第七章复数5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
5大考点汇总
考点一:复数的概念
考点二:复数的加减运算及其几何意义
考点三:复数的乘除运算
考点四:复数综合应用
考点五:复数的三角表示
跟踪训练
考点一:复数的概念
1.若实数,满足,则( )
A. B.3 C. D.1
2.当时,复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.复数的实部与虚部之和为( )
A. B. C.8 D.6
4.若复数,则( )
A. B.10 C. D.20
考点二:复数的加减运算及其几何意义
5.复数与分别表示向量与,则表示向量的复数为( )
A. B. C. D.
6.在复平面内,复数对应的点关于直线对称,若,则( )
A. B.5 C. D.1
7.若复数,,则( )
A. B. C.2 D.5
8.复数满足,则( )
A. B. C. D.5
考点三:复数的乘除运算
9.复数,则 .
10.复数的共轭复数的模是 .
11.复数在复平面内对应的点为,则 .
12.已知,是方程的两根,则 , .
考点四:复数综合应用
13.已知复数.
(1)若,求;
(2)若,且是纯虚数,求.
14.已知复数是关于的方程的根(是虚数单位),其中.
(1)求a,b的值.
(2)若,且复数是纯虚数,求.
15.已知复数,
(1)求证:;
(2)化简:;
(3)若是方程的一个根,求的值.
16.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”,即可将有序复数对视为一个向量,记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算;两个复向量,的数量积记作,定义为;复向量的模定义为.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数a,b,c,d,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数z的值.
考点五:复数的三角表示
17.计算下列各式,并用三角形式表示:
(1);
(2);
(3).
18.设复数对应的向量为,,为坐标原点,且,若把绕原点逆时针旋转,把绕原点顺时针旋转,所得两向量恰好重合,求复数.
19.设复数,
(1)写出的三角形式;
(2)复数满足,且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上,,求的代数形式.
20.在复平面内,复数,,,它们对应的向量分别为、、,如何直观地理解与、与之间的位置关系呢?
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.B
【分析】根据复数相等的充要条件求出,的值,即可得解.
【详解】因为实数,满足,
所以,则.
故选:B
2.D
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】因为,所以,
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选:D.
3.B
【分析】化简复数,由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为,所以的实部与虚部之和为.
故选:B.
4.A
【分析】根据复数模的定义求解.
【详解】.
故选:A.
5.C
【分析】根据及向量的复数表示,运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与,
因为,所以表示向量的复数为.
故选:C.
6.C
【分析】由关于直线对称求出,再根据复数模的定义计算即可.
【详解】因为,所以其对应点为,
关于直线对称的点为,则,
所以,
故选:C.
7.B
【分析】根据复数的减法运算和复数的几何意义即可求解.
【详解】因为,,
所以.
故选:B
8.C
【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上,
由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标,进而得到复数和.
【详解】由得复数对应的点到点和距离相等,所以复数对应的点在直线上;
由得复数对应的点到点和距离相等,所以复数对应的点在直线上;
因为直线和直线的交点为,所以,所以.
故选:C.
9./
【分析】根据复数的除法运算求出复数z,可得,即可求出,即可求得答案.
【详解】由题意得,故,
可得,则,
故答案为:
10.1
【分析】利用复数的除法运算化简复数z,再求其共轭复数的模即可.
【详解】,
所以,
所以.
故答案为:1.
11.2
【分析】根据复数的运算法则进行计算即可.
【详解】因为
故答案为:2
12.
【分析】首先求出方程的两根,,再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.
【详解】因为,是方程的两根,又,
即或,
不妨令,
所以;
又,所以.
故答案为:;
13.(1)
(2)或.
【分析】(1)由复数的运算化简即可;
(2)设,由复数的模长和是纯虚数列方程组,解出即可.
【详解】(1)∵复数,
∴.
(2)设,
∵,∴①.
又∵,
∴②,
由①②联立,解得或,
∴或.
14.(1);
(2)或.
【分析】(1)将代入方程,根据复数相等列方程组求解可得;
(2)设,根据复数模公式和纯虚数概念列方程组求解即可.
【详解】(1)是方程的根,,
即,
,解得;
(2)设,则,所以①,
又为纯虚数,所以②,
由①②联立,解得或,
或.
15.(1)证明见解析;
(2).
(3)2.
【分析】(1)根据给定条件,利用复数乘方运算及共轭复数计算即得.
(2)结合(1)可得,再分组计算即可.
(3)利用(1)及复数相等即可计算得解.
【详解】(1)由,得,
所以.
(2)由(1)知,,则,
所以
.
(3)依题意,,即,
即,而,则,解得,
所以.
16.(1),
(2)①证明见解析;②证明见解析
(3)
【分析】(1)根据题目中复向量的模长公式计算即可;
(2)①实向量,,根据条件,即可得证;
②因为,由复数的三角不等式,分别计算即可得证;
(3)②考虑①中等号成立的条件知,结合题意即可求出和的值.
【详解】(1)因为,所以,
所以的模为;
因为,所以,
可得的模为;
(2)①设实向量,,
则,,
而,
根据已知,当且仅当与平行时取等号,即,
所以,当且仅当时等号成立;
②因为,所以,
由复数的三角不等式,
由,得,所以,
所以,
综上所知,
(3)②考虑①中等号成立的条件知,结合复数的三角不等式,
复向量各分量均不为零时,其等号成立的条件是存在非负实数,使得,
根据题意,若复向量与平行,
则,
根据中等号成立的条件,
应有,
则,
结合,得,解得;
所以,所以.
17.(1)
(2)
(3)
【分析】
根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可.
【详解】(1)原式
(2)原式
(3)原式.
18.
【分析】
根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可.
【详解】
依题意得,
所以
.
19.(1)
(2)
【分析】(1)根据公式,即可直接得出答案;
(2)设,根据三角恒等变换表示出,然后根据已知得出的值,代入即可得出答案.
【详解】(1)由已知可得,,
所以,.
(2)由已知可设,
则.
所以,.
由已知可得,所以,
所以,.
又,所以.
所以,.
20.答案见解析
【分析】根据复数的三角形式以及复数乘法的几何意义可得出结论.
【详解】解:因为,所以,,
,所以,,
所以,先将沿原方向伸长倍,再逆时针旋转,可得到,
将反向伸长为原来的倍,可得到.
答案第1页,共2页
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