第七章复数5大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

第七章复数5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
5大考点汇总
考点一：复数的概念
考点二：复数的加减运算及其几何意义
考点三：复数的乘除运算
考点四：复数综合应用
考点五：复数的三角表示
跟踪训练
考点一：复数的概念
1．若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
4．若复数，则（ ）
A． B．10 C． D．20
考点二：复数的加减运算及其几何意义
5．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．5 C． D．1
7．若复数，，则（ ）
A． B． C．2 D．5
8．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．5
考点三：复数的乘除运算
9．复数，则 .
10．复数的共轭复数的模是 .
11．复数在复平面内对应的点为，则 ．
12．已知，是方程的两根，则 ， .
考点四：复数综合应用
13．已知复数.
(1)若，求；
(2)若，且是纯虚数，求.
14．已知复数是关于的方程的根（是虚数单位），其中．
(1)求a，b的值．
(2)若，且复数是纯虚数，求．
15．已知复数，
(1)求证：；
(2)化简：；
(3)若是方程的一个根，求的值．
16．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值．
考点五：复数的三角表示
17．计算下列各式，并用三角形式表示：
(1)；
(2)；
(3).
18．设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数.
19．设复数，
(1)写出的三角形式；
(2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式．
20．在复平面内，复数，，，它们对应的向量分别为、、，如何直观地理解与、与之间的位置关系呢？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解.
【详解】因为实数，满足，
所以，则.
故选：B
2．D
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．B
【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以的实部与虚部之和为．
故选：B.
4．A
【分析】根据复数模的定义求解.
【详解】．
故选：A．
5．C
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：C.
6．C
【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可．
【详解】因为，所以其对应点为，
关于直线对称的点为，则，
所以，
故选：C．
7．B
【分析】根据复数的减法运算和复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，，
所以．
故选：B
8．C
【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上，
由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和.
【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上；
由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上；
因为直线和直线的交点为，所以，所以.
故选：C.
9．/
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，可得，即可求出，即可求得答案.
【详解】由题意得，故，
可得，则，
故答案为：
10．1
【分析】利用复数的除法运算化简复数z，再求其共轭复数的模即可.
【详解】，
所以，
所以.
故答案为：1.
11．2
【分析】根据复数的运算法则进行计算即可.
【详解】因为
故答案为：2
12．
【分析】首先求出方程的两根，，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.
【详解】因为，是方程的两根，又，
即或，
不妨令，
所以；
又，所以.
故答案为：；
13．(1)
(2)或.
【分析】（1）由复数的运算化简即可；
（2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可.
【详解】（1）∵复数，
∴.
（2）设，
∵，∴①.
又∵，
∴②，
由①②联立，解得或，
∴或.
14．(1)；
(2)或．
【分析】（1）将代入方程，根据复数相等列方程组求解可得；
（2）设，根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.
【详解】（1）是方程的根，，
即，
，解得；
（2）设，则，所以①，
又为纯虚数，所以②，
由①②联立，解得或，
或．
15．(1)证明见解析；
(2).
(3)2.
【分析】（1）根据给定条件，利用复数乘方运算及共轭复数计算即得.
（2）结合（1）可得，再分组计算即可.
（3）利用（1）及复数相等即可计算得解.
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以
.
（3）依题意，，即，
即，而，则，解得，
所以.
16．(1)，
(2)①证明见解析；②证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①实向量，，根据条件，即可得证；
②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证；
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值．
【详解】（1）因为，所以，
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为；
（2）①设实向量，，
则，，
而，
根据已知，当且仅当与平行时取等号，即，
所以，当且仅当时等号成立；
②因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，
复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
根据题意，若复向量与平行，
则，
根据中等号成立的条件，
应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】
根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式.
18．
【分析】
根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可.
【详解】
依题意得，
所以
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式，即可直接得出答案；
（2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2）由已知可设，
则.
所以，.
由已知可得，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
20．答案见解析
【分析】根据复数的三角形式以及复数乘法的几何意义可得出结论.
【详解】解：因为，所以，，
，所以，，
所以，先将沿原方向伸长倍，再逆时针旋转，可得到，
将反向伸长为原来的倍，可得到.
答案第1页，共2页
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