河北省张家口市2023-2024学年高三下学期5月模拟数学试题（含解析）

河北省张家口市2023-2024学年高三下学期5月模拟数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若是关于x的方程（p，）的一个根，则
C．若，则
D．若，则或
3．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若第60百分位数为30，则它们的平均数为（ ）
A．19 B．25 C．21 D．23
5．已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
8．从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为方程的根，为方程的根，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A．2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
11．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的余弦值为
B．存在点，使得
C．若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D．若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式中项的系数为 .
13．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .
14．已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
(1)求角；
(2)若，，求．
16．如图，在三棱台中，H在AC边上，平面平面，，，，，.

(1)证明：；
(2)若且的面积为.求与平面所成角的正弦值.
17．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
多于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
(1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.
参考公式：.
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…
(1)求实数的值；
(2)当时，试比较与的大小，并证明；
(3)定义数列：，，求证：.
19．双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
(1)若的一条渐近线为，求的方程；
(2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】对于A，令即可判断；对于D，令即可判断；对于B，由韦达定理即可验算；对于C，由共轭复数以及模的运算公式即可判断.
【详解】对于A，令，显然，但都不等于0，故A错误；
对于B，由于一元二次方程的虚根是以共轭复数的形式成对出现的，
所以若是关于x的方程（p，）的一个根，
则也是关于x的方程（p，）的一个根，
从而由韦达定理有，故B错误；
对于C，设，
而，
所以，故C正确；
对于D，取，显然有，但不满足且，故D错误.
故选：C.
3．A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解.
【详解】向量，，
若与共线，则.解得或，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，
故选：A.
4．B
【分析】先确定第60百分位数是从小到大的第个数，然后利用及等差数列性质即得答案.
【详解】解关于整数的不等式组可得，所以.
由于，故由已知有.
由于成等差数列，所以.
故选：B.
5．D
【分析】根据实心冰球融化前后总体积不变列出等式:融化前水的体积+实心冰球的体积+实心钢球的体积=融化后水的总体积，由题钢球恰好淹没在水中得到此时水面高为，列出等式，解出的值，再算出钢球的表面积即可.
【详解】由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有
，
化简可得：，
即，，解得：，
所以钢球的表面积为.
故选：D
6．B
【分析】由面面平行的性质定理可得，，所以，所成角即为，在中，由余弦定理求解即可.
【详解】因为平面平面，平面，平面面，
所以，
因为平面平面，平面，平面面，
所以，
所以，所成角即为所成角，
而所成角为，设正四面体的棱长为，
所以，所以，
所以.

故选：B.
7．A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.
【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，而，于是，，
若将函数的图像向右平移个单位后，得到，
则，而，因此，
所以当时，取得最小值为.
故选：A
8．D
【分析】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到的关系再进行求解.
【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有①
由极线的定义得直线的方程为，
原点到直线的距离，化简得②，
对比①②式得出，则有，
所以.
当且仅当，即时取等，此时.
故选：D.
9．BCD
【分析】设，利用导数法研究函数单调性，结合零点存在定理得，从而，即可判断A，结合零点存在定理得，从而，即可判断B，由及得，进而，利用的单调性即可判断C，令，利用导数研究其单调性，利用单调性即可判断D.
【详解】设，
由知均在上单调递增.
由，可得，则，
整理得，A不正确；
由，可得，则，
从而，B正确；
由，可得．因为，所以，
则，即，即，则，C正确；
令，则，当时，单调递增，
因为，且，所以，即，
从而，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的.
10．ABD
【分析】根据消费支出构成图及已知条件分析数据一一判定选项即可.
【详解】2023年第一季度全市居民人均消费支出为（元），故A正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为（元），
占总人均消费支出的，故B正确：
依题意可得2022年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
由于，故C错误；
医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的，故D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系、线面角的向量公式，点到直线的向量公式和抛物线的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】以点A为坐标原点，分别以、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确；
由题意，设，
则，又，
若，则，解得，
所以不存在点M，使得，故B错误；
设，所以，
所以点到直线的距离
，
所以，此时，
所以点M到直线的距离的最小值为，故C正确；
设，
则点M到平面的距离为z，点M到点的距离为.
因为点M到平面的距离与到点的距离相等，所以，
整理得（其中，），
即点M的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故D正确.
故选：ACD.
12．42
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
则有.
故答案为：.
13．
【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.
【详解】由余弦定理得，，
而由，得，
因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，
所以，解得或，
当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，
，故C为锐角，不符合题意；
当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，
，故B是钝角，符合题意，
故答案为：
14．
【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.
【详解】设圆的半径为，则，则，
所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则，所以，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解；
（2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值.
【详解】（1）解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为，
则，可得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）解：设（其中为锐角），
在和中，由正弦定理可得且，
于是，
又因为，所以，
化简得，
根据同角三角函数的基本关系式，可得，
因为，联立方程组，解得，即.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理和勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理证明平面即可证明；
（2）由三棱台的几何关系求出，再建立空间直角坐标系，找到平面的一个法向量为，再由线面角的向量公式求出即可；
【详解】（1）因为，在中，由余弦定理可得
，
解得，
所以，即，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，
由平面，所以，
又因为，所以，
（2）在中，，，，
所以，
又，
所以，
由（1）知平面，则以为原点，的方向为轴，建立如图所示的坐标系，

点的纵坐标为，横坐标为，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17．(1)有
(2)
【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可得出结论；
（2）的可能取值为，由古典概型概率公式、组合数公式求出对应概率，进一步由数学期望公式即可运算求解.
【详解】（1）由表中数据可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
18．(1)，；
(2)，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据帕德近似定义，列式求解，即得答案.
（2）由题意知只需比较与的大小，即比较比较1与的大小，从而构造函数，利用导数，即可求解；
（3）结合题意得，令，结合（2）可得，进而推出，另一方面，令，利用导数，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得，，
，故，，
解得，.
（2）由上可得，要比较与的大小，
，只需比较1与的大小，
令，，
所以，从而可得在上单调递增，
所以，即，所以.
（3）设，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，当且仅当时等号成立；
由题意知，，，
则，故可得；
，令，，
故该函数在上递减，故可得，即，可得；
一方面：由（2）可得，
又因为，所以可得，即，即，
即，
故，即，所以.
另一方面：，
令，，
所以在单调递增，所以，得证.
【点睛】难点点睛：本题考查了导数新定义问题，解答的关键是要理解导数的新定义，并由此取解决问题，难点在于（3）中不等式的证明，解答时要结合，进行放缩，并结合构造函数进行证明.
19．(1)；
(2)1.
【分析】（1）根据结合双曲线定义求出，然后根据渐近线求解即可.
（2）设直线方程与（1）得到的双曲线联立，根据直线与双曲线相切表示k，再根据垂直以及向量关系求解即可.
【详解】（1）依题意，
，解得，又双曲线的一条渐近线为，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，则双曲线方程为，设，
过的直线的方程为，即，令，显然，
由消去y得，显然，
由直线与双曲线只有一个公共点，得，
化简得，代入得，
由直线与双曲线相切，得，而，于是，
过点T且与垂直的直线的直线斜率为，方程为，
令，得，即，令，得，即，
设，由，得，即，
代入得，
依题意，该双曲线与双曲线共焦点，则，
化简得，于是，
，当且仅当，时取等号，
所以的最大值为1.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页