湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高一下学期期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．3π
2．（5分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．＝（1，2），
C．，
D．，
3．（5分）已知i为虚数单位，复数，则z＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．（5分）已知，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝3sin（2x+）+1，，则下列结论正确的是（　　）
A．g（x）的图像关于直线对称
B．f（x）的图像关于点对称
C．g（x）在区间上单调递增
D．将f（x）的图像向右平移个单位长度可以得到g（x）的图像
7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝6，b＝x，，若满足条件的角A有两个不同的值，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．（0，6）
8．（5分）已知，，则sinα＝（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知复数z＝x+yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，在复平面内z对应的点为Z，则下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时，z为纯虚数
B．满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C．z的虚部为y
D．若b，c∈R且复数3+2i是方程x2+bx+c＝0的一个根，则方程x2+bx+c＝0的另一个复数根为3﹣2i
（多选）10．（6分）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），则下列说法正确的是（　　）
A．A＝3
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
（多选）11．（6分）在△ABC中，，，AB＝4，AC＝3，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，则
B．若，则
C．
D．当λ＜0且时，若点M为平面ABC内任意一点，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点O（0，0），向量＝（1，2），＝（5，8），若点B是线段AP靠近点P的三等分点，则点P的坐标为 　 　．
13．（5分）cos324°cos276°﹣sin36°sin96°＝　 　．
14．（5分）已知函数cosωx（ω＞0），若在闭区间[π，2π]上存在x1，x2（x1≠x2）使f（x1）+f（x2）＝3成立，则ω的取值范围为 　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知||＝5，||＝2，（+3） （﹣2）＝6．
（1）求与的夹角；
（2）若向量为在上的投影向量，求|+|．
16．（15分）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B处，在B测得山顶P的仰角为γ．
（1）若a＝100，α＝45°，β＝30°，γ＝60°，求山的高度；
（2）若a＝100，PC＝25，α＝30°，γ＝60°，求β的余弦值．
17．（15分）已知将曲线y＝cosx上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度得到函数f（x）的图像．
（1）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；
（2）已知，，，，求α+β的值．
18．（17分）已知函数f（x）＝2+1，ω＞0，x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝2的交点中，若相邻交点的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[，π]，解不等式f（x）≥﹣；
（3）若，且关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a＝0有三个不等的实根，求实数a的取值范围．
19．（17分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，＝tanA+tanB，b＝c+2．
（1）求角A；
（2）若△ABC的内切圆半径为，求边长c；
（3）若△ABC为钝角三角形，点O为平面ABC内一点且满足＝0，求||的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．3π
【分析】由已知结合正切函数的周期公式即可求解．
【解答】解：根据正切函数的性质可知，的最小正周期T＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．
2．（5分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．，
B．＝（1，2），
C．，
D．，
【分析】由已知结合向量共线的坐标表示检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A：因为，即，故不能作为基底，A错误；
对于B：因为是零向量，故不能作为基底，B错误；
对于C：因为1×4﹣2×3≠0，即与为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确；
对于D：因为，即，故不能作为一组基底，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量共线的坐标表示及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
3．（5分）已知i为虚数单位，复数，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4．（5分）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】不妨设a＝4，b＝6，c＝8，可得C是最大角．根据余弦定理，算出cosC是负数，从而得到角C是钝角，由此得到此三角形为
钝角三角形．
【解答】解：三角形的三边长分别为4、6、8，
不妨设A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝6，c＝8
∵c＝8是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC＝＝＜0
∵C∈（0，π）
∴角C是钝角，可得△ABC是钝角三角形
故选：D．
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和余弦函数的取值等知识，属于基础题．
5．（5分）已知，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
【解答】解：因为，
所以＝＝tanα＝，
则tan2α＝＝＝﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝3sin（2x+）+1，，则下列结论正确的是（　　）
A．g（x）的图像关于直线对称
B．f（x）的图像关于点对称
C．g（x）在区间上单调递增
D．将f（x）的图像向右平移个单位长度可以得到g（x）的图像
【分析】结合正弦函数的对称性检验选项A，B，结合余弦函数的单调性检验选项C；结合三角函数图象的变换检验选项D．
【解答】解：因为g（）＝3cos+1＝1不是函数的最值，A错误；
因为f（﹣）＝1，即f（x）的图象关于（﹣，1）对称，B错误；
当时，，
因为y＝cost在（0，）上单调递减，
所以g（x）在区间上单调递减，C错误；
将f（x）＝3sin（2x+）+1的图像向右平移个单位长度可得y＝3sin（2x﹣+）+1＝3sin（2x+）+1＝3cos（2x﹣）+1，
即可得函数的图像，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数及余弦函数性质的综合应用，还考查了函数图象的变换，属于中档题．
7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝6，b＝x，，若满足条件的角A有两个不同的值，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．（0，6）
【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：若△ABC满足条件的角A有两个不同的值，即三角形有两解，
故．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知，，则sinα＝（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由已知结合同角基本关系先求出sin（），然后结合两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为，，
所以﹣＜，
所以sin（）＝﹣，
则sinα＝sin（）＝sin（）+cos（）＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知复数z＝x+yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，在复平面内z对应的点为Z，则下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时，z为纯虚数
B．满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C．z的虚部为y
D．若b，c∈R且复数3+2i是方程x2+bx+c＝0的一个根，则方程x2+bx+c＝0的另一个复数根为3﹣2i
【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解．
【解答】解：对于A，当y＝0时，z不为纯虚数，故A错误；
对于B，|z|＝2，
则x2+y2＝4，
故满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确；
对于C，z的虚部为y，故C正确；
对于D，b，c∈R且复数3+2i是方程x2+bx+c＝0的一个根，则方程x2+bx+c＝0的另一个复数根为3﹣2i，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
（多选）10．（6分）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），则下列说法正确的是（　　）
A．A＝3
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
【分析】根据d与时间t之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K，求出A、K和T、ω与φ，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：P到水面的距离为d与时间t之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+K，
其中A＝3，K＝1.5，T＝40，所以ω＝＝＝，选项A正确；
因为t＝0时，d＝3sinφ+1.5＝0，解得sinφ＝﹣，
又因为﹣＜φ＜，所以φ＝﹣，选项B错误；
所以d＝3sin（t﹣）+1.5，
令d＝﹣1.5，得3sin（t﹣）+1.5＝﹣1.5，解得sin（t﹣）＝﹣1，
所以t﹣＝，解得t＝，
所以盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C正确；
由d≤0，得3sin（t﹣）+1.5≤0，得sin（t﹣）≤﹣，
所以+2kπ≤t﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得+40k≤t≤40+40k，k∈Z，
所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，，，AB＝4，AC＝3，，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，则
B．若，则
C．
D．当λ＜0且时，若点M为平面ABC内任意一点，则
【分析】选项A和B，结合平面向量的基本定理与线性运算法则，即可判断；选项C，由，知＝2，采用等面积法，求得sin∠DAB＝，再根据角的范围，即可判断；选项D，在△ACE中，利用余弦定理求得CE2，设CE的中点为N，连接MN，由＝﹣，求解即可．
【解答】解：选项A，因为，所以＝+，
当时，＝，
所以＝＝（+）﹣＝﹣+，即选项A正确；
选项B，＝＝λ（+）﹣＝（﹣1）+，
若，则＝﹣+m（﹣）＝（﹣﹣m）+m，
所以，解得λ＝，m＝，即选项B正确；
选项C，由题意知，S△ABD＝AB ADsin∠DAB，S△ACD＝AC ADsin∠DAC，
由知，sin∠DAC＝，
因为，所以＝2，
所以，即，
所以sin∠DAB＝，
因为＞，所以∠DAC＜，
所以∠DAB∈（0，），所以∠DAB＝或，即选项C错误；
选项D，由知，cos∠CAE＝﹣，
在△ACE中，由余弦定理知，CE2＝AE2+AC2﹣2AE ACcos∠CAE＝1+9﹣2×1×3×（﹣）＝10+2，
设CE的中点为N，连接MN，
则＝[﹣]＝（4﹣）＝﹣＝﹣≥﹣，当且仅当M与N重合时，等号成立，即选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量的综合应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则，余弦定理与三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点O（0，0），向量＝（1，2），＝（5，8），若点B是线段AP靠近点P的三等分点，则点P的坐标为 　（7，11）　．
【分析】设出点P的坐标，用坐标表示、，根据题意列方程组求解即可．
【解答】解：设点P（x，y），则＝﹣＝（x﹣1，y﹣2），＝﹣＝（4，6），
由题意知，＝，即（4，6）＝（x﹣1，y﹣2），
所以，解得，所以点P的坐标为（7，11）．
故答案为：（7，11）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
13．（5分）cos324°cos276°﹣sin36°sin96°＝　﹣　．
【分析】由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：cos324°cos276°﹣sin36°sin96°
＝cos36°sin6°﹣sin36°cos6°
＝sin（﹣30°）＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知函数cosωx（ω＞0），若在闭区间[π，2π]上存在x1，x2（x1≠x2）使f（x1）+f（x2）＝3成立，则ω的取值范围为 　[，]∪[，+∞）　．
【分析】由两角差的正弦公式，可得函数的解析式，满足条件，则f（x1）和f（x2）都达到最大值，求出ωx1＝+2kπ，ωx2＝+2kπ，k∈Z，由x的范围，可得ω的范围．
【解答】函数cosωx＝3sinωxcos﹣3cosωxsin+cosωx＝sinωx，
要使f（x1）+f（x2）＝3成立，
若闭区间[π，2π]上存在x1，x2（x1≠x2），
则ωx1，ωx2∈[ωπ，2ωπ]，设x1＜x2，
则ωx1＝+2kπ，ωx2＝+2kπ，k∈Z，
则ωπ≤+2kπ，且+2kπ≤2ωπ，k∈Z，
+k≤ω≤+2k，k∈Z，
可得k≤0，显然不成立，即不满足条件；
当k＝1时，≤ω≤，
当k≥2时，都符合条件，即ω≥；
综上所述：ω的范围为[，]∪[，+∞）．
故答案为：[，]∪[，+∞）．
【点评】本题考查两角和的正弦公式的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知||＝5，||＝2，（+3） （﹣2）＝6．
（1）求与的夹角；
（2）若向量为在上的投影向量，求|+|．
【分析】（1）结合平面向量的数量积运算，即可求解；
（2）结合投影向量的公式，并对所求向量模平方并开方，即可求解．
【解答】解：（1）||＝5，||＝2，（+3） （﹣2）＝6，
则，即25+，解得，
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则cosθ＝，解得，
故与的夹角为；
（2）向量为在上的投影向量，
则＝，
故|+|＝＝＝．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16．（15分）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B处，在B测得山顶P的仰角为γ．
（1）若a＝100，α＝45°，β＝30°，γ＝60°，求山的高度；
（2）若a＝100，PC＝25，α＝30°，γ＝60°，求β的余弦值．
【分析】（1）过点B作BD⊥AQ于点D，易得CQ＝BD＝50，AD＝50，设DQ＝BC＝x，根据PQ＝AQ，可得关于x的方程，解之，再求得PQ的长即可；
（2）在Rt△ABD中，可得CQ＝BD＝100sinβ，AD＝100cosβ，根据AQ＝PQ，推出sinβ﹣cosβ＝﹣，结合sin2β+cos2β＝1以及β的取值范围，求得cosβ的值即可．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AQ于点D，则四边形BCQD是矩形，
在Rt△ABD中，AB＝100，β＝30°，
所以CQ＝BD＝50，AD＝50，
设DQ＝BC＝x，
在Rt△PBC中，γ＝60°，
所以PC＝x，
在Rt△APQ中，α＝45°，
所以PQ＝AQ，即PC+CQ＝AD+DQ，
所以x+50＝50+x，解得x＝50，
所以山的高度为PQ＝PC+CQ＝50+50＝50（+1）．
（2）在Rt△ABD中，AB＝100，
所以CQ＝BD＝100sinβ，AD＝100cosβ，
在Rt△PBC中，PC＝25，γ＝60°，
所以DQ＝BC＝25，
在Rt△APQ中，α＝30°，
所以AQ＝PQ，即AD+DQ＝（PC+CQ），
所以100cosβ+25＝（25+100sinβ），
整理得sinβ﹣cosβ＝﹣，
又sin2β+cos2β＝1，
所以（）2+cos2β＝1，整理得16cos2β﹣4cosβ﹣11＝0，
所以cosβ＝＝，
因为β＜α＝30°，
所以cosβ＝．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（15分）已知将曲线y＝cosx上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度得到函数f（x）的图像．
（1）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；
（2）已知，，，，求α+β的值．
【分析】（1）结合三角函数图象变换求出f（x），然后结合余弦函数的单调性即可求解；
（2）由已知可先求出tanα，tanβ，然后结合两角和的正切公式求出tan（α+β），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）＝cos（2x﹣），
令，k∈Z，
则k，k∈Z，
所以函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，]和[，π]；
（2）因为＝，
所以tanα＝，
因为＝cosβ，，
所以sinβ＝＝，tanβ＝2，
又，tan（α+β）＝＝＝1，
所以α+β＝．
【点评】本题主要考查了三角函数图象变换，还考查了余弦函数单调性的应用，同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝2+1，ω＞0，x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝2的交点中，若相邻交点的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[，π]，解不等式f（x）≥﹣；
（3）若，且关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a＝0有三个不等的实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求ω，即可求解函数解析式；
（2）结合正弦函数的性质即可求解不等式；
（3）由已知方程可得f（x）＝1或f（x）＝a，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝2+1，
＝sinωx﹣cosωx＝2sin（），
由题意可得，T＝π，
故ω＝2，f（x）＝2sin（2x﹣）；
（2）由不等式f（x）＝2sin（2x﹣）≥﹣可得，sin（2x﹣），
解得﹣，k∈Z，
所以﹣+kπ，k∈Z，
因为x∈[，π]，
所以或，
故x的范围为{x|或}；
（3）关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a＝0有三个不等的实根，
则f（x）＝1或f（x）＝a有三个不等实根，
因为，
结合函数图象可知，f（x）＝1有一个根，
故f（x）＝a有两个不等实数根，
所以﹣2＜a≤﹣1，
故a的范围为（﹣2，﹣1]．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质在三角不等式求解中的应用，由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
19．（17分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，＝tanA+tanB，b＝c+2．
（1）求角A；
（2）若△ABC的内切圆半径为，求边长c；
（3）若△ABC为钝角三角形，点O为平面ABC内一点且满足＝0，求||的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理及同角三角的基本关系式，转化求解即可；
（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，又b＝c+2，设△ABC的内切圆半径为r，则r＝，因为△ABC的面积S＝bcsinA＝（a+b+c）r，可得bc＝a+b+c，解方程可求解；
（3）由题意可得O为△ABC外接圆圆心，利用余弦定理及b＝c+2得a2＝c2+2c+4，由△ABC是钝角三角形，得到a2＜4c+4，结合正弦定理求解△ABC外接圆半径的取值范围即可．
【解答】解：（1）由正弦定理及＝tanA+tanB得：
＝+＝＝＝，
因为角A，B，C是△ABC的内角，
所以，即tanA＝，
因为A∈（0，π），所以A＝．
（2）由（1）知A＝，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，
又b＝c+2，所以a2＝（c+2）2+c2﹣（c+2）c＝c2+2c+4①，
设△ABC的内切圆半径为r，则r＝，
因为△ABC的面积S＝bcsinA＝（a+b+c）r，
所以bc＝a+b+c，即（c+2）c＝+c+2+c，
整理得c3﹣5c﹣2＝0，即（c+2）（c2﹣2c﹣1）＝0，
因为c＞0，解得c＝1+．
（3）因为点O为平面ABC内一点，
设点D为AB的中点，点E为BC的中点，
则，，
又＝0，
所以，
所以O为线段AB和BC垂直平分线的交点，即O为△ABC外接圆圆心，
因为△ABC是钝角三角形，由b＝c+2，可知角B为钝角，所以a2+c2＜b2，
即a2+c2＜（c+2）2，得a2＜4c+4②，
由①②可得c2+2c+4＜4c+4，解得c＜2，所以0＜c＜2，
由a2＝c2+2c+4＝（c+1）2+3，得4＜a2＜12，即2＜a＜2，
设△ABC外接圆半径为R＝||，由正弦定理得2R＝∈（，4），
所以||的取值范围是（，2）．
【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，属于难题．