湖南省永州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（含解析）

湖南省永州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．展开式中的系数为（ ）
A． B．5 C．15 D．35
2．秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99
3．为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ）
A．26 B．25 C．24 D．23
4．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C．2 D．1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若随机变量服从标准正态分布，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．为了研发某种流感疫苗，某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：mg），体内抗体数量为y（单位：AU/mL）．根据散点图，可以得到回归直线方程为：．下列说法正确的是（ ）
A．回归直线方程表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的线性相关关系
B．回归直线方程表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的函数关系
C．回归直线方程可以精确反映体内抗体数量与抗体药物摄入量的变化趋势
D．回归直线方程可以用来预测摄入抗体药物后体内抗体数量的变化
11．下列结论正确的是（ ）
A．，则
B．
C．的展开式的第6项的系数是
D．的展开式中的系数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从7件不同的礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为 ．
13．若m，，，，则 ．（请用一个排列数来表示）
14．长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，已知四棱锥.
(1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
(2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.
16．某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．
(1)若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；
(2)若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数．
（ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）；
（ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数）
17．如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图，
注：年份代码分别对应年份.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明；
(2)建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
18．二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
(1)证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解.
【详解】若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
2．C
【分析】根据题意，由全概率和条件概率的公式计算即可.
【详解】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”，
由题意可得，，，
因为，
所以，解得，
所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为，
故选：C.
3．C
【分析】用插板法求得将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份的分法总数，再减去甲、乙两人分得的份数相同的分法总数，即可求解.
【详解】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，
而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，
所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.
故选：C
4．B
【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解.
【详解】因为，
由正态分布的对称性可知，
所以.
故选：B.
5．A
【分析】由赋值法求解即可.
【详解】令，则①，
令，则②，
②减①可得：.
故选：A.
6．B
【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数
【详解】经过变换得到.由题意，，，
所以回归方程的图象经过，从而，所以，.
故选：B
7．C
【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，以及相互独立事件的概念和计算，逐项求解，即可求解.
【详解】由条件概率的公式，可得或，故C正确；
因为，不相互独立，所以或，
，所以，所以A错误；
因为，
所以，故B错误；
由，
则，所以D错误.
故选：C.
8．C
【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果.
【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量；
变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强；
用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好.
故选：C
9．AD
【分析】由正态分布的对称性即可得出答案.
【详解】对于A，B,因为，所以，A正确，B错误
对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,,
故选：AD.
10．AD
【分析】根据回归方程的意义判断即可.
【详解】回归直线方程只能表示体内抗体数量与抗体药物摄入量之间的线性相关关系，不是函数关系，A正确，B错误，
回归直线方程不能精确反映体内抗体数量与抗体药物摄入量的变化趋势，但可以用来预测摄入抗体药物后体内抗体数量的变化，C错误，D正确.
故选：AD.
11．BD
【分析】根据组合数的性质，解不等式判断A，利用组合数的性质证明结论判断B，根据二项式展开式的通项公式求第6项，确定其系数，判断C，结合二项式展开式的通项公式及组合数性质求展开式中的系数，判断D.
【详解】对于A，因为，由组合数性质可得或，A错误，
对于B，，
所以，B正确，
对于C，展开式的第6项为，所以第6项的系数是，C错误，
对于D，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
所以的展开式中的系数为
，D正确，
故选：BD.
12．210
【分析】根据排列数的应用即可求解.
【详解】由题意，根据排列的定义可知一共有种．
故答案为:210．
13．
【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素分类求解即可.
【详解】从n个元素中选取m个元素排列到m个位置上去，
对于两个指定的元素进行分类，都被选出来，有种排法，
中有一个被选出来，有种排法，
都没有被选出来，有种排法，
所以．
故答案为：.
14．0.6/
【分析】利用全概率公式可得，求解即可.
【详解】设所求的概率为，由全概率公式得，，得．
故答案为：.
15．(1)60
(2)240
【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可.
（2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可.
【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，
所以共有种不同的涂色方法.
（2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，
所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）；
再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，
最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法.
根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法.
解法二：分两类.
第一类，A与C颜色相同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法；
第二类，A与C颜色不同，
由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
它们有种不同的涂色方法，
所以共有种不同的涂色方法.
根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法.
16．(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）19
【分析】（1）先设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A，事件A包括两种情况，分别算出概率即可.
（2）X的可能取值为1，2，3，…，19，20，21，由（1）可得，3，…，19的概率，因为19次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖，所以求的概率时，可以包括前18次没中第19次中了积分奖第20次一定中现金奖或前19次没中奖第20次中现金奖两种情况，分别写出概率列出分布列求期望即可.
【详解】（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A，
则事件A包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，
其中中了积分奖的概率为，
则，
所以直到第3次才抽到现金奖的概率为．
（2）（ⅰ）X的可能取值为1，2，3，…，19，20，21．
，
，，3，…，19，
，
，
所以X的分布列为
X 1 2 … i … 20 21
P … …
其中，3，…，19．
（ⅱ）
，
令，
则，
作差得，
则，
所以，
，
，
，
代入，因为，所以得，
所以X的数学期望约为19.
17．(1)，与之间存在较强的正相关关系
(2)，亿
【分析】（1）利用相关系数公式可得，进而可得证；
（2）利用最小二乘法可得回归方程，进而可得估计值.
【详解】（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，，，
所以，，
，
所以，
所以，
，故与之间存在较强的正相关关系.
（2）由（1），结合题中数据可得，
，，
，
关于的回归方程为，
年对应的值为，故，
预测年我国岁及以上老人人口数为亿.
18．(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
(2)数学期望小于最有可能发生的次数
【分析】（1）（ⅰ）根据组合数公式分析证明；（ⅱ）根据二项分布结合二项式定理分析证明；
（2）分析可知随机变量，结合二项分布概率公式可得概率最大，进而与期望对比分析.
【详解】（1）（ⅰ）因为，
且，
所以；
（ⅱ）因为，，
可得
，
令，则.
（2）由题意可知：，
又因为随机变量，所以，
因为，
假设时，其概率最大，
则，解得，
可知，所以其数学期望小于最有可能发生的次数．
【点睛】方法点睛：1.对于（1）（ⅱ）根据组合数性质以及二项式定理分析求解；
2.对于二项分布的概率最大问题，常常列式，运算求解即可.
19．(1)分布列见解析；
(2)；
(3)证明见解析，最大值为5．
【分析】（1）求出对应随机变量的概率，列出分布列即可；
（2）根据条件概率的公式，计算即可得解；
（3）求出，再得出期望，作差证明单调性，利用错位相减法求出，根据单调性解不等式得解.
【详解】（1）X的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
的分布列如下：
X 0 1 2
P
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故，
“第6位成员上场且闯过第二关”，“第3位成员闯过第一关”，
故，
．
（3）由（2）知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故．
故．
，即单调递增；又，
故，
所以，①
，②
得，
故．
由，得，
设，则，
故单调递减，，故满足题意的n的最大值为5．
【点睛】关键点点睛：根据题意求出，再利用作差法判断单调性是第一个关键点，第二个关键点在于利用，错位相减法求出.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页