2023-2024学年北京师范大学第二附属中学高二下学期5月月考数学 （PDF版，含解析）

2024北京北师大二附中高二 5月月考
数 学
一、单选题
1．若数列 2，a，b，c， 8是等比数列，则实数 的值为（ ）
A．4 或 4 B． 4 C．4 D． 5
1
2．已知首项为 1 的数列{ }中， +1 = 1 + ，则 5 =（ ）
5 8 13
A． B． C． D．2
3 5 8
3．曲线 ( ) = 3 2 e 在(0, (0))处的切线方程为（ ）
A． + + 1 = 0 B． + 1 = 0
C． 1 = 0 D． + 1 = 0
1
4．在数列{ }中， = 1 （ ≥ 2），若 1 = 2，则 2024 =（ ） 1
1 1
A．2 B． C． D． 1
2 2
ln
5．函数 = 的单调递增区间为（ ）

A．( ∞,e) B．(0,e) C．(1, +∞) D．(e, +∞)
6．已知等差数列{ }的前 项和为 , 3 + 4 + 14 = 6，则 13 =（ ）
A．14 B．26 C．28 D．32
3
7．某同学进行投篮练习，若他第 1 球投进，则第 2 球投进的概率为 ；若他第 1 球投不进，则第 2 球投进
4
1 2
的概率为 . 若他第 1 球投进的概率为 ，则他第 2 球投进的概率为（ ）
4 3
7 1 5 2
A． B． C． D．
12 2 12 3
π π
8．已知函数 ( ) = sin , ∈ ，则 ( ) , (1), ( )的大小关系为（ ）
5 3
π π π π
A． ( ) > (1) > ( ) B． (1) > ( ) > ( )
3 5 3 5
π π π π
C． ( ) > (1) > ( ) D． ( ) > ( ) > (1)
5 3 3 5
9．在某电路上有 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概率为 0.3，需要更换 元件
的概率为 0.2，则在某次通电后 有且只有一个需要更换的条件下， 需要更换的概率是（ ）
12 15 3 2
A． B． C． D．
19 19 5 5
10．已知常数 ∈ (0,1)，数列{ }满足 =
( ∈ N*).现给出下列四个命题：
1
①当 = 时，数列{
2
}为递减数列；
1
②当0 < < 时，数列{ }为递减数列； 2
1
③当 < < 1时，数列{
2
}不一定有最大项；
第1页/共9页

④当 为正整数时，数列{ }必有两项相等的最大项. 1
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．②④
二、填空题
11．设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的 10 个，其中 3 个红色，7 个蓝色；“红
星”牌的 6 个，其中 2 个红色，4 个蓝色．现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是
“红星”牌的概率是 ．
12．设 为数列{ }的前 项和，且
2
= ，则 5 = ；数列{ }的通项公式 = .
13．函数 = 2 3 3 2 12 + 5在区间[0,3]上的最大值是 ；最小值是 ．
14．盲盒，是一种新兴的商品. 商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买
时不知道自己买到的是哪一款商品. 现有一商家设计了同一系列的 A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售卖，
已知 A、B、C三款玩偶的生产数量比例为 6：3：1. 以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买 4
个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为 .
15．数列{ }满足： 1 + +1 > 2 ( > 1, ∈
*)，给出下述命题：
①若数列{ }满足： 2 > 1，则 >
*
1 ( > 1, ∈ )成立；
②存在常数 ，使得 > ( ∈
*)成立；
③若 + > + (其中 , , , ∈ *)，则 + > + ；
④存在常数 ，使得 * > 1 + ( 1) ( ∈ )都成立．
上述命题正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
16．已知数列{ }的前 项和为 ， +1 = + 2， 4 + 7 = 6．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求 的最大值并指明相应 的值．
17．如图，已知在正三棱柱 1 1 1中， 1 = = 2，且点 , 分别为棱
1, 1 1的中点.
(1)过点 , , 作三棱柱截面交 1 1于点 ，求线段 1 长度；
(2)求平面 与平面 1 1的夹角的余弦值.
18．为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区 8 所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级
为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过 40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总
第2页/共9页
人数的比例如下表:
比例 学校
学校 A 学校 B 学校 C 学校 D 学校 E 学校 F 学校 G 学校 H
等级
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
(1)从 8 所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；
(2)从 8 所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于 30%的学校个数为 X,求 X的分布列；
(3)设 8 所学校优秀比例的方差为 21 ,良好及其以下比例之和的方差为
2 2 2
2 ,比较 1与 2的大小.(只写出结果)
2 2
19．已知 1( 2,0), 2(2,0)分别是椭圆 : 2 + = 1( > > 0)的左 右焦点， 是椭圆 上的一点，当 2
1 ⊥ 1 2时，| 2| = 3| 1|.
(1)求椭圆 的方程；
(2)记椭圆 的上下顶点分别为 , ，过点(0,3)且斜率为 的直线 与椭圆 交于 , 两点，证明：直线 与
的交点 在定直线上，并求出该定直线的方程.
20．已知函数 ( ) = ( 1)ln .
(1)当 = 1时，求函数 ( )在[1,e]上的最值；
| ( )+ln |
(2)若函数 ( ) = 在[ 1,e]上单调递减，求实数 的取值范围. e
21．有限数列{ }，若满足| 1 2| ≤ | 1 3| ≤ ≤ | 1 |， 是项数，则称{ }满足性质 .
（1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质 ，请说明理由.
（2）若 1 = 1，公比为 的等比数列，项数为 10，具有性质 ，求 的取值范围.
（3）若 是1,2, . . . , 的一个排列( ≥ 4), = +1( = 1,2. . . 1), { }, { }都具有性质 ，求所有满
足条件的{ }.
第3页/共9页
参考答案
一、单选题
1．【答案】B
【详解】∵ 2，a，b成等比数列，则 2 = 2 > 0，∴ < 0由题意得： 2 = 2 × ( 8) = 16，则 =
4
2．【答案】B
1 1 1 3
【详解】∵ 1 = 1，∴ 2 = 1 + = 2， 3 = 1 + = 1 + = ， 1 2 2 2
1 2 5 1 3 8
4 = 1 + = 1 + = ， 3 3 5
= 1 + = 1 + = .故选:B.
3 4 5 5
3．【答案】A
【详解】 ′( ) = 6 e ，则 ′(0) = 1，又 (0) = 3 × 02 e0 = 1，
则所求切线方程为 + 1 = ，即 + + 1 = 0．故选：A．
4．【答案】B
1 1
【详解】 1 = 2, 2 = 1 = , 3 = 1 2 = 1, 4 = 1 + 1 = 2, ，由此可以发现数列{ }的周期是 3， 2 2
1
从而 2024 = 674×3+2 = 2 = .故选：B. 2
5．【答案】B
1 ln
【详解】定义域为(0, +∞)， ′ = 2 ，令
′ > 0得ln < 1，即0 < < e，所以增区间为(0,e).故选：B

6．【答案】B
【详解】设等差数列{ }的公差为 ，则 3 + 4 + 14 = 3 1 + 18 = 3( 1 + 6 ) = 3 7 = 6，
则 7 = 2，所以 13 = 13 7 = 26.故选：B.
7．【答案】A
3 1
【详解】设 , 分别代表事件“第 1 球投进”和“第 2 球投进”，则由已知条件知 ( | ) = ， ( | ) = ，
4 4
2 2 1 3 2 1 1 7
( ) = ，这得到 ( ) = 1 ( ) = 1 = .故 ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = + = .故
3 3 3 4 3 4 3 12
选：A.
8．【答案】A
π
【详解】 ( ) = sin , ∈ ，则 ′( ) = sin + cos ，则0 < < 时， ′( ) > 0， ( ) = sin 单调递
2
增，
π π π π π
又0 < < 1 < < ，则 ( ) > (1) > ( ).故选：A
5 3 2 3 5
9．【答案】A
【详解】记事件 为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件 为 需要更换，
则 ( ) = 0.3 × (1 0.2) + (1 0.3) × 0.2 = 0.38, ( ) = 0.3 × (1 0.2) = 0.24，
( ) 0.24 12
由条件概率公式可得 ( | ) = = = .
( ) 0.38 19
故选：A.
第4页/共9页
10．【答案】D
1 1 1 1
【详解】对于①：当 = 时， = ( ) ， 1 = ， 2 = ，所以数列{ }不是递减数列，所以①不正2 2 2 2
确；
1 ( +1) +1 ( +1) +1
对于②：当0 < < 时， +1 = = < ≤ 1，所以
2 2 +1
< 数列{ }为递减数列，②正

确；
1 ( +1) +1 ( +1) ( +1) 2 2
对于③：当 < < 1时， +1 = = 因为 < ≤ 2 ，当 = 时， = ( ) ， =2 3 3 1
2 2 2 8 2 3 8 2 4 64 2 5 160
< 2 = 2 × ( ) = ， = 3 × ( ) = > = 4 × ( ) = > = 5 × ( ) = > ， 3 3 9 3 3 9 4 3 34 5 3 35
8
所以数列{ }有最大项 2 = 3 = ，故③不正确； 9
( +1) +1 +1 ( +1) 1 1对于④： = = ，当 为正整数时， ≤ < 1.当 = 时， = 1 2 2 1 2
> 3 > 4 > ；当

1 ( +1) +1 ( +1) (1+ )
< < 1时，令 = ( ∈ N )，解得 = ， +1 =
2 1 1+
= = ，
(1+ )

若 < ，则 +1 > 1，数列{ }单调递增；若 > ，则
+1 < 1，数列{

}单调递减；若 = ， +1 =

；
所以数列{ }必有两项相等的最大项，故④正确.故选：D
二、填空题
4
11．【答案】
11
【详解】设取到的球是蓝色球为事件 ，取到的球是“红星”牌玻璃球为事件 ，
11 4 ( ) 4 4
则 ( ) = ， ( ) = ，所以 ( | ) = = ，故答案为： .
16 16 ( ) 11 11
12．【答案】 8 2 2
【详解】由 2 = ，当 = 1时， 1 =
2
1 = 0，当 ≥ 2时， = 1 = ( 1)
2 +
( 1) = 2 2，当 = 1时，上式成立，所以 = 2 2， 5 = 8.故答案为：8；2 2.
13．【答案】 5 15
【详解】由 = 2 3 3 2 12 + 5，求导得 ′ = 6 2 6 12 = 6( 2)( + 1)，
而 ∈ [0,3]，则当0 < < 2时， ′ < 0，当2 < < 3时， ′ > 0，
因此函数 = 2 3 3 2 12 + 5在区间[0,2]内单调递减，在区间[2,3]内单调递增，
函数 = 2 3 3 2 12 + 5在 = 2处取到极小值 15，
当 = 0时， = 5，当 = 3时， = 4，则函数 = 2 3 3 2 12 + 5在 = 0处取到极大值 5
所以函数 = 2 3 3 2 12 + 5在区间[0,3]上的最大值是 5，最小值是 15.故答案为：5； 15
27
14．【答案】0.216/
125
【详解】由题意得，买到 A得概率为 0.4，买的 B的概率为 0.3，买到 C的概率为 0.1，
C14 × 0.6 × C
1
3 × 0.3 × C
2
2 × 0.1
2 + C14 × 0.6 × C
2
3 × 0.3
2 × 0.1 + C2 × 0.62 × C14 2 × 0.3 × 0.1 = 0.216.
15．【答案】①④．
【详解】试题分析：对①；因为 2 > 1，所以 2 1 > 0，由已知 +1 > 1，
第5页/共9页
所以 +1 > 1 > > 2 1 > 0，即 > 1，正确
+
对②； 假设存在在常数 ，使得 > ，则有 <
+1
< ，所以 1 + +1应有最大值，错， 2
+ +
对③，因为 + > + ， > ，所以假设 + > + ，则应有 + > + ，即原数列应为2 2 2 2
( 1)
递增数列，错，对④，不妨设 1 = 1， +1 = ，则 = + 1，若存在常数 ，使得 2
> 1 +

( 1) ，应有 < 1 = ，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．
1 2
三、解答题
16．【详解】（1）因为 +1 = + 2，即 +1 = 2，即 +1 = 2，即 +1 = 2，
所以数列{ }是公差为 2的等差数列，由 4 + 7 = 6，可得2 1 + 9 × ( 2) = 6，解得 1 = 12，
所以 = 12 2( 1) = 14 2 ；
1 2 13
2 169
（2）由（1）可得 = (12 + 14 2 ) = 13 = ( ) + ，当 = 6或7时， 2 2 4
取得最大值
42．
17．【详解】（1）由正三棱柱 1 1 1中， 1 = = 2，
又因为点 , 分别为棱 1, 1 1的中点，可得 = = √5，
如图所示，延长 交 1的延长线于 点，
连接 交 1 1于点 ，则四边形 为所求截面，
过点 作 的平行线交 1于 ，所以△ 1 ∽△
2 4 2
因此 = 1 = 1 = ，所以 = , = .
3 1 3 1 3
（2）以点 为原点，以 , 1所在的直线分别为 , 轴，
以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 = 2，可得 (0,0,0), (0,1,2), (√3, 1,1)，
则 = (0,1,2), = (√3, 1,1)，设平面 的法向量为 = ( , , )，则
= √3 + + = 0, 1 1{ 取 = 1，则 = 2, = ，所以 = ( , 2,1)，
= + 2 = 0, √3 √3
取 的中点 ，连接 .因为△ 为等边三角形，可得 ⊥ ，
又因为 1 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ 1，
因为 ∩ 1 = ，且 , 1 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，
√3 3 √3 3
又由 ( , , 0)，可得 = ( , , 0)，
2 2 2 2
所以平面 1 1的一个法向量为 = (√3, 3,0)，
设平面 与平面 1 1的夹角为 ，
| | 5 5
则cos = |cos , | = = ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
| || | 8 1 1 8
18．【详解】解:( 1)8 所学校中有 ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过
40% ,
1
所以从 8 所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为 ；
2
第6页/共9页
(2)8 所学校中,学生不及格率低于 30%的学校有学校 B F H三所,所以 X的取值为 0,1,2.
25 5
( = 0) = 2 = 8 14
15
1
3 15 ( = 1) = 2 = 8 28
23 3
( = 2) = =
28 28
所以随机变量 X的分布列为：
X 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28
(3)设优秀的比例为随机变量 Y，则良好及以下的比例之和为 Z=1-Y，
则 ( ) = ( )，
所以： 2 21 = 2 .
3
19．【详解】（1）由椭圆的定义得| 1| + | 2| = 2 ，且| 2| = 3| 1|，得到| 1| = ，| 2| = ， 2 2
因为 2 2 2 21 ⊥ 1 2，所以| 1| + | 1 2| = | 2| ，解得 = 8，所以
2 = 2 2 = 4，
2 2
故所求的椭圆方程为 + = 1；
8 4
（2）由题意得 (0,2), (0, 2)，直线 的方程 = + 3，设
( 1, 1), ( 2, 2)，
= + 3
联立{ 2 2 ，消去 ，整理得(1 + 2 2) 2 + 12 + 10 = 0，
+ = 1
8 4
12 10
Δ = 64 2 40 > 0, 1 + 2 = , = ， 1+2 2 1 2 1+2 2
2
2 = 2
2 +2
直线 的方程为 2 = 2 ，直线 的方程为 + 2 = 1 ，联立{ 2 ，
2 1 + 2 = 1
+2

1
10 12
2 ( 2 2) 1 ( 2+3 2) 1 1 2+ 1 1 2+ 1+ 2 +( + ) 2 1 2 1 2 2 2+( 2) 2 1得 = = = = = = 1+2 1+2 = ，
+2 ( 1+2) 2 ( 1+3+2) 2 1 2+5 2 1 2+5 +5
10
2 1 2 2
1+2 2
+5 2 5
4 4
解得 = ，即直线 与 的交点 在定直线 = 上.
3 3
20．【详解】（1） = 1时， ( ) = ( 1)ln 1，则 ′
1
( ) = ln + 1

1
′( ) = ln + 1 在[1,e]上单调递增，又 ′(1) = 0，则 ′( ) ≥ 0.∴ ( )在[1,e]上单调递增，

∴ ( )min = (1) = 1， ( )max = (e) = e 2.
| ln |
（2） ( ) = ， ∈ [1,e]记 ( ) = ln ， ∈ [1,e]，则 ′( ) = ln + 1 ≥ 1，
e
则 ( )在[1,e]上单调递增，又 (1) = ， (e) = e .
ln
①当 ≥ 0即 ≤ 0时， ( ) = ， ∈ [1,e] e
由 ( )在[1,e]上单调递减，
第7页/共9页
′ (1 )ln + +1可知 ( ) = ≤ 0在[1,e]上恒成立， e
则 ≤ [( 1)ln 1]min，又由（1）知[( 1)ln 1]min= 1，
故实数 的取值范围为 ≤ 1.
ln +
②当e ≤ 0即 ≥ e时， ( ) = ， ∈ [1,e] e
由 ( )在[1,e]上单调递减，
′ ( 1)ln 1可知 ( ) = ≤ 0在[1,e] 上恒成立， e
则 ≥ [( 1)ln 1]max，又由（1）知[( 1)ln 1]max = e 2，
则 ≥ e 2，又 ≥ e，故实数 的取值范围为 ≥ e.
③当 < 0 < e 即0 < < e时，有 (1) = < 0， (e) = e > 0.
则存在唯一实数 0 ∈ (1,e)，使得 ( 0) = 0，
当 ∈ ( 0,e)时， ( ) > 0 = ( 0)与 ( )在[1,e]上单减矛盾，此时不符合题意要求.
综上可知， 的取值范围为 ≤ 1或 ≥ e.
21．【详解】（1）对于第一个数列有|2 3| = 1, |5 3| = 2, |1 3| = 2，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有|3 4| = 1, |2 4| = 2, |5 4| = 1不满足题意，该数列不满足性质 .
（2）由题意可得，| 1| ≥ | 1 1|, ∈ {2,3, . . . ,9}
两边平方得： 2 2 + 1 ≥ 2 2 2 1+1
整理得：( 1) 1[ 1( + 1) 2] ≥ 0
当 ≥ 1时，得 1( + 1) 2 ≥ 0， 此时关于 ≥ 2恒成立，
所以等价于 = 2时 ( + 1) 2 ≥ 0，所以( + 2)( 1) ≥ 0，
所以 ≤ 2或者 ≥ 1，所以取 ≥ 1.
当0 < < 1时，得 1( + 1) 2 ≤ 0， 此时关于 恒成立，
所以等价于 = 2时 ( + 1) 2 ≤ 0，所以( + 2)( 1) ≤ 0，
所以 2 ≤ ≤ 1，所以取0 < ≤ 1.
当 1 ≤ < 0时，得 1 1 [ ( + 1) 2] ≤ 0.
当 为奇数的时候，得 1( + 1) 2 ≤ 0， 很明显成立，
当 为偶数的时候，得 1( + 1) 2 ≥ 0， 很明显不成立，
故当 1 ≤ < 0时，矛盾，舍去.
当 < 1时，得 1[ 1 ( + 1) 2] ≤ 0.
当 为奇数的时候，得 1( + 1) 2 ≤ 0， 很明显成立，
当 为偶数的时候，要使 1( + 1) 2 ≥ 0恒成立，
所以等价于 = 2时 ( + 1) 2 ≥ 0，所以( + 2)( 1) ≥ 0，
所以 ≤ 2或者 ≥ 1，所以取 ≤ 2.
综上可得， ∈ ( ∞, 2] ∪ (0,+∞).
（3）设 1= ， ∈ {3,4, … , 3, 2}，
因为| 1 2| ≤ | 1 3| ≤ ≤ | 1 |， 故| 1 2| = 1，
第8页/共9页
所以 2可以取 1或者 + 1，
若 1 = ， 2 = 1，则 3 = + 1，
故 4 = + 2或 4 = 2（舍，因为| 3 2| > | 4 2|），
所以 5 = 2（舍，因为| 3 2| > | 5 2|）.
若 1 = ， 2 = + 1，则 3 = 1，
故 4 = + 2（舍，因为| 3 2| > | 4 2|），或 4 = 2
所以 5 = + 2（舍，因为| 3 2| > | 5 2|）.
所以 ∈ {3,4,… , 3, 2}均不能同时使{ }，{ }都具有性质 .
当 = 1时，即有 2 1 ≤ 3 1 ≤ ≤ 1，
故 2 ≤ 3 ≤ ≤ ，故 2 = 2, 3 = 3, , = ，
故有数列{ }：1,2,3,… , 1, 满足题意.
当 = 2时，则 2 = 1且1 ≤ 3 2 ≤ ≤ 2，故 3 = 3, , = ，
故有数列{ }：2,1,3,… , 1, 满足题意.
当 = 时， 1 2 ≤ 1 3 ≤ ≤ 1 ，
故 2 ≥ 3 ≥ ≥ ，故 2 = 1, 3 = 2, , = 1，
故有数列{ }： , 1,… ,3,2,1满足题意.
当 = 1时，则 2 = 且1 ≤ 1 3 ≤ ≤ 1 ，
故 3 = 2, , = 1，故有数列{ }： 1, , 2, 3,… ,3,2,1满足题意.
故满足题意的数列只有上面四种.
第9页/共9页