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平行四边形易错必刷题型专训（63题21个考点）
【易错必刷一 判断能否构成平行四边形】
1．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 ．（填序号）
3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，则点的坐标为_________；
(2)将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出，并写出点的坐标；
(3)是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个满足条件的点坐标．
【易错必刷二 添一个条件成为平行四边形】
1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）．
3．如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ；
(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形．
【易错必刷三 数图形中平行四边形的个数】
1．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ．
3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．
【易错必刷四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
1．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
(1)画出关于点O对称的；
(2)绕点O顺时针旋转后得到，则点的坐标为______；
(3)若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______．
【易错必刷五 全等三角形拼平行四边形】
1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
2．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【易错必刷六 运用平行四边形的判定与性质求解】
1．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（ ）
A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6
2．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
3．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
(1)若，求的度数．
(2)若，在平移过程中，当时，求的长．
【易错必刷七 平行四边形的判定与性质的应用】
1．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为
A． B． C．14 D．12
2．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为 ．
3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接．
(1)求点的坐标；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值．
【易错必刷八 平行四边形中的翻折问题】
1．如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
3．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
【易错必刷九 平行四边形中的最值问题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
2．如图，在等腰直角三角形中，，，的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ．
3．回顾旧知
（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求．
解决问题
（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．
变式研究
（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．
【易错必刷十 与三角形中位线有关的求解】
1．如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
2．如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ．
3．如图，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求四边形的周长．
【易错必刷十一 三角形中位线与三角形面积问题】
1．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
2．如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 ．
3．如图在中，，，，动点从点出发以的速度移动，按照的路径运动，设运动的时间为．
(1)出发后，求的周长；
(2)当为多少时，平分的面积．
【易错必刷十二 与三角形中位线有关的证明】
1．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ．
3．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，直接写出你的结论：________．
【易错必刷十三 三角形中位线的实际应用】
1．如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么 米．
3．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长．
【易错必刷十四 多边形内角和问题】
1．若一个多边形的内角和是 1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．过边形的一个顶点有条对角线，则这个多边形的内角和为 ．
3．数学课上，老师布置的任务是利用三角形的内角和定理探究四边形的性质．请你思考并完成以下任务．
(1)请猜想任意四边形的内角和的度数，并说明理由．
(2)如图，在四边形中，，，是对角线，延长到点，且，连接．试说明．
【易错必刷十五 正多边形的内角问题】
1．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，2个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于 °．
3．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)求n的值．
【易错必刷十六 多（少）算一个角问题】
1．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形．
3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005 ，求多边形的边数；
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数.
【易错必刷十七 多边形截角后的内角和问题】
1．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）
A．14 B．23 C．或 D．或或
2．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
3．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？
【易错必刷十八 复杂图形的内角和】
1．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ．
3．阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【易错必刷十九 正多边形的外角问题】
1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和；
(3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个内角比一个外角大多少？
【易错必刷二十 多边形外角和的实际应用】
1．如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（ ）
A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是
2．如图，五边形中，，则的度数是 ．
3．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．
(1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点；
(2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称）
(3)求（2）中图形的周长．
【易错必刷二十一 多边形内角和与外角和综合】
1．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在六边形中，一个外角的度数为，则 ．
3．如图，在五边形中，
(1)若，请求的度数；
(2)试求出及五边形外角和的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
平行四边形易错必刷题型专训（63题21个考点）
【易错必刷一 判断能否构成平行四边形】
1．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、，根据“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此不选项符合题意；
D、，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 ．（填序号）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定分别进行求证即可．
【详解】解：∵，，
∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意；
∵，，
∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意；
∵，，
∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意；
∵，，
∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意；
故答案为：①④
3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，则点的坐标为_________；
(2)将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出，并写出点的坐标；
(3)是平面直角坐标系内一点，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个满足条件的点坐标．
【答案】(1)
(2)图见解析，
(3)，，（写出一个即可）
【分析】（1）根据点C的变化特征，横坐标+5，纵坐标-3，得出答案即可；
（2）画出旋转后的图形，再写出坐标即可；
（3）过点A作BC的平行线，且与BC相等；过点B作AC的平行线，且与AC相等；过点C作AB的平行线，且与AB相等．写出一种即可．
【详解】（1）根据题意可知，向右平移5个单位，再向下平移3个单位，所以点的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）如图，即为所求．点的坐标为；
（3）过点A作BC的平行线，且与BC相等，如图所示，点D的坐标是（-4，3）；
过点B作AC的平行线，且与AC相等，如图所示，点D的坐标是（0，-1）；
过点C作AB的平行线，且与AB相等，如图所示，点D的坐标是（-2，7）．
满足条件的点坐标为，，．（写出一个即可）
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内图形的平移和旋转，准确的画出变换后的图形是解题的关键．
【易错必刷二 添一个条件成为平行四边形】
1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵，
，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，
理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
3．如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ；
(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可；
（2）根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可．
【详解】（1）解：；
根据，，可得，
再添加，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
【易错必刷三 数图形中平行四边形的个数】
1．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选B．
2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可．
【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个，
第二个图中平行四边形的个数是，
第三个图中平行四边形的个数是，
∴第个图中平行四边形的个数是，
故答案为：．
3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．
【答案】5，图见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：
故答案为：5．
【易错必刷四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
1．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答．
【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即；
当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】或或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为：或或．
3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
(1)画出关于点O对称的；
(2)绕点O顺时针旋转后得到，则点的坐标为______；
(3)若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）作出的顶点A，B，C关于点O的对称点，，，依次连接即可得到；
（2）作出绕点O顺时针旋转后得到，即可得到点的坐标；
（3）分情况讨论：①以为平行四边形的对角线；②以为平行四边形的对角线；③以为平行四边形的对角线，分别求出点D的坐标，再根据点D在第一象限进行取舍即可解答．
【详解】（1）如图，为所求图形；
（2）如图，为绕点O顺时针旋转后得到的，则点的坐标为；
故答案为：
（3）分情况讨论：
①以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为；
②以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为；
③以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为．
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化，中心对称，旋转，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点，旋转的性质，平行四边形的判定．
【易错必刷五 全等三角形拼平行四边形】
1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
【答案】D
【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量．
【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；
两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键．
2．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
【答案】3
【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
3．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明）
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接．
【易错必刷六 运用平行四边形的判定与性质求解】
1．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（ ）
A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点运动路线是，（2）点运动路线是，（3）点运动路线是，（4）点运动路线是，分别求解即可，具体见详解．
【详解】解：四边形是平行四边形
，则，，
当时，以四点组成的四边形是平行四边形
（1）点运动路线是，则，，
则，解得，不合题意；
（2）点运动路线是，则，
则，解得；
（3）点运动路线是，则，
则，解得；
（4）点运动路线是，则，
则，解得
综上，则的所有可能取值为4.8或8或9.6．
故选：D．
2．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
【答案】18
【分析】先根据中心对称性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性得到，过D作，且，连接，，证得四边形是平行四边形，，，则，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．证明为等边三角形得到即可求解．
【详解】解：∵和关于点O中心对称，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴过D作，且，连接，，如图，
则四边形是平行四边形，，
∴，
∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，即的最小值为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加平行线找到取得最小值的K点是解答的关键．
3．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
(1)若，求的度数．
(2)若，在平移过程中，当时，求的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键．
（1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可；
（2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）∵沿射线方向平移，得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵沿射线方向平移，得到，
∴，
设，则．
∵．
∴．
∵，当点E在点C左侧时，
∴，
解得，即的长为6．
当点E在点C右侧时，同理可得，，
解得，
综上所述，或12．
【易错必刷七 平行四边形的判定与性质的应用】
1．如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为
A． B． C．14 D．12
【答案】C
【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．
【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理：=，
延长交的延长线于点．
∴，，
∴，，
在中，，
，
的最小值为14．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
2．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接交于G，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，连接交于G，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，即．
∴．
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
根据作图过程可知是的平分线．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴平行四边形是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，平行线的性质，角平分线作图，等角对等边，菱形的判定定理和性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接．
(1)求点的坐标；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值．
【答案】(1)
(2)20
(3)
【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标；
（2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案；
（3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，
当时，，解得，
，
将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，
；
（2）解：线段平移得到线段，
，且；
四边形是平行四边形，
，
延长交轴于点，如图所示：
设，
将代入得，
，
当时，，解得，
，
，
，
；
（3）解：连接相交于点，如图所示：
设，
将代入得，解得：，
，
联立，解得，
点坐标为，
将代入直线，解得．
【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
【易错必刷八 平行四边形中的翻折问题】
1．如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质及平移的性质可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知即可解答．
【详解】解：∵现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，
∴由折叠的性质可得：，
∵将线段向左平移刚好可以与线段重合，
∴由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键．
2．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
3．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．
【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）如图，作AG⊥BE于点G，
则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠AEB=∠FCE=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE==，
∴BE=BG+GE=，
∴D′F=．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．
【易错必刷九 平行四边形中的最值问题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，
∴OD∥AB，
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．如图，在等腰直角三角形中，，，的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称——最短路径，平行四边形的判定和性质，作点P关于的对称点N，当M，N，Q三点共线时，取最小值，最小值为，通过证明四边形是平行四边形，推出，即可求解．
【详解】解：，，，
，，
，
作点P关于的对称点N，则，
，
当M，N，Q三点共线时，取最小值，最小值为，
如下图所示，与交点即为M，
由题意知垂直平分，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
即的最小值为．
故答案为：．
3．回顾旧知
（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求．
解决问题
（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．
变式研究
（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键.
（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解；
（2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解；
（3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解；
【详解】解：（1）由对称可知：，
在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求，
故答案为：；两点之间，线段最短；
（2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示；
则四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）作，使得，作，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值．
【易错必刷十 与三角形中位线有关的求解】
1．如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，于点M，
∴，
∵N是的中点，
∴；
故选D．
2．如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：∵平分，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：1．
3．如图，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理：
（1）由三角形中位线定理证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位线定理得到，，由此根据四边形周长计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴；
同理可得，
∵，
∴四边形的周长．
【易错必刷十一 三角形中位线与三角形面积问题】
1．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：过点作交于，
则，
在和中，
，
，
，，
，是的中点，
，
，
的面积为2
的面积为6，
故选：．
2．如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
E，F分别是，的中点，，
，
，F是的中点，
，G是的中点，
，
，
F是的中点，
，，
，
，
E，F分别是，的中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．如图在中，，，，动点从点出发以的速度移动，按照的路径运动，设运动的时间为．
(1)出发后，求的周长；
(2)当为多少时，平分的面积．
【答案】(1)的周长为
(2)当时，平分的面积
【分析】（1）根据勾股定理求出，当时，求出，即可得到的长，从而即可得到答案；
（2）分情况进行讨论，即可求得答案．
【详解】（1）解：，，，
，
当时，，
，
的周长为；
（2）解：当点在边上时，要使平分的面积，则，即为的中点，
此时，
，
当点在边上时，不能将的面积平分，
当时，平分的面积．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积的的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【易错必刷十二 与三角形中位线有关的证明】
1．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，
点D是的中点，
、分别是、边上的中点，
，故①②⑤正确；
，，
四边形是平行四边形，
和互相平分；故③④正确；
则正确的有5个，
故选：D．
2．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为1．
3．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，直接写出你的结论：________．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；
（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，
，
于点，
，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，
，
；
（2）解：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
【易错必刷十三 三角形中位线的实际应用】
1．如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理的运用，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可．
【详解】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：．
故选：D．
2．如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么 米．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：∵M、N是、的中点，
∴，
∵米，
∴米，
故答案为：6．
3．如图1，在平行四边形中，点E、F分别为，的中点，点G，H在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，连接交于点O，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是4
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，即可证明，得，，则，所以四边形是平行四边形．
（2）设交于点L，连接，根据三角形的中位线定理可证明，则，所以四边形是矩形，则，而，则，进而可得，则可解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
∵E、F分别为，的中点，
，，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图②，设交于点L，连接，
，，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
∴的长是4．
【点睛】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．
【易错必刷十四 多边形内角和问题】
1．若一个多边形的内角和是 1080度，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，根据边形内角和公式列方程，进行计算，即可作答．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
依题意，得，
解得，
故选：C．
2．过边形的一个顶点有条对角线，则这个多边形的内角和为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】解：由题意得：，解得，
则该边形的内角和是：，
故答案为：．
3．数学课上，老师布置的任务是利用三角形的内角和定理探究四边形的性质．请你思考并完成以下任务．
(1)请猜想任意四边形的内角和的度数，并说明理由．
(2)如图，在四边形中，，，是对角线，延长到点，且，连接．试说明．
【答案】(1)四边形的内角和等于，理由见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了四边形内角和、三角形的内角和、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和为，而四边形沿对角线分割成两个三角形，得出四边形的内角和等于，即可作答．
（2）根据角的运算得出，则，证明，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，将四边形沿对角线分割成两个三角形，
∴四边形的内角和等于两个三角形的内角和之和．
∴四边形的内角和等于．
（2）解：∵四边形的内角和等于，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
【易错必刷十五 正多边形的内角问题】
1．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，2个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形内角的计算，熟练掌握多边形的内角和计算公式及正多边形关于内角的性质是解题的关键．先求出正六边形的内角和，再根据正六边形的每个内角都相等求解即可．
【详解】解：∵正六边形的内角和为：
，
∴每一内角的度数为：．
故选：D．
2．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于 °．
【答案】6
【分析】本题考查了正多边形的内角和，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握正多边形的性质和三角形的内角和是解题的关键．
根据正多边形的性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：五边形是正五边形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
故答案为：6．
3．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了正多边形的内角．
（1）根据正五边形的内角和公式即可求解；
（2）由（1）知正五边形内角为，利用周角为即可求解；
（3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为，根据内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：正五边形内角和为，
故；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：由题意得：，
解得：．
【易错必刷十六 多（少）算一个角问题】
1．一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值．
【详解】解：设这个内角度数为，边数为，
则，
，
∵为正整数，，
∴，
∴这个内角度数为．
故选：C．
2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形．
【答案】十三/13
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则0则，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
又∵n为正整数，
∴．
故答案是：十三．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0，并且小于180°．
3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005 ，求多边形的边数；
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°．
【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可；
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可．
【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为，
用余
则，
所以凸多边形的边数为
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，
用余，
所以没有计算在内的内角的度数为．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和的性质，熟练掌握多边形的有关性质是解题的关键．
【易错必刷十七 多边形截角后的内角和问题】
1．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）
A．14 B．23 C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．
根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
【详解】如图所示：
多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形；
另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形；
新的多边形的内角和可能是，或，或．
故选：D．
2．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【答案】5或6或7
【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，
解得，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
3．一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？
【答案】十二
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边解答即可．
【详解】解∶设新多边形的边数为n，则原多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
∴原多边形的边数为，
即原多边形是十二边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，剪痕不过任何一个其他顶点故此新多边形的边数比原多边形的边数多1．
【易错必刷十八 复杂图形的内角和】
1．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ．
【答案】68
【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论．
【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
3．阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°．
【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；
②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°
②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°
【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键.
【易错必刷十九 正多边形的外角问题】
1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．
【详解】解：正八边形的外角和为，
每一个外角为，
故选：B．
2．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的外角问题，由正五边形的外角和为，结合正五边形的每一个外角都相等，再列式计算即可，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角和为．
【详解】∵正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等，
∴它的一个外角的度数为，
故答案为：．
3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和；
(3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个内角比一个外角大多少？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)该正多边形的一个内角比一个外角大
【分析】（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可；
（2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可；
（3）根据正多边形内角和外角的关系列式求解即可．
【详解】（1）理由：设多边形的边数为n．
，
解得．
∵n为正整数，
∴多边形内角和不可能为；
（2）由题意可知，该多边形的边数为10，
∴；
（3）．
答：该正多边形的一个内角比一个外角大．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提．
【易错必刷二十 多边形外角和的实际应用】
1．如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（ ）
A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．根据题意可知小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，再根据多边形的外角和性质即可得出答案．
【详解】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，
小强转过的角度之和为．
故选：B．
2．如图，五边形中，，则的度数是 ．
【答案】/300度
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．如图（见解析），延长至点，先根据邻补角可得，再根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】解：如图，延长至点，
，
，
又，
，
故答案为：．
3．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．
(1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点；
(2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称）
(3)求（2）中图形的周长．
【答案】(1)能
(2)正八边形
(3)（2）中图形的周长为160米
【分析】（1）利用，能整除即可求解．
（2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解．
（3）利用周长公式即可求解．
【详解】（1）解：，
则亮亮能回到M点，
故答案为：能．
（2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米，
则亮亮走过的路线围成了正八边形，
故答案为：正八边形．
（3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米，
则（米），
则（2）中图形的周长为160米．
【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键．
【易错必刷二十一 多边形内角和与外角和综合】
1．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．根据题意可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
【详解】解：∵，
∴，
∴正多边形的一个外角为，
∴，
故选：B．
2．如图，在六边形中，一个外角的度数为，则 ．
【答案】/610度
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据题意可求得的度数，然后利用多边形的内角和公式计算出六边形的内角和，进而求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵六边形的内角和为，
∴，
故答案为：
3．如图，在五边形中，
(1)若，请求的度数；
(2)试求出及五边形外角和的度数．
【答案】(1)
(2)，五边形外角和的度数是
【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可进行求解；
（2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：五边形中，，
∵，，，
∴
；
五边形外角和的度数是．
