第六章平面向量及其应用6大考点汇总与跟踪训练（含解析）2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
6大考点汇总
考点一：平面向量的概念
考点二：平面向量的运算
考点三：平面向量基本定理
考点四：余弦定理
考点五：正弦定理
考点六：余弦定理与正弦定理的实际运用
跟踪训练
考点一：平面向量的概念
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则
C．若，则 D．共线向量方向必相同
3．设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在四边形中，与交于点，且，则 （ ）
A． B．四边形是梯形
C．四边形是菱形 D．四边形是矩形
考点二：平面向量的运算
5．若向量，的夹角，，，则 ．
6．已知，，且，则 ．
7．已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ．
8．平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为 ．
考点三：平面向量基本定理
9．在中，为BC上一点，是AD的中点，若，，则 .
10．如图，在中，是的中点，与交于点．设，则 ；若，则 ．

11．已知，是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
12．如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 .
考点四：余弦定理
13．在中，．
(1)证明：为的重心．
(2)若，求的最大值，并求此时的长．
14．已知的内角的对边分别为，面积为，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
15．在中，中线和中线相交于点，点在边上.
(1)若，证明：点是边上靠近点的四等分点；
(2)证明：；
(3)若，求中最大角与最小角的和.
16．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)若为锐角，且，求的面积；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当时，在四边形所在平面内，求的最小值．
考点五：正弦定理
17．由扇形和组成的平面图形如图所示，已知，，，，点在弧（含端点）上运动.
(1)连接，求正弦值的取值范围；
(2)四边形面积为，求的最大值.
18．如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且.
(1)求的大小；
(2)求的值.
19．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，．
(1)设单位向量，若与共线，且，求A；
(2)当且为斜三角形时：
（i）若，求B；
（ii）求的最小值．
考点六：余弦定理与正弦定理的实际运用
20．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且.
(1)当米时，求的长；
(2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值.
21．某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
(1)已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
22．2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形所示，其中为等腰三角形，且，计划沿线段BE修建步行道.

(1)求步行道BE的长度；
(2)现准备将区域建为绿化带且，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.
23．如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.
(1)求客轮的速度；
(2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计）
(3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
24．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；
(3)记为，为，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.
故选：D
2．A
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得.
【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确；
对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误；
对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误；
对于D，共线向量的方向可以相反，D错误.
故选：A
3．C
【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可.
【详解】对于非零向量，
由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立；
由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立，
所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件，
故选：C.
4．D
【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.
【详解】由，
知四边形的对角线相互平分且相等，
所以四边形为矩形.
故选：D
5．
【分析】，利用向量数量积计算结果.
【详解】向量，的夹角，，，有，
则.
故答案为：.
6．
【分析】根据数量积运算律求得，再根据数量积和模长求解夹角即可.
【详解】，即，，解得；
故，又，故.
故答案为：.
7．3
【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解.
【详解】因为向量不共线，由，
得，即，所以.
故答案为：3
8．/
【分析】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值.
【详解】由，得，
整理得，依题意，，不等式恒成立，
则，因此，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
9．
【分析】利用向量线性运算得，再由中点的向量表示列式求得，从而得解.
【详解】因为，
所以
，
因为是AD的中点，所以，所以，，
解得，所以.
故答案为：.
10． /0.5
【分析】利用平面向量的线性运算，结合共线向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用数量积的运算律结合已知求出.
【详解】由是的中点，得，而在上，即
于是，又，则，又 E，O，C三点共线，
因此，解得，则，而，不共线，
所以，；
显然，
则，
因此，解得，所以即．
故答案为：；
11．
【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且与是共线向量，
所以，即，
又，是两个不共线的向量，
所以，解得.
故答案为：
12．/
【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可.
【详解】由得，
因为，
则，
因为三点共线，
所以，解得.
故答案为：.
13．(1)证明见解析；
(2)最大值为，
【分析】（1）设，分别为，，的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出，，由共线定理可得为三条中线的交点，即可证明；
（2）分别在三角形中进行余弦定理，证出，从而设，由两角和的正弦公式得到表示，再由三角函数的性质求出取得最大值，最后由余弦定理即可得出答案.
【详解】（1）证明：设的中点为，则，
因为，所以．
设的中点为的中点为，同理可得，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
从而为三条中线的交点，即为的重心．
（2）解：由（1）知，因为，所以．
因为，所以，
设，则，
由余弦定理，得，
，则．
设，
所以，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
此时．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用，结合已知条件，得到，再利用倍角公式计算即可；
（2）利用，结合已知条件以及余弦定理得到，进而可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，整理的，
所以，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，则，即，
由余弦定理，
所以，即，
解得或（舍去），
所以.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，从而得证；
（2）根据重心的性质得到，同理得到，，即可得证；
（3）结合（2）可得，由正弦定理可得，再利用余弦定理求出，即可得解.
【详解】（1）因为，
又，
所以，
即，
所以与同向，故点是边上靠近点的四等分点；
（2）因为.
同理得，，
故.
（3）由和，
所以，即，由正弦定理可得，
设，则，
由余弦定理得，
因为，所以，所以，
故中最大角与最小角的和为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积；
（2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值；
（3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值.
【详解】（1）连接.
在中，由余弦定理可得，即.
在中，由余弦定理可得，即，
则，即.
因为为锐角，且，所以，所以，则，
故的面积为.
（2）四边形的面积，
则.①
由（1）可知，则.②
联立①②，解得，则，等号成立当且仅当，
所以四边形面积的最大值为.
（3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，
则，，，.
因为，所以，
所以，则.
由图可知，
当且仅当，，，四点共线时，等号成立，
故的最小值是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先由余弦定理可求，然后结合正弦定理表示，结合正弦函数的性质即可求解；
（2）利用锐角三角函数定义及三角形面积先表示出四边形的面积，然后结合辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）在中，，
由余弦定理知，，
故，
由正弦定理知，，即，
所以，
又在上单调递增，故，
所以正弦值的范围是；
（2）记四边形的面积为，
则，因为，
所以，
，
所以
其中，
故当，即时取等号，
此时，四边形的面积取得最大值．
18．(1)
(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理结合已知条件求出，即可得解；
（2）依题意可得，由求出，再在中利用余弦定理计算可得.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
又，
所以，因为，
所以.
因为，所以.
（2）因为，所以.
因为平分，所以.
因为，
所以，
又，，所以，
解得，
因为，所以
，
所以.
19．(1)或；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解；
（2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解.
【详解】（1）由，得，
又与共线，，则，
由，得，则，整理得，
由，得，于是或，所以或.
（2）（i）由，得，即，
于是，而，
整理得，
显然，所以.
（ii）由（i）知，，则有，
而，于是，即，
，显然有，则，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解.
20．(1)80m
(2)
【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得；
（2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得.
【详解】（1）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（舍去）或，
即；
（2）由，故，，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，，
则
，
有最大值，此时，即时取得，
此时平方米.
21．(1)；
(2)分米.
【分析】（1）利用余弦定理和基本不等式可求答案；
（2）利用余弦定理求出，结合二次函数得出的最大值，根据的关系可得答案.
【详解】（1）设两颗粒子在点相撞，在中，
由余弦定理得，即，
，，
即，，当且仅当时，等号成立，
所以两颗粒子运动路程和的最大值为；
（2）过作，垂足为，设，
因为甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍，所以，
由余弦定理可得，
，，，
，
当即时，即取得最大值，
易知恒成立，
，
的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.
22．(1)；
(2)周长为，面积为.
【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再借助给定角判断三角形形状求出.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出周长最大值及此时三角形面积.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得，解得，
而，则，
即有，又为等腰三角形，所以为等腰直角三角形
则，所以，即步行道BE的长度为.
（2）在中，由余弦定理，
得，
，当且仅当时取等号，
则当时，的最大值为8，的周长为，
所以绿化带的周长最大为，此时绿化带的面积.
23．(1)20海里/小时
(2)海里/小时
(3)至少需385元
【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度；
（2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值；
（3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值.
【详解】（1）根据题意得：，，，.
在中，由余弦定理得，
所以客轮的航行速度（海里/小时）
（2）因为，所以，
所以.
在中，由余弦定理得，，
整理得：，解得或（舍去）.
所以客轮从E处到岛A所用的时间小时，
小张若能赶上这班客轮，则满足，解得.
所以，小艇的速度至少为海里/小时.
（3）在中，，，
所以.
由正弦定理，解得，
所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为
，
当且仅当，即时，（元）
所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元.
24．(1)2nmile；
(2)18平方海里；
(3)．
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解；
（2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】（1），且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2nmile．
（2）四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
方法2
在三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页