2024年高考数学考前专项冲刺：函数与导数6大考点汇总与跟踪训练（含解析）

2024年高考数学考前专项冲刺：函数与导数6大考点汇总与跟踪训练
6大考点汇总
题型1：函数及其性质
题型2：一次函数与二次函数
题型3：指对幂函数
题型4：函数与方程
题型5：函数的实际应用
题型6：导数及其应用
跟踪训练
题型1：函数及其性质
1．已知定义域为的函数，求出是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
4．已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型2：一次函数与二次函数
5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
6．设函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型3：指对幂函数
9．已知函数则 .
10．已知函数的图象关于直线对称，则 ．
11．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送 机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资 税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 .
12．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ．
题型4：函数与方程
13．已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)求在区间上的零点个数．
14．已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.
(1)求；
(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.
15．已知函数.
(1)若，设，求的最小值及取最小值时的值；
(2)若关于的方程有三个解，求实数取值范围.
16．定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系.
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围.
题型5：函数的实际应用
17．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k．
(1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量；
②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
18．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
19．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：
从降至所需时间 3.4分钟
从降至所需时间 5.0分钟
(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟）
（参考数据：，，，）
20．某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．

(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
题型6：导数及其应用
21．已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若，，证明：．
22．已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)求曲线与曲线公切线的条数.
23．已知曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间；
(3)已知，且，证明：对任意的，．
24．已知函数在处的切线为轴.
(1)求实数的值；
(2)若，证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用赋值即可求解.
【详解】令则，
令则，所以，
故选：D
2．A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
3．C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解.
4．D
【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系.
【详解】因为，
则，
则关于直线对称，
当时，，
根据复合函数单调性知在上单调递减，
且在上也单调递减，
则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增.
令，则，，
所以在上单调递增，且，所以即.
令，则，
设，，
所以单调递减且，因此，
所以单调递减且，所以，即.
由得，所以.
又因为，且，
所以.
设，，则，
则在上单调递增，则，
即，即在上恒成立，
即，所以.
所以，则，
故，而，
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到，则比较出三者大小.
5．A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.
【详解】由函数的对称轴是，
因为函数在区间上是增函数，所以，解得，
又因为，因此，所以的取值范围是.
故选：A．
6．D
【分析】根据题意，通过赋值法求得，即可联立方程解出.
【详解】由题意可得①；②．
令，由①得：，
令，由②得，因为，
所以，即.
令，由①得，
解得，所以．
故选：D．
7．C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
8．D
【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可.
【详解】不妨设，，则，，
所以，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，
所以
，（）
所以当时，取得最小值，
故选：D．
9．
【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求，即可.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
10．/0.75
【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数对称，再利用特值求出并验证即得.
【详解】函数的定义域为，
由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于数对称，
则，此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即满足题意，
所以.
故答案为：
11．6
【分析】由题意中的递推，得证数列是以3000为首项，为公比的等比数列，求出通项后解不等式即可.
【详解】由题意得，，.
即，，
数列是以3000为首项，为公比的等比数列，即，
，即，
，，
所以的最小值为6.
故答案为：6.
12．
【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.
【详解】将函数向右平移1个单位得到，
作出函数的图象如下：
要关于的方程有两个不同的根，
则函数和函数有两个不同的交点，
当过点时，，
所以当函数和函数有两个不同的交点时，.
故答案为：.
13．(1)证明见解析
(2)2个
【分析】（1）由题意结合要证明的不等式，构造函数，利用导数判断其单调性，证明，即可证明结论；
（2）讨论和两种情况，当时，结合题意构造函数，判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点个数，综合即可求得答案.
【详解】（1）设，则．
设，
则，
因为在上单调递增，所以，
又因为当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，．
（2），当时，，所以在上单调递增，
因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点．
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递减，
又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递减，
又，所以在上有且仅有一个零点．
综上所述：在上有且只有2个零点．
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及利用导数求函数最值、证明不等式以及函数的零点问题，解答的难点在于函数零点的判断，解答时要能结合题设，恰当地构造函数，判断函数单调性，进而判断函数零点.
14．(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设与相切于点，根据切线斜率可求得，由此可得切点坐标，代入切线方程可得；设切线与相切于点，利用导数几何意义可得切线方程，与已知切线方程对应即可求得；
（2）利用表示出，根据可整理得到，将问题转化为的零点个数的求解；利用导数可求得在上单调递增，由零点存在性定理推理即得.
【详解】（1）设与相切于点，而，
则，即，，则切点为，，即；
设与相切于点，而，
，即，则切点为，，，
所以，.
（2）依题意，，则，，，
由成等差数列，得，即，，
令，求导得，
令，求导得，显然函数在上单调递增，
，， 则，使得，即，
当时，；当时，，在上递减，在上递增，
，
由，得，则，即，函数在上单调递增，
，，因此在上存在唯一零点，
所以满足条件的有且只有一个.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的公切线问题、函数零点个数的求解问题；本题第二问的解题关键是能够通过等差中项的定义将问题转化为方程根的个数的求解问题，进而采用构造函数的方式，将问题转化为函数零点个数的求解问题.
15．(1)12，取最小值时或
(2)
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值求解即可；
（2）设，把原方程有三个解转化为两个函数有三个交点，作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】（1）.
.
当且仅当，即或时取等号.
当无限趋近于时，无限趋近于0，无限趋近于正无穷大.
取最小值时或.
（2）设.
关于的方程有三个解，
即直线与函数的图象有三个交点.
作函数的图象和直线.
结合图象，得.
关于的方程有三个解时，实数的取值范围为.
16．(1)与具有C关系，理由见解析
(2)
(3).
【分析】（1）根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，计算得解；
（2）根据题意，在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，由，即，利用导数判断矛盾；若在上恒成立，转化为，令，利用导数求出的最大值，得解；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.
【详解】（1）与具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，
又，，，所以，
即，即得，解得，所以与具有C关系.
（2）因为，，
令，，
因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正.
若在上恒成立，则，即，
又当时，，
令，所以，令，所以，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立.
若在上恒成立，即，
令，所以，
又在上单调递减，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，
因为，，所以，
所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，当时，，所以，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且，，
故在上存在唯一零点，设为，使得，
所以当，；当，；
又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，从而得解.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；
（2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.
【详解】（1），
若平方米，则；
（2）由，即，
铅酸蓄电池的放电量为：，
锂离子蓄电池的放电量为：，
则
，
令，可得，
即时，，此时应选择铅酸蓄电池，
当时，，此时应选择锂离子蓄电池，
当时，，两种电池都可以.
18．(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
19．(1)
(2)分钟
【分析】（1）根据所选择数据代入解析式，利用对数运算公式和参考数据可得；
（2）将代入（1）中解析式计算可得.
【详解】（1）由题可知，有，
若取第一组数据，则有，得，
此时解析式为；
若取第二组数据，则有，解得，
此时解析式为.
综上，所求解析式为
（2）由（1）知，，
令，则，解得.
所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要分钟.
20．(1)，
(2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为，结合二次函数最值可求得结果.
【详解】（1）当时，设，则，解得：，；
当时，设，则，解得：，；
综上所述：；
设，
，解得：，.
（2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：，
即
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
综上可知：当时，取得最大值，最大值为，
即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由有3个极值点，可得到具有3个零点，可得在有3个交点，求解的范围;
（2）构造函数，求导，判断单调性，求解不等式的成立.
【详解】（1）由有3个极值点，
可得到具有3个变号零点，
当时不是的零点，
则可得在有3个交点，
构造函数，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
而当时，，当时，，当时，,
所以,
则的取值范围为.
（2）构造函数
则，且，
构造函数，则，
再令，则，
因为时，则，在单调递增，
而，所以在单调递增，
所以，所以在单调递增，
故，即.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值的个数一般转化为导函数的零点个数进行求解，进行求解函数的值域求解参数的范围，而对于不等式的证明，一般构造函数，利用函数的单调性证明.
22．(1)
(2)一条
【分析】（1）根据题意，求得，得到函数的单调区间，求得，即可得到结论；
（2）利用导数的几何意义，分别求得所以曲线在点和在点处的切线方程，列出方程组得到，
令，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得其的定义域为，且，
令，得；令，得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，故的零点个数为.
（2）解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即，
曲线在点处的切线方程为：，
即，
令，可得，
消去，整理得，
令，可得，等价于，
设，则，所以在上单调递增，
又因为，所以在上有唯一的零点，
由，得，所以曲线与曲线有且仅有一条公切线.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
23．(1)，
(2)在上单调递增，无单调递减区间
(3)证明见解析
【分析】（1）求得 结合，列出方程，即可求解：
（2）由（1）知，令.求得.求得的单调性和.即可求解；
（3）根据题意转换为，由，可知，只需证明，，证明时，即证明，令，由单调性，只需证明，由已知条件即证，通过构造函数利用导数判断单调性进而证得结果，同理证明成立.
【详解】（1），
则．
因为，所以，
解得，．
（2）．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，无单调递减区间．
（3）证明：由，可得．
又，所以．
因为，，所以只需证明，，
即证明，．
先证明，即，令，
则，所以在上单调递增．
只需证，，
即，．
令，，则，
所以，故．
再证明，即．同理，只需证明，
即．
令，，则．
令，，则，所以在上单调递增．
又因为，，
则存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，所以，故．
综上，对任意的，．
【点睛】思路点睛：已知化简可得，只需证明，
构造函数，可知在上单调递增．只需，，
即，．通过构造函数，利用导数求得最值即可证得结果,同理可证得.
24．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导函数的几何意义即可列方程求得的值；
（2）利用导函数确定函数的单调性，由可得，结合函数单调性即可证得结论.
【详解】（1）由题可得，，
，
.
（2）证明：由（1）可知：，
函数在上单调递增，
当时，，
，，，
，即，
，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页