第四章数列6大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列6大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册
6大考点汇总
考点一：数列的概念
考点二：等差数列
考点三：等比数列
考点四：等差数列求和
考点五：等比数列求和
考点六：数学归纳法
跟踪训练
考点一：数列的概念
1．在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．满足的最小正整数为（ ）
A．12 B．13 C．17 D．18
4．已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：等差数列
5．在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．9
7．已知数列满足，，若，则n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：等比数列
9．已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ）
A．10 B． C． D．
10．已知等比数列不是单调数列，是数列的前项和，且，，则该等比数列的公比为（ ）
A． B． C．1 D．
11．已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
12．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．2025 B．2026 C．2023 D．2024
考点四：等差数列求和
13．己知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
14．设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
15．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
16．已知数列的前n项和为，，，
(1)求；
(2)若，求数列的前1012项和．
考点五：等比数列求和
17．设数列的前n项和为，，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，．
（i）写出数列的前4项；
（ii）求数列的前项和．
18．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知等差数列满足，数列满足，数列为等比数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
20．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求及；
(2)若，求满足条件的最大整数n的值．
考点六：数学归纳法
21．已知数列满足，，，且．记集合．
(1)若，求集合中元素的个数；
(2)①求证：，．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
(3)求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
22．已知数列满足:，且对任意，都有．
(1)直接写出的值;
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
23．已知无穷数列满足：
①；
②．
设为所能取到的最大值，并记数列．
(1)若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，求数列的前100项和．
24．已知数列中，且.
(1)求数列的第2，3，4项；
(2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到规律，从而求出.
【详解】数列中，由，，得，
同理可得，，…，所以，则.
故选：C.
2．C
【分析】根据题意，分析可得数列的前四项与的关系，综合即可得答案．
【详解】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444，
则有，，，，
则数列的通项公式可以是，
故选：C．
3．D
【分析】由已知化简可得利用裂项原理继续化简可得，化简计算即可得出结果.
【详解】
则，即，则，
化简可得：，
时，，
时，，
时，，
时，，
则不等式成立的最小正整数为18.
故选：D
4．A
【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得.
【详解】因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有，
即，化简得，
所以对于任意的都成立，因为，所以.
故选：A
5．D
【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可.
【详解】，，.
故选：D.
6．A
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为数列各项均为正数，首项，则，
又数列是以为公差的等差数列，
则，故
故选：A
7．B
【分析】根据等差数列的定义求得通项公式，即可求得的值.
【详解】由可得，，数列为等差数列，且公差为5.
所以，
令，所以.
故选：B.
8．D
【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.
【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，
故.
故选：D.
9．B
【分析】根据是等比数列，是函数的两个零点，进行求解判断选项
【详解】因为是的两个零点，所以，所以，所以，故.
故选：.
10．D
【分析】由等比数列的性质结合题意计算即可.
【详解】由，，得：，
即6，解得或.
又不是单调数列，故，
故选：D.
11．C
【分析】根据韦达定理及下标和性质计算可得.
【详解】因为，为函数的两个零点，
即，为关于的方程的两根，
所以，又为等比数列，所以.
故选：C
12．C
【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可.
【详解】由得，
因此数列为首项为，公比为的等比数列，故，
进而根据累加法得：
，
所以，
由，
因为，
又，
所以，令，
所以，
所以，
所以，
代入得，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中新概念问题，重点是对的放缩.
13．(1)，
(2)
【分析】（1）利用与之间的关系即可求解；
（2）由（1）得，进而利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1），有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，得，
检验：当时也满足，
所以
（2）由（1）知，，
所以
，
所以.
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明.
【详解】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
15．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项的方法求解作答即可；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因为是以1为首项1为公差的等差数列,
所以，即，
当时，，
即，
经检验，当时，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知：
,
所以
.
16．(1)
(2)．
【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案；
（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.
【详解】（1）当时，因为，所以，
即．又，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以．
（2）由（1）知，，
，
而所以
．
17．(1)证明见解析，
(2)（i）0，0，3，0；（ii）
【分析】（1）由与的等量关系，即可证明；
（2）（i）计算出前4项即可得出的前4项；（ii）设的前项和记为，分析出，分别由等差数列及等比数列前项和公式计算即可．
【详解】（1）由得，时，，
两式相减得
，，
数列为等差数列，公差，
，，．
（2）（i）因为，所以，则，
因为，所以，则，
因为3不能表示成的形式，所以，则，
因为，所以，则，
所以的前4项为：0，0，3，0；
（ii）设的前项和记为
因为，，
所以．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用累加法求数列的通项公式；
（2）数列是等比数列，公式法求前项和.
【详解】（1）数列满足.
，
又也满足上式，
.
（2）由（1）得，
数列是等比数列，首项为1，公比为，
数列的前项和.
19．(1)，；
(2)
【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求得，再利用等比数列基本量的运算求得公比，即可求得，从而求得.
（2）结合等差数列求和公式及等比数列求和公式，根据分组求和思想求解即可.
【详解】（1）由数列是等差数列且，
∴公差，∴，
∵，∴
∴数列的公比，∴，
∴；
（2）由得.
20．(1)，
(2)3
【分析】（1）由已知可得，可得是以为首项、为公比的等比数列，可求，；
（2）由（1）可得，可得，求解即可.
【详解】（1）由，可得，两式相减得，
又得，故是以为首项、为公比的等比数列，
从而，；
（2）由，
由，可得，
所以，解得，
则满足条件的最大整数n为3.
21．(1)7
(2)证明见解析
(3)7；6
【分析】（1）利用，，求出集合所有元素，从而得到答案；
（2）①根据递推关系结合数学归纳法，即可证明；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，由于，可归纳证明对任意，是3的倍数；
（3）分为3的倍数和不是3的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值.
【详解】（1）若，由于，，
所以，，，，，，
故集合的所有元素为：，，10，2，4，8，16，所以集合中元素的个数为7个；
（2）①因为数列满足，，，且，
所以当时，，满足条件，
假设时，成立，
当时，由于，得，
因为，
当，，则，成立，
当时，，所以，则也成立，
因此当时，也成立，
故，；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，
由于，
如果，则集合中所有元素都是3的倍数；
如果，因为或，所以是3的倍数，则是3的倍数；
类似可得，都是3的倍数；同理都是3的倍数，
从而对任意，是3的倍数；
综上，若集合中存在一个元素是3的倍数，则中所有元素都是3的倍数；
（3）由(2)证明可知，，，
因为为正整数，,所以为的倍数，
从而当时，为2的倍数，
①如果为的倍数，由(2)知，对，为3的倍数，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，则 的元素个数为1
当为的倍数，集合的元素个数不超过3个，
②如果不的倍数，由(2)知，对，不是3的倍数，
因此当时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，这时集合的元素个数不超过7个，
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7；
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7，
当时，由于时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，所以集合的元素个数不超过6个，
同理可知当的值为4，或8，或10，或14，或16时，集合的元素个数不超过6个
综上可知，集合的元素个数的最大值为7，及元素个数最大时不同的个数为6.
22．(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算即可.
（2）由（1）及已知猜想出的通项公式，再利用数学归纳法证明即得.
【详解】（1）数列中，，则，而，
所以.
（2）猜想：．
下用数学归纳法证明:
①当时，猜想显然成立；
②假设时猜想成立，即：，
则当时，，
因此猜想对也成立，
综合①②，对任意，猜想成立，即.
23．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由等差数列写出，再由数列的性质确定，注意验证得出的数列满足数列的性质；
（2）由性质②确定的取值，再分别确定的取值，从而可得；
（3）由数列的性质先求得得，再求出，归纳出数列并用数学归纳法证明，然后求得其前100项的和．
【详解】（1）由已知，，
又，所以或，
若，则由得，，，
满足；
若，则由得，，，
也满足．
所以或；
（2）因为，所以，
所以或，因此，
当时，且同时成立，此时，
当时，且同时成立，此时矛盾，
综上可得，；
（3）因为，所以，所以，显然，，
由知，
事实上，当时，与同时成立，
所以，从而，
猜想数列：
即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列的两条性质，
下面用数学归纳法证明．
①当时结论成立，
②假设时结论成立，则当时，
当时，此时，：，
由于，且，
所以，
当时，此时，：，
由于，且，
所以，
综上，数列：是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，
数列的前100项和为：．
【点睛】关键点点睛：第3小问题中解题关键是由数列满足的性质确定数列的项，由根据不等式的性质得出的可能值，得出，再得出的可能值，得，然后归纳出数列并用数学归纳法证明．
24．(1)，，
(2)猜想，证明见解析
【分析】（1）由题意逐个计算即可得；
（2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得.
【详解】（1）由且，则，
，；
（2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下：
当时，，等式成立；
假设当时等式成立，即有，
则当时，有，
即当时，等式成立；
故猜想成立.
答案第1页，共2页
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