第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册
5大考点汇总
考点一：直线的倾斜角与斜率
考点二：直线的方程
考点三：直线的交点坐标与距离公式
考点四：圆的方程
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
跟踪训练
考点一：直线的倾斜角与斜率
1．已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
3．已知点，若直线与直线垂直，则实数（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．过和两点的直线的斜率是（　　）
A．1 B． C． D．
考点二：直线的方程
5．已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
6．设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
7．已知直线.
(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
8．已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
考点三：直线的交点坐标与距离公式
9．已知在中，，.
(1)若的面积为，求点C的轨迹方程；
(2)若直线平分内角C，求点C的坐标.
10．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，
(1)求三角形外心的坐标；
(2)求顶点的坐标.
11．已知直线，设直线的交点为.
(1)求点的坐标；
(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
12．设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点.
(1)若点是平面上的点，试证明：；
(2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
考点四：圆的方程
13．已知点，O为坐标原点，若动点满足．
(1)试求动点P的轨迹方程
(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
14．已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
15．已知点在圆上运动，，点为线段MN中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知，求的最大值．
16．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系
17．已知圆．
(1)求直线被圆截得弦长；
(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．
18．已知圆C过点，，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.
19．如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得.
(1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程；
(2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由.
20．在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点正北55海里处有一个雷达观测站，如图所示．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中）且与点相距海里的位置．
(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若直线和直线平行，
则，解得，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A
2．C
【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可
【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，
而，于是直线l的斜率或，
所以直线l斜率k的取值范围是，
故选：C
3．B
【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.
【详解】直线的斜率为：，
因为直线与直线垂直，
所以，解得：.
故选：B.
4．A
【分析】由斜率公式可得.
【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率.
故选：A
5．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，
所以，所以；
（2）
如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，
点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，
点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，
设夹角为，因为，所以，
因为，，
所以在中，，所以，
因为，所以在中，，
所以，所以，易知，
设交点坐标为，所以，
所以或，所以交点坐标为或，
所以直线方程为或，
即或.
6．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.
【详解】（1）由，令，令，
由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，
故直线方程：或
（2）由（1）可知，，
当且仅当，即取等号.
即直线方程：.
7．(1)；
(2)最小值为4，直线的方程为.
【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案；
（2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程.
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第三象限，则，解得，
的取值范围为.
（2）由题意可得中，取，得，
取，得，
，
当且仅当时，即时，取“=”，
此时的最小值为4，直线的方程为.
8．(1)证明见解析
(2)面积的最小值是4，此时直线的方程为2x＋y－4＝0
【详解】（1）证明：（m－1）x＋（m＋2）y－3－3m＝0可化为（x＋y－3）m＝x－2y＋3.由得∴直线必过定点（1，2），所以直线一定经过第一象限.
（2）解：（解法1）设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－1）（k＜0），∴OA＝1－，OB＝2－k，∴S△AOB＝·OA·OB＝|（1－）（2－k）|＝|－|.∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝ [－]＝ [4＋（－）＋（－k）]≥ [4＋2]＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB面积的最小值是4，此时直线的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0.
（解法2）设直线l的方程为＋＝1，其中a＞0，b＞0，∵直线l过点P（1，2），∴＋＝1≥2，当且仅当＝时取等号，∴ab≥8，∴S△AOB＝ab≥4，当＝时取等号.由＝，＋＝1，得a＝2，b＝4，∴直线l的方程为2x＋y－4＝0.
9．(1)或
(2)
【分析】（1）利用面积得点C到直线AB的距离恒为2，利用平行线距离公式求解即可；
（2）根据平分的几何性质列式求解，从而求得直线方程，联立方程即可求得交点坐标.
【详解】（1），，，的面积为，
则点C到直线AB的距离恒为2，
所以点C的轨迹是一条与直线AB平行的直线，且与直线AB的距离为2，
直线AB的方程为，
所以设点C的轨迹方程为，
所以，解得，
所以点C的轨迹方程为或.
（2）因为直线平分，所以点B关于直线的对称点在直线AC上.
设，则，解得，所以，
所以直线的方程为，
则直线与直线的交点即为点C，即
，解得，所以点C的坐标为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可；
（2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可.
【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的所在的直线方程为，即，
联立方程，解得
所以的外心的坐标为.
（2）设，则的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得，
由（1）可知：的外心坐标为，
可知，则，
整理得，
联立方程，解得或，
当时，点B，C重合，舍去，
所以顶点C的坐标是.
11．(1)；
(2)或.
【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标；
（2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得.
【详解】（1）联立方程解得.
（2）直线在两坐标轴上的截距相等，
直线的斜率为或经过原点.
①当直线过原点时，直线过点，
的方程为；
②当直线斜率为时，直线过点，
的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
12．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）利用给定新定义结合绝对值不等式证明即可.
（2）进行合理分类讨论，求出符合情况的点即可.
【详解】（1）由绝对值不等式知，，
而，
当且仅当，时等号成立，
即三点共线时等号成立．
故成立.
（2）点与点是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
若，则，
由条件①，得，
，，.
由条件②，得，
， .
因此，所求的点.
若，则，
由条件①，得，
代入条件得，解得，
结合条件②得，代入条件得，
解得，故.可得符合条件的点.
综上，当，时，存在符合条件的点，
当， 时，存在符合条件的点，
13．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程.
（2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解.
【详解】（1）由动点满足，得，化简得，
所以动点P的轨迹方程是.
（2）设点，由轴于点，且是中点，得，即，
由（1）知，，
因此，整理得.
所以点M的轨迹方程是.
14．(1)(x－1)2＋y2＝1
(2)x2＋y2－x－y－1＝0
【详解】（1）设线段AP的中点为M(x，y).
由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y).
∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
（2）设线段PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0.
∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
15．(1)
(2)89
【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可；
（2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论.
【详解】（1）设点，因为为中点，
，于是有，
因为点在圆上运动，
所以，
代入得，
化简得，
所以点的轨迹方程为；
（2）
因为，所以
所以的最大值为89．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；
（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.
【详解】（1）由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为.
（2）设，
则，解得，；
因为圆与圆相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设圆C的方程为，将已知三点代入求出即可；
（2）设点，，，易得，根据E，F在圆C上，得出的关系式，当EF斜率存在时设直线EF的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再代入的关系式，求出之间的关系即可得解.
【详解】（1）设圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为，
故圆C的标准方程为；
（2），所以直线，点，，
设点，，，
所以，，所以，
又，，所以
又E，F在圆C上，所以，，
消去，可得①，
当EF斜率存在时设直线EF的方程为，
联立，
消元y可得，
则，
可代入①，得，
解得或，
当时，直线恒过，
当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去，
直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去），
综上：直线EF过点成立.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19．(1)
(2)相交，
【分析】（1）设，由，得到，代入即可求解；
（2）由圆，得到圆心，半径，再由得方程为的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系，
则，
设，因为，可得，
所以，可得，
整理得，即轨迹方程为.
（2）由圆，可得，可得圆心，半径，
因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或，
则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，
又由圆的弦长公式，可得.
20．(1)（海里/小时）
(2)船会进入警戒水域，且警戒水域行驶（海里）
【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，进而求得该船的形式速度，得到答案；
（2）以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别为，分别求得点的坐标，得出直线的方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：如图所示，由题意得，
由余弦定理得，所以，
所以，该船的形式速度为（海里/小时）.
（2）解：如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，
设点的坐标分别为，与轴的交点为，
因为，可得，
则，，
所以，，
，
所以点的直线的斜率为，直线的方程为，
又由点到直线的距离为，
所以船会进入警戒水域，
又由圆的弦长公式，可得进入警戒水域行驶的路程为（海里）.
答案第1页，共2页
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