广东省东莞市东莞中学松山湖学校2023-2024学年高一下学期第二次段考数学试题（PDF版无答案）

2023-2024学年度第二学期第二次段考
高一年级 数学 试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
2 i
1. 已知复数 z ，则 z的共轭复数 z （ ）
i
A．1 2i B．1 2i C． 1 2i D． 1 2i

2. 已知a,b为共线向量，且a (1, x),b ( 2,6)，则 a （ ）
A． 3 B．3 C． 10 D．3 10
3. 将水平放置的 ABC用斜二测画法得到的直观图 A'B'C '如图所示，已知
A'C ' 3，B C 2，则边 AB的实际长度为（ ）
A．5 B．6 C． 13 D． 40
4. 党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理
布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工
作．为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，
购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高
一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为
4 :3 : 3，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高
二年级师生应分得桂花树苗的数量为（ ）
A．30棵 B．50棵 C．72棵 D．80棵
1
5. 已知非零向量 ， 满足 = 3 ，且向量 在向量 上的投影向量为 a，则 与 的夹角为（ ）
6
A．30 B．45 C．60 D．120
6. 在 ABC中，已知 B 30 ， c 2，则“b 2 ”是“ C 45 ”成立的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造
一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中
间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆
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面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被
截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体
π 2
积公式为V 3R h h ，其中 R 是球
3
的半径， h是球缺的高.已知该灯笼的高
为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面
圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取
π 3）（ ）
A．32000cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3
2
8. 在 ABC中，P0是边 AB上一定点，满足 P0B AB，且对于边 AB上任一点 P，恒有 PB PC P3 0B P0C，
则 ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数 z1, z2，下列结论正确的有（ ）
A．若 z1 z2 0，则 z1 z2
B 2 2．若 z1 z2 ，则 z1 z2
C．若复数 z2满足 z2 2i 3，则 z2在复平面内对应的点的轨迹为圆
D．若 z1 4 3i是关于 x的方程 x
2 px q 0( p,q R)的一个根，则 p 8
10. 如图，在边长为2的正方形 SG1G2G3 中，E，F分别是G1G2,G2G3 的中点，D是 EF的中点，将
SG1E， SG3F分别沿 SE，SF折起，使G1,G3 两点重合于 G，下列说法正确的是（ ）
A．若把 G2EF 沿着 EF继续折起， G2 可以与 G重合
B． SG EF
C．四面体 S GEF的外接球体积为 6π
D．点 G在面 SEF上的射影为△SEF的重心
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2
11. 如图所示，在边长为3的等边三角形 ABC 中， AD AC，且点 P在以 AD的中点 O为圆心，OA为
3

半径的半圆上，若BP xBA yBC，则（ ）
1 2
BD BA BC x y 3A． B． 的最大值为1
3 3 3
1
C． BP BC最大值为9 D．BO DO
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知样本数据为1，a，b，7，9，且 a、b是方程 x2 8x 15 0的两根，则这组样本数据的方差是 .
13. 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2， N 为 AB中点，M 为BB1中点，则异面直线DN与CM 所成角的
余弦值为 .
14. 如图所示，直角三角形 ABC所在平面垂直于平面 ，一条直角边
π
AC 3在平面 内，另一条直角边 BC长为 且 BAC ，若平
3 6
面 3上存在点 P，使得 ABP的面积为 ，则线段CP长度的最
3
小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 已知复数 z1 a 2i, z2 b i（a,b R, i为虚数单位）.
(1)若b 2, z1 z2是纯虚数，求 z1 z2 的值；(2)若 z1
2
z2 ，求实数 a,b的值.
16. (15分) 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城
市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本
数据按 30,40 ， 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 分成
6组，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)求图中 a 的值；
(2)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中
的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得
到表彰．
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17. (15分) 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA 平面 ABCD，且PA AD 2，点E
为线段 PD的中点.
(1)求证： PB / /平面 AEC；
(2)求证： AE 平面 PCD；
(3)求三棱锥 A PCE的体积.
A A A 1
18. (17分) 在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 cos 3sin cos .2 2 2 2
(1)求角 A；
(2)D为边 BC上一点，DA BA，且 BD 4DC，求 cosC .
19. (17 分) 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图 1，由射线
PA、PB、PC构成的三面角 P ABC， APC ， BPC ， APB ，二面角 A PC B的大
小为 ，则 cos cos cos sin sin cos ．
(1)如图 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A1AC 60 ， BAC 45 ，
求 A1AB的余弦值；
π (2)当 、 0, 时，证明以上三面角余弦定理；
2
(3)如图3，斜三棱柱 ABC - A1B1C1中侧面 ABB1A1，BCC1B1， ACC1A1的面积分别为 S1， S2 ， S3 ，记二
面角 A CC1 B，二面角 B AA1 C ，二面角C BB1 A的大小分别为 1， 2， 3，试猜想正弦
定理在三维空间中推广的结论，并证明．
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