方程：
（1）3（ x －1）2－ ＝0；　　（2） x2－10 x ＝11.
解：（1）整理，得
3（ x －1）2＝ ，
即（ x －1）2＝ .
解得 x1＝ ， x2＝ .
解： （2）整理，得
x2－10 x －11＝0，
即（ x －11）（ x ＋1）＝0.
解得 x1＝11， x2＝－1.
15. （本小题满分10分，每题5分）解下列方程：
（1）9 x2－6 x ＝－1；　　（2）3（ x2－1）－5 x ＝0.
解：（1）整得，得9 x2－6 x ＋1＝0，
即（3 x －1）2＝0.
解得 x1＝ x2＝ .
解： （2）整理，得3 x2－5 x －3＝0.
∵Δ＝（－5）2－4×3×（－3）＝61＞0，
∴ x1＝ ， x2＝ .
16. （本小题满分8分）已知5 x2－ x －1＝0，求代数式（3 x ＋2）（3 x －2）＋ x （ x －2）的值.
解：原式＝9 x2－4＋ x2－2 x ＝10 x2－2 x －4.
∵5 x2－ x －1＝0，
∴5 x2－ x ＝1.
∴原式＝2（5 x2－ x ）－4＝－2.
17. （本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k2＝0有两个实数根 x1， x2.
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）∵一元二次方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k2＝0有两个实数
根，∴Δ＝（2 k ＋1）2－4 k2＝4 k ＋1≥0，解得 k ≥－ .
（2）若 ＋ ＋3＝0，求 k 的值.
解：（2）∵ x1， x2是一元二次方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k2＝0的
两个实数根，
∴ x1＋ x2＝－2 k －1， x1 x2＝ k2.
∴ ＋ ＝ ＝ .
∵ ＋ ＋3＝0，∴ ＝3，即3 k2－2 k －1＝0.
解得 k1＝1， k2＝－ .又∵ k ≥－ ，∴ k ＝1.
18. （本小题满分10分）端午节期间，某水果超市调查某种水果
的销售情况，下面是市场调查员的对话.
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当售价为38元/千克时，每天可售出160千克；
小张：若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克.
设售价每千克降低 x 元，根据对话，解决问题：
（1）该超市平均每天可售出该品种水果 千克
（用含 x 的代数式表示）；
（160＋40 x ）　
（2）超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得
到实惠，该水果的售价应降为每千克多少元？
解：（2）由题意，得（38－ x －22）（160＋40 x ）＝3 640.
整理，得 x2－12 x ＋27＝0，
解得 x ＝3或 x ＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴ x ＝9.
∴售价为38－9＝29（元/千克）.
故水果的销售价应降为每千克29元时，超市每天可获得销售利
润3 640元.
（3）求超市销售该品种水果所获利润的最大值.
解：（3）设超市销售该品种水果的利润为 W 元.
根据题意，得 W ＝（38－ x －22）（160＋40 x ）.
整理，得40 x2－480 x ＋ W －2 560＝0.
配方，得（ x －6）2＝ ≥0.
∴ W ≤4 000.
∴超市销售该品种水果所获利润的最大值为4 000元.
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解为 x1＝－5， x2＝
3，则关于 x 的方程 a （ x －2）2＋ b （ x －2）＋ c ＝0的解为
.
20. 若实数 a ， b 分别满足 a2－4 a ＋2＝0， b2－4 b ＋2＝0，且 a
≠ b ，则 a2＋ b2的值为 .
x1
＝－3， x2＝5　
12　
二、解答题（本大题满分12分）
21. 如图，在△ ABC 中，已知∠ B ＝90°， AB ＝6 cm，
BC ＝8 cm.
（1）若点 P 从点 A 开始，沿边 AB 向点 B 以1 cm/s
的速度运动；点 Q 从点 B 开始，沿边 BC 向点 C 以
2 cm/s的速度运动.如果点 P ， Q 分别从点 A ， B 同时出发，线段 PQ 能否将△ ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.
解：（1）设经过 x s，线段 PQ 能将△ ABC 分成面积
相等的两部分.
由题意知， AP ＝ x cm， BQ ＝2 x cm，则 BP ＝
（6－ x ） cm.
∴ （6－ x ）·2 x ＝ × ×6×8.
整理，得 x2－6 x ＋12＝0.
∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－6）2－4×1×12＝－12＜0，
∴此方程无解.
故线段 PQ 不能将△ ABC 分成面积相等的两部分.
（2）若点 P 沿射线 AB 方向从点 A 出发，以 1 cm/s的速度运动；
点 Q 沿射线 CB 方向从点 C 出发，以2 cm/s的速度运动，点 P ， Q
同时出发.问：几秒后，△ PBQ 的面积为1 cm2？
解：（2）设 t s后，△ PBQ 的面积为1 cm2.①当点 P
在线段 AB 上，点 Q 在线段 CB 上时，此时0＜ t ≤4.
根据题意，得 （6－ t ）（8－2 t ）＝1.
整理，得 t2－10 t ＋23＝0.
解得 t1＝5＋ （不符合题意，舍去）， t2＝5－ .
②当点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 CB 的延长线上
时，此时4＜ t ≤6.
根据题意，得 （6－ t ）（2 t －8）＝1.
整理，得 t2－10 t ＋25＝0.解得 t1＝ t2＝5.
③当点 P 在线段 AB 的延长线上，点 Q 在线段 CB 的延长线上时，此时 t ＞6.
根据题意，得 （ t －6）（2 t －8）＝1.整理，得 t2－10 t ＋23＝0.
解得 t1＝5＋ ， t2＝5－ （不符合题意，舍去）.
综上所述，经过（5－ ）s，5 s或（5＋ ）s后，△ PBQ 的
面积为1 cm2.
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第四周自主评价练习（月考一）
【第一、二章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 已知 x ＝1是一元二次方程 x2－3 mx ＋4 m ＝0的一个根，则 m
的值为（　B　）
A. 1 B. －1 C. D. －
B
2. 如图，在矩形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O . 若△ AOB 的面
积为2，则矩形 ABCD 的面积为（　C　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
（第2题图）
C
3. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E
为 AB 的中点.若菱形 ABCD 的周长为32，则 OE 的长为
（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（第3题图）
B
4. 关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m －2＝0有两个不相等的实数根，则 m
的取值范围是（　D　）
A. m ＜ B. m ＞3 C. m ≤3 D. m ＜3
5. 用配方法解一元二次方程 x2－6 x ＋8＝0，配方后得到的方程
是（　D　）
A. （ x ＋6）2＝28 B. （ x －6）2＝28
C. （ x ＋3）2＝1 D. （ x －3）2＝1
D
D
6. 如图，在△ ABC 中，点 E ， D ， F 分别在边 AB ， BC ， CA
上，且 DE ∥ CA ， DF ∥ BA . 下列说法中，不正确的是（　D　）
A. 四边形 AEDF 是平行四边形
B. 若∠ BAC ＝90°，则四边形 AEDF 是矩形
C. 若 AD 平分∠ BAC ，则四边形 AEDF 是菱形
D. 若 AD ⊥ BC 且 AB ＝ AC ，则四边形 AEDF 是正方形
（第6题图）
D
7. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，
E ， F 分别为 AO ， DO 上的一点，且 EF ∥ AD ，连接 AF ， DE .
若∠ CED ＝75°，则∠ FAC 的度数为（　A　）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
（第7题图）
A
8. 关于 x 的方程（ x －1）（ x ＋2）＝ p2（ p 为常数）的根的情
况，下列结论中正确的是（　C　）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 一元二次方程 x2＝2 x 的解是 .
10. 设α，β是一元二次方程2 x2＋2 x －1＝0的两个根，则αβ
＝ .
11. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线交点
为 O ，延长 AB 至点 E ，使得 BE ＝ AB ，
连接 CE . 若∠ E ＝50°，则∠ BAD 的度数
是 .
x1＝0， x2＝2　
－ 　
80°　
（第11题图）
12. 若一个等腰三角形两条边的长分别是一元二次方程 x2－4 x ＋
3＝0的两个实数根，则这个等腰三角形的周长是 .
13. 如图，边长为2和4的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一
起，连接 BD 并延长交 EG 于点 T ，交 FG 于点 P ，则 ET 的长为
.
7　
3 　
（第13题图）
三、计算题（共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）解下列方程：
（1） x （ x －3）＝3 x －9；
解：整理，得 x （ x －3）－3（ x －3）＝0，
即（ x －3）2＝0.
∴ x1＝ x2＝3.
（2）（ x －2）（3 x －5）＝1.
解：整理，得3 x2－11 x ＋9＝0.
∴Δ＝（－11）2－4×3×9＝13＞0.
∴ x1＝ ， x2＝ .
15. （本小题满分8分）先化简，再求值：
已知 x 是一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的实数根，求代数式
÷（ x ＋2－ ）的值.
解：原式＝ ÷
＝ ×
＝ ＝ .
∵ x2＋3 x －1＝0，∴ x2＋3 x ＝1.∴原式＝ ＝ .
16. （本小题满分8分）如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的
中点 O 作 BD 的垂线 EF ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F . 若 CD ＝
4， DF ＝6，求四边形 BEDF 的面积.
解：如答图，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ∥ BC .
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵点 O 是 BD 的中点，
∴ BO ＝ DO .
在△ BOF 与△ DOE 中，
∴△ BOF ≌△ DOE （AAS）.
答图
∴ ED ＝ BF .
又∵ ED ∥ BF ，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∵ EF ⊥ BD ，
∴四边形 EBFD 是菱形.
∴ BF ＝ DF ＝6.
∵ CD ⊥ BC ， CD ＝4，
∴菱形 EBFD 的面积为6×4＝24.
答图
17. （本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m
－1＝0有 x1， x2两个实数根.
（1）若 x1＝1，求 x2及 m 的值.
解：（1）∵一元二次方程 x2－6 x ＋2 m －1＝0有 x1， x2两个实
数根，
∴ x1＋ x2＝6， x1 x2＝2 m －1.
又∵ x1＝1，
∴1＋ x2＝6， x2＝2 m －1.
∴ x2＝5， m ＝3.
（2）是否存在实数 m ，使得（ x1－1）（ x2－1）＝ 成立？
若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2 m －1）≥0.
解得 m ≤5.
又∵（ x1－1）（ x2－1）＝ ，
∴ x1 x2－（ x1＋ x2）＋1＝ ，即2 m －1－6＋1＝ .
∴ m2－8 m ＋12＝0.解得 m1＝2， m2＝6.
∵ m ≤5且 m ≠5，∴ m ＝2.
18. （本小题满分10分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝2
AB ，点 E 是 AD 边上一点， DE ＝ AD （ n 为大于2的整数），
连接 BE ，作 BE 的垂直平分线分别交 AD ， BC 于点 F ， G ， FG
与 BE 的交点为点 O ，连接 BF 和 EG .
解：（1）四边形 FBGE 是菱形.理由如下：
在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，
∴∠ EFO ＝∠ BGO .
∵ FG 为 BE 的垂直平分线，
∴ BO ＝ OE .
（1）试判断四边形 FBGE 的形状，并说明理由；
在△ EFO 和△ BGO 中，
∴△ EFO ≌△ BGO （AAS）.
∴ FO ＝ GO .
又∵ EO ＝ BO ，
∴四边形 FBGE 是平行四边形.
又∵ BE ⊥ FG ，
∴四边形 FBGE 为菱形.
（2）当 AB ＝ a ， n ＝3时，求 FG 的长；
解：（2）当 AB ＝ a ， n ＝3时，
AD ＝2 AB ＝2 a .
∴ DE ＝ AD ＝ a .
∴ AE ＝ AD － DE ＝ a .
在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得
BE ＝ ＝ a .
由题易知， BF ＝ EF ，
∴ AF ＝ AE － EF ＝ AE － BF . ①
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得
AB2＋ AF2＝ BF2.②
联立①②，得 AF ＝ a ， EF ＝ a .
∴ S菱形 BGEF ＝ BE · FG ＝ EF · AB .
∴ FG ＝ a .
（3）设四边形 FBGE 的面积为 S1，矩形 ABCD 的面积为 S2，当
＝ 时，求 n 的值.
解：（3）设 AB ＝ x （ x ＞0），
则 AD ＝ BC ＝2 x ，
∴ DE ＝ ， S1＝ BG · AB ， S2＝ BC · AB .
当 ＝ 时， ＝ ，即 ＝ .
∴ BG ＝ BC ＝ x .
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得 AB2＋ AF2＝ BF2，
即 x2＋ AF2＝（ x ）2.
解得 AF ＝ x （负值舍去）.
∴ AE ＝ AF ＋ FE ＝ AF ＋ BG ＝ x .
∴ DE ＝ AD － AE ＝ x .
∴ x ＝ ，
解得 n ＝6.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 关于 x 的一元二次方程2 x2－4 x ＋ m － ＝0有实数根，则实
数 m 的取值范围是 .
【解析】∵一元二次方程2 x2－4 x ＋ m － ＝0有实数根，∴Δ＝
42－8×（ m － ）≥0，解得 m ≤ .故答案为 m ≤ .
m ≤ 　
20. 若 m ， n 是一元二次方程 x2＋2 x －1＝0的两个实数根，则 m2
＋4 m ＋2 n 的值是 .
【解析】由题意，得 m ＋ n ＝－2， m2＋2 m －1＝0，∴ m2＋2 m
＝1.∴ m2＋4 m ＋2 n ＝ m2＋2 m ＋2（ m ＋ n ）＝1＋2×（－2）
＝－3.故答案为－3.
－3　
21. 如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝2，∠ A ＝120°，过菱形
ABCD 的对称中心 O 分别作边 AB ， BC 的垂线，分别交边 AB ，
BC ， CD ， DA 于点 E ， F ， G ， H ，则四边形 EFGH 的周长
为 .
3＋ 　
22. 设关于 x 的一元二次方程（ m2－4） x2＋（2 m －1） x ＋1＝0
（ m 为实数）的两个实数根的倒数和为 s ，则 s 的取值范围
是 .
s ≥－ 且 s ≠－3，5　
【解析】由题意，得Δ＝（2 m －1）2－4（ m2－4）＝－4 m ＋
17≥0，解得 m ≤ ，且 m ≠±2.设方程的两个实数根为 x1，
x2，则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，∴ s ＝ ＋ ＝ ＝
＝1－2 m .∵ m ≤ ，且 m ≠±2，∴ s ≥－ 且 s ≠－3，5.
故答案为 s ≥－ 且 s ≠－3，5.
23. 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝2，点 E 为边 AB 上一点，点
F 为边 BC 上一点.连接 DE ， AF 交于点 G ，连接 BG . 若 AE ＝
BF ，则 BG 的最小值为 .
－1　
【解析】如答图，取 AD 的中点 T ，连接 BT ， GT .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD ＝ AB ＝2，∠ DAE ＝∠ ABF ＝90°.
在△ DAE 和△ ABF 中，
∴△ DAE ≌△ ABF （SAS）.
∴∠ ADE ＝∠ BAF .
答图
∵∠ BAF ＋∠ DAF ＝90°，
∴∠ ADE ＋∠ DAF ＝90°.
∴∠ AGD ＝90°.∵ DT ＝ AT ，
∴ GT ＝ AD ＝1.
∵ BT ＝ ＝ ＝ ，
∴ BG ≥ BT － GT ＝ －1.
∴ BG 的最小值为 －1.故答案为 －1.
答图
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）某超市销售一种商品，每件成本为50
元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量
为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求
销售单价不得低于成本.
（1）求该商品每月的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间
的函数关系式；
解：（1）由题意，得 y ＝50＋（100－ x ）× ×10＝－5 x ＋550.
∴销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式为
y ＝－5 x ＋550.
（2）若使该商品每月的销售利润为4 000元，并使顾客获得更
多实惠，销售单价应定为多少元？
解：（2）由题意，得 y （ x －50）＝4 000，
即（－5 x ＋550）（ x －50）＝4 000.
解得 x1＝70， x2＝90.
∵要使顾客获得更多实惠，
∴销售单价应定为70元.
25. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 分
别交 x 轴， y 轴于 A ， B 两点，点 A 的坐标为（1，0），∠ ABO
＝30°，过点 B 的直线 y ＝ x ＋ m 与 x 轴交于点 C .
（1）求直线 l 的解析式及点 C 的坐标.
解：（1）∵ A （1，0），∴ OA ＝1.
∵∠ ABO ＝30°，∴ AB ＝2， OB ＝ .
∴ B （0， ）.
设直线 l 的解析式为 y ＝ kx ＋ .
将点 A （1，0）代入，得 k ＝－ .
∴直线 l 的解析式为 y ＝－ x ＋ .
将点 B （0， ）代入 y ＝ x ＋ m ，得 m ＝ .
令 x ＋ ＝0，得 x ＝－3，∴ C （－3，0）.
（2）若点 D 在 x 轴上从点 C 向点 A 以每秒1个单位长度的速
度运动，运动时间为 t 秒（0＜ t ＜4），过点 D 分别作 DE ∥
AB ， DF ∥ BC ，分别交 BC ， AB 于点 E ， F ，连接 EF ，点
G 为 EF 的中点.
①判断四边形 DEBF 的形状，并证明；
解：（2）①四边形 DEBF 是矩形.证明如下：
∵ DE ∥ AB ， DF ∥ BC ，
∴四边形 DEBF 是平行四边形.
在Rt△ AOB 中， AB2＝ OA2＋ OB2＝4.
在Rt△ BOC 中， BC2＝ OC2＋ OB2＝12.
又∵ AC ＝ AO ＋ OC ＝4，
∴ AB2＋ BC2＝ AC2.
∴∠ ABC ＝90°.
∴平行四边形 DEBF 是矩形.
②当 t 为何值时，线段 DG 的长最短？
解：（2）②∵四边形 DEBF 是矩形，
点 G 为 EF 的中点，
∴ DG ＝ DB .
由图可知，点 D 运动到点 O 时，
DB 最短，此时 DG 最短， CD ＝ t ＝3.
∴当 t ＝3时，线段 DG 的长最短.
（3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q ，使以
A ， B ， P ， Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 Q 的
坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）设以点 A ， B ， P ， Q 为顶点的
四边形是菱形，则以点 A ， B ， P 为顶点的
三角形一定是等腰三角形.
设 P （0， p ），则 AB2＝4， AP2＝1＋ p2，
BP2＝ p2－2 p ＋3.
①当 AB ＝ AP 时， AB2＝ AP2，即4＝1＋ p2.
解得 p1＝ （与点 B 重合，舍去）， p2＝－ .
当 P1（0，－ ）时，此时只能是四边形 ABQP 是菱形，
∴解得
∴ Q1（－1，0）.
②当 BA ＝ BP 时， BA2＝ BP2，即4＝ p2－2 p ＋3.
解得 p1＝ ＋2， p2＝ －2.
（Ⅰ）当 P2（0， ＋2）时，此时只能是四边形 BAQP 是菱形，
∴解得
∴ Q2（1，2）；
（Ⅱ）当 P2（0， －2）时，此时只能是
四边形 BAQP 是菱形，
∴解得
∴ Q3（1，－2）.
③当 PA ＝ PB 时， PA2＝ PB2，即 p2－2 p
＋3＝1＋ p2.解得 p ＝ .
此时 P3（0， ），只能是四边形 BQAP 是菱形，
∴解得
∴ Q4（1， ）.
综上所述，点 Q 的坐标为 Q1（－1，0），
Q2（1，2）， Q3（1，－2）， Q4（1， ）.
26. （本小题满分12分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 O 为
对角线 AC 的中点.
（1）如图1，连接 BO ，分别取 CB ， BO 的中点 P ， Q ，连接 PQ ，则 PQ 与 BO 的数量关系是 ，位置关系是
；
PQ ＝ BO 　
PQ ⊥ BO 　
（2）如图2，△ AO ' E 是将图1中的△ AOB 绕点 A 按顺时针方向
旋转45°得到的三角形，连接 CE ，点 P ， Q 分别为 CE ， BO '的
中点，连接 PQ ， PB . 判断△ PQB 的形状，并证明你的结论；
解：（2）△ PQB 是等腰直角三角形.证明如下：
如图1，连接 O ' P 并延长交 BC 于点 F .
由正方形的性质及旋转的性质可得，
AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°，
△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥ BC ，O'E＝O'A，
∴∠ O ' EP ＝∠ FCP ，∠ PO ' E ＝∠ PFC .
又∵点 P 是 CE 的中点，
∴ EP ＝ CP . ∴△O'PE≌△ FPC （AAS）.
∴ O ' E ＝ FC ＝ O ' A ， O ' P ＝ FP .
∴ AB － O ' A ＝ CB － FC . ∴ BO '＝ BF .
∴△ O ' BF 为等腰直角三角形.
∴ BP ⊥ O ' F ， O ' P ＝ BP . ∴△BPO'也为等腰直角三角形.
又∵点 Q 为O'B的中点，∴ PQ ⊥ O ' B ，且 PQ ＝ BQ .
∴△ PQB 是等腰直角三角形.
（3）如图3，△ AO ' E 是将图1中的△ AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接 BO '，点 P ， Q 分别为 CE ， BO '的中点，连接 PQ ， PB . 若正方形 ABCD 的边长为1，求△ PQB 的面积.
解：（3）如图2，延长 O ' E 交 BC 边于点 G ，
连接 PG ， O ' P .
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ECG ＝45°.
由旋转的性质，得四边形O'ABG是矩形，
∴O'G＝ AB ＝ BC ，∠ EGC ＝90°.
∴△ EGC 为等腰直角三角形.
∵点 P 是 CE 的中点，
∴ PC ＝ PG ＝ PE ，∠ CPG ＝90°，∠ EGP ＝45°.
∴△O'GP≌△ BCP （SAS）.
∴∠ O ' PG ＝∠ BPC ， O ' P ＝ BP .
∴∠O'PG－∠ GPB ＝∠ BPC －∠ GPB ＝90°.
∴∠O'PB＝90°.∴△O'PB为等腰直角三角形.
∵点 Q 是O'B的中点，
∴ PQ ＝ O ' B ＝ BQ ， PQ ⊥ O ' B .
∵ AB ＝1，∴O'G＝1，O'A＝ .
∴ BG ＝O'A＝ .
∴O'B＝ ＝ ＝ .
∴ BQ ＝ PQ ＝ O'B＝ .
∴ S△ PQB ＝ BQ · PQ ＝ × × ＝ .
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第八周自主评价练习
【第四章第6－8节】
A卷（共100分）
一、填空题（每小题4分，共32分）
1. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5
米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（　B　）
A. 7.8米 B. 3.2米
C. 2.3米 D. 1.5米
（第1题图）
B
2. 如图， D ， E 分别是△ ABC 边 AB ， AC 上的点，∠ ADE ＝∠
ACB . 若 AD ＝2， AB ＝6， AC ＝4，则 AE 的长是（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（第2题图）
C
3. 如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳（两条尺长
AC 和 BD 相等）可测量零件的内孔直径 AB . 若 OA ∶ OC ＝ OB ∶
OD ＝3，且量得 CD ＝3 cm，则零件的厚度 x 为（　B　）
A. 0.3 cm B. 0.5 cm
C. 0.7 cm D. 1 cm
（第3题图）
B
4. 如图，已知四边形 ABCD 和四边形A'B'C'D'是以点 O 为位似中
心的位似图形.若 OA ∶OA'＝2∶3，则四边形 ABCD 与四边形
A'B'C'D'的面积比为（　C　）
A. 2∶3 B. 4∶8
C. 4∶9 D. ∶
（第4题图）
C
5. △ ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△
DEF ，其最长边为12，则△ DEF 的周长是（　C　）
A. 54 B. 36 C. 27 D. 21
C
6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚
下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在
同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲
的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为
2 m，小菲与旗杆的水平距离为12 m，则旗杆高度为（　B　）
A. 6.4 m B. 8 m
C. 9.6 m D. 12.5 m
（第6题图）
B
7. 如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的点，∠ B ＝∠ ACD ，
AD ∶ DB ＝1∶3，则△ ADC 与△ ACB 的周长比是（　B　）
A. 1∶ B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
（第7题图）
B
8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图
所示的平面直角坐标系中，格点△ ABC ，△ DEF 成位似关系，
则位似中心的坐标为（　A　）
A. （－1，0） B. （0，0）
C. （0，1） D. （1，0）
（第8题图）
A
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，已知 CA ⊥ AD ， ED ⊥ AD ，点 B 是线段 AD 上的一点，
且 CB ⊥ BE . 若 AB ＝8， AC ＝6， DE ＝4，则 BD ＝ .
（第9题图）
3　
10. 如图，已知 AF 是△ ABC 的角平分线，点 D ， E 分别是 AB 和
AC 上的点， DE ∥ BC ， DE 与 AF 的交点为 G . 若 AD ＝2 BD ，则
＝ 　 　.
（第10题图）
　
11. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹
竿 AC 斜靠在石坝旁，量出竹竿上 AD 长为1 m时，它离地面的高
度 DE 为0.6 m，则坝高 CF 是 m.
（第11题图）
2.7　
12. 如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 的顶点为 O （0，0），
A （4，3）， B （3，0）.以点 O 为位似中心，在第三象限内作
与△ OAB 的位似比为 的位似图形△ OCD ，则点 C 的坐标
为 .
（－ ，－1）　
（第12题图）
13. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝13， BC ＝10，正方形
DEFG 的顶点 E ， F 在△ ABC 内，顶点 D ， G 分别在 AB ， AC
上， AD ＝ AG ， DG ＝5，则点 F 到 BC 的距离为 .
（第13题图）
1　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）（1）如图，某测量工作人员
眼睛 A 与标杆顶端 F 、电视塔顶端 E 在同一直线上.已知此人眼
睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且 BC ＝1米， CD ＝5米，求电
视塔 ED 的高度；
解：如图，过点 A 作 AG ⊥ ED 交 CF 于点 H ，交 DE 于点 G ，则
△ AFH ∽△ AEG .
∴ ＝ .
∵ FH ＝3.2－1.6＝1.6（米）， AH ＝ BC ＝1米，
AG ＝ BD ＝ BC ＋ CD ＝1＋5＝6（米），
∴ ＝ .
∴ EG ＝9.6米.
∴ ED ＝ EG ＋ GD ＝9.6＋1.6＝11.2（米）.
故电视塔 ED 的高度为11.2米.
（2）如图，在△ ABC 中， AC ＝30，在△ ABC 内部截取一个菱
形 ADEF ，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， BC ， AC 上.若 BD ∶ AB
＝2∶5，求截取的菱形 ADEF 的边长.
解：设 BD ＝2 x ，则 AB ＝5 x .
∵四边形 ADEF 为菱形，∴ DE ＝ AD ＝3 x .
∵ DE ∥ AC ，∴ ＝ ＝ .∴ AC ＝ .
∵ AC ＝30，∴ ＝30.解得 x ＝4.
∴ DE ＝3 x ＝12.∴菱形 ADEF 的边长为12.
15. （本小题满分8分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与
BD 相交于点 O ，过点 B 作 BE ⊥ AB 交 AC 于点 E . 若 AB ＝10，
AC ＝16，求 OE 的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ AC ＝8.
∵ AC ⊥ BD ， BE ⊥ AB ，
∴∠ AOB ＝∠ BOE ＝∠ ABE ＝90°.
∴ OB ＝ ＝ ＝6.
∵∠ EBO ＋∠ BEO ＝90°，∠ ABO ＋∠ EBO ＝90°，
∴∠ BEO ＝∠ ABO . ∴△ EBO ∽△ BAO .
∴ ＝ .∴ ＝ .解得 OE ＝ .
16. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 的
中点，连接 BE 交 AC 于点 F . 若 AB ＝6，求四边形 CDEF 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是正方形， AB ＝6，
∴ AD ＝ BC ＝ AB ＝6， AD ∥ BC .
∴△ AEF ∽△ CBF . ∴ ＝ .
∵点 E 为 AD 的中点，
∴ AE ＝3， ＝ ＝ .∴ ＝ .
∵ S△ ABE ＝ AE · AB ＝ ×3×6＝9，
∴ S△ AEF ＝ S△ ABE ＝3.
∵ S△ ACD ＝ AD · CD ＝ ×6×6＝18，
∴四边形 CDEF 的面积＝ S△ ACD － S△ AEF
＝18－3＝15.
17. （本小题满分10分）如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，
对角线 AC ， BD 交于点 E ，点 F 在边 AB 上，连接 CF 交线段 BE
于点 G . 已知 CG2＝ GE · GD .
（1）求证：∠ ABD ＝∠ ACF ；
证明：（1）∵ CG2＝ GE · GD ，∴ ＝ .
又∵∠ CGD ＝∠ EGC ，
∴△ GCD ∽△ GEC . ∴∠ GDC ＝∠ GCE .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC .
∴∠ ABD ＝∠ GCE ，即∠ ABD ＝∠ ACF .
（2）连接 EF ，求证： EF · CG ＝ EG · CB .
证明：（2）∵∠ FBG ＝∠ ECG ，∠ BGF ＝∠ CGE ，
∴△ BGF ∽△ CGE . ∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠ FGE ＝∠ BGC ，
∴△ FGE ∽△ BGC . ∴ ＝ .
∴ EF · CG ＝ EG · CB .
18. （本小题满分10分）（1）如图1，在矩形 ABCD 中，已知
AD ＝7， CD ＝4，点 E 是 AD 上的一点，连接 CE ， BD ，且 CE
⊥ BD ，则 ＝ 　 　；
　
（1）【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ BCD ＝∠ ADC ＝90°， AD ＝ BC ＝7.
∴∠ CBD ＋∠ CDB ＝90°.
又∵ CE ⊥ BD ，∴∠ CDB ＋∠ DCE ＝90°.
∴∠ CBD ＝∠ DCE . ∴△ BCD ∽△ CDE .
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .故答案为 .
（2）如图2，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝90°，点 E 为 AB
上一点，连接 DE ，过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G ，
交 AD 的延长线于点 F ，求证： DE · AB ＝ CF · AD ；
（2）证明：如图1，过点 C 作 CH ⊥ AF 交 AF 的延长线于点 H .
∵ CG ⊥ EG ，∴∠ G ＝∠ H ＝∠ A ＝∠ B ＝90°.
∴四边形 ABCH 为矩形.
∴ AB ＝ CH ，
∠ FCH ＋∠ CFH ＝
∠ DFG ＋∠ FDG ＝90°.
又∵∠ CFH ＝∠ DFG ，
∴∠ FCH ＝∠ FDG ＝∠ ADE .
又∵∠ A ＝∠ H ＝90°，
∴△ DEA ∽△ CFH . ∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ DE · AB ＝ CF · AD .
（3）如图3，在Rt△ ABD 中，已知∠ BAD ＝90°， AD ＝3 AB ＝
9，将△ ABD 沿 BD 翻折，点 A 落在点 C 处，得到△ CBD ，点
E ， F 分别在边 AB ， AD 上，连接 DE ， CF ，若 DE ⊥ CF ，
BF ，求 的值.
（3）解：如图2，过点 C 作 CG ⊥ AD 于点 G ，
交 DE 于点 O ，连接 AC 交 BD 于点 H .
∵△ CBD 由△ ABD 翻折得到，
∴ AH ⊥ BD ， AC ＝2 AH .
∵ CF ⊥ DE ， GC ⊥ AD ，
∴∠ FCG ＋∠ CFG ＝∠ CFG ＋∠ ADE ＝90°.
∴∠ FCG ＝∠ ADE .
又∵∠ DAE ＝∠ CGF ＝90°，
∴△ DEA ∽△ CFG . ∴ ＝ .
在Rt△ ABD 中， AD ＝9， AB ＝ AD ＝3，
∴ BD ＝ ＝ ＝3 .
∵ S△ ABD ＝ BD · AH ＝ AB · AD ，
∴ AH ＝ ＝ ＝ .
∴ AC ＝2 AH ＝ ， DH ＝ .
∵ S△ ADC ＝ AC · DH ＝ AD · CG ，
∴ CG ＝ ＝ ＝ .
∴ ＝ ＝ ＝ .
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝90°，点 D 为 AB 的中
点，点 E 在线段 AC 上，且 ＝ ，则 ＝ 　 或 　.
或 　
【解析】∵点 D 为 AB 中点，∴ ＝ ＝ ，即 DE
＝ BC . 如图，取 AC 中点 E1，连接 DE1，则 DE1是
△ ABC 的中位线，此时 DE1∥ BC ， DE1＝ BC .
∴ ＝ ＝ .在 AC 上取一点 E2，使得 DE1＝ DE2，则 DE2＝
BC . ∵∠ A ＝30°，∠ B ＝90°，∴∠ C ＝60°， BC ＝ AC .
∵ DE1∥ BC ，∴∠ DE1 E2＝60°.∴△ DE1 E2是等边三角形.
∴ DE1＝ DE2＝ E1 E2＝ BC . ∴ E1 E2＝ AC .
∵ AE1＝ AC ，∴ AE2＝ AC ，即 ＝ .
综上所述， 的值为 或 .故答案为 或 .
20. 如图，在 ABCD 中，∠ ABC ，∠ BCD 的平分线 BE ， CF 分
别与 AD 交于点 E ， F ， BE 与 CF 相交于点 G . 若 AB ＝6， BC ＝
10， CF ＝4，则 BE 的长为 .
8 　
【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD . ∴∠ ABC ＋∠ BCD ＝180°.
∵∠ ABC ，∠ BCD 的平分线 BE ， CF 分
别与 AD 相交于点 E ， F ，∴∠ EBC ＋
∠ FCB ＝ ∠ ABC ＋ ∠ BCD ＝90°.
∴ EB ⊥ FC . ∴∠ FGB ＝90°.如图，过点 A 作 AM ∥ FC ，交 BC 于点 M ，交 BE 于点 O .
∵ AM ∥ FC ，∴∠ AOB ＝∠ FGB ＝90°.
∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠ EBC . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ AEB
＝∠ CBE . ∴∠ ABE ＝∠ AEB . ∴ AE ＝ AB ＝6.∵ AO ⊥ BE ，
∴ BO ＝ EO .
在△ AOE 和△ MOB 中，
∴△ AOE ≌△ MOB （ASA），∴ AO ＝ MO .
∵ AF ∥ CM ， AM ∥ FC ，∴四边形 AMCF 是平行四边形.∴ AM ＝ FC ＝4.∴ AO ＝2.
∴ EO ＝ ＝ ＝4 .∴ BE ＝2 EO ＝8 .故答案为8 .
二、解答题（本大题满分12分）
21. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， BC ＝14，过
点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 为腰 AC 上一动点，连接 DE ，以
DE 为斜边向左上方作等腰直角三角形 DEF ，连接 AF .
（1）如图1，当点 F 落在线段 AD 上时，求证： AF ＝ EF .
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC ，
∴∠ CAD ＝45°.∵△ EFD 是等腰直角三角形，
∴∠ EFD ＝∠ AFE ＝90°.
∴∠ AEF ＝180°－∠ CAD －∠ AFE ＝45°.
∴∠ EAF ＝∠ AEF . ∴ AF ＝ EF .
（2）如图2，当点 F 落在线段 AD 左侧时，（1）中结论是否仍
然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（2）解：当点 F 落在线段 AD 左侧时， AF ＝ EF 仍然成立.理由
如下：如图1，取 AC 的中点 G ，连接 DG ， FG .
∴在Rt△ ADC 中， DG ＝ CG ＝ AG .
∴∠ GDC ＝∠ C ＝45°.∴∠ DGC ＝90°.
∴△ DGC 是等腰直角三角形.
∵△ DFE 是等腰直角三角形，
∴ ＝ ＝ .
∵∠ FDG ＝∠ FDE ＋∠ EDG ＝45°＋∠ EDG ，
∠ EDC ＝∠ GDC ＋∠ EDG ＝45°＋∠ EDG ，
∴∠ FDG ＝∠ EDC . ∴△ FDG ∽△ EDC .
∴∠ FGD ＝∠ ECD ＝45°.∴∠ FGA ＝45°.
在△ FGA 和△ FGD 中，
∴△ FGA ≌△ FGD （SAS）.∴ AF ＝ DF .
∵ DF ＝ EF ，∴ AF ＝ EF .
（3）在点 E 的运动过程中，若 AF ＝ ，求线段 CE 的长.
（3）解：在Rt△ ABC 中， BC ＝14，点 D 是 BC 中点，∴ AD ＝7.
取 AC 的中点 G ，连接 DG ， FG ，设直线 FG 与直线 AD 相交于点 P .
由（2）可知，∠ FGD ＝45°＝∠ GDC ，
∴ FG ∥ DC .
∴ GP ⊥ AD 且 AP ＝ DP ＝ PG ＝ AD ＝ .
在Rt△ APF 中， AP ＝ ， AF ＝ ，
∴ PF ＝ ＝ ＝ .
①如图2，当点 F 落在线段 AD 左侧时，
FG ＝ PG ＋ PF ＝ ＋ ＝4.
∵△ FDG ∽△ EDC ，
∴ ＝ ＝ .∴ EC ＝ ＝4 ；
②如图3，当点 F 落在线段 AD 的右侧时，
FG ＝ PG － PF ＝ － ＝3.
易知△ FDG ∽△ EDC ，∴ ＝ ＝ .
∴ EC ＝ ＝3 .
综上所述， EC 的长是4 或3 .
演示完毕 谢谢观看(共35张PPT)
第五周自主评价练习
【第三章全章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　A　）
A. 检测载人飞船零件的质量
B. 检测一批LED灯的使用寿命
C. 检测成都、德阳、眉山、资阳四市的空气质量
D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
A
2. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各
种尺码运动鞋的销售量如下表.若计划下次采购同样的学生运动
鞋，则该店主在下列四个统计指标中最应该关注的是（　C　）
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
C
3. 某校九（1）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发
展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容
中任选一个进行手抄报的制作：A. “北斗卫星”；B. “5G时
代”；C. “智轨快运系统”；D. “东风快递”；E. “高铁”.
并根据统计结果绘制了如图所示的折线统计
图，则选择“5G时代”的频率是（　B　）
A. 0.25 B. 0.3 C. 25 D. 30
B
4. 抛掷一枚均匀的硬币，前10次结果都是正面朝上，第11次抛
掷的结果是正面朝上的概率（　B　）
A. 大于 B. 等于
C. 小于 D. 不能确定
5. 某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓
球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　C　）
A. B. C. D.
B
C
6. 从1，2，2，4，5，5这六个数中随机选取一个数，这个数恰
为该组数据的众数的概率为（　D　）
A. B. C. D.
D
7. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调
查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，结果如下表：
每周课外阅读时间/时 2 4 6 8
学生数/人 2 3 4 1
下列说法错误的是（　D　）
A. 众数是6时 B. 平均数是4.8时
C. 样本容量是10 D. 中位数是2.5时
D
8. 一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色
外，其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的
是（　A　）
A. 至少有1个白球 B. 至少有2个白球
C. 至少有1个黑球 D. 至少有2个黑球
A
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，转盘中6个小扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，
当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为 .
10. 成都市某个星期周一到周五的观测气温（单位：℃）数值
为：22，24，20，23，25，则这5个数的中位数是 .
　
23　
11. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞
出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，
在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发
现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，则可以初步估计鱼苗数
目较少的是 鱼池.（填“甲”或“乙”）
乙　
12. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射
击成绩的平均数 （单位：环）及方差 s2（单位：环2）如下表
所示.根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动
员参加比赛，应选择 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）.
运动员 甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
s2 1.2 0.4 1.8 0.4
丁　
13. 连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的正六边形涂成
黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，
飞镖落在黑色区域的概率为 .
　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）一个不透明的口袋中有10个除颜色外完全相同的小球，其
中有2个红球，3个白球，5个黄球.若再放入 x 个红球后，随机摸
出一个小球，则摸出红球的概率是 ，求 x 的值；
解：由题意，得 ＝ .解得 x ＝2.
故 x 的值为2.
（2）某市垃圾试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已
知可回收垃圾共收集60吨，估计该垃圾回收试点区域收集的垃
圾总量.
解：60÷（1－50％－1％－29％）＝300（吨）.
故估计该垃圾回收试点区域收集的垃圾总量为300吨.
15. （本小题满分8分）某校在各年级开展合唱比赛，规定每支
参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30％，演唱技巧占50％，精
神面貌占20％进行考评.某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧
获得94分，精神面貌获得95分.求该参赛队的最终成绩.
解：90×30％＋94×50％＋95×20％＝93（分）.
故该参赛队的最终成绩是93分.
16. （本小题满分8分）在一个不透明的口袋中装有3个小球，分
别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同.小明
和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到小球的数字大谁
获胜，摸到小球的数字相同记为平局.小明从口袋中摸出一个小
球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球，用
列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率.
由图可知，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果有3
种，
∴小明获胜的概率为 ＝ .
解：画树状图如图所示：
17. （本小题满分10分）4月23日是“世界读书日”.某校为了解
学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他
们平均每周的课外阅读时间 t （单位：时）.把调查结果分为四
档，A档： t ＜8；B档：8≤ t ＜9；C档：9≤ t ＜10；D档： t
≥10.根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有
数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图，根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整.
解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
∴A档共有12－4＝8（人）.
∴本次调查的学生人数为8÷20％＝40.
∴C档有40－8－16－4＝12（人）.
补全统计图如右图.
（2）已知全校共1 200名学生，请估计全校学生中平均每周的
课外阅读时间为B档的人数.
解：（2）1 200× ＝480（人）.故估计全校学生中平均每周的
课外阅读时间为B档的有480人.
（3）学校要从“D档”的4名学生中随机抽取2名作读书经验分
享.已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自
九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不
同年级的概率.
解：（3）用a表示七年级学生，
用b表示八年级学生，用c和d分
别表示九年级学生，画树状图
如下：
∴ P （2名学生来自不同年级）＝ ＝ .
18. （本小题满分10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决
定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规
定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽
奖方案如下：从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①
②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中
奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖
的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球
（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸
出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得
的两个球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某
顾客获得抽奖机会.
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率.
解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄1，黄2，黄3，
共4种等可能的结果.记“首次摸得红球”为事件 A ，则事件 A 发
生的结果只有1种，∴ P （ A ）＝ .
∴该顾客首次摸球中奖的概率为 .
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼
品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
解：（2）他应往袋中加入黄球.理由如下：记往袋中加入的球
为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
　　 第二球 第一球 　　 红 黄1 黄2 黄3 新
红 红，黄1 红，黄2 红，黄3 红，新
黄1 黄1，红 黄1，黄2 黄1，黄3 黄1，新
　　 第二球 第一球 　　 红 黄1 黄2 黄3 新
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄3 黄2，新
黄3 黄3，红 黄3，黄1 黄3，黄2 黄3，新
新 新，红 新，黄1 新，黄2 新，黄3
由表可知，共有20种等可能结果.
①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时
该顾客获得精美礼品的概率 P1＝ ＝ ；
②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此
时该顾客获得精美礼品的概率 P2＝ ＝ .
∵ ＜ ，∴ P1＜ P2.
∴他应往袋中加入黄球.
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 我们对一个三角形的顶点和边都赋予一个特
征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或
逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再
把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺
序旋转和或逆序旋转和.如图1， ar ＋ cq ＋ bp 是
该三角形的顺序旋转和， ap ＋ bq ＋ cr 是该三角
形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，
若从1，2，3中任取一个数作为 x ，从1，2，3，
4中任取一个数作为 y ，则对任意正整数 z ，该
三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 .
　
20. 如图，正方形 EFGH 的顶点分别在正方形 ABCD 各边上，且
AE ＝2 ED ，沿正方形 EFGH 各边将其周围的直角三角形向内翻
折，得到四边形A'B'C'D'.现在正方形 ABCD 区域随机取一点，则
点落在正方形A'B'C'D'区域的概率为 .
　
二、解答题（本大题满分共12分）
21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗.某
校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动
情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整
数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学
生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息
如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
（已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分）
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为
7分的学生人数是 ，七年级
活动成绩的众数为 分；
1　
8　
（1）【解析】根据扇形统计
图，七年级活动成绩为7分的学
生人数的占比为1－50％－20％
－20％＝10％，∴样本中，七年
级活动成绩为7分的学生人数是
10×10％＝1.根据扇形统计图可知，七年级活动成绩的众数为8分.故答案为1，8.
（2）填空： a ＝ ， b ＝ ；
（2）【解析】∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分.∴ a ＝5－1－2＝2，
b ＝10－1－2－2－2＝3.故答案为2，3.
2　
3　
（3）解：优秀率高的年级不是平均成绩也高.理由如下：七年级优秀率为20％＋20％＝40％，平均成绩为7×10％＋8×50％＋9×20％＋10×20％＝8.5（分），八年级优秀率为 ×100％＝50％＞40％，平均成绩为 ×（6＋7×2＋2×8＋3×9＋2×10）＝8.3（分）.∵8.3＜8.5，∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高.∴优秀率高的年级不是平均成绩也高.
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数
据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并
说明理由.
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第十一周自主评价练习
【第五章全章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列四个图形中，是圆柱体的俯视图的是（　D　）
（第1题图）
A
B
C
D
D
2. 如图所示的物体的左视图是（　B　）
（第2题图）
A
B
C
D
B
3. 一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的
是（　B　）
A. 主视图与俯视图相同
B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三个视图完全相同
（第3题图）
B
4. 如图所示的几何体的左视图是（　C　）
（第4题图）
C
A
B
C
D
5. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的
图是（　C　）
A
B
C
D
C
6. 如图，一条线段 AB 在平面 Q 内的正投影为A'B'.若 AB ＝4，
A'B'＝2 ，则 AB 与A'B'的夹角为（　B　）
A. 45° B. 30°
C. 60° D. 以上都不对
（第6题图）
B
7. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所
示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则
该几何体的主视图为（　A　）
（第7题图）
A
A
B
C
D
8. 某几何体的三视图如图所示，下列判断正确的是（　C　）
A. 该几何体是圆柱体，体积为2
B. 该几何体是圆锥体，高为2π
C. 该几何体是圆柱体，体积为2π
D. 该几何体是圆锥体，半径为2
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 某天的午后，小红先参加了校运动会女子100 m赛跑比赛，过
一段时间又参加了女子400 m赛跑比赛，下图是摄影师在同一位
置拍摄的两张照片，则 （填“甲”或“乙”）照片是参
加400 m赛跑比赛时照的.
（第9题图）
甲　
10. 如图，一个圆柱体轴截面平行于投影面，它的正投影是边长
为4 cm的正方形，则这个圆柱体的表面积是 cm2.
（第10题图）
24π　
11. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子
的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，已知
木杆 EF 长2米，它的影长 FD 是4米，同一时刻测得 OA 是268
米，则金字塔的高度 BO 是 米.
134　
12. 如图，在 A 时测得某树的影长为4米， B 时又测得该树的影长
为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米.
（第12题图）
6　
（第13题图）
13. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角
形，则该几何体的左视图的面积为 cm2.
3 　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）（1）如图， AB 和 DE 是直立
在地面上的两根立柱.已知 AB ＝4 m，某一时刻 AB 在阳光下的投
影 BC ＝3 m.请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影.
解：如图，连接 AC ，过点 D 作 DF ∥ AC ，交直线 BC 于点 F ，
线段 EF 即为 DE 的投影.
（2）如图是由一些大小相同的小立方块组合成的简单几何体，
请在下面方格中分别画出它的三种视图.
解：如图所示：
15. （本小题满分8分）如图，两座高楼 M ， N 之间相距20
m，两座高楼 M ， N 的高度分别为60 m和100 m，站在点
A 处观测，求观测点 A 与 M 楼相距多少米时，才能刚好看到
后面的 N 楼？
答图
解：如答图，连接点 A 与两座高楼的顶点 B ， C ，当 A ， B ， C 三点在同一条直线上， CN 恰好被 BM 挡住.
∵ BM ∥ CN ，∴ ＝ .
∴ ＝ .∴ AM ＝30 m.
∴当观测点 A 与 M 楼的距离大于30 m时，才能看到后面
的 N 楼.
16. （本小题满分8分）如图是某几何体的三种视图，根据图中
数据，求该几何体的体积.
解：观察三视图可知，该几何体为空心 圆柱，底面内圆半径为3，外圆半径为4，高为10，
∴其体积为10×（42－32）π＝70π.
17. （本小题满分10分）由若干个边长为1的小立方块搭成的几
何体的俯视图如图所示，正方形中的数字表示该位置的小立方
块的个数.
（1）请在下图方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图；
解：（1）如图所示：
（2）求这个几何体的表面积.
解：（2）由图可知，该几何体的主视图有5个面，左视图有4个
面，俯视图有3个面，且没有凹面，
∴该几何体的表面积为2×（5＋4＋3）＝24.
18. （本小题满分10分）如图，小军、小丽之间的距离为2.7
m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m和1.5 m，已知小
军、小丽的身高分别为1.8 m和1.5 m.
（1）在图中作出路灯的位置；
解：（1）如答图，点 A 就是路灯的位置.
答图
（2）求路灯的高度.
解：（2）如答图，∵ CD ∥ AB ∥
MN ，
∴△ ABE ∽△ CDE ，△ ABF ∽△ MNF .
∴ ＝ ， ＝ ，
即 ＝ ， ＝ .
∴ AB ＝3.
故路灯的高度为3 m.
答图
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，有一个由5个完全相同的小立方块拼成一个立体图
形，已知小立方块的棱长为1，则该立体图形的表面积
为 .
（第19题图）
22　
20. 已知图2是图1中的长方体的三视图，用 S主表示主视图的面
积，用 S左表示左视图的面积，用 S俯表示俯视图的面积，且 S主
＝ x2＋2 x ， S左＝ x2＋ x ，则 S俯＝ .
（第20题图）
x2＋3 x ＋2　
二、解答题（本大题满分12分）
21. 用棱长为1 cm的若干小立方块按如图所示的规律在地面上搭
建若个立体图形.图中每个立体图形自上而下分别叫第一层，第
二层，…，第 n 层（ n 为正整数）.其中第一层摆放1个，第二层
摆放4个，第三层摆放9个……依次按规律摆放.（图片所示为前
三个立体图形）
（1）求搭建第4个立体图形的小立方块的个数，第 n 个立体图
形第 n 层的小立方块个数及总个数；
解：（1）搭建第4个立体图形的小立方块的个数为1＋4＋9＋16
＝30；第 n 个立体图形第 n 层的小立方块个数为 n2，其总个数为
1＋22＋32＋42＋…＋ n2.
（2）画出第2，第3个立体图形的三视图，并求出这两个立体图
形所有露出部分（不含底面）的面积和；
解：（2）由图可知，第2个立体图形的主视图为 ，左视图
为 ，俯视图为 ；
第3个立体图形的主视图为 ，左视图为 ，俯视
图 .这两个立体图形所有露出部分（不含底面）的面积之
和为4×3＋4＋4×6＋9＝49（cm2）.
（3）为了美观，若将立体图形的露出部分都涂上油漆（不含底
面），已知喷涂1 cm2需要油漆0.1 g，求喷涂第 n 个立体图形，
共需要多少克油漆？（用含 n 的代数式表示）
解：（3）由图可知，第
n 个立体图形所有露出部
分（不含底面）的面积
为4×（1＋2＋3＋…＋ n ）
＋ n2＝4× ＋ n2＝3 n2＋2 n ，
∴所需要的油漆量为（3 n2＋2 n ）×0.1＝（0.3 n2＋0.2 n ）g.
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第十六周自主评价练习
（一诊模拟卷3）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列为一元二次方程的是（　B　）
A. x ＋2 y ＝1 B. x2－2＝0
C. 3 x ＋ ＝4 D. 2 x （ x －1）＝2 x2＋3
B
2. 如图所示的几何体的主视图是（　A　）
A
B
C
D
A
3. 若△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 的相似比为3∶2，则△
ABC 与△ DEF 的周长比为（　D　）
A. ∶ B. 4∶9 C. 2∶3 D. 3∶2
4. 在同一时刻，身高1.68 m的小强在阳光下的影长为0.84 m，一
棵大树的影长为5 m，则树的高度为（　D　）
A. 4.8 m B. 6.4 m C. 9.6 m D. 10 m
D
D
5. 下列命题中的假命题是（　C　）
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 一组邻边相等的矩形是正方形
C. 一个角是直角的四边形是矩形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C
6. 如图，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A （8，8）， B
（10，4），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩
小为原来的 后得到线段 CD ，则端点 C 的坐标为（　B　）
A. （4，3） B. （4，4）
C. （3，1） D. （4，1）
B
7. 对于反比例函数 y ＝－ ，下列说法不正确的是（　D　）
A. 点（－3，1）在它的图象上
B. 它的图象在第二、四象限
C. 当 x ＞0时， y 的值随 x 值的增大而增大
D. 当 x ＜0时， y 的值随 x 值的增大而减小
D
8. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC ＞ BC ， AB ＝200，
则 AC 的长度是（　B　）
A. 200（ －1） B. 100（ －1）
C. 100（3－ ） D. 50（ －1）
B
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 已知 ＝ ＝ （ b ＋ d ≠0）.则 ＝ 　 　.
10. 已知2是关于 x 的一元二次方程 x2＋ kx －6＝0的一个根，则
另一根是 .
11. 如图，在 ABCD 中，已知点 E 在 AD 上， CE 交 BD 于点 F ，
＝3，则 BF ∶ DF ＝ .
　
－3　
4∶1　
（第11题图）
12. 已知点 A 为直线 y ＝－2 x 上一点，过点 A 作 AB ∥ x 轴，交双
曲线 y ＝ 于点 B . 若点 A 与点 B 关于 y 轴对称，则点 A 的坐标
为 .
13. 如图，在菱形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 BC ， CD 的
中点，连接 AE ， AF ， EF . 若菱形 ABCD 的
面积为8，则△ AEF 的面积为 .
（ ，－2 ）或（－ ，2 ）　
3　
（第13题图）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）解方程： x2＋5 x －6＝0；
解：原方程可变形为（ x ＋6）（ x －1）＝0.
∴ x ＋6＝0，或 x －1＝0.
∴ x1＝－6， x2＝1.
（2）解不等式组：
解：解不等式①，得 x ≤3.
解不等式②，得 x ＞－2.
∴原不等式组的解集为－2＜ x ≤3.
15. （本小题满分8分）如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 的中点，
DE ∥ BC ， DC ， BE 相交于点 G .
（1）求 的值；
解：（1）∵ DE ∥ BC ，点 D 是 AB 的中点，
∴点 E 是 AC 的中点.
∴ DE 是△ ABC 中位线.
∴ ＝ .
（2）求△ GED 与△ GBC 的面积之比.
解：（2）∵ DE ∥ BC ，
∴△ GDE ∽△ GCB .
∴ ＝（ ）2＝ .
16. （本小题满分8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越
受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排，垃圾分类知识
的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了
解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将检查结果绘
制成下面两个统计图.
（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1 200名学生中
“不了解”的有 人；
（1）【解析】本次调查的学生共有4÷8％＝50（人），估计该
校1 200名学生中“不了解”的有1 200×（1－40％－22％－8
％）＝360（人）.故答案为50，360.
50　
360　
（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女
生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请用画树状图或
列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一
女的结果有8种，
∴ P （恰好抽到一男一女）
＝ ＝ .
17. （本小题满分10分）已知△ ABC 中，∠ ACB ＝2∠ ABC ，
AD 为∠ BAC 的平分线，点 E 为线段 AC 上一点，
过点 E 作 AD 的垂线交直线 AB 于点 F .
（1）如图1，求证： AD 垂直平分 EF ；
（1）证明：如图1，设 AD 与 EF 相交与点 G .
∵ AD 为∠ BAC 的平分线，∴∠ FAG ＝∠ EAG .
又∵∠ AGF ＝∠ AGE ＝90°， AG ＝ AG ，
∴△ AGF ≌△ AGE . ∴ EG ＝ FG .
∴ AD 垂直平分 EF .
（2）如图2，当点 E 与点 C 重合时，求证： BF ＝ DE ；
（2）证明：如图2，连接 DF .
由（1）知， AD 垂直平分 EF ，
∴ DF ＝ DE .
易知∠ DFA ＝∠ DCA ＝2∠ ABC .
∴∠ ABC ＝∠ BDF .
∴ BF ＝ DF ＝ DE .
（3）如图3，点 M 是 BF 的中点，连接 DM . 若 DM ⊥ BF ， DC ＝
4， AE ＝3， BD ∶ DC ＝3∶2，求 EC 的长.
（3）解：如图3，过点 C 作 CN ∥ EF 交 BF 于点 N ，连接 DN .
由（2）知， BN ＝ DN ＝ DC ＝4.设 EC ＝ x .
∵ AD 平分∠ BAC ， AD 垂直平分 EF ， CN ∥ EF ，
∴ FN ＝ EC ＝ x .
∴ AB ＝3＋ x ＋4＝7＋ x .
易得 ＝ .解得 x ＝5.
故 EC 的长为5.
18. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
y ＝3 x －2的图象与反比例函数 y ＝ 的图象相交于 A （ a ，－
6）， B 两点.
（1）求反比例函数的表达式.
解：（1）将 A （ a ，－6）代入一次函数 y ＝3 x －2，得3 a －2＝－6，
∴ a ＝－ .∴ k ＝－6 a ＝8.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）点 C 是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线 AB 的
上方，若△ ABC 的面积与△ AOB 的面积相等，求点 C 的坐标.
解：（2）∵ S△ AOB ＝ S△ ABC ，点 C 在第三象限，∴ AB ∥ OC .
∴直线 OC 的函数表达式为 y ＝3 x .
联立解得 x ＝－ （正值已舍去）.
∴ C （－ ，－2 ）.
（3）对平面内任意一点 P （ a ， b ），定义 K 变换：若 a ≥ b ，
则 P 变为P'（－ b ，－ a ）；若 a ＜ b ，则点 P 变为P'（ a ，－
b ），若线段 AB 经过 K 变换后的图形与另一个反比例函数 y ＝
（ m ＜0）的图象没有交点，求 m 的取值范围.
解：（3）联立解得
∴直线 y ＝3 x －2与 y ＝ x 的交点为点 E （1，1）.
联立解得或
∴ A （－ ，－6）， B （2，4）.
如图，将线段 AB 进行 K 变换后，得到线段
E1 B1与线段 E2 A2，
∴ E1（1，－1）， B1（2，－4）， E2（1，－1）， A2（6， ）.
∴易得直线 E2 A2的函数表达式为 y ＝ x － .
联立得 x2－ x － m ＝0，
则Δ＜0，解得 m ＜－ .
当双曲线 y ＝ 过点 E1时， m ＝－1.
∴当－1＜ m ＜0时，双曲线 y ＝ 与线段 E1 B1无交点.
当双曲线 y ＝ 过点 B1时， m ＝－8.
∴当 m ＜－8时，双曲线 y ＝ 与线段 E1 B1无交点.
综上所述， m ＜－8或－1＜ m ＜－ .
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 比较大小： .（填“＞”“＜”或“＝”）
20. 若 a ＋3 b ＝5，则 a2－9 b2＋30 b ＋5的值是 .
【解析】由题意，得 a ＝5－3 b .∴ a2－9 b2＋30 b ＋5＝（5－
3 b ）2－9 b2＋30 b ＋5＝25－30 b ＋9 b2－9 b2＋30 b ＋5＝30.故答
案为30.
＞　
30　
21. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 E ， AC ＝
8， BD ＝6，以点 E 为圆心作圆 E ，圆 E 与菱形的四条边相切，
现随机向菱形 ABCD 内掷一枚小针，则针尖落在圆 E 内的概率
为 .
π　
（第21题图）
【解析】由题意，得 AD ＝ ＝5，圆 E 的半径为 ＝ ，则圆 E 的面积为 π.
∵菱形 ABCD 的面积为 ×8×6＝24，
∴所求概率 P ＝ ＝ π.故答案为 π.
22. 如图，点 B 在反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象上，
点 A 在 x 轴上， OB ＝ AB ，过点 A 作 AD ∥ OB 交 y 轴负半轴于点
D ，连接 BD . 当△ OCD 的面积为3时，则 k 的值为 .
　
（第22题图）
【解析】如图，延长 AB 交 y 轴于点 E ，过点 B 作 BF ⊥ x 轴于点 F . ∵ OB ＝ AB ，∴∠ AOB ＝
∠ BAO ， AO ＝2 FO . ∵ AD ∥ OB ，∴∠ AOB ＝∠ OAD . ∴∠ BAO ＝∠ OAD . 又∵ AO ＝ AO ，
∠ AOE ＝∠ AOD ＝90°，∴△ AOE ≌△ AOD .
∴ OE ＝ OD . ∵ AD ∥ OB ，∴ ＝ ＝1.∴ BE ＝ AB ，∴ BO ＝
AD . ∵ AD ∥ OB ，∴△ BOC ∽△ DAC . ∴ ＝ ＝ ＝ .
∴ S△ DOC ＝ S△ ACD . S△ BOC ＝ S△ ABC .
∵△ OCD 的面积为3，∴ S△ BOC ＝ ， S△ ABC ＝3.∴ S△ ABO ＝ .
∵ AO ＝2 FO ，∴ S△ BFO ＝ S△ ABO ＝ .又∵ S△ BFO ＝ ，
∴ k ＝ （负数舍去）.故答案为 .
23. 在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝5， AC ＝3.点 D 在 BC
边上， DE ⊥ AB ，垂足为点 E ， CD ＝ DE ，如图所示，将Rt△
BDE 绕点 B 顺时针旋转，连接 CE ，在 CE 上方作∠ FCE ＝∠
ABC ，∠ FCE 的边与 AB 的交点为点 F ，连接 AD ，延长 CF 交
AD 于点 M ，如图2，在Rt△ BDE 旋转的过程中，线段 AM 的最
小值是 .
　
【解析】如图1，在Rt△ ABC 中，易得 BC ＝4.
连接 AD ，易得△ ADE ≌△ ADC ，
∴ AE ＝ AC ＝3.∴ BE ＝2， BD ＝2.5， DE ＝1.5.
如图，过点 E 作 CE 的垂线，与 CM 的延长线交
于点 N ，连接 ND ， NA ， CD .
∵∠ FCE ＝∠ DBE ，
∠ CEN ＝∠ BED ＝90°，
∴△ CEN ∽△ BED .
∴ ＝ .
∵∠ DEN ＝∠ CEB ，∴△ DEN ∽△ BEC . ∴∠ DNE ＝∠ BCE ，
＝ .
∵ NE ⊥ CE ，∴ ND ⊥ BC . ∵ AC ⊥ BC ，∴ ND ∥ AC . 又∵ ＝
，∴ ＝ ，即 ND ＝ AC .
由 ND ∥ AC 且 ND ＝ AC ，可知四边形 ACDN 为平行四边形，
∴ MA ＝ MD .
∴在旋转过程中，点 M 为 AD 的中点.取 AB 的中点为 O ，连接
MO ，则 MO ＝ BD ＝ ， OA ＝ AB ＝ .
∴点 M 是在以点 O 为圆心， 为半径的圆上运动.
∴线段 AM 的最小值是 OA － OM ＝ － ＝ .故答案为 .
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率
领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目
标，第三阶段实现水稻亩产量1 008 kg的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量
的平均增长率；
解：（1）设亩产量的平均增长率为 x .
根据题意，得700（1＋ x ）2＝1 008.
解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2（不合题意，舍去）.
∴亩产量的平均增长率为20％.
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻
亩产量达到1 200 kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
解：（2）1 008×（1＋20％）＝1 209.6（kg）.
∵1 209.6＞1 200，
∴他们的目标能实现.
25. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线
y ＝ x ＋ b 与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象交于点 A （3，
n ），与 y 轴交于点 B （0，－2），点 P 是反比例函数 y ＝ （ x
＞0）的图象上一动点，过点 P 作直线 PQ ∥ y 轴，交直线 y ＝ x
＋ b 于点 Q ，设点 P 的横坐标为 t ，且0＜ t ＜3，连接 AP ， BP .
（1）求 k ， b 的值；
解：（1）∵直线 y ＝ x ＋ b 过点 B （0，－2），
∴0＋ b ＝－2.∴ b ＝－2.
∴ y ＝ x －2.
∵直线 y ＝ x －2过点 A （3， n ），
∴ n ＝3－2＝1.∴ A （3，1）.
∵反比例函数 y ＝ 的图象过点 A （3，1），
∴ k ＝ xy ＝3×1＝3.
（2）当△ ABP 的面积为3时，求点 P 的坐标；
解：（2）设 P （ a ， ）， Q （ a ， a －2），
A （3，1）， B （0，－2）.
∴ PQ ＝ －（ a －2）.
∵ S△ ABP ＝ S△ APQ ＋ S△ BPQ ＝ PQ （ xA － xP ）＋ PQ （ xP － xB ）
＝ PQ （ xA － xB ），其中 xA ， xB ， xP 分别表示 A ， B ， P 三点
的横坐标.
∴ × ×3＝3.
解得 a ＝ （负值已舍去）.
经检验， a ＝ 是原方程的解.
∴ P （ ， ）.
（3）设 PQ 的中点为点 C ，点 D 为 x 轴上一点，点 E 为坐标平面
内一点，当以点 B ， C ， D ， E 为顶点的四边形为正方形时，求
点 P 的坐标.
解：（3）设 P （ t ， ）， Q （ t ， t －2），
∴ PQ 的中点 C 的坐标为 .
分类讨论：
①当 BC 为边且点 D 在 x 轴正半轴上时，作 CF ⊥ OB 于点 F ，作 DG ⊥ CF 于点 G ，如图1所示.
∴∠ BFC ＝∠ G ＝90°.
∴∠ FBC ＋∠ FCB ＝90°.
∵∠ BCD ＝90°，
∴∠ DCG ＋∠ FCB ＝90°.
∴∠ FBC ＝∠ DCG .
∵ BC ＝ CD ，
∴△ BFC ≌△ CGD （AAS）.
∴ CF ＝ DG .
∵ OF ＝ DG ，
∴ OF ＝ CF .
即 ＝ t ，解得 t1＝1， t2＝－3（舍去）.
∴点 P 的坐标为（1，3）.
②当 BC 为边且点 D 在 x 轴负半轴上时，过点 B 作 FG ⊥ y 轴于点 B ，作 DF ⊥ GF 于点 F ，作 CG ⊥ GF 于点 G ，如图2所示.
同理可证得△ DFB ≌△ BGC （AAS），
∴ BG ＝ DF ＝2.∴ t ＝2.
∴点 P 的坐标为（2， ）.
③当 BC 为对角线且点 D 在 x 轴负半轴上时，过点 D 作 FG ⊥ x
轴，过点 C 作 CF ⊥ FG 于点 F ，过点 B 作 BG ⊥ FG 于点 G ，设
PQ 交 x 轴于点 N ，如图3所示.
同理可证得△ CFD ≌△ DGB （AAS），
∴ CF ＝ DG ＝ OB ＝ DN ＝2，
BG ＝ DF ＝ DO ＝ CN ＝ .
又∵ ON ＝ DN － DO ，∴ t ＝2－ .
解得 t1＝ t2＝1.∴点 P 的坐标为（1，3）.
④当 BC 为对角线且点 D 在 x 轴正半轴上时，作 GF ⊥ x 轴于点
D ，作 CG ⊥ GF 于点 G ，作 BF ⊥ GF 于点 F ，如图4所示.
同理可证得△ CGD ≌△ DFB （AAS）.
∴ CG ＝ DF ＝2， DG ＝ BF ，
∴ ＝ t ＋2.
解得 t1＝2 －3， t2＝－2 －3（舍去）.
∴点 P 的坐标为（2 －3，2 ＋3）.
综上所述，点 P 的坐标为（1，3）或（2， ）
或（2 －3，2 ＋3）.
26. （本小题满分12分）如图1，在四边形 ABCD 中，已知∠
ABC ＝∠ BCD ，点 E 在边 BC 上，且 AE ∥ CD ， DE ∥ AB ，作
CF ∥ AD 交线段 AE 于点 F ，连接 BF .
（1）求证：△ ABF ≌△ EAD ；
（1）证明：∵ AE ∥ CD ，∴∠ AEB ＝∠ DCE .
∵ DE ∥ AB ，∴∠ ABE ＝∠ DEC ，∠ BAE ＝∠ AED .
∵∠ ABC ＝∠ BCD ，
∴∠ ABE ＝∠ AEB ，∠ DCE ＝∠ DEC .
∴ AB ＝ AE ， DE ＝ DC .
∵ AF ∥ CD ， AD ∥ CF ，
∴四边形 AFCD 是平行四边形.
∴ AF ＝ CD . ∴ AF ＝ DE .
在△ ABF 与△ EAD 中，
∴△ ABF ≌△ EAD （SAS）.
（2）如图2.若 AB ＝9， CD ＝5，∠ ECF ＝∠ AED ，求 BE
的长；
（2）解：∵△ ABF ≌△ EAD ，∴ BF ＝ AD .
在 AFCD 中， AD ＝ CF ，
∴ BF ＝ CF . ∴∠ FBC ＝∠ FCB .
又∵∠ FCB ＝∠ AED ，∠ AED ＝∠ BAE ，
∴∠ FBC ＝∠ BAE .
又∵∠ BEF ＝∠ AEB ，
∴△ EBF ∽△ EAB . ∴ ＝ .
∵ AB ＝9，∴ AE ＝9.
∵ CD ＝5，∴ AF ＝5.∴ EF ＝4.
∴ ＝ .∴ BE ＝6或－6（舍去）.
∴ BE 的长为6.
（3）如图3，若 BF 的延长线经过 AD 的中点 M ，求 的值.
（3）解：如图，延长 BM ， ED 交于点 G .
由（1）（2）知，△ ABE 与△ DCE 均为等腰三角形，∠ ABC ＝∠ DCE ，
∴△ ABE ∽△ DCE . ∴ ＝ ＝ .
设 CE ＝1， BE ＝ x ， DC ＝ DE ＝ a ，
则 AB ＝ AE ＝ ax ， AF ＝ CD ＝ a ，
∴ EF ＝ a （ x －1），
∵ AB ∥ DG ，∴∠ ABM ＝∠ G .
在△ MAB 与△ MDG 中，
∴△ MAB ≌△ MDG （AAS）.∴ DG ＝ AB ＝ ax ，
∴ EG ＝ a （ x ＋1）.
∵ AB ∥ EG ，∴△ FAB ∽△ FEG . ∴ ＝ .
∴ ＝ .∴ x2－2 x －1＝0.
解得 x1＝1－ （舍去）， x2＝1＋ .∴ ＝1＋ .
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第九周自主评价练习（月考二）
【第三、四章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图，已知直线 l1∥ l2∥ l3，直线 AC 和 DF 被 l1， l2， l3所截，
且 AB ＝4， BC ＝6， EF ＝5，则 DE 的长为（　D　）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
（第1题图）
D
2. 下列说法正确的是（　D　）
A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是 ＝4， ＝14，则
乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为 ，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. x ＝3是不等式2（ x －1）＞3的解，这是一个必然事件
D
3. 如图，已知△ ABC ∽△ EDC ，且 AC ∶ EC ＝2∶3.若 BD 的长
为10，则 DC 的长为（　C　）
A. 4 B. C. 6 D. 15
（第3题图）
C
4. 在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜
色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，摸到白球的概
率是 ，则黑球的个数为（　C　）
A. 3 B. 12 C. 18 D. 27
C
5. 如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 的 三 个 顶 点 分 别 为
A （1，2）， B （2，1）， C （3，2）.现以原点 O 为位似中心，
在第一象限内作与△ ABC 的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则
顶点C'的坐标是（　C　）
A. （2，4） B. （4，2）
C. （6，4） D. （5，4）
（第5题图）
C
6. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100
名九年级男生，他们的身高 x （cm）统计如下：
身高x/cm x ＜160 160≤ x ＜170 170≤ x ＜180 x ≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不
低于170 cm的概率是（　B　）
A. 0.85 B. 0.57 C. 0.42 D. 0.15
B
7. 从1，2，3，4这四个数中随机选取两个不同的数，分别记为
a ， c ，则关于 x 的一元二次方程 ax2＋4 x ＋ c ＝0有实数根的概
率为（　C　）
A. B. C. D.
C
8. 如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上， EF ⊥ AB 于
点 F ，连接 DE 并延长，交边 BC 于点 M ，交 AB 的延长线于点 G .
若 AF ＝2， FB ＝1，则 MG ＝（　B　）
A. 2 B.
C. ＋1 D.
（第8题图）
B
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，△ ABC 和△A'B'C'是以点 O 为位似中心的位似图形，点
A 在线段OA'上.若 OA ∶AA'＝1∶2，则△ ABC 和△A'B'C'的周长
之比为 .
（第9题图）
1∶3　
10. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对
角线 AC 于点 F . 若 AB ＝4， AD ＝3，则 CF 的长为 .
（第10题图）
　
11. 大数据分析技术在我们当今社会正发挥着越来越重要的作用.
如图是一个二维码的示意图，显示在边长为2 cm的正方形区域
内，为了估计图中黑色部分的面积，利用程序在该区域内随机
掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2.
（第11题图）
2.4　
12. 如图，在△ ABC 中，点 D 为 BC 上一点， BC ＝ AB ＝3
BD ，则 AD ∶ AC 的值为 .
（第12题图）
　
13. 如图，在△ ABC 中，点 D 是边 AB 上一点.按
以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以适当长为
半径作弧，分别交 AB ， AC 于点 M ， N ；②以
点 D 为圆心，以 AM 长为半径作弧，交 DB 于
点 M '；③以点 M '为圆心，以 MN 长为半径作
弧，在∠ BAC 内部交前面的弧于点 N '；④过点 N '作射线 DN '交 BC 于点 E . 若△ BDE 与四边形 ACED 的面积比为4∶21，则 的值为 　 　.
　
（第13题图）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且满足 ＝ ＝
， a ＋ b ＋ c ＝24，试判断△ ABC 的形状；
解：∵ ＝ ＝ ， a ＋ b ＋ c ＝24，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4.
∴ a ＝10， b ＝6， c ＝8.∴△ ABC 为直角三角形.
（2）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点， AF ⊥ DE 于
点 F ， DE ＝5， AD ＝2， CE ＝1，求 DF 的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ ADC ＝∠ C ＝90°.
∵ AF ⊥ DE ，∴∠ ADF ＋∠ DAF ＝90°.
∵∠ ADF ＋∠ EDC ＝90°，
∴∠ EDC ＝∠ DAF . ∴△ EDC ∽△ DAF .
∴ ＝ ，即 ＝ .解得 DF ＝ .
15. （本小题满分8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系.已知△ ABC 的三个顶点均在格点上，以点 O 为位似中心，在位似中心同侧，将△ ABC 各边放大为原来的2倍，得到
△ DEF （其中点 A 的对应点为点 D ，
点 B 的对应点为点 E ，点 C 的对应点为点 F ），请在这个网格中画出△ DEF .
解：如答图所示.
答图
16. （本小题满分8分）如图，在△ ABC 中， AB ＝8， BC ＝4，
CA ＝6， CD ∥ AB ， BD 是∠ ABC 的平分线， BD 交 AC 于点 E ，
求 AE 的长.
解：∵ BD 为∠ ABC 的平分线，∴∠ ABD ＝∠ CBD .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ D ＝∠ ABD . ∴∠ D ＝∠ CBD .
∴ BC ＝ CD . ∵ BC ＝4，∴ CD ＝4.
∵ AB ∥ CD ，∴△ ABE ∽△ CDE .
∴ ＝ .∴ ＝ ＝2.∴ AE ＝2 CE .
∵ AC ＝6，∴ AE ＝6× ＝4.
17. （本小题满分10分）某中学为了解七年级学生对三大球类运
动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调
查，通过整理分析绘制了如下两幅统计图.请根据两幅统计图中
的信息回答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，最喜爱排球运动的学生人数，并补全条形统计图；
解：（1）12÷20％＝60（人），
60×35％＝21（人），所以参与调查的学生中，最喜爱排球运动的学生有21人.补全条形统计图如下：
（2）若该中学七年级共有400名学生，请你估计该中学七年级
学生中最喜爱篮球运动的学生人数；
解：（2）400×（1－35％－20％）＝180（人）.
故估计该中学七年级学生中最喜爱篮球运动的学生有180人.
（3）若从最喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名
学生，确定为该校足球社团的运动员，请用列表或画树状图的
方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率.
解：（3）画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，即（男1，男2）、
（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），其中，1名男生和1名女生有8种结果.
所以抽到1名男生和1名女生的概率为 ＝ .
18. （本小题满分10分）已知四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相
交于点 O ，且 OA ＝ OC ， OB ＝ OD ＋ CD .
（1）如图1，过点 A 作 AE ∥ DC 交 BD 于点 E ，求证： AE ＝ BE .
证明：（1）如图1，连接 CE .
∵ AE ∥ DC ，∴∠ OAE ＝∠ OCD .
又∵ OA ＝ OC ，∠ AOE ＝∠ COD ，
∴△ OAE ≌△ OCD （ASA）.
∴ AE ＝ CD ， OE ＝ OD .
∵ OB ＝ OD ＋ CD ＝ OE ＋ BE ，∴ CD ＝ BE . ∴ AE ＝ BE .
（2）如图2，将△ ABD 沿 AB 翻折得到△ABD'.
①求证：BD'∥ CD ；
证明：（2）①如图2，过点 A 作 AE ∥ CD 交 BD 于点 E ，交 BC 于点 F ，连接 CE .
由（1），得 AE ＝ BE . ∴∠ ABE ＝∠ BAE .
由翻折的性质，得∠D'BA＝∠ ABE ，
∴∠ D ' BA ＝∠ BAE .
∴ BD '∥ AF .
∴ BD '∥ CD .
②若 AD '∥ BC ，求证： CD2＝2 OD · BD .
证明：（2）②∵AD'∥ BC ，BD'∥ AF ，
∴四边形AD'BF为平行四边形.
∴∠ D '＝∠ AFB ， BD '＝ AF . ∴ AF ＝ BD .
∵ AE ＝ BE ，∴ EF ＝ DE .
∵ AF ∥ CD ，∴∠ BEF ＝∠ CDE ，∠ BFE ＝∠ BCD .
由（1）知， CD ＝ BE .
又∵ EF ＝ DE ，∴△ BEF ≌△ CDE （SAS）.
∴∠ BFE ＝∠ CED .
∵∠ BFE ＝∠ BCD ，∴∠ CED ＝∠ BCD .
又∵∠ BDC ＝∠ CDE ，
∴△ BCD ∽△ CED .
∴ ＝ ，即 CD2＝ BD · DE .
∵ DE ＝2 OD . ∴ CD2＝2 OD · BD .
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 如图，乐器上的一根弦 AB ＝80 cm，两个端点 A ， B 固定在
乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是
靠近点 A 的黄金分割点，则点 C ， D 之间的距离为
cm.
（80 －
160）　
【解析】设 BC ＝ x cm，则 AC ＝（80－ x ）cm.∵弦 AB ＝80
cm，点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，∴ ＝ .解得 x ＝120
－40 .∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，∴设 AD ＝ y cm，则
BD ＝80－ y cm，∴ ＝ .解得 y ＝120－40 .∴点 C ， D
之间的距离为80－ x － y ＝80－120＋40 －120＋40 ＝（80
－160）cm.故答案为（80 －160）.
20. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她
从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，则爷爷奶奶吃到同类粽子
的概率为 .
【解析】设蛋黄粽为 A1， A2，鲜肉粽为 B1， B2， B3，画树状图
如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶
吃到同类粽子有8种等可能的结果，∴爷爷奶奶吃到同类粽子的
概率为 ＝ .故答案为 .
　
21. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AD ＝5， BC ＝
10，四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，且点 E ， F ，
G ， N ， M 都在△ ABC 的边上，则△ AEM 与四边形 BCME 的面
积比为 .
1∶3　
【解析】∵四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，∴ EF ＝
EH ＝ HM ， EM ∥ BC . ∴△ AEM ∽△ ABC . ∴ ＝ .∴
＝ .∴ EF ＝ .∴ EM ＝5.∵△ AEM ∽△ ABC . ∴ ＝
（ ）2＝ .∴ S四边形 BCME ＝ S△ ABC － S△ AEM ＝3 S△ AEM . ∴△ AEM
与四边形 BCME 的面积比为1∶3，故答案为1∶3.
22. 若正整数 n 使得在计算 n ＋（ n ＋1）＋（ n ＋2）的过程中，
各数位上均不产生进位现象，则称 n 为“本位数”，例如2和30
是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于
100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到奇数的概率
为 .
【解析】所有大于0且小于100的“本位数”有：1，2，10，
11，12，20，21，22，30，31，32，共有11个，其中7个偶数，
4个奇数，所以 P （抽到奇数）＝ .故答案为 .
　
23. 如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，且 AD ＝3 BD ，
连接 CD 并取 CD 的中点 E ，连接 BE . 若∠ ACD ＝∠ BED ＝
45°，且 CD ＝6 ，则 AB 的长为 　4 　.
【解析】如图，取 AD 中点 F ，连接 EF ，过点 D 作 DG ⊥ EF 于点 G ， DH ⊥ BE 于点 H .
设 BD ＝ a ，则 AD ＝3 BD ＝3 a ，∴ AB ＝4 a .
∵点 E 为 CD 中点，点 F 为 AD 中点， CD ＝6 ，∴ DF ＝ a ， EF ∥ AC ， DE ＝3 .
4 　
∴∠ FED ＝∠ ACD ＝45°.∵∠ BED ＝45°，∴∠ FED ＝∠
BED ，∠ FEB ＝90°.∵ DG ⊥ EF ， DH ⊥ BE ，∴四边形 EGDH
是矩形.∵∠ HED ＝45°，∠ EHD ＝90°，∴∠ EDH ＝∠ HED .
∴ EH ＝ DH ，∴四边形 EGDH 是正方形，∴ DE ＝ EH ＝
3 ， DH ∥ EF ，∴ EH ＝ DH ＝3.∵ DH ∥ EF ，∴△ BDH ∽
△ BFE . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ BH ＝2.∴ BD ＝ ＝
＝ .∴ AB ＝4 BD ＝4 .故答案为4 .
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）如图，为测量学校围
墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上
点 C 处直立高3 m的竹竿 CD ，然后退到点 E
处，此时恰好看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端
B 重合；小亮又在点 C1处直立高3 m的竹竿 C1 D1，然后退到点 E1处，此时恰好看到竹竿顶端 D1与电线杆顶端 B 重合.小亮的眼睛离地面高度 EF ＝1.5 m，量得 CE ＝2 m， EC1＝6 m， C1 E1＝3 m.
（1）填空：△ FDM ∽△ ；△ F1 D1 N ∽△ ；
FBG 　
F1BG
（2）求电线杆 AB 的高度.
（2）解：由题意，得 MF ＝ CE ＝2 m， F1 N ＝ C1 E1＝3 m， FN
＝ EC1＝6 m， DM ＝ D1 N ＝3－1.5＝1.5（m）.
∵△ FDM ∽△ FBG ，∴ ＝ .
∵△ F1 D1 N ∽△ F1 BG ，∴ ＝ .
又∵ D1 N ＝ DM ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ GM ＝16 m.
∵ ＝ ，∴ ＝ .∴ BG ＝13.5 m.
∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝13.5＋1.5＝15（m）.
故电线杆 AB 的高度为15 m.
25. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB
与 x 轴， y 轴分别交于点 A ， B ，直线 CD 与 x 轴， y 轴分别交于
点 C ， D ， AB 与 CD 相交于点 E ，线段 OA ， OC 的长是一元二
次方程 x2－18 x ＋72＝0的两根（ OA ＞ OC ）， BE ＝5， OB ＝
OA .
（1）求点 A 和点 C 的坐标.
解：（1）解 x2－18 x ＋72＝0，得 x ＝12或 x ＝6.
∵ OA ＞ OC ，∴ OA ＝12， OC ＝6.∴点 A 的坐标是（12，0），点 C 的坐标是（－6，0）.
（2）求直线 CD 的解析式.
解：（2）∵ OB ＝ OA ＝ ×12＝16，∴点 B 的
坐标是（0，16）.
∴ AB ＝ ＝ ＝20.
∵ BE ＝5，∴ AE ＝ AB － BE ＝20－5＝15.
如图，作 EF ⊥ x 轴于点 F ，则△ AEF ∽△ ABO ，
∴ ＝ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ .
∴ AF ＝9， EF ＝12，则 OF ＝ OA － AF ＝3.
∴点 E 的坐标是（3，12）.
设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，则
解得
故直线 CD 的解析式为 y ＝ x ＋8.
（3）在 x 轴上是否存在点 P ，使△ PCE 与△ DCO 相似？若存
在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）由（2），得点 E （3，12）， D （0，8）.
又∵ C （－6，0），∴ CD ＝10， CE ＝15.
设点 P 的坐标是（ p ，0），则 PC ＝ p ＋6.
当△ COD ∽△ CEP 时， ＝ ，
即 ＝ .解得 p ＝19.
则点 P 的坐标是（19，0）；
当△ COD ∽△ CPE 时， ＝ ，
即 ＝ .解得 p ＝3.
则点 P 的坐标是（3，0）.
综上所述，点 P 的坐标是（19，0）或（3，0）.
26. （本小题满分12分）如图1，在矩形 ABCD 中， AB ＝8， AD
＝10，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，将矩形 ABCD 沿 AE 折
叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于
点 G .
（1）求线段 CE 的长.
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ＝ BC ＝10， AB ＝ CD ＝8，
∠ B ＝∠ BCD ＝90°.
由翻折可知， AF ＝ AD ＝10， EF ＝ DE .
设 EC ＝ x ，则 DE ＝ EF ＝8－ x .
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，
得 BF ＝ ＝6，
∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4.
在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得 EF2＝ EC2＋ CF2，
即（8－ x ）2＝ x2＋42.∴ x ＝3.
∴ EC ＝3.
（2）如图2，点 M ， N 分别是线段 AG ， DG 上的动点（与端点
不重合），连接 DM ， MN ，且∠ DMN ＝∠ DAM ，设 AM ＝
x ， DN ＝ y .
①写出 y 关于 x 的函数表达式.
解：（2）①∵ AD ∥ CG ，
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴ CG ＝6.∴ BG ＝ BC ＋ CG ＝16.
在Rt△ ABG 中， AG ＝ ＝8 .
在Rt△ DCG 中， DG ＝ ＝10.
∵ AD ＝ DG ＝10，∴∠ DAG ＝∠ AGD .
∵∠ DMG ＝∠ DMN ＋∠ NMG ＝∠ DAM ＋∠ ADM ，
∠ DMN ＝∠ DAM ，
∴∠ ADM ＝∠ NMG .
∴△ ADM ∽△ GMN .
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴ y ＝ x2－ x ＋10.
②是否存在点 M ，使△ DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x
的值；若不存在，请说明理由.
解：（2）②存在.有两种情形：
如图1，当 MN ＝ MD 时，∵ AD ＝ DG ，∴∠ DAM ＝∠ DGM .
又∵∠ DMN ＝∠ DAM ，∴∠ DGM ＝∠ DMN .
∵∠ MDN ＝∠ GDM ，
∴△ DMN ∽△ DGM .
∴ ＝ .
∵ MN ＝ DM ，∴ DG ＝ GM ＝10.
∴ x ＝ AM ＝8 －10.
如图2，当 MN ＝ DN 时，作 MH ⊥ DG 于点 H .
∵ MN ＝ DN ，∴∠ MDN ＝∠ DMN .
∵∠ DMN ＝∠ DGM ，∴∠ MDG ＝∠ MGD .
∴ MD ＝ MG .
∵ MH ⊥ DG ，∴ DH ＝ GH ＝5.
∵ AD ∥ BG . ∴∠ DAG ＝∠ HGM ＝∠ AGB .
∵∠ GHM ＝∠ ABG ＝90°，
∴△ GHM ∽△ GBA .
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ MG ＝ .
∴ x ＝ AM ＝ AG － MG ＝8 － ＝ .
综上所述，满足条件的 x 的值为8 －10或 .
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第十五周自主评价练习
（一诊模拟卷2）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 在0.3，0，－ ，－2这四个数中，最小的数是（　D　）
A. 0.3 B. 0 C. － D. －2
2. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　B　）
A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 圆柱
D
B
3. 已知地球上海洋的面积约为316 000 000 km2，将数据316 000
000用科学记数法可表示为（　C　）
A. 3.16×109 B. 3.16×107
C. 3.16×108 D. 3.16×106
4. 两个相似三角形的周长之比为1∶3，那么它们的面积之比是
（　A　）
A. 1∶9 B. 1∶3 C. 2∶1 D. 9∶1
C
A
5. 如图，已知 l1∥ l2∥ l3，且 ＝ ，则（　D　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
6. 在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，每个球除颜
色外都相同.摇匀后每次从袋子里摸出5个球记录下颜色后再放
回，再搅匀，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在
0.6，从而可以估计袋中白球的个数为（　D　）
A. 40 B. 38 C. 26 D. 24
D
7. 一个施工队挖一条长960 m的隧道，开工后每天比原计划多挖
2 m，结果提前40天完成任务，设开工后每天挖 x m.根据题意，
可列出方程为（　A　）
A. －40＝ B. －40＝
C. －40＝ D. －40＝
A
8. 如图，函数 y ＝ ax －2与 y ＝ （ a ≠0）在同一平面直角坐标
系中的大致图象是（　B　）
A
B
C
D
B
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 若 ＝ ，则 ＝ 　 　.
10. 关于 x 的一元二次方程2 x2＋ kx －4＝0的一个根是 x ＝2，则 k
＝ .
　
－2　
11. 如图，小明为了测量高楼 MN 的高度，在离点 N 18 m的点 A
处放了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退1.5 m到点 C ，此时从镜
子中恰好看到楼顶的点 M . 已知小明的眼睛（点 B ）到地面的高
度是1.6 m，则高楼 MN 的高度是 m.
19.2　
（第11题图）
12. 如图，正比例函数 y1＝ k1 x （ k1≠0）与反比例函数 y2＝
（ k2≠0）的图象相交于 A ， B 两点，其中点 A 的横坐标为1.当 k1
x ＜ 时， x 的取值范围是 .
（第12题图）
0＜ x ＜1或 x ＜－1　
【解析】由正比例函数与反比例函数的对称性可得点 B 的横坐标为－1，由图象可得，当 k1 x ＜ 时， x 的取值范围是0＜ x ＜1或 x ＜－1.故答案为 0＜ x ＜1或 x ＜－1.
13. 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和点 C
为圆心，大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M ， N 两点；
②作直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD . 若 AB ＝ BD ， AB ＝6，
∠ C ＝30°，则 AC 的长为 .
（第13题图）
6 　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）解方程：2（2 x －3）＝3 x （2 x －3）；
解：原方程可变形为（2－3 x ）（2 x －3）＝0.
∴2－3 x ＝0，或2 x －3＝0.
∴ x1＝ ， x2＝ .
（2）先化简，再求值：（ － x －1）÷ ，其中 x
＝－2.
解：原式＝［ －（ x ＋1）］· ＝ · －（ x ＋1）·
＝1－（ x －1）＝1－ x ＋1＝2－ x .
当 x ＝－2时，原式＝2－（－2）＝4.
15. （本小题满分8分）现我省中考中，体育是必考科目，各校
都在加强学生的体育锻炼.某校七年级数学兴趣小组为了了解本
校学生喜爱运动的情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，
经过统计后绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.（注：每一
名学生在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角度数
为 °，条形统计图中，喜欢篮球的人数为 ；
（1）【解析】在扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角度
数为360°×（1－35％－25％）＝144°.在条形统计图中，喜欢篮
球的人数为50－7－3－5＝35.故答案为144，35.
144　
35　
（2）该校初中学生有1 600人，请根据上述调查结果，估计该
初中校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”运动的人数总和；
（2）解：1 600×（1－25％）＝1 200（人），故估计我校学生
中“很喜欢”和“比较喜欢”运动的人数总和为1 200.
（3）小雷喜欢篮球，小正喜欢羽毛球，现有写着篮球、足球、
排球、羽毛球的四张卡片，让两人各抽取一张，请用画树状图
或列表的方法，求小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜
欢的项目的概率.
（3）画树状图（略图）如下：（用A，B，C，D分别表示篮
球，足球，排球，羽毛球的四张卡片）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小雷和小正两人
中有且只有一人选中自己喜欢的项目的结果有4种，
∴小雷和小正两人中有且只有一人选中自己喜欢的项目的概率
为 ＝ .
16. （本小题满分8分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”
的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC ），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物
体的高度.如图，点 A ， B ， Q 在同一水平线上，∠ ABC 和∠
AQP 均为直角， AP 与 BC 相交于点 D . 测得 AB ＝40 cm， BD ＝
20 cm， AQ ＝12 m，求树 PQ 的高度.
解：∵∠ ABC 和∠ AQP 均为直角，
∴ BD ∥ PQ ，∴△ ABD ∽△ AQP .
∴ ＝ .
∵ AB ＝40 cm＝0.4 m， BD ＝20 cm＝0.2 m， AQ ＝12 m，
∴ PQ ＝ ＝ ＝6（m）.
即树 PQ 的高度为6 m.
17. （本小题满分10分）如图1，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，
∠ A ＝60°， CD 是斜边 AB 上的中线，点 E 为射线 BC 上一点，将△ BDE 沿 DE 折叠，点 B 的对应点为点 F .
（1）若 AB ＝ a ，直接写出 CD 的长（用含 a 的代数式表示）；
解：（1）∵在Rt△ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的
中线， AB ＝ a ，
∴ CD ＝ AB ＝ a .
（2）若 DF ⊥ BC ，垂足为 G ，点 F 与点 D 在直线 CE 的异侧，
连接 CF ，如图2，判断四边形 ADFC 的形状，并说明理由；
解：（2）四边形 ADFC 是菱形.理由如下：
∵ DF ⊥ BC 于点 G ，
∴∠ DGB ＝∠ ACB ＝90°.∴ DF ∥ AC .
由折叠，得 DF ＝ DB .
∵ DB ＝ AB ，∴ DF ＝ AB .
∵∠ ACB ＝90°，∠ A ＝60°，
∴∠ B ＝90°－60°＝30°.
∴ AC ＝ AB . ∴ DF ＝ AC .
∴四边形 ADFC 是平行四边形.
∵ AD ＝ AB ，∴ AD ＝ DF ，
∴四边形 ADFC 是菱形.
（3）若 DF ⊥ AB ，直接写出∠ BDE 的度数.
解：（3）如图1，若点 F 与
点 D 在直线 CE 异侧，
∵ DF ⊥ AB ，
∴∠ BDF ＝90°.
由折叠，得∠ BDE ＝∠ FDE .
∴∠ BDE ＝∠ FDE ＝ ∠ BDF ＝ ×90°＝45°.
如图2，若点 F 与点 D 在直线 CE 同侧，
∵ DF ⊥ AB ，∴∠ BDF ＝90°.
∴∠ BDE ＋∠ FDE ＝360°－90°＝270°.
由折叠，得∠ BDE ＝∠ FDE .
∴∠ BDE ＝135°.
综上所述，∠ BDE ＝45°或∠ BDE ＝135°.
18. （本小题满分10分）如图，已知直线 y ＝2 x 与反比例函数 y
＝ （ x ＞0）的图象交于点 A （ m ，6），以 OA 为边作Rt△
ABO ，使点 B 在第二象限，∠ AOB ＝90°， AO ＝2 BO .
（1）求反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的表达式；
解：（1）把 A （ m ，6）代入 y ＝2 x ，得6＝2 m ，∴ m ＝3.∴ A （3，6）.
把点 A （3，6）代入反比例函数 y ＝ ，
得6＝ ，∴ k ＝18.
∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）点 C 为反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上一点，若 S△ AOB
＝ S△ ABC ，求点 C 的坐标；
解：（2）如图1，过点 A 作 AD ⊥ x 轴，垂足
为 D ，过点 B 作 BE ⊥ x 轴，垂足为 E ，则
∠ BEO ＝∠ ADO ＝90°.∴∠ AOD ＋∠ OAD ＝90°.
∵∠ AOB ＝90°，
∴∠ BOE ＋∠ AOD ＝90°.
∴∠ BOE ＝∠ OAD . ∴△ BOE ∽△ OAD .
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .
∴ BE ＝ ， EO ＝3. ∴ B （－3， ）.
设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
把点 A （3，6）， B （－3， ）代入，得
解得
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝ x ＋ .
①当点 C 在点 A 右侧时，
∵ S△ AOB ＝ S△ ABC ，∴ OC ∥ AB .
∴直线 OC 的函数表达式为 y ＝ x .
联立解得
∴ C （2 ， ）.
②当点 C 在点 A 左侧时，
根据对称性，得过点 C 与直线 AB 平行的直
线的函数表达式为 y ＝ x ＋ .
联立解得
∴ C （2，9）.
综上所述，点 C 的坐标为（2 ， ）或（2，9）.
（3）将反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象绕原点按逆时针方向
旋转45°，记旋转后的图象与 y 轴交于点 P ，若点 Q 为 y ＝ （ x
＞0）的图象一动点，直线 PQ 交 x 轴正半轴于点 M ，求△ POM
面积的最小值.
解：（3）如图2，将点 P 绕点 O 按顺时针方
向旋转45°得到点P'，过点P'作 PH ⊥ y 轴于
点 H ，则点P'在 y ＝ （ x ＞0）的图象上，
△P'OH为等腰直角三角形.
设P'（ a ， a ），（ a ＞0），则 P （0， a ）.
∴ a2＝18.∴ a ＝3 .
∴ P （0，6）.
设 Q （ m ， ）（ m ＞0），直线 PQ 的函数表达式为 y ＝ tx ＋6，
则 tq ＋6＝ ，∴ t ＝ － .
∴直线 PQ 的函数表达式为 y ＝（ － ） x ＋6.
当 y ＝0时， x ＝ ，即 M （ ，0）.
∴ S△ POM ＝ ×6× ＝ ＝ .
∴当 q ＝6时， S△ POM 的最小值为36.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若3 a2－ a －1＝0，则3＋2 a －6 a2＝ .
20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0的两个实数根 x1，
x2满足5 x1＋2 x2＝2，则实数 m 的值为 .
1　
－12　
21. 从－1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为
a ，那么使关于 x 的反比例函数 y ＝ 的图象位于第一、三象
限，且使关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ a ＝0有两个不相等的
实数根的概率为 .
　
22. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝5，
点 E ， F 分别是边 AB ， BC 上的动点，点 E 不
与点 A ， B 重合，且 EF ＝ AB ，点 G 是五边形
AEFCD 内满足 GE ＝ GF 且∠ EGF ＝90°的点.
现给出以下结论：①∠ GEB 与∠ GFB 一定互
补；②点 G 到边 AB ， BC 的距离一定相等；③点 G 到边 AD ， DC 的距离可能相等；④点 G 到边 AB 的距离的最大值为2 .其中结论正确的是 （填序号）.
①②④　
（第22题图）
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝
90°.又∵∠ EGF ＝90°，四边形 BEGF 的内角
和是360°，∴∠ GEB ＋∠ GFB ＝180°，故①
正确.过点 G 作 GM ⊥ AB ， GN ⊥ BC ，分别
交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N .
∵ GE ＝ GF 且∠ EGF ＝90°，∴∠ GEF ＝∠ GFE ＝45°.
又∵∠ B ＝90°，∴∠ BEF ＋∠ EFB ＝90°，
即∠ BEF ＝90°－∠ EFB .
∵∠ GEM ＝180°－∠ BEF －∠ GEF ＝180°－45°－（90°－∠
EFB ）＝45°＋∠ EFB ，∠ GFN ＝∠ EFB ＋∠ GFE ＝∠ EFB ＋
45°，∴∠ GEM ＝∠ GFN .
在△ GEM 和△ GFN 中，
∴△ GEM ≌△ GFN （AAS）.∴ GM ＝ GN ，故②正确.
∵ AB ＝4， AD ＝5，由②知，点 G 到边 AD ， DC 的距离不相
等，故③错误.
当四边形 BFGE 是正方形时，点 G 到 AB 的距离最大.
∵ EF ＝ AB ＝4，∴ GE ＝ EB ＝ BF ＝ FG ＝4× ＝2 ，故④
正确.故答案为①②④.
23. 如图，已知等腰三角形 ABC 的两个顶
点 A （－1，－4）， B （－4，－1）在反
比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象上， AC
＝ BC . 过点 C 作边 AB 的垂线交反比例函
数 y ＝ （ x ＜0）的图象于点 D ，动点 P
从点 D 出发，沿射线 CD 方向运动3 个单位长度，到达反比例
函数 y ＝ （ x ＞0）图象上一点，则 k2＝ .
1　
（第23题图）
【解析】∵ AC ＝ BC ， CD ⊥ AB ，∴ CD 是 AB 的垂直平分线.
∵ A （－1，－4）， B （－4，－1）.∴易得直线 CD 的函数表达
式是 y ＝ x .将点 A （－1，－4）.代入反比例函数 y ＝ ，
得反比例函数表达式为 y ＝ .联立
得点 D 的坐标为（－2，－2），
则 OD ＝2 .根据点 P 从点 D 出发，沿射线 CD 方向运动3 个
单位长度，到达反比例函数 y ＝ 图象上，得到 OP ＝ ，
则点 P 的坐标是（1，1）.将 P （1，1）代入反比例函数 y ＝ ，
得 k2＝1.故答案为1.
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每
千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率
相同
（1）求每次下降的百分率；
解：（1）设每次下降的百分率为 a .
根据题意，得50（1－ a ）2＝32.
解得 a ＝1.8（舍）或 a ＝0.2＝20％.
∴每次下降的百分率为20％.
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查
发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措
施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场
要保证每天盈利6 000元，且要尽快减少库存，那么每千克应
涨价多少元？
解：（2）设每千克应涨价 x 元.
根据题意，得（10＋ x ）（500－20 x ）＝6 000.
整理，得 x2－15 x ＋50＝0.
解得 x1＝5， x2＝10.
∵要尽快减少库存，∴ x ＝5符合题意.
∴该商场要保证每天盈利6 000元，那么每千克应涨价5元.
25. （本小题满分10分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上
一点， BE ＝ BC ， EF ⊥ CD ，垂足为 F . 将四边形 CBEF 绕点 C
按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形 CB ' E ' F '， B '
E '所在的直线分别交直线 BC 于点 G ，交直线 AD 于点 P ，交 CD
于点 K . E ' F '所在的直线分别交直线 BC 于点 H ，
交直线 AD 于点 Q ，连接 B ' F '，交 CD 于点 O .
（1）如图1，求证：四边形 BEFC 是正方形.
（1）证明：在矩形 ABCD 中，∠ B ＝∠ BCD ＝90°.
∵ EF ⊥ CD ，∴∠ EFC ＝90°.
∴四边形 BEFC 是矩形.
∵ BE ＝ BC ，∴矩形 BEFC 是正方形.
（2）如图2，当点 Q 和点 D 重合时.
①求证： CG ＝ CD ；
（2）①证明：∵∠ GCK ＝∠ DCH ＝90°，
∴∠CDF'＋∠ H ＝90°，∠ KGC ＋∠ H ＝90°.
∴∠ KGC ＝∠CDF'.
又∵∠GB'C＝∠CF'D，B'C＝CF'，
∴△ CGB '≌△ CDF '（AAS）.∴ CG ＝ CD .
②若 OK ＝1， CO ＝2，求线段 GP 的长.
（2）②解：设正方形B'CF'E'的边长为 a .
∵ KB '∥ CF '，∴△ B ' KO ∽△ F ' CO .
∴ ＝ ＝ .∴B'K＝ B'C＝KE'＝ a .
在Rt△B'KC中，B'K2＋B'C2＝ CK2，
∴（ a ）2＋ a2＝32.
∴ a ＝ （舍去负值）.
∵KE'∥CF'，∴△DKE'∽△DCF'.
∴ ＝ ＝ ＝ .∴DE'＝E'F'＝ a .
易得△DKE'∽△PDE'，
∴DE'2＝KE'·PE'，即 a2＝ a ·PE'.
∴PE'＝2 a .∴ PK ＝PE'＋KE'＝ a .
易得△ PKD ≌△ GKC （AAS）.
∴ GK ＝ PK . ∴ PG ＝2 PK ＝5 a .∴ PG ＝5 a ＝6 .
（3）如图3，若 BM ∥F'B'交 GP 于点 M ， ＝ ，求
的值.
（3）解：如图，
延长 B ' F '交 CH
的延长线于点 R .
∵ ＝ ，
∴可设F'H＝ x ，CF'＝2 x ，则 CH ＝ x .
∴CB'＝CF'＝E'F'＝ BC ＝2 x .
∵ CB '∥ HE '，∴△ RF ' H ∽△ RB ' C .
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴ CH ＝ RH ，B'F'＝RF'.
∴ CR ＝2 CH ＝2 x ，E'H＝3 x .
∴ S△ CF' R ＝2 S△ CF' H .
∵ CB '∥ HE '，∴△ GB ' C ∽△ GE ' H .
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴ ＝ ＝ .
∴ GB ＝2（ －1） x .
∵ CF '∥ GP ， RB '∥ BM ，∴∠ G ＝∠ F ' CR ，∠ MBG ＝∠ R .
∴△ GBM ∽△CRF'.
∴ ＝（ ）2＝［ ］2＝ .
∵ S△CRF'＝2 S△CHF'，
∴ ＝ .
26. （本小题满分12分）如图，边长为3的正方形 OACD 的顶点
O 与原点重合，点 D ， A 分别在 x 轴， y 轴上.反比例函数 y ＝
（ x ＞0）的图象分别交 AC ， CD 于点 B ， E ，连接 OB ， OE ，
BE ，且 S△ OBE ＝4.
（1）求反比例函数的表达式.
（1）解：∵四边形 OACD 是正方形，且边长为3，
∴点 B 的纵坐标为3，点 E 的横坐标为3.
∵反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象分别交 AC ，
CD 于点 B ， E ，
∴ B （ ，3）， E （3， ）.
∵ S△ OBE ＝4，∴9－ － － （3－ ）2＝4.
解得 k ＝3或－3（舍去）.∴反比例函数的表达式为 y ＝ .
（2）过点 B 作 y 轴的平行线 m ，点 P 在直线 m 上运动，点 Q 在 x
轴上运动.
①若△ CPQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求△ CPQ
的面积；
（2）①解：如图1，令直线 m 交
OD 于点 M . 由（1）可知 B （1，3），
∴ AB ＝1， BC ＝2.
由题意，得 PC ＝ PQ ，∠ CPQ ＝90°.
∵∠ CBP ＝∠ PMQ ＝∠ CPQ ＝90°，
∴∠ CPB ＋∠ BCP ＝90°，∠ CPB ＋∠ MPQ ＝90°.
∴∠ PCB ＝∠ MPQ .
又∵ PC ＝ PQ .
∴△ CBP ≌△ PMQ （AAS）.
∴ BC ＝ PM ＝2， PB ＝ MQ ＝1.
∴ PC ＝ PQ ＝ ＝ .
∴ S△ PCQ ＝ PC · PQ ＝ .
如图2，同理可得，△ CBP ≌△ PMQ （AAS）.
∴ PM ＝ BC ＝2， QM ＝ PB ＝5.
∴ PC ＝ PQ ＝ ＝ .
∴ S△ PCQ ＝ PC · PQ ＝ .
综上所述，△ CPQ 的面积为 或 .
②将①中的“以点 P 为直角顶点的”去掉，将问题改为“若△
CPQ 是等腰直角三角形”，△ CPQ 的面积除了①中求得的结果
外，还可以是 .（直接写答案，不用写步骤）
5或17　
②【解析】当点 Q 是直角顶点时，同理可
得 CQ ＝ PQ ＝ ，此时 S△ CPQ ＝5.
或CQ'＝P'Q'＝ ＝ ，此时
S△CP'Q'＝17.不存在点 C 为直角顶点.
综上所述，△ CPQ 的面积除了①中求得
的结果外，还可以是5或17.答案为5或17.
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第一周自主评价练习
【第一章　第1－2节】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 若菱形 ABCD 的边 AB ＝2，则菱形 ABCD 的周长为（　C　）
A. 4 B. 4 C. 8 D. 16
C
2. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E ， F 分别是边 AB ， CD 上一点，
DF ＝ BE ， BF ＝5， AE ＝3，则 BC ＝（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（第2题图）
B
3. 如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB ＝2，∠ ABC ＝120°，则对
角线 BD ＝（　A　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
（第3题图）
4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　C　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角互补
A
C
5. 在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＝ BC ，下列条件能使四
边形 ABCD 为矩形的是（　C　）
A. AB ∥ CD B. AB ＝ CD
C. ∠ A ＝∠ B D. ∠ A ＝∠ C
C
6. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 AB ， BC 的中点，
EF ＝2， BD ＝8，则菱形 ABCD 的面积为（　B　）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 32
（第6题图）
B
7. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交
BC ， AD 于点 E ， F . 若 BE ＝3， AF ＝5，则 AC 的长为（　A　）
A. 4 B. 4 C. 10 D. 8
（第7题图）
A
8. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 AB ， CD 上，且 BE
＝ DF ，连接 EF 交 BD 于点 O ，连接 AO . 若∠ DBC ＝25°，则
∠ OAD 的度数为（　C　）
A. 50° B. 55° C. 65° D. 75°
（第8题图）
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 已知
∠ BOC ＝120°， DC ＝3 cm，则 AC 的长为 cm.
（第9题图）
6　
10. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ B ＝50°，点 E 在 CD 上.若 AE ＝
AC ，则∠ BAE ＝ °.
（第10题图）
115　
11. 如图，现将四根木条钉成的矩形木框 ABCD 变形为平行四边
形木框 A ' BCD '，且 A ' D '与 CD 相交于 CD 边的中点 E . 若 AB ＝
4，则△ ECD '的面积是 .
（第11题图）
2 　
12. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 O 是两条对角线的交点，过
点 O 的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若 AC ＝24，
阴影部分的面积之和为60，则 AB ＝ .
（第12题图）
13　
13. 如在，在矩形 ABCD 中，已知点 E 是 AD 边的中点.若 BE ＝5， BD ＝2 ，则 AB ＝ .
（第13题图）
4　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ BD ＝5，求∠ BAC 的度数
和 AC 的长；
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ AD ， BD ＝2 OB ，∠ BAD ＝2∠ BAC . ∵ AB ＝ BD ＝5，∴ AB ＝ AD ＝ BD ， OB ＝ .∴△ABD 是等边三角形.∴∠ BAD ＝60°.∴∠ BAC ＝30°.在Rt△ ABO 中， OA ＝ ＝ ，∴ AC ＝2 OA ＝5 .
（2）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D ， E 分别是 AB ，
AC 边上的中点，连接 CD ， DE . 若 AB ＝5， BC ＝3，求 CD ＋
DE 的长.
解：∵点 D ， E 分别是 AB ， AC 边上的中点，
∴ DE ＝ BC ＝ .∵∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 的中点，
∴ DC ＝ AB ＝ .∴ CD ＋ DE ＝ ＋ ＝4.
15. （本小题满分8分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC
边上，连接 AE ， DE ， AD ＝ AE . 若 DE ＝ ， CE ＝1，
求 AD 的长.
解：由矩形的性质可知，∠ B ＝∠ C ＝90°，
AB ＝ CD ， AD ＝ BC . 在Rt△ DCE 中，
CD ＝ ＝3，∴ AB ＝ CD ＝3.
设 AD ＝ x ，则 AE ＝ x ， BE ＝ x －1.在Rt△ ABE 中， AB2＋ BE2＝ AE2，即32＋（ x －1）2＝ x2，解得 x ＝5.故 AD ＝5.
16. （本小题满分8分）如图，在菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC 于点
E ， AF ⊥ CD 点 F ，连接 EF . 若∠ B ＝70°，求∠ CEF 的度数.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ AD ＝ CD ＝ BC ，∠ B ＝
∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.
在△ ABE 和△ ADF 中，
∴△ ABE ≌△ ADF （AAS）.∴ BE ＝ DF .
又∵ BC ＝ CD ，∴ CE ＝ CF . ∴∠ CEF ＝∠ CFE .
在菱形 ABCD 中，∵∠ B ＋∠ C ＝180°，
∴∠ C ＝180°－∠ B ＝110°.∴∠ CEF ＝ ＝35°.
17. （本小题满分10分）如图，已知矩形 EFGH 的顶点 E ， G 分
别在菱形 ABCD 的边 AD ， BC 上，顶点 F ， H 在菱形 ABCD 的对
角线 BD 上.
（1）求证： BG ＝ DE ；
（1）证明：∵四边形 EFGH 是矩形，
∴ EH ＝ FG ， EH ∥ FG . ∴∠ GFH ＝∠ EHF .
∵∠ BFG ＝180°－∠ GFH ，
∠ DHE ＝180°－∠ EHF ，∴∠ BFG ＝∠ DHE .
∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AD ∥ BC . ∴∠ GBF ＝∠ EDH .
∴△ BGF ≌△ DEH（AAS）.∴ BG ＝ DE .
（2）若点 E 为 AD 中点， FH ＝2，求菱形 ABCD 的周长.
（2）解：如图，连接 EG . ∵四边形 ABCD 是菱
形，∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC . ∵点 E 为 AD 中点，
∴ AE ＝ ED . ∵ BG ＝ DE ，∴ AE ＝ BG ，又∵ AE
∥ BG ，∴四边形 ABGE 是平行四边形.∴ AB ＝
EG . ∵ EG ＝ FH ＝2，∴ AB ＝2.∴菱形 ABCD 的周长为4×2＝8.
18. （本小题满分10分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝
60°， AB ＝2 cm，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点
H . 连接 AC ， BD ，交于点 O ，点 F 从点 B 出发沿 BD 方向以2
cm/s向点 D 匀速运动，同时，点 E 从点 H 出发沿 HD 方向以1
cm/s向点 D 匀速运动.设点 E ， F 的运动时间为 t s，且0＜ t ＜3，
过点 F 作 FG ⊥ BC 于点 G ，连接 EF .
（1）证明：根据题意，得 BF ＝2 t cm， EH ＝
t cm.在菱形 ABCD 中， AB ＝ BC . ∵∠ ABC ＝60°，∴∠ CBD ＝30°.∴ FG ＝ BF ＝ t cm.∴ FG
＝ EH . ∵ FG ⊥ BC ， DH ⊥ BH ，∴ FG ∥ EH .
∴四边形 FGHE 是平行四边形.又∵∠ H ＝90°，
∴四边形 FGHE 是矩形.
（1）求证：四边形 FGHE 是矩形.
（2）解：△ BFC 与△ DCE 能全等.理由如下：
∵ AB ∥ CD ，∠ ABC ＝60°，∴∠ DCH ＝
60°.∵∠ H ＝90°，∴∠ CDE ＝30°.∴∠ CBF ＝
∠ CDE . ∵ BC ＝ DC ，∴当 BF ＝ DE 时，
△ BFC ≌△ DEC . 在Rt△ DCH 中， DC ＝ AB ＝2 cm，
∠ CDH ＝30°，∴ CH ＝ cm， DH ＝3 cm.
∴ DE ＝ DH － EH ＝（3－ t ）cm.∴2 t ＝3－ t ，解得 t ＝1.
（2）连接 FC ， EC ，点 F ， E 在运动过程中，△ BFC 与△ DCE
是否能够全等？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由.
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，在等边三角形 ABC 中， AD ⊥ BC ，
点 E 为 AB 的中点.以点 D 为圆心，适当长为
半径画弧，交 DE 于点 M ，交 DB 于点 N ，分
别以点 M ， N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 DP 交 AB 于点 G . 过点 E 作 EF ∥ BC 交射线 DP 于点 F ，连接 BF ， AF . 若 AC ＝4，则四边形 BDEF 的面积为 .
2
（第19题图）
【解析】在等边三角形 ABC 中， AB ＝ BC ＝ AC ＝4， AD ⊥
BC ，∴点 D 是 BC 中点，∠ ABC ＝∠ C ＝60°.在Rt△ ADB 中，
∵∠ BAD ＝90°－∠ ABC ＝30°，∴ BD ＝ AB ＝2.根据勾股定
理，得 AD ＝ ＝2 .∵点 E 是 AB 中点，∴ BE ＝
DE . ∴△ BDE 是等边三角形.∴ BE ＝ BD ＝ DE . 由尺规作图可
知， DF 平分∠ EDB ，∴∠ EDF ＝∠ FDB . ∵ EF ∥ BC ， ∴∠
EFD ＝∠ FDB . ∴∠ EFD ＝∠ EDF . ∴ EF ＝ ED ＝ BD . ∵ EF ∥
BC ，∴四边形 BDEF 是平行四边形.
又∵ ED ＝ BD ，∴四边形 BDEF 是菱形.∵点 E 是 AB 的中点，∴
S△ BDE ＝ S△ ABD ＝ · BC · AD ＝ × ×4×2 ＝
，∴ S四边形形 BDEF ＝2 2 .故答案为2 .
20. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝12，对角线 AC 与
BD 交于点 O ，点 E 为 BC 边上的一个动点， EF ⊥ AC ， EG ⊥
BD ，垂足分别为 F ， G ，则 EG ＋ EF ＝ .
（第20题图）
　
【解析】如图，连接 OE . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ABC ＝
90°， BC ＝ AD ＝12， AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO . ∵ AB ＝5， BC ＝
12，∴ AC ＝ ＝13.∴ OB ＝ OC ＝ .∴ S△ BOC ＝ S△
BOE ＋ S△ COE ＝ OB · EG ＋ OC · EF ＝ S△ ABC ＝ × ×5×12＝
15.∴ × EG ＋ × EF ＝ × （ EG ＋ EF ）＝15.∴ EG ＋
EF ＝ .故答案为 .
二、解答题（本大题满分12分）
21. 在矩形 ABCD 中， BC ＝ CD ，点 E ， F 分别是边 AD ， BC
上的动点，且 AE ＝ CF ，连接 EF ，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，
点 C 落在点 G 处，点 D 落在点 H 处.
（1）如图1，当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，
求证： PE ＝ PF ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC . ∴∠ DEF ＝∠ EFB . 由翻折变换可知，
∠ DEF ＝∠ PEF . ∴∠ PEF ＝∠ PFE . ∴ PE ＝ PF .
（2）如图2，当点 P 在线段 CB 的延长线上时， GH 交 AB 于点
M ，求证：点 M 在线段 EF 的垂直平分线上；
（2）证明：如图1，连 接 AC 交 EF 于点 O ，连 接 PM ， PO . ∵ AE ∥ CF ，∴∠ EAO ＝∠ FCO .
又∵ AE ＝ CF ，∠ AOE ＝∠ COF ，∴△ AEO ≌△ CFO （AAS）.
∴ OE ＝ OF . 易得 PE ＝ PF ，∴ PO 平分
∠ EPF ， PO ⊥ EF . ∵ AD ＝ BC ， AE ＝ FC ，∴ ED ＝ BF . 由折叠的性质可知， ED ＝ EH .
∴ BF ＝ EH ，即 PE － EH ＝ PF － BF ，
∴ PB ＝ PH . 又∵∠ PHM ＝∠ PBM ＝90°， PM ＝ PM ，∴Rt△ PMH ≌Rt△ PMB （HL）.
∴ PM 平分∠ EPF . ∴点 P ， M ， O 共线.
∵ PO ⊥ EF ， OE ＝ OF ，∴点 M 在线段 EF 的垂直平分线上.
（3）当 AB ＝5时，在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，计
算出点 G 运动的路径长.
（3）解：如图2，由题意知，点 E 由点 A 移动到
AD 中点的过程中，点 G 运动的路径是图中弧 BC .
在Rt△ BCD 中， ＝ ，∴ BD ＝2 CD .
∴∠ CBD ＝30°，∴∠ ABO ＝∠ OAB ＝60°.
∴△ AOB 是等边三角形，∴ OA ＝ OD ＝ OB ＝ OC ＝ AB ＝5，
∠ BOC ＝120°.∴点 G 运动的路径长为 ＝ π.
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第十周自主评价练习
（期中测评卷）
【第一章至第四章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图，将矩形 ABCD 对折，使边 AB 与 DC ， BC 与 AD 分别重
合，展开后得到四边形 EFGH . 若 AB ＝2， BC ＝4，则四边形
EFGH 的面积为（　B　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
（第1题图）
B
2. 一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的根的情况（　B　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
3. 随机抛掷一枚瓶盖5 000次，经过统计得到“正面朝上”的次
数为2 100次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“正面朝上”
的概率为（　B　）
A. 0.22 B. 0.42 C. 0.50 D. 0.58
B
B
4. 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边中点，则以下说法错
误的是（　C　）
A. △ BDE 和△ DCF 的面积相等
B. 四边形 AEDF 是平行四边形
C. 若 AB ＝ BC ，则四边形 AEDF 是菱形
D. 若∠ A ＝90°，则四边形 AEDF 是矩形
（第4题图）
C
5. 如图，已知∠ DAB ＝∠ CAE ，则添加下列一个条件后，仍然
无法判定△ ABC ∽△ ADE 的是（　A　）
A. ＝ B. ＝
C. ∠ B ＝∠ D D. ∠ C ＝∠ AED
（第5题图）
A
6. 如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝5， AC ＝6，过点 D 作 DE ⊥
BA ，交 BA 的延长线于点 E ，则线段 DE 的长为（　D　）
A. B. C. 4 D.
（第6题图）
D
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有
门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4
尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相
等.则门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为 x
尺，下列方程符合题意的是（　B　）
A. （ x ＋2）2＋（ x －4）2＝ x2
B. （ x －2）2＋（ x －4）2＝ x2
C. x2＋（ x －2）2＝（ x －4）2
D. （ x －2）2＋ x2＝（ x ＋4）2
B
8. 如图，在平面直角坐标系中，△AB'O'是△ ABO 关于点 A 的位
似图形，点 B ，B'的坐标分别为（2，－3），（1，－ ），且
点O'的坐标为（－2，0），则点 A 的坐标为（　C　）
A. （0，0） B. （3，0）
C. （4，0） D. （5，0）
（第8题图）
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 已知△ ABC ∽△ DEF ， ＝ .若△ ABC 的面积为2，则△
DEF 的面积为 .
10. 一个口袋中有红球和白球共20个，这些球除颜色外，其余都
相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的
颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发
现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球有 个.
8　
12　
11. 如图，在△ ABC 中，点 P 为边 AB 上一点，且∠ ACP ＝∠ B .
若 AP ＝6， BP ＝4，则 AC 的长为 .
2 　
12. 已知关于 x 的一元二次方程（ a －1） x2－2 x ＋ a2－1＝0有一
个根为 x ＝0，则 a 的值为 .
13. 如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD ，分别以
点 B ， D 为圆心，大于 BD 的长为半径画弧，
两弧交于 P ， Q 两点，作直线 PQ ，分别与 AD ，
BC 交于点 M ， N ，连接 BM ， DN . 若 AD ＝4，
AB ＝2，则四边形 MBND 的周长为 .
－1　
10　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）解下列方程：
（1） x2－2 x －3＝0；　　
解：（1）因式分解，得（ x －3）（ x ＋1）＝0，
∴ x －3＝0或 x ＋1＝0.
∴ x1＝3， x2＝－1.
解： （2）∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝－1，
∴Δ＝ b2－4 ac ＝17＞0.
由公式法，得 x ＝ .
∴ x1＝ ， x2＝ .
（2）2 x2－3 x －1＝0.
15. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 在对
角线 BD 上， AE ∥ CF ，连接 AF ， CE ，试判断四边形 AECF 的
形状，并说明理由.
解：四边形 AECF 是菱形.理由如下：
如答图，连接 AC ，交 BD 交于点 O .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC ⊥ EF ， AO ＝ CO .
∵ AE ∥ CF ，∴∠ AEF ＝∠ CFE .
答图
又∵ AC ⊥ EF ，
∴平行四边形 AECF 是菱形.
∵∠ AOE ＝∠ COF ，
∴△ AOE ≌△ COF （AAS）.
∴ OE ＝ OF .
∵ OA ＝ OC ，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
答图
16. （本小题满分8分）某中学为进一步提高研学质量，着力培
养学生的核心素养，选取了A. “青少年科技馆”；B. “黄河入
海口湿地公园”；C. “孙子文化园”；D. “白鹭湖营地”四个
研学基地进行研学.为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随
机抽取部分学生进行调查统计（每名学生必须且只能选择一个
研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如
图所示）.
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 人进行调查，在扇
形统计图中“A”所对应圆心角的度数为 ，并补全条
形统计图；
24　
30°　
解：（1）由统计图可知，本次调查中，一共抽取了12÷50％＝
24（人）.则选择研学基地“C”的学生人数为24×25％＝6，选择研学基地“D”的学生人数24－2－12－6＝4.故在扇形统计图中“A”所对应圆心角的度数为360°× ＝30°.补全条形统计图如图所示：
（2）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学
生人数；
解：（2）480×25％＝120（人）.∴估计该校选择研学基地C的
学生有120人.
（3）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们
对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女
生，请用列表或画树状图的方法求出所选两人都是男生的概率.
解：（3）画树状图（略图）如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是男
生的结果有2种，∴ P （所选两人都是男生）＝ ＝ .
17. （本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 k ＋
1） x ＋ k2－2＝0.
（1）证明：Δ＝（2 k ＋1）2－4×（ k2－2）＝2 k2＋4 k ＋9＝2
（ k ＋1）2＋7.
∵无论 k 为何实数，2（ k ＋1）2≥0，
∴Δ＝2（ k ＋1）2＋7＞0恒成立.
∴无论 k 为何实数，原方程总有两个不相等的实数根.
（1）求证：无论 k 为何实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 x1， x2满足 x1－ x2＝3，求 k 的值.
（2）解：∵ x1－ x2＝3，
∴（ x1－ x2）2＝9.
∵ x1＋ x2＝2 k ＋1， x1 x2＝ k2－2，
∴（ x1－ x2）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝9.
∴（2 k ＋1）2－4×（ k2－2）＝9.
解得 k ＝0或 k ＝－2.故 k 的值为0或－2.
18. （本小题满分10分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝
120°， AB ＝4 ，点 E 为对角线 AC 上的一动点（点 E 不与点
A ， C 重合），连接 BE ，将射线 EB 绕点 E 按逆时针方向旋转
120°后交射线 AD 于点 F .
（1）如图1，当 AE ＝ AF 时，求∠ AEB 的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BC ∥ AD ，∠ BAC ＝∠ DAC .
∴∠ ABC ＋∠ BAD ＝180°.
∵∠ ABC ＝120°，
∴∠ BAD ＝60°.
∴∠ EAF ＝30°.
∵ AE ＝ AF ，
∴∠ AEF ＝∠ AFE ＝75°.
由旋转可知，∠ BEF ＝120°，
∴∠ AEB ＝120°－75°＝45°.
（2）如图2，分别过点 B ， F 作 EF ， BE 的平行线，且两直线相
交于点 G .
①试探究四边形 BGFE 的形状，并求出四边形 BGFE 周长的
最小值；
解：（2）①如图1，连接 DE .
∵ AB ＝ AD ，∠ BAE ＝∠ DAE ，
AE ＝ AE ，
∴△ BAE ≌△ DAE （SAS）.
∴ BE ＝ DE ，∠ ABE ＝∠ ADE .
由旋转可知，∠ BEF ＝120°，
∴∠ BAF ＋∠ BEF ＝60°＋120°＝180°.
∴∠ ABE ＋∠ AFE ＝180°.
∵∠ AFE ＋∠ EFD ＝180°，
∴∠ EFD ＝∠ ABE .
∴∠ EFD ＝∠ ADE .
∴ EF ＝ ED .
∴ EF ＝ BE .
∵ BE ∥ FG ， BG ∥ EF ，
∴四边形 BGFE 是平行四边形.
又∵ EB ＝ EF ，∴平行四边形 BGFE 是菱形.
由图可知，当 BE ⊥ AC 时， BE 最短，
此时菱形 BGFE 的周长最小，
此时 BE ＝ AB ＝2 ，
∴四边形 BGFE 周长的最小值为8 .
②如图2，连接 BD ， DE ，过点 E 作 EH ⊥ CD 于点 H .
∵ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝60°，
∴△ ABD 是等边三角形.
∴ BD ＝ AB ，∠ ABD ＝60°.
∵ BG ∥ EF ，∴∠ EBG ＝180°－∠ BEF ＝60°.
∴∠ ABD ＝∠ GBE . ∴∠ ABG ＝∠ DBE .
又∵ BG ＝ BE ，∴△ ABG ≌△ DBE （SAS）.
∴ AG ＝ DE ＝ y .
②连接 AG ，设 CE ＝ x ， AG ＝ y ，写出 y 与 x 之间满足的关系式.
在Rt△ CEH 中， EH ＝ CE ＝ x ， CH ＝ x ，
∴ DH ＝ .
在Rt△ DEH 中，∵ DE2＝ EH2＋ DH2，
∴ y2＝ x2＋（4 － x ）2，
∴ y2＝ x2－12 x ＋48.
∴ y ＝ （0＜ x ＜12）.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知 ＝ ＝ （其中 b ≠ d ），则 的值为 　 　.
20. 若 m ， n 为一元二次方程 x2＋2 x －1＝0的两个实数根，则
（ m ＋3）（ n ＋3）的值为 .
　
2　
21. 班长邀请 A ， B ， C ， D 四位同学参加圆桌会议.如图，班长
坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则 A ， B
两位同学座位相邻的概率是 .
　
22. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝12 .将矩形 ABCD
放置在平面直角坐标系中，点 O ， E 分别是边 AD 和 BC 的中
点，点 P 为线段 OE 上一点，且 OP ＝4，点 Q 从原点 O 出发，以
每秒2个单位长度的速度沿 O → A → B → E 方向运动（运动到点
E 时停止），连接 PQ ，将△ OPQ 沿 PQ 翻折，当点 O 的对应点
O'恰好落在边 BC 上时，点 Q 的运动时间为 s.
2 或5 ＋3　
【解析】设运动时间为 t s .（1）如图1，
点 Q 在 OA 上时，将△ OPQ 沿 PQ 翻折，
点 O 的对应点O'落在边 BC 上，则 OQ ＝
2 t .∵ AB ＝6， AD ＝12 .点 O ， E 分别
是边 AD 和 BC 的中点，∴ OE ＝6， OA ＝6 .由翻折可知，
O'P＝ OP ＝4，O'Q＝ OQ ＝2 t ，∴ PE ＝2.∴O'E＝
＝ ＝2 .过点O'作O'H⊥ OA ，则O'H＝ OE ＝6， OH ＝O'E＝2 .在Rt△QO'H中，由勾股定理，得O'H2＋ HQ2＝O'Q2，∴62＋（2 t －2 ）2＝（2 t ）2.解得 t ＝2 .
②如图2，点 Q 在 BC 上时，将△ OPQ 沿
PQ 翻折，点 O 的对应点O'落在边 BC 上，
EQ ＝12 ＋6－2 t .由翻折，得O'Q＝
OQ ，O'P＝ OP ＝4，∴ PE ＝2.∴O'E＝
＝ ＝2 .∴ OQ ＝O'Q＝12 ＋6－2 t ＋
2 ＝14 ＋6－2 t .在Rt△ OEQ 中，由勾股定理，得 EQ2＋
OE2＝ OQ2，∴（12 ＋6－2 t ）2＋62＝（14 ＋6－2 t ）2.
解得 t ＝5 ＋3.综上所述，点 Q 的运动时间为2 s或
（5 ＋3）s.故答案为2 或5 ＋3.
23. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BCD ＝90°，对角线 AC ， BD
相交于点 O . 若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，∠ ADB ＝2∠ CBD ，则
AD 的长为 .
　
【解析】如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ，延长 AD ， BC 交于点 E . 根据等腰三角形性 质得出 BH ＝ HC ＝ BC ＝3.在Rt△ AHC 中，根据勾股定理，得 AH ＝ ＝4.
∵∠ ADB ＝∠ CBD ＋∠ CED ＝2∠ CBD . ∴∠ CBD ＝∠ CED .
∴ DB ＝ DE . ∴ CD ⊥ BE ，∴ CE ＝ BC ＝6.∵∠ AHB ＝∠ BCO
＝90°，∴ CD ∥ AH . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ CD ＝ .在Rt△
DCE 中，根据勾股定理，得 DE ＝ ＝
＝ .∵ CD ∥ AH ，∴ ＝ ，即 ＝ .∴ AD ＝ .故答
案为 .
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）某电商在网络平台上对一款成本价为40
元的小商品进行直播销售，若按每件60元销售，每天可卖出20
件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低2元，日销售量
增加4件.
（1）当每件小商品售价降为多少元时，每天的销售量为36件？
并求出此时的利润.
解：（1）由题意，得60－（36－20）÷4×2＝52（元），
此时的利润为（52－40）×36＝432（元）.
故当每件小商品售价降为52元时，每天的销售量为36件，此时
的利润为432元.
（2）若降价后每天的利润不变，则每件小商品售价应定为
多少元？
解：（2）设每件小商品售价应定为 x 元，则每件利润为
（ x －40）元，日销售量为（140－2 x ）件.
由题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20，
解得 x1＝50， x2＝60（舍去）.
∴每件小商品售价应定为50元.
25. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为
（－ ，0），点 B 在直线 l ： y ＝ x 上，连接 AB ，过点 B 作
AB 的垂线，过原点 O 作直线 l 的垂线，两垂线相交于点 C .
（1）如图，点 B ， C 分别在第三、二象限内， BC 与 AO 相交于
点 D .
①若 CD ＝ CO ，求点 B 的坐标；
解：（1）①∵ CD ＝ CO ，∴∠ COD ＝∠ CDO .
∵∠ ADB ＝∠ CDO ，∴∠ ADB ＝∠ COD .
∵ BC ⊥ AB ， CO ⊥ BO ，∴∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°.
∴∠ BAD ＝∠ DOB . ∴ AB ＝ OB .
∴点 B 的横坐标为－ .
将点 B 的横坐标代入 y ＝ x ，得 y ＝－ .
∴点 B 的坐标为（－ ，－ ）.
②若∠ CBO ＝45°，求△ BOC 的面积.
②如图1，过 A 作 AM ⊥ OB 于点 M ，
过点 M 作 MN ⊥ y 轴于点 N .
∵点 M 在直线 l ： y ＝ x 上，∴ ＝ .
∵ OA ∥ MN ，∴∠ AOM ＝∠ OMN .
∴△ AOM ∽△ OMN .
∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .
设 AM ＝3 n ，则 OM ＝8 n .
在Rt△ AOM 中，由勾股定理，得 AM2＋ OM2＝ OA2.
∵点 A 的坐标为（－ ，0），∴ OA ＝ .
∴（3 n ）2＋（8 n ）2＝（ ）2，解得 n ＝1（舍去负值）.
∴ AM ＝3， OM ＝8.
∵∠ CBO ＝45°， CO ⊥ BO ，∠ ABC ＝90°，
∴ BO ＝ CO ，∠ ABM ＝45°.又∵∠ AMB ＝90°，
∴ BM ＝ AM ＝3.∴ OB ＝ OM － BM ＝5.
∴ S△ BOC ＝ BO · CO ＝ ×5×5＝ .
（2）是否存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△
BCO 相似？若存在，求 BO 的长；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似.过点 A 作 AM ⊥ OB 于点 M .
由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8.
当点 B 在线段 OM 或 OM 延长线上时，如图2，3所示.
设 BO ＝ x ，则 BM ＝｜8－ x ｜， AB ＝ .
∵ CO ⊥ BO ， AM ⊥ BO ， AB ⊥ BC ，∴∠ BOC ＝∠ AMB ＝90°，∠ BCO ＝90°－∠ OBC ＝∠ ABM . ∴△ BOC ∽△ AMB .
∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴ CO ＝ ·｜8－ x ｜.
在Rt△ BOC 中， BC ＝ ＝ .
∵∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°，∴以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与
△ BCO 相似，分两种情况：
①若 ＝ ，则 ＝ .
解得 x ＝4.∴ BO ＝4.
②若 ＝ ，则 ＝ .
解得 x1＝4＋ ， x2＝4－ ， x3＝9， x4＝－1（舍去）.
∴ BO ＝4＋ 或 BO ＝4－ 或 BO ＝9.
当点 B 在线段 MO 延长线上时，如图4所示.
由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8.
设 BO ＝ x ，则 BM ＝8＋ x ， AB ＝ .
∵ CO ⊥ BO ， AM ⊥ BO ， AB ⊥ BC ，
∴∠ BOC ＝∠ AMB ＝90°，
∠ BCO ＝90°－∠ OBC ＝∠ ABM .
∴△ BOC ∽△ AMB . ∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ CO ＝ （8＋ x ）.
在Rt△ BOC 中， BC ＝ ＝ .
∵∠ ABC ＝∠ BOC ＝90°，
∴以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似，
需满足 ＝ ，即 ＝ .
解得 x1＝－9（舍去）， x2＝1，∴ BO ＝1.
综上所述，以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似，则
BO 的长度为4或4＋ 或4－ 或9或1.
26. （本小题满分12分）如图1，在正方形 ABCD 中，点 M 为 CD
边上一点，过点 M 作 MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，连接 DN ， BM ，
CN ，点 P ， Q 分别为 BM ， CN 的中点，连接 PQ .
（1）求证： CM ＝2 PQ .
（1）证明：如图1，连接 BD ，
取 MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ .
∵ MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，
∴△ DMN 是等腰直角三角形.
∴∠ MDN ＝45°.
则 CM ＝1－ a ， DN ＝ a ， BD ＝ .
∴ BN ＝ （1－ a ）.
∵点 E ， P 分别为 MN ， BM 的中点，
∴ EP ＝ BN ＝ （1－ a ）.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ MDB ＝45°.
∴ D ， N ， B 三点共线.
设 DC ＝1， DM ＝ a ，
∴ EF ＝ EQ ＝ （1－ a ）＝ EP .
∴ QF 垂直平分 EP . ∴ EQ ＝ PQ .
∵ EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ .
∵点 E ， Q 分别为 MN ， CN 的中点，
∴ EQ ＝ CM ＝ （1－ a ）， EQ ∥ DC .
过点 Q 作 QF ⊥ EP ，则△ QFE 是等腰直角三角形.
（2）如图2，将图1中的△ DMN 绕正方形 ABCD 的顶点 D 按顺
时针方向旋转α（0°≤α≤90°）.
①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过
程；若不成立，请说明理由.
（2）解：①如图2，连接 BD ，取
MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ ， BN .
∵∠ CDB ＝∠ MDN ＝45°，∠ CDM
＋∠ MDB ＝∠ BDN ＋∠ MDB ，
∴∠ CDM ＝∠ BDN .
∵ ＝ ＝ ，∴△ CDM ∽△ BDN .
∴ ＝ ＝ ，∠ DMC ＝∠ DNB .
∵点 E ， P 分别为 MN ， BM 的中点，∴ EP ＝ BN ， EP ∥ BN .
∴∠ PEM ＝∠ BNM ，∠ PEN ＝180°－∠ BNM ＝180°－（∠
BND －45°）＝225°－∠ BND .
∵点 E ， Q 分别为 MN ， NC 的中点，∴ EQ ＝ CM ， EQ ∥ CM .
∴∠ NEQ ＝∠ NMC ，∠ MEQ ＝180°－∠ EMC ＝180°－（360°
－90°－∠ DMC ）＝∠ DMC －90°.
∴ ＝ ＝ .∴∠ PEQ ＝180°－∠ PEN －∠ MEQ ＝180°－（225°－∠ BND ）－∠ DMC ＋90°＝45°.
过点 Q 作 QK ⊥ EP 于点 K ，则△ EKQ 是等腰直角三角形，
∴ EK ＝ EQ .
∵ ＝ .∴ EP ＝ EQ .
∴ EK ＝ KP ＝ EQ . ∴ EQ ＝ PQ .
∵2 EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ .
②若 AB ＝10， DM ＝2 ，在△ DMN 绕点 D 旋转的过程中，当
点 B ， M ， N 三点共线时，求出线段 PQ 的长.
②如图3，连接 BD ，当点 B ， M ， N 共线，
点 M 在 DC 的上方时.
∵ DB ＝ AB ＝10 ，
∴ BM ＝ ＝
＝6 .
∵ DM ＝ MN ＝2 ，∴ BN ＝ BM － MN ＝4 .
同（2）①易证△ CDM ∽△ BDN ，
∴ ＝ ＝ . ∴ CM ＝ ×4 ＝2 .
∴ PQ ＝ CM ＝ .
如图4，当点 B ， M ， N 共线，点 M 在 DC 的下方时.
在Rt△ DBM 中， BM ＝ ＝6 ， BN ＝ BM ＋ MN
＝8 . ∴ CM ＝ BN ＝4 . ∴ PQ ＝ CM ＝2 .
综上所述， PQ 的长为 或2 .
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第二周自主评价练习
【第一章全章】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 已知一个矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则
该矩形的面积为（　A　）
A. 48 cm2 B. 60 cm2
C. 80 cm2 D. 96 cm2
A
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 OBCD 是正方形，
点 O ， D 的坐标分别是（0，0），（0，6），点 C 在第一象
限，则点 C 的坐标是（　D　）
A. （6，3） B. （3，6）
C. （0，6） D. （6，6）
（第2题图）
D
3. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ D ＝150°，则∠1＝（　D　）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
（第3题图）
D
4. 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ ADE 绕点 A
按顺时针方向旋转90°到△ ABF 的位置.若四边形 AFCE 的面积为
20， DE ＝2，则 AE 的长为（　B　）
A. 4 B. 2 C. 6 D. 2
（第4题图）
B
5. 下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对
角线互相垂直的四边形是菱形；③四边相等的四边形是正方
形；④四边相等的四边形是菱形.其中是真命题的有（　B　）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
B
6. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠ ABC ＝60°，连接 AC ， BD 交
于点 O ，则 ＝（　D　）
A. B. C. D.
（第6题图）
D
7. 如图，已知∠ BOD ＝45°， BO ＝ DO ，点 A 在 OB 上，四边形
ABCD 是矩形，连接 AC ， BD 交于点 E ，连接 OE 交 AD 于点 F ，
则∠ DAE 的度数为（　B　）
A. 22° B. 22.5° C. 25° D. 30°
（第7题图）
B
8. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在边 CD ， AD 上，
BE 与 CF 交于点 G . 若 BC ＝4， DE ＝ AF ＝1，则 GF 的长为
（　A　）
A. B. C. D.
（第8题图）
A
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，在菱形 ABCD 中，连接 AC ， BD 交于点 O . 若∠2＝55°，则∠1的度数为 .
（第9题图）
35°　
10. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，顺次连接，所得四边形 EFGH 的面积为9，则
矩形 ABCD 的面积为 .
（第10题图）
18　
11. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上一点.若
∠ AEC ＝156°，则∠ BCE ＝ .
（第11题图）
57°　
12. 如图， AC ， BD 是矩形 ABCD 的对角线， AE ⊥ BD . 若 AC ＝
2 AB ＝4，则 AE ＝ .
（第12题图）
　
13. 如图，在正方形 ABCD 中，已知 AE 平分∠ BAC 交 BC 于
点 E ，点 F 是边 AB 上一点，连接 DF . 若 DF ＝ AE ，则∠ CDF
＝ .
（第13题图）
67.5°　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 的对应点为
点 E ， AE 与 CD 交于点 F . 若∠ FCE ＝40°，求∠ CAB 的度数；
解：设∠ CAB ＝ x °.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝90°.∴∠ ACB ＝90°－ x °.由折叠可知，∠ ACB ＝∠ ACE ，∴∠ BCE ＝180°－2 x °.∵∠ BCD ＝90°，∠ FCE ＝40°，∴∠ BCE ＝∠ BCD ＋∠ FCE ＝130°.∴130＝180－2 x ，解得 x ＝25.∴∠ CAB ＝25°.
（2）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，点
E ， F 分别为 AD ， AO 的中点，连接 EF . 若 EF ＝ ， AO ＝2，
求菱形 ABCD 的周长.
解：∵点 E ， F 分别为 AD ， AO 的中点，
∴ EF 是△ AOD 的中位线.∴ EF ＝ OD .
∵ EF ＝ ，∴ OD ＝3.∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD .
在Rt△ AOD 中， AO ＝2， OD ＝3，∴ AD ＝ ＝ ＝ .∴菱形 ABCD 的周长为4 AD ＝4 .
15. （本小题满分8分）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝
6.点 E 在边 AD 上，使 BE ＝ BC ，过点 C 作 CF ⊥ BE ，垂足为
F ，求 BF 的长.
解：在矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝6，
∴ BC ＝ AD ＝6，∠ A ＝∠ ABC ＝90°.∵ BE ＝ BC ，
∴ BE ＝6.∴ AE ＝ ＝2 .∵ CF ⊥ BE ，
∠ ABC ＝90°，∴∠ BFC ＝90°，∠ ABE ＝90°－
∠ EBC ＝∠ FCB . ∴∠ A ＝∠ BFC . 在△ ABE 和△ FCB 中，∴△ ABE ≌△ FCB （AAS）.∴ BF ＝ AE ＝2 .
16. （本小题满分8分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，连接 AC ， BD 交于点 O ，点 P 是对角线 AC 延长线上一点，过点 P 分别作 AD ， DC 延长线的垂线，垂足分别为 E ， F . 若
∠ PCF ＝30°， AD ＝2，求 PE － PF 的值.
解：∵在平行四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，
∴四边形 ABCD 是菱形.∴ AC ⊥ BD .
∵∠ PCF ＝30°，∴∠ DAC ＝∠ DCA ＝30°.
∵ AD ＝2， AC ⊥ BD ，∴ OD ＝ AD ＝1.
在Rt△ AOD 中， OA ＝ ＝ ，∴ AC ＝2 OA ＝2 .在Rt△ APE 中，∠ DAC ＝30°，∴ PE ＝ AP . 在Rt△ CPF 中，∠ PCF ＝30°，∴ PF ＝ CP . ∴ PE － PF ＝ AP －
CP ＝ （ AP － CP ）＝ AC ＝ OA ＝ .
17. （本小题满分10分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分
别是 AB ， BC 边上的点，且∠ EDF ＝45°，延长 BC 到点 M ，使
CM ＝ AE ，连接 DM .
（1）求证： DE ＝ DM ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ A ＝
∠ BCD ＝ DCM ＝90°， AD ＝ CD . 又∵ AE ＝
CM ，∴△ ADE ≌△ CDM （SAS）.∴ DE ＝ DM .
（2）若正方形 ABCD 的边长为3， AE ＝1，求 EF 的长.
（2）解：由（1）知，△ ADE ≌△ CDM ，
∴∠ ADE ＝∠ CDM . ∴∠ ADC ＝∠ EDM ＝90°.
又∵∠ EDF ＝45°，∴∠ FDM ＝∠ EDF ＝45°.
在△ DEF 和△ DMF 中，
∴△ DEF ≌△ DMF （SAS）.
∴ EF ＝ MF . 设 EF ＝ MF ＝ x .∵ AE ＝ CM ＝1， BC ＝3，∴ BM ＝ BC ＋ CM ＝3＋1＝4.
∴ BF ＝ BM － MF ＝4－ x .
在Rt△ EBF 中， EB ＝ AB － AE ＝3－1＝2，
由勾股定理，得 EB2＋ BF2＝ EF2，
即22＋（4－ x ）2＝ x2，解得 x ＝ .∴ EF ＝ .
18. （本小题满分10分）在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，
以点 E 为直角顶点的Rt△ EFG 的两边 EF ， EG 始终与 AB ， BC
两边相交.
（1）如图1，当 EF ， EG 分别过点 B ， C 时，求∠ EBC 的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ＝ DC ，∠ A ＝∠ D ＝90°.
∵点 E 是 AD 中点，∴ AE ＝ DE .
∴△ BAE ≌△ CDE . ∴ BE ＝ CE .
∴∠ EBC ＝∠ ECB . ∵∠ BEC ＝90°，∴∠ EBC ＝45°.
（2）将△ EFG 绕点 E 旋转， EF ， EG 分别与边 AB ， BC 的交点
为 M ， N . 已知 AB ＝2， FG ＝8.
①如图2，在△ EFG 旋转过程中，四边形 MBNE 的面积是否发生
变化？若不变，求四边形 MBNE 的面积；若变化，请说明理由.
解：（2）①四边形 MBNE 的面积不变.
理由如下：由（1）可知， EB ＝ EC ，
∠ ABE ＝∠ ECN ＝45°.
∵∠ MEN ＝∠ BEC ＝90°，
∴∠ MEB ＝∠ NEC . ∴△ MEB ≌△ NEC （ASA）.
∴ S四边形 MBNE ＝ S△ MEB ＋ S△ BEN ＝ S△ NEC ＋ S△ BEN ＝ S△ BEC .
∵∠ ABE ＝45°，∠ A ＝90°，∴ AB ＝ AE ＝2.
∴ BC ＝ AD ＝2 AE ＝4.
∴ S△ BEC ＝ BC · AB ＝4.∴四边形 MBNE 的面积为4.
②如图3，若∠ F ＝30°，点 O 为 FG 的中点，连接 OB ， BG ，当
OB 的长度最小时，求△ OBG 的面积.
解：（2）②如图，连接 OE .
∵△ EFG 为直角三角形，
点 O 为斜边 FG 的中点， FG ＝8，
∴ OE ＝4.∵ AB ＝2，∴ BE ＝2 .
在△ OBE 中， OB ＞ EO － EB ，
∴当点 B 在 OE 上时， OB 的长度最小，
此时 OB ＝ OE － BE ＝4－2 .
作 GH ⊥ OE 于点 H . ∵∠ F ＝30°，∴∠ FGE ＝60°.
又∵ OE ＝ OG ，∴△ EOG 为等边三角形.
∴点 H 为 OE 的中点.∴ OH ＝ OE ＝2.
∵ OG ＝ OE ＝4，
∴ GH ＝ ＝2 .
∴△ OBG 的面积等于 OB · GH ＝4 －2 .
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝12，点 P 在对角线
BD 上，且 BP ＝ BA ，连接 AP 并延长，交 DC 的延长线于点 Q ，
连接 BQ ，则 BQ 的长为 .
（第19题图）
3 　
20. 如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，
点 M 是 BC 边上的动点（点 M 不与点 B ， C 重合）， CN ⊥ DM ， CN 与 AB 交于点 N ，连接 OM ， ON ， MN . 下列结论：①△ CNB ≌△ DMC ；②△ CON ≌△ DOM ；③ AN2＋ CM2＝2 MO2；④四边形 ONBM 的面积随点 M 的移动而变化；
⑤若 AB ＝2，则 S△ OMN 的最小值是 .其中
正确的是 （填序号）.
①②③⑤　
（第20题图）
二、解答题（本大题满分12分）
21. 如图1，已知菱形 ABCD 的边长为5，其顶点都在坐标轴上，
且点 A 的坐标为（0，－3）.
（1）求点 B 的坐标及菱形 ABCD 的面积.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，且边长为5，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ＝5， OA ＝ OC ，
OB ＝ OD . ∵ A （0，－3），∴ OA ＝3.∴ AC ＝6.
在Rt△ AOB 中， OB ＝ ＝ ＝4，
∴点 B 的坐标为（4，0）， BD ＝8.∴ S菱形 ABCD ＝ BD · AC ＝24.
（2）若点 P 是菱形边上一动点，且沿 A → B → C → D 运动（到
达点 D 时停止）.
①当点 P 关于 x 轴对称的点 Q 恰好落在直线 y ＝ x －3上时，求
点 P 的坐标.
解：（2）①如图1，由题意可知， B （4，0）， C （0，3），
∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3.
联立解得
∴ Q （ ， ）.
∴当点 P 的坐标为（ ，－ ）时，点 P 关于 x 轴对称的点 Q 恰好落在直线 y ＝ x －3上；当点P'与点 C 重合时，点P'关于 x 轴对称的点Q'恰好落在直线 y ＝ x －3上，此时P'（0，3）.综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ ，－ ）或（0，3）.
②如图2，当点 P 运动到 BC ， CD 边时，作△ ABP 关于直线 AP
的对称图形为△AB'P，是否存在这样的点 P ，使点B'正好在直
线 y ＝ x －3上？若存在，求出满足条件的点 P 坐标；若不存
在，请说明理由.
②如图2，当 AP 平分∠ BAQ 时，满足条件.
∵ A （0，－3）， B （4，0）， Q （ ， ），
∴ AQ ＝ ， BQ ＝ .∵ ＝ （角平分线性
质定理，可以用面积法证明），∴ ＝ .
∴ PB ＝ × ＝ .∴可得 P （ ， ）.
当AP'⊥ AP 时，点 B ″在直线 AQ 上，
此时直线AP'的解析式为 y ＝－ x －3，
直线 CD 的解析式为 y ＝ x ＋3.
联立解得∴P'（－ ， ）.
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ ， ）或（－ ， ）.
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第十四周自主评价练习
（一诊模拟卷1）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. －2 024的绝对值是（　A　）
A. 2 024 B. －2 024
C. D. －
2. 某城市统计局发布数据显示，该市常住人口为2 126.8万人，
将数据2 126.8万用科学记数法表示为（　B　）
A. 2 126.8×104 B. 2.126 8×107
C. 2.126 8×108 D. 0.212 68×108
A
B
3. 下列运算正确的是（　C　）
A. （－4 ab ）2＝8 a2 b2 B. a2＋ a2＝ a4
C. a6÷ a3＝ a3 D. （ a － b ）2＝ a2－ b2
4. 学校举办跳绳比赛，九（1）班参加比赛的6名同学每分钟跳
绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中
位数是（　D　）
A. 181 B. 175 C. 176 D. 175.5
C
D
5. 如图， ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，下列结论一定
成立的是（　C　）
A. OA ＝ OB B. OA ⊥ OB
C. OA ＝ OC D. ∠ OBA ＝∠ OBC
（第5题图）
6. 从5，6，5，9，8，7六个数中随机选取一个数，这个数恰为
该组数据的众数的概率为（　B　）
A. B. C. D.
C
B
7. 《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问
题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行
一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，
慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢
马？若设快马 x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　D　）
A. 240 x ＋150 x ＝150×12 B. 240 x －150 x ＝240×12
C. 240 x ＋150 x ＝240×12 D. 240 x －150 x ＝150×12
D
8. 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪
去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用
胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为
600 cm2，设剪去小正方形的边长为 x cm，则可列方程为（　　）
A. （30－2 x ）（40－ x ）＝600
B. （30－ x ）（40－ x ）＝600
C. （30－ x ）（40－2 x ）＝600
D. （30－2 x ）（40－2 x ）＝600
（第8题图）
D
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，点 A 是反比例函数 y ＝ 图象上任意一点，过点 A 分别
作 x 轴， y 轴的垂线，垂足为点 B ， C ，则四边形 OBAC 的面积
为 .
（第9题图）
3　
10. 若 m 是方程 x2＋2 x －1＝0的一个根，则 m2＋2 m －4＝ .
11. 如图，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，
已知标杆 BE 高1.5 m，测得 AB ＝1.2 m， BC ＝12.8 m，则建筑
物 CD 的高是 m.
－3
17.5　
（第11题图）
12. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是边
AB 的中点.若 OE ＝6，则 BC 的长为 .
（第12题图）
12　
13. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝8.连接 AC ，在 AC 和
AD 上分别截取 AE ， AF ，使 AE ＝ AF ，分别以点 E 和点 F 为圆
心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点 G ，作射线 AG 交 CD 于点 H ，则线段 DH 的长是 .
　
【解析】设 DH ＝ x .如图，过点 H 作 HQ ⊥ AC
于点 Q . 在矩形 ABCD 中，∠ B ＝∠ D ＝90°，
AB ＝6， BC ＝ AD ＝8，∴ AC ＝10.由作图，
得 AG 平分∠ CAD ，∴∠ CAG ＝∠ DAG .
又∵∠ AQH ＝∠ D ＝90°， AH ＝ AH ，∴△ AQH ≌△ ADH（AAS）.∴ QH ＝ DH ＝ x ， AQ ＝ AD ＝8.∴ CQ ＝ AC － AQ ＝2.在Rt△ CHQ 中，由勾股定理，得 CQ2＋ QH2＝ CH2，即22＋ x2＝（6－ x ）2.解得 x ＝ .故答案为 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）解方程： x2－5 x ＋4＝0；
解：原方程可变形为（ x －1）（ x －4）＝0，
∴ x －1＝0，或 x －4＝0.
∴ x1＝1， x2＝4.
（2）解不等式组：
解：解不等式①，得 x ＜1.
解不等式②，得 x ≥－3.
∴原不等式组的解集为－3≤ x ＜1.
15. （本小题满分8分）某学校为了提高初中生的身体素质，在
初中三个年级都开设了运动类兴趣课.其中七年级就开设了篮
球、足球、羽毛球、排球四类球类运动.为了了解七年级学生对
A（篮球），B（足球），C（羽毛球），D（排球）四种球类
运动的喜爱情况，学校对七年级部分学生进行问卷调查（每人
必选只能选一个项目），并将调查结果绘制成如图两幅不完整
的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生共有 人，在扇形统计图
中，A（篮球）类所占圆心角为 °；
（1）【解析】20÷40％＝50（人），故参加此项问卷调查的学生共有50人.360°× ＝72°，故扇形统计图中，A（蓝球）类所占圆心角为72°.故答案为50，72.
50　
72　
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（2）解：喜欢B（足球）类的有50－10－20－4＝16（人）.补
全条形统计图如下：
（3）若该校七年级有1 200名学生，请估计喜爱A（篮球）的学
生人数.
（3）解：1 200× ＝240（人），∴估计喜爱A（篮球）的学
生有240人.
16. （本小题满分8分）如图，一位同学通过调整自己的位置，
设法使三角板 DEF 的斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同
一直线上，已知两条边 DE ＝0.4 m， EF ＝0.2 m，测得边 DF 离
地面的高度 AC ＝1.5 m， CD ＝8 m.求树 AB 的高度.
解：易知△ DEF ∽△ DCB ，
∴ ＝ .∴ BC ＝ ＝ ＝4（m）.
∴ AB ＝ AC ＋ BC ＝1.5＋4＝5.5（m）.
即树 AB 的高度为5.5m.
17. （本小题满分10分）如图1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD
上一动点，将正方形沿着 BE 折叠，点 C 落在点 F 处，连接 BE ，
CF ，延长 CF 交 AD 于点 G .
（1）求证：△ BCE ≌△ CDG ；
（1）证明：∵△ BFE 是由△ BCE 折叠得到，
∴ BE ⊥ CF ，∴∠ ECF ＋∠ BEC ＝90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ D ＝∠ BCE ＝90°， BC ＝ CD .
∴∠ ECF ＋∠ CGD ＝90°.∴∠ BEC ＝∠ CGD .
又∵ BC ＝ CD ，∴△ BCE ≌△ CDG （AAS）.
（2）如图2，延长 BF 交 AD 于点 H ，若 ＝ ， CE ＝9，求线
段 DE 的长.
（2）解：如图，连接 EH .
∵△ BCE ≌△ CDG ，∴ CE ＝ DG ＝9.
由折叠可知， BC ＝ BF ， CE ＝ FE ＝9，
∴∠ BCF ＝∠ BFC .
∵四边形 ABCD 是正方形.
∴ AD ∥ BC ，∴∠ BCG ＝∠ HGF .
∴ HF ＝ HG .
∵ ＝ ， DG ＝9，∴ HD ＝4， HF ＝ HG ＝5.
∵∠ D ＝∠ HFE ＝90°，
∴ HF2＋ FE2＝ DH2＋ DE2，即52＋92＝42＋ DE2.
∴ DE ＝3 或－3 （舍去）.
∴ DE 的长为3 .
18. （本小题满分10分）如图，一次函数 y ＝ x －1的图象与反
比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象交于点 A （ a ，2），与 y 轴交于
点 B .
（1）求 a ， k 的值.
解：（1）把 x ＝ a ， y ＝2代入 y ＝ x －1，得
a －1＝2.∴ a ＝6.
把 x ＝6， y ＝2代入 y ＝ ，得2＝ .∴ k ＝12.
（2）点 C 为反比例函数 y ＝ （ x ＞0）图象上一点（位于点 A
的左侧），连接 CA 并延长，交 x 轴于点 D ，若 AC ＝2 AD ，连
接 CB .
①求△ ABC 的面积；
解：（2）∵ AC ＝2 AD ，∴ CD ＝3 AD .
∴ yC ＝3 yA ＝6.
将 y ＝6代入 y ＝ ，得 x ＝2.∴ C （2，6）.
①如图1，作 CE ∥ y 轴交 AB 于点 E .
当 x ＝2时， y ＝ ×2－1＝0，∴ E （2，0）.
∵ C （2，6），∴ CE ＝6－0＝6.
∴ S△ ABC ＝ CE · xA ＝ ×6×6＝18.
②点 P 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，点 Q 是反比例函
数 y ＝－ （ x ＞0）的图象上一点，若以点 A ， B ， P ， Q 为顶
点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点 P 坐标.
②如图2，当 AB 是对角线时， AB ， PQ 交于点 M ，四边形 APBQ 是平行四边形.设 P （ m ， ）.
∵ AM ＝ BM ，∴ M （3， ）.
又∵ MP ＝ MQ ，∴ Q （6－ m ，1－ ）.
∵点 Q （6－ m ，1－ ）在反比例函数 y ＝－ 的图象上，
∴（6－ m ）（1－ ）＝－20.
整理，得 m2－38 m ＋72＝0.
解得 m1＝2， m2＝36（不符合题意，舍去）.
∴点 P 的坐标为（2，6）.
如图3，当 AB 为边时，四边形 ABQP 是平行四
边形，则 AB ∥ QP 且 AB ＝ QP .
设点 P （ m ， ），则点 Q （ m －6， －3）.
∵点 Q （ m －6， －3）在反比例 y ＝－ 的图象上，
∴（ m －6）（ －3）＝－20.整理，得3 m2－50 m ＋72＝0.
解得 m1＝ ， m2＝ （不符合题意，舍去）.
∴点 P 的坐标为（ ， ）.
综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（2，6）或
（ ， ）.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若 a2－2 a －15＝0，则代数式（ a － ）· 的值
是 .
【解析】∵ a2－2 a －15＝0，∴ a2－2 a ＝15.∴（ a － ）·
＝ · ＝ · ＝ a2－2 a ＝15.故答案为15.
15　
20. 如图是由若干个小立方块组合而成的一个几何体的左视图和
俯视图，则搭成这个几何体的小立方块至少有 个.
6　
【解析】如答图，俯视图中小正方形中的数字表示此位置小立方块的个数，则搭成这个几何体的小立方块至少有6个.故答案为6.
21. 从－1，2，－3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为
a ， b 的值，得到反比例函数 y ＝ ，则这些反比例函数中，其
图象在第二、四象限的概率是 .
【解析】画树状图（略图）如下：
　
由树状图可知，共有12种等可能的结果.要使 y ＝ 在第二、四
象限，则 ab ＜0，其中积为负值的共有8种，∴所求概率为 ＝
.故答案为 .
22. 如图，已知 DE 是△ ABC 的中位线，点 F 为 DE 的中点，连接
AF 并延长交 BC 于点 G . 若 S△ EFG ＝1，则 S△ ABC ＝ .
24　
【解析】∵ DE 是△ ABC 的中位线，∴点 D ，
E 分别为 AB ， BC 的中点.如图，过点 D 作
DM ∥ BC 交 AG 于点 M ，∴∠ DMF ＝∠ EGF .
∵点 F 为 DE 的中点，∴ DF ＝ EF . 在△ DMF
和△ EGF 中，
∴△ DMF ≌△ EGF （AAS）.
∴ S△ DMF ＝ S△ EGF ＝1， GF ＝ FM . ∵点 D 为 AB 的中点，且 DM ∥ BC ，∴ AM ＝ MG . ∴ FM ＝ AM . ∴ S△ ADM ＝2 S△ DMF ＝2.
∵ DM 为△ ABG 的中位线，∴ ＝ .∴ S△ ABG ＝4 S△ ADM ＝4×2＝8.∴ S梯形 DMGB ＝ S△ ABG － S△ ADM ＝8－2＝6.∴ S△ BDE ＝
S梯形 DMGB ＝6.∵ DE 是△ ABC 的中位线，∴ S△ ABC ＝4 S△ BDE ＝4×6＝24.故答案为24.
23. 如图，在 ABCD 中，已知∠ B ＝60°， AB ＝10， BC ＝8，
点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得 DF ＝
DE ，以 EC ， EF 为邻边构造 EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最
小值为 .
9 　
【解析】如图，连接 FC ，交 EG 于点 O ，
过点 D 作 DM ∥ FC ，交 EG 于点 M ，令
CD 与 EG 交于点 N . ∵ DF ＝ DE ，
∴ DE ＝ EF . ∵ DM ∥ FC ，
∴△ DEM ∽△ FEO . ∴ ＝ ＝ ＝ .
∵ DM ∥ FC ，∴△ DMN ∽△ CON . ∴ ＝ .
∵四边形 ECGF 是平行四边形，∴ CO ＝ FO .
答图
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .
∴ EO ＝ EN . 过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H .
在Rt△ CBH 中，∠ B ＝60°， BC ＝8，∴ CH ＝4 .
当 EN ⊥ CD 时， EG 最小，此时四边形 EHCN 是矩形，
∴ EN ＝ CH ＝4 .∴ EO ＝ ×4 ＝ .
∴ EG ＝2 EO ＝9 .故答案为9 .
答图
二、解答题（共30分）
24. （本小题满分8分）某工厂生产一种产品，经市场调查发
现，该产品每月的销售量 y （件）与每件售价 x （万元）之间满
足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）；
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
把（30，40），（32，36）代入，
得解得
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－2 x ＋100.
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元，
则三月份每件产品的成本是多少万元？
解：（2）当 x ＝35时， y ＝－2 x ＋100＝30.
设三月份每件的成本是 m 万元.
由题意，得450＝30（35－ m ）.解得 m ＝20.
∴三月份每件产品的成本是20万元.
25. （本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，点 A 是反比
例函数 y ＝ （ x ＞0）图象上的一个动点，连接 AO ， AO 的延长
线交反比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＜0）的图象于点 B ，过点 A 作
AE ⊥ y 轴于点 E .
（1）如图1，过点 B 作 BF ⊥ x 轴于点 F ，连接 EF .
①若 k ＝1，求证：四边形 AEFO 是平行四边形；
（1）①证明：设点 A 的坐标为（ a ， ），则当 k ＝1时，点 B 的坐标为（－ a ，－ ），
∴ AE ＝ OF ＝ a .
∵ AE ⊥ y 轴，∴ AE ∥ OF ，
∴四边形 AEFO 是平行四边形.
②连接 BE ，若 k ＝4，求△ BOE 的面积.
（1）②解：如图1，过点 B 作 BD ⊥ y 轴于点 D .
∵ AE ⊥ y 轴，∴ AE ∥ BD .
∴△ AEO ∽△ BDO . ∴ ＝（ ）2.
当 k ＝4时， ＝（ ）2，即 ＝ ，
∴ S△ BOE ＝2 S△ AOE ＝1.
（2）如图2，过点 E 作 EP ∥ AB ，交反比例函数 y ＝ （ k
＞0， x ＜0）的图象于点 P ，连接 OP . 试探究：对于确定的
实数 k ，动点 A 在运动过程中，△ POE 的面积是否会发生变
化？请说明理由.
（2）解：不会发生变化.
理由如下：
如图2，过点 P 作 PH ⊥
x 轴于点 H ， PE 与 x 轴交
于点 G .
设点 A 的坐标为（ a ， ），点 P 的坐标为（ b ， ），
则 AE ＝ a ， OE ＝ ， PH ＝－ .
易知四边形 AEGO 是平行四边形，
∴∠ EAO ＝∠ EGO ， AE ＝ OG .
∵∠ EGO ＝∠ PGH ，∴∠ EAO ＝∠ PGH .
又∵∠ AEO ＝∠ PHG ＝90°，
∴△ AEO ∽△ GHP . ∴ ＝ .
∵ GH ＝ OH － OG ＝－ b － a ，
∴ ＝ .∴（ ）2＋ － k ＝0.解得 ＝ .
∵ a ， b 异号， k ＞0，∴ ＝ .
∴ S△ POE ＝ OE ·（－ b ）＝ × ×（－ b ）＝－ × ＝ .
∴对于确定的实数 k ，动点 A 在运动过程中，△ POE 的面积不会
发生变化.
26. （本小题满分12分）【问题呈现】如图1，在△ ABC 的边 AB
上取一点 D ，过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AC 于点 E ，现将△ ADE 绕
点 A 旋转一定角度到如图2所示的位置（点 D 在△ ABC 的内
部），求证： ＝ .
【问题呈现】证明：∵图1中 ED ∥ BC ，
∴△ ADE ∽△ ABC （图2中也成立）.
∴ ＝ ，∠ EAD ＝∠ CAB .
∴ ＝ ，∠ EAC ＝∠ DAB .
∴△ EAC ∽△ DAB . ∴ ＝ .
【类比探究】如图3，点 D 是△ ABC 内一点，连接 DA ， DB ，
DC . 若∠ ACD ＝∠ BAD ＝30°，∠ ADB ＝90°， AC ＝8， CD ＝
3，求 BC 的长.
【类比探究】解：如图1，以 AC 为斜边在 AC 的左侧作Rt△AEC ，使得∠ AEC ＝90°，∠ EAC ＝30°，连接 ED .
∵ AC ＝8，∴ EC ＝4， AE ＝4 .
∵∠ ACD ＝30°，
∠ ECA ＝90°－∠ EAC ＝60°，
∴∠ ECD ＝90°.
在Rt△ ECD 中， ED ＝ ＝5.
∵∠ AEC ＝∠ ADB ＝90°，∠ EAC ＝∠ DAB ＝30°，
∴△ EAC ∽△ DAB .
∴ ＝ . ∴ ＝ .
又∵∠ EAD ＝30°＋∠ CAD ＝∠ CAB ，
∴△ EAD ∽△ CAB .
∴ ＝ ＝ . ∴ BC ＝ ED ＝ .
【拓展延伸】如图4，若∠ ACD ＝∠ ABD ＝45°， CD ∶ AD ∶
BD ＝ ∶ ∶ ，设 AB ＝ m ， BC ＝ n ， AC ＝ p ，试探究
m ， n ， p 三者之间满足的等量关系.
【拓展延伸】解：如图2，以 AC 为边作
△ AEC 使得△ AEC ∽△ ADB ，
∠ ECA ＝∠ ABD . 连接 ED .
∵∠ ACD ＝∠ ABD ＝45°，
∴∠ ECD ＝90°，即△ ECD 是直角三角形.
设 CD ， AD ， BD 分别为 k ， k ， k .
∵△ AEC ∽△ ADB ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ EC ＝ .
∵△ AEC ∽△ ADB ，∴易证△ EAD ∽△ CAB .
∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ ED ＝ .
在Rt△ ECD 中，（ ）2＋（ k ）2＝（ ）2.
整理，得2 p2＋5 m2＝7 n2.
故 m ， n ， p 三者之间满足的等量关系为2 p2＋5 m2＝7 n2.
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第六周自主评价练习
【第四章第1－第3节】
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 已知△ ABC ∽△A'B'C'， AB ＝8，A'B'＝6，则 ＝（　B　）
A. 2 B. C. D.
B
2. 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的.如图，同
一直线上的 A ， B ， C 三个点都在横线上，若线段 AB ＝5，则线
段 BC 的长是（　B　）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
（第2题图）
B
3. 在比例尺为1∶5 000 000的交通地图上，两地的图上距离约为
2.7 cm，则它们的实际距离约为（　A　）
A. 135 km B. 13.5 km
C. 54 km D. 5.4 km
4. 若 ＝ ，则 的值为（　D　）
A. B. C. D.
A
D
5. 选项中，线段 a ， b ， c ， d 是成比例线段的是（　C　）
A. a ＝6， b ＝4， c ＝10， d ＝5
B. a ＝3， b ＝7， c ＝2， d ＝9
C. a ＝2， b ＝4， c ＝3， d ＝6
D. a ＝4， b ＝11， c ＝3， d ＝2
C
6. 如图，在△ ABC 中，点 M ， N 分别在 AB ， BC 上， MN ∥ AC .
若 MN ＝4， AC ＝6， AB ＝9，则 AM 的长是（　B　）
A. 2 B. 3 C. D.
（第6题图）
B
7. 已知 b 是 a ， c 的比例中项， c 是 b ， d 的比例中项，下列式子
不一定成立的是（　C　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
C
8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 F 是 AD 上的点， AD ＝3
DF ，直线 BF 交 AC 于点 E ，交 CD 的延长线于点 G ，则 的值
为（　A　）
A. B. C. D.
（第8题图）
A
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 若2 024 a ＝2 023 b ，则 ＝ 　 　.
10. 如图，已知四边形 ABCD ∽四边形A'B'C'D'，则∠α＝ .
（第10题图）
　
83°　
11. 在△ ABC 和△ DEF 中，已知 ＝ ＝ ＝ ，则△ ABC 和
△ DEF 的周长之比为 .
12. 如图，已知 BE 和 CD 是△ ABC 的中线，连接 DE ，则 的值
是 .
　
　
（第12题图）
13. 已知点 P 是线段 AB 上一点，且 BP 是 AB 和 AP 的比例中项.若
AB ＝2 cm，则线段 AP ＝ cm.
3－ 　
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）
（1）已知 ＝ ＝ ，求 的值；
解：设 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），则 x ＝2 k ， y ＝3 k ， z ＝4 k .
∴ ＝ ＝ .
（2）如图，已知直线 l1∥ l2∥ l3， AB ＝3， BC ＝5， DF ＝12，
求 DE 和 EF 的长.
解：∵ l1∥ l2∥ l3，∴ AB ∶ BC ＝ DE ∶ EF .
又∵ AB ＝3， BC ＝5， DF ＝12，
∴3∶5＝ DE ∶（12－ DE ）.
∴ DE ＝4.5.
∴ EF ＝ DF － DE ＝12－4.5＝7.5.
15. （本小题满分8分）如图，已知点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线
段 AB 的延长线上， AB ＝10， ＝ ＝ ，求线段 PQ 的长.
解：设 AP ＝3 x ， BP ＝2 x .
∵ AB ＝10，∴ AB ＝ AP ＋ BP ＝3 x ＋2 x ＝5 x .
∴5 x ＝10.解得 x ＝2.∴ AP ＝6， BP ＝4.
设 BQ ＝ y ，则 AQ ＝ AB ＋ BQ ＝10＋ y .
∵ ＝ ，∴ ＝ .解得 y ＝20.
∴ PQ ＝ PB ＋ BQ ＝4＋20＝24.
16. （本小题满分8分）如图，已知 AD ∥ BE ∥ CF ，它们依次与
直线 l1， l2分别相交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F . 若 ＝ ，
AD ＝7， CF ＝12，求 BE 的长.
答图
解：如答图，过点 A 作 AG ∥ DF
交 BE 于点 H ，交 CF 于点 G .
∵ AD ∥ BE ∥ CF ， AD ＝7，
∴四边形 AHED 和四边形 AGFD
是平行四边形.
∴ AD ＝ HE ＝ GF ＝7， AH ＝ DE ， AG ＝ DF .
∵ CF ＝12，∴ CG ＝ CF － GF ＝12－7＝5.
∵ BE ∥ CF ，∴ ＝ .
又∵ ＝ ，∴ ＝ .解得 BH ＝2.
∴ BE ＝2＋7＝9.
答图
17. （本小题满分10分）如图，为美化校园环境，某校计划
在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形
花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通
道宽为 a 米.
（1）用含 a 的式子表示花圃的面积.
解：（1）由图可知，花圃的面积为（40－2 a ）（60－2 a ）平方米.
（2）若通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通
道的宽.
解：（2）由题意，得（40－2 a ）（60－2 a ）＝（1－ ）×60×40，
解得 a1＝5， a2＝45（舍去）.
∴通道的宽为5米.
（3）若按上述要求施工，同时希望长方形花圃的形状与原长方
形空地的形状相似，想一想能不能满足要求，若能，求出此时
通道的宽；若不能，则说明理由.
解：（3）假设能满足要求，则 ＝ ，
解得 a ＝0，不符合实际情况.
∴不能满足要求.
18. （本小题满分10分）如图，在 ABCD 中，点 E ， F 分别在
边 AD ， BC 上，且∠ ABE ＝∠ CDF .
（1）探究四边形 BFDE 的形状，并说明理由.
解：（1）四边形 BFDE 为平行四边形.理由如下：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠ ABC ＝∠ ADC .
又∵∠ ABE ＝∠ CDF ，
∴∠ EBF ＝∠ EDF .
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AD ∥ BC .
∴∠ EDF ＝∠ DFC ＝∠ EBF .
∴ BE ∥ DF .
∴四边形 BFDE 为平行四边形.
（2）连接 AC ，分别交 BE ， DF 于点 G ， H ，连接 BD 交 AC 于
点 O . 若 ＝ ， AE ＝4，求 BC 的长.
解：（2）设 AG ＝2 a .
∵ ＝ ，∴ ＝ .
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AO ＝ CO . ∴ ＝ ＝ .
∵ AD ∥ BC ，∴ ＝ ＝ .
又∵ AE ＝4，∴ BC ＝16.
B卷（共20分）
一、填空题（每小题4分，共8分）
19. 如图，已知点 D ， F 是△ ABC 的 AB 边上的两点，连接 CD ，
过点 F 作 FE ∥ DC ，交 AC 于点 E . 若 AB ＝6， AF ＝2，当 AD
＝ 时， DE ∥ BC .
2 　
【解析】∵ FE ∥ DC ，∴ ＝ .当 ＝ 时， DE ∥ BC . ∴ ＝ ，即 AD2＝ AF · AB .
又∵ AB ＝6， AF ＝2，∴ AD ＝2 （负值舍去）.故答案为2 .
20. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， BC ＝4，点 E 是 AB 边上一
点， AE ＝3，连接 DE ，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 AF . 若
∠ EDC ＝2∠ F ，则 CF ＝ .
6　
【解析】如图，连接 EC ，过点 D 作 DH ⊥
EC 于点 H .
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°， AD ＝ BC ＝4，
AB ＝ CD ＝5.
∵ AE ＝3，∴ DE ＝ ＝ ＝5.∴ DE ＝ DC .
∵ DH ⊥ EC ，∴∠ CDH ＝∠ EDH ＝ ∠ EDC .
∵∠ EDC ＝2∠ F ，∴∠ F ＝ ∠ EDC .
∴∠ CDH ＝∠ F . ∵∠ BCE ＋∠ DCH ＝
90°，∠ DCH ＋∠ CDH ＝90°，
∴∠ BCE ＝∠ CDH . ∴∠ DCH ＝∠ BCE .
∴∠ BCE ＝∠ F . ∴ EC ∥ AF .
∴ ＝ .又∵ AB ＝5， AE ＝3， BC ＝4，
∴ ＝ .∴ CF ＝6.故答案为6.
二、解答题（本大题满分12分）
21. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝
4， BC ＝5，点 D 在 BC 上，且 CD ＝3，连接
AD . 现有两个动点 P ， Q 分别从点 A 和点 B 同
时出发，其中点 P 以每秒1个单位长度的速度
沿 AC 向点 C 运动；点 Q 以每秒1.25个单位长
度的速度沿 BC 向点 C 运动，过点 P 作 PE ∥ BC 交 AD 于点 E ，连接 EQ ，设运动时间为 t s（ t ＞0）.
解：（1）由题意可知， AP ＝ t .
∵ AC ＝4， CD ＝3，∠ C ＝90°，∴ AD ＝5.
∵ PE ∥ BC ，∴ ＝ .
∵ AP ＝ t ，∴ ＝ .∴ AE ＝ t .
（1）求 AE 的长（用含 t 的代数式表示）；
（2）连接 PQ ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ
与线段 AB 平行，为什么？
解：（2）∵ CP ＝4－ t ，∴ ＝ .
∵ CQ ＝5－1.25 t ，∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .∴ PQ ∥ AB .
（3）当 t 为何值时，△ EDQ 为直角三角形？
解：（3）点 D 不能作直角顶点，故分两种情
况讨论：
①如图1，点 Q 为直角顶点，则 EQ ∥ AC ，
∴ ＝ .
∵ DE ＝ AD － AE ＝5－ t ， DQ ＝ DC － CQ
＝1.25 t －2，∴ ＝ ，解得 t ＝2.5.
②如图2，点 E 为直角顶点，过点 C 作 CN ⊥ AD 于点 N .
∵ S△ ACD ＝ AC · CD ＝ AD · CN ，且 AC ＝4，
CD ＝3， AD ＝5，∴ CN ＝ ＝ .
∴ DN ＝ ＝ .易得 CN ∥ EQ ，
∴ ＝ ，即 ＝ .解得 t ＝3.1.
综上所述，当 t ＝2.5或 t ＝3.1时，
△ EDQ 为直角三角形.
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