第八章立体几何初步6大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步6大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
6大考点汇总
考点一：基本立体图形的概念与简单计算
考点二：空间、点、直线、平面之间的位置关系
考点三：空间直线、平面的平行
考点四：空间直线、平面的垂直
考点五：斜二测画法的相关计算
考点六：简单几何体的表面积与体积
跟踪训练
考点一：基本立体图形的概念与简单计算
1．下列空间几何体中可能是棱台的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）

A． B． C．2 D．1
4．请你在桌面上放置四个半径都是2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器的内壁半径的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
考点二：空间、点、直线、平面之间的位置关系
5．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（ ）
（1），，三点共线；
（2），，，四点共面；
（3）.
A． B． C． D．
7．如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）

A． B． C． D．
8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点三：空间直线、平面的平行
9．如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
①平面DE；②平面AF；③平面平面；④平面平面.
其中判断正确的序号是 .
10．如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 .
11．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是 ．
12．在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 ．
考点四：空间直线、平面的垂直
13．在长方形中，，点E在线段AB上，，沿将折起，使得，此时四棱锥的体积为 ．
14．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，则外接球的体积为 ．
考点五：斜二测画法的相关计算
17．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元)
18．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
19．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
20．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．
（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．

（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？
（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？
考点六：简单几何体的表面积与体积
21．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球的表面积；
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
22．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．
(1)若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；
(2)若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．
23．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥.
(1)求棱台的体积；
(2)求棱台的表面积.
24．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
(1)求圆柱的表面积与体积；
(2)求三棱锥的体积；
(3)若D是的中点，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据圆台、棱台、棱柱、圆柱的结构特征逐项判断即可.
【详解】根据空间几何体的几何特征知：选项A是圆台，选项B可能是棱台，选项C是棱柱，选项D是圆柱.
故选：.
2．B
【分析】利用正方体的特征计算即可.
【详解】
如图所示，大正方体分割为个，各面均没有颜色的小正方体有个，
所以答案为.
故选：B
3．A
【分析】将对角面绕旋转至与平面在同一平面内，可确定当三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值.
【详解】将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示：

则当三点共线时，取得最小值，
又，，，，，
在中，由余弦定理得：，
，即的最小值为.
故选：A.
4．D
【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证个小球心构成正方形，且相邻的两个小球相切，且个小球与半球形的容器内壁面都相切，进而可求半径的最小值.
【详解】要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证个小球心构成正方形，
且相邻的两个小球相切，且个小球与半球形的容器内壁面都相切，此时，如图所示：
为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，
且该小球与半球球面上的切点与共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和.即,
故选：D.
5．B
【分析】根据异面直线的定义逐项判断.
【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误；
平面，平面，，
所以与是异面直线，B正确；
因为，所以四点共面，C错误；
，D错误.
故选：B
6．B
【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）.
【详解】因为，直线平面，
，直线平面，
所以是平面与平面的一个公共点，
所以在平面与平面的交线上，
同理可证，也在平面与平面的交线上，
所以三点共线，所以（1）正确；
平面，所以（2）错误；
由于，所以（3）错误.
故选：B.
7．C
【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.
【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是，
其中，所以与共面、与共面、与共面．
故选：C

8．D
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可.
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则或与相交或与异面，故B错误；
对于C，若，则或与相交，故C错误；
对于D，若，则存在直线（不与重合），使得，又，则或与相交，
若，则，此时可以满足，只需即可，所以，
若与相交，则与也相交，又，所以与也相交，与相矛盾，
所以，则，故D正确；
故选：D.
9．①②③④
【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.
【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图：
由，得四边形为平行四边形，则，
同理，，
对于①，由，平面AEND，平面AEND，得平面DE，命题①正确；
对于②，由，平面ABFE，平面ABFE，得平面AF，命题②正确；
对于③，，平面，平面，，平面，平面，
则平面，平面，又，BD、平面BDM，
所以平面平面AFN，命题③正确；
对于④，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF，
则平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE，
所以平面平面NCF，命题④正确．
故答案为：①②③④．
10．/
【分析】利用面面平行得出线线平行，进而得出三角形相似，结合相似比可得答案.
【详解】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为，
有，且，同理可得，，
，,所以与相似，，
又，
所以.
故答案为：
11．
【分析】作辅助线，证明平面平面，说明线段AM即为动点P的轨迹，由此求得AM的长，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：

连接，则，
又平面，平面，故平面，
设为BC的中点，连接，
由于F分别是棱的中点，故，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又平面，
故平面平面，
由于平面BEF，故平面，
又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面，
故AM即为动点P的轨迹，
而，故AP的取值范围是．
故答案为：
12．
【分析】根据面面平行的性质可得截面的三种情况，即可比较截面大小，可知求截面四边形的面积即可，根据面积公式可得，根据函数的单调性即可求解最值.
【详解】分如下三种情况，①如图1，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面；
②如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面；
③如图3，延长交于点，连接，则三角形为所求截面．
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可．
在①中，易知，，设，
则，，
所以所求截面面积
，
由于均在单调递增，所以函数在上单调递增，
故，故截面面积的最大值为．
故答案为：
13．/
【分析】设点在平面上的投影为，证得平面和平面，得到，设，求得，在直角中，解得，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】设点在平面上的投影为，当时，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
过点作，因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
在中，可得，，则，
在中，，
延长，易知，
在中，，，
所以，解得，
所以四棱锥的体积为．
故答案为：.
.
【点睛】方法点睛：求空间几何体的表面积与体积的求解策略：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
14．
【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，从而求解.
【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，
所以此时到底面的距离最大，平面平面，
且平面平面，
取的中点，则，故平面，
取的中点，则，又，且，则，
又∵，
故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；
显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；
由于，平面，所以平面，
而平面，则，则，
在中，，故；
又，故，又，
故由余弦定理有，
∴，故所求面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：取的中点，由，确定点是三棱锥的外接球球心.
15． /
【分析】取中点，连接，为直线EF与平面所成角，求解即可；取中点，连接，所以异面直线与所成角的余弦值为，利用余弦定理求值.
【详解】取中点，连接，
由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角，
在中，，
所以；
取中点，连接，
可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
在中，，，
，
由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：；.
16．
【分析】题可知的中点即为外接球的球心，勾股定理求出的长，得外接球的半径可求体积.
【详解】鳖臑的外接球，即对应“堑堵”的外接球，
底面为直角三角形的直三棱柱，是长方体的一半，的中点即为的外接球的球心，
，则，
直三棱柱中，平面，平面，，则，
的外接球的半径为2，体积.
故答案为：
17．812元
【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案.
【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图：
则在中，，，所以，
又四边形为矩形，，
所以，则，
由此可得，
又，
所以，
故这块菜地所产生的总经济效益是 (元).
18．(1)图形见解析
(2)，
【分析】（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
（2）先根据的面积求出，然后利用斜二测画法原理求出高，由此可求出原的面积.
【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使,
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
.
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
19．(1)作图见解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
20．（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4）
【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果；
（2）由直观图可知，即为直角三角形；
（3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果；
（4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果.
【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ．
（2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形．
（3）由已知可得在中，，，故．
（4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高），
画直观图后，，，
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；
（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；
（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
（2）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
（3）由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
22．(1)8；
(2)．
【分析】（1）利用锥体的体积公式求解；
（2）先求出四棱锥对侧面底边上的高，再分别求得各侧面的面积相加即可.
【详解】（1）解：该几何体是一个高为2，底面为矩形的四棱锥，
所以该几何体的体积．
（2）正侧面及相对侧面底边上的高．
左、右侧面的底边上的高．
故几何体的侧面面积．
23．(1)
(2)
【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；
（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.
【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点，
由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心，
则，
即棱台的高，
，
（2）连接，则，则，
作于点，则，
故
.
24．(1)表面积，体积
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解；
（2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解；
（3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）圆柱的底面直径，故半径，且高，
可得圆柱的表面积为，
圆柱的体积为．
（2）因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且，
而为直角三角形，
从而，得，，
所以．
（3）解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上，
设为点，可得，
即当三点共线时，取最小值，
由题意，，
所以，
故的最小值为．
答案第1页，共2页
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