第一章 空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一

第一章空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练-2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册
5大考点汇总
考点一：空间向量及其运算
考点二：空间向量基本定理
考点三：空间向量及其运算的坐标表示
考点四：用空间向量研究直线、平面的位置关系
考点五：用空间向量研究距离、夹角问题
跟踪训练
考点一：空间向量及其运算
1．在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
2．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知平行六面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：空间向量基本定理
5．三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三：空间向量及其运算的坐标表示
9．在直三棱柱中，已知，，为的中点，点在上，若平面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
10．已知向量，，且，则 ．
11．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示）
12．已知正四面体棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题：
①对于任意点，都存在点，使；
②存在，使直线平面；
③当最小时，三棱锥的体积为
④当最大时，顶点到平面的距离的最大值为．
其中正确的有 ．（填选正确的序号即可）
考点四：用空间向量研究直线、平面的位置关系
13．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)证明：
14．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)若点在棱BC上，且平面，求的长．
15．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.

(1)求证：平面；
(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.
16．直三棱柱中，，，，
(1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值；
(2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？

考点五：用空间向量研究距离、夹角问题
17．如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.

(1)求证：平面平面；
(2)如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
18．如图，在三棱锥中，，其中分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点.
(1)证明直线平面;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置.
20．如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
(1)证明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据共面向量定理将所求最小值转化为点到平面的距离，再利用体积求解即可.
【详解】设，由共面向量定理得点为平面内任意一点，
且，
所以，
求的最小值，即求点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由题意知，
四面体的体积，
解得，故所求最小值为6．
故选：D．
2．C
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意，
.
故选：C.
3．B
【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论.
【详解】因为
所以，
.
故选：B.
4．B
【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案.
【详解】.
故选：B.
5．D
【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，从而可得球的体积.
【详解】如图所示，
设，则，
由向量的运算及余弦定理可得：
所以，
解得：，故，过作，连接，则，
设，则，解得：，所以点与点重合，
故，，即为二面的平面角，
故三棱锥可放置成如图所示，
为底面正的外心，即,
为的外接球球心，即，为使得，故，
所以三棱锥的外接球半径，
所以外接球的体积.
故选：D.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
6．C
【分析】根据图形，结合空间向量的线性运算可得.
【详解】由图知，，
即.
故选：C
7．B
【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可.
【详解】连接，如图，
因为是的中点，所以
.
故选：B
8．B
【分析】由空间向量基本定理易求得的值.
【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.
故选：B.
9．
【分析】解法一：利用线面平行的性质定理可确定点的位置，再根据三棱锥的结构特征确定其外接球球心的位置，借助勾股定理建立关于外接球半径的等式并解方程可得，再利用球的表面积公式即可得解.
解法二：利用线面平行的性质定理可确定点的位置，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系并确定球心坐标，可得半径，即可求得结果.
【详解】解法一：因为平面平面，平面平面，所以；
又为的中点，所以为的中点.
单独研究三棱锥及四边形，如图所示，

易知，
则，因此，
故的外接圆圆心为的中点，故三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上.
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面；
取的中点，连接，则，
由于平面平面，平面平面，因此平面；
连接，因为为的中点，为的中点，所以；
设三棱锥的外接球的半径为，连接，
在中，.
当点不在平面的同侧时，，无解
易知点在平面的同侧，
在直角梯形中，，解得，
则三棱锥的外接球的表面积.
解法二：
因为平面平面，平面平面，所以；
又为的中点，所以为的中点；
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
设三棱锥的外接球球心为，
则，
解得，故，
故三棱锥的外接球的半径，
则三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
破解几何体的外接球的表面积或体积问题的步骤：
（1）定球心，棱柱及棱台的外接球球心一般在上、下底面多边形外接圆的圆心连线所在直线上，棱锥的外接球球心往往是先找出棱锥某个面外接圆的圆心，再过此圆心作该面的垂线来确定；
（2）求球半径，通常是在过球心的某个平面中，找出球的半径，底（侧）面外接圆的半径及球心到底（侧）面的距离，利用勾股定理求出球的半径；
（3）用公式，即利用球的表面积或体积公式求解.根据几何体的特征，有时也可通过补形将锥体的外接球转化为柱体的外接球来求解.
10．2
【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.
【详解】由于，所以，解得，
故答案为：2
11．
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.
【详解】空间向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是，
所以向量在向量上的投影向量的坐标是.
故答案为：.
12．①②④
【分析】使用空间向量设出各点的坐标，再对逐个选项分别求解.
【详解】
设的重心分别是.
以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，
且.
三个内切圆的半径均为，且可设：
；
；
.
所以有，
，
.
对于①，当确定后，取为关于平面的对称点，则垂直于平面，所以垂直于，①正确；
对于②，当，时，有，.
故，，.
直接计算可知，所以此时满足条件，②正确；
对于③，此时位于最上方，即.
这时，点到平面的距离为.
所以此时，③错误；
对于④，此时，根据对称性有，故
，故此时在处取到最大.
此时的纵坐标都是，故点到平面的距离为，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对空间向量的计算与求解.
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
可得
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为，且平面，所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
则，所以.
14．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解；
（2）设，求出面的法向量，通过列方程求出即可；
（3）设，则，可得是平面的一个法向量，通过求解即可.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以；
（2）设，则
设平面的法向量为，
则，令得，
依题意可得，
解得，所以；
（3）设，则，
由（2）知，则，
因为，
所以，
所以是平面的一个法向量．因为平面，
所以，解得，
所以的长为.
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）通过几何图形的性质证明，即可；
（2）利用平面，并结合三棱锥的体积公式计算即可；
（3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可.
【详解】（1）如图所示，连接，

由题意可知平面ABC，四边形是菱形.
平面ABC，，
又D是AC中点，是正三角形，，
又平面，平面，
平面，，
在菱形中，有，
而D，E分别是线段的中点，则，所以，
平面，平面；
（2）如图所示，

由（1）可知，，平面，
为三棱锥的高，
，，
又在平面内的射影为，
，则，，
，则，
为直角三角形，
，
.
（3）如图，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接，

过G作交于M，连接MD，
易得，平面，平面，故平面，
又结合（1）的结论有，故二面角为，
所以，
如图，在菱形中，作，

易得，
则，
易知为直角三角形，故.
【点睛】思路点睛：本题立体几何的求解可从以下方面入手：
（1）证明线面垂直，要在该平面内找两条相交直线与已知直线垂直即可；
（2）第二问关键在于求三棱锥的高，通过构造线面垂直来转化；
（3）另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可.
16．(1)
(2)存在点在靠近点的三等分点处
【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，则，
，
故
，
所以，
当时，取得最小值，
所以线段长的最小值为；
（2）假设存在，设，
，
故，
，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为面，所以，
则，解得，
所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.

17．(1)证明过程详见解析.
(2)二面角的余弦值为.
【分析】（1）易得，由线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得两两垂直，求出，以点C为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）分别是侧棱的中点，
，
，
平面，平面，
，
又平面，
平面，
又平面，
平面平面.
（2）平面，平面，
，
，
又由题意得是等腰直角三角形，
，此时易算三棱锥体积为：，
故符合题意.
平面，，
平面，
又平面，
，
两两垂直，
如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
则，
故
设平面的法向量为，
则有，可取，
平面，
即为平面的一条法向量，
故，
由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.

18．(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）使用线面垂直的判定定理即可；
（2）利用等体积法即可求解；
（3）使用空间向量方法进行求解.
【详解】（1）由于，，故，.
而和在平面内交于点，故平面.
（2）由于是的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半.
而是的中点，所以.
而，且由
，
可知.
故，从而.
设点到平面的距离为，则，故.
所以点到平面的距离是.
（3）
设为的中点，以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
故，，.
设是平面的法向量，则，故，解得.
从而直线与平面所成角的正弦值等于.
19．(1)证明见解析
(2)M位于PA中点
【分析】（1）利用线线平行证线面平行即可；
（2）建系，设,利用空间向量法直接求线面角的正弦值,计算即可求得，得出结果.
【详解】（1）如图所示，连接BD，
∵E，F分别为PB、PD的中点，
∴在中，EF为其中位线，即BD，
又BD面AFE，EF面AFE，
∴直线面AEF；
（2）分别以 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，， ，，，设，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得
设直线与平面所成的角为，
则，解得：
所以，即M位于PA中点.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形为菱形即可；
（2）先证平面，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解.
【详解】（1）
设为的中点，连接，，，，
因为，所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，
又平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面平面，平面，
，所以平面，
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.
（2）
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设.
则，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
，故二面角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页