18.1 平行四边形 练习(含解析)2023-2024学年人教版八年级数学下册

18.1 平行四边形
一、单选题
1．下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．在ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长．为（ ）．
A．6 B．8 C．7 D．9
3．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，与交于点，点为中点，连接，若菱形的周长为16，则线段的长为　　

A．2 B．2.5 C．3 D．4
5．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，，那么与的比值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，折叠矩形的一边AD，使D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，求CE的长(　　)
A．5 B．4 C．8 D．3
7．如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．如图，中，和相交于点，点在边上，且，若的周长为，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是 平方厘米．
10．矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，AC=6，则△ABO的周长为
11．如图，在矩形中，，P为上一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，当点P从点A运动到点D时，点Q与点D的最近距离为 ．

12．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过 秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D是AC边上的一点，且AD＝2，以AD为直角边作等腰直角△ADE，连接BE并取BE的中点F，连接CF，则CF的长为 ．
14．如图，□ABCD中，BC＝6，∠D＝60°，BE平分∠ABC，交AD于点E，P、Q分别为BE、BC上的两个动点，则CP+PQ的最小值是 ．
三、解答题
15．如图，四边形中，，交于点E，交于点F，且．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求四边形的周长．
16．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，是的平分线，若，求的长．
17．如图，四边形中，，点E，F分别在，上，，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为点G，H．
(1)求证：；
(2)连接交于点M，求证：与互相平分．
参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可.
【详解】解：A、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、由AB＝CD，BC＝AD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、由∠A＝∠C，AD∥BC，可以推出∠B＝∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD，∠A＝∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
2．C
【详解】试题分析：由题意画出图形，并得到关系式：BC+AB+CF=22，DA+DF=8，两式相减：AB+CF-DF=14，即CF+DF+CF-DF=14，2CF=14，∴CF=7．
考点：平行四边形性质及折叠知识．
3．D
【分析】由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可．
【详解】解：、分别为、的中点，
是的中位线．
，即．
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键．
4．A
【分析】由菱形的性质得，，再由菱形的性质求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为16，
，
为中点，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
5．D
【分析】设出正方形的边长为a，先判断出，得出，设正方形的边长为b，同样的方法得出，得出a，b的关系，即可得出结论．
【详解】解：图形中相关的顶点记作如图所示，
设正方形的边长为a，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
设正方形的边长为b，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6．D
【分析】根据翻折的性质，先在Rt△ABF中求出BF，进而得出FC的长，然后设CE=x，EF=8-x，从而在Rt△CFE中应用勾股定理可解出x的值，即能得出CE的长度．
【详解】由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10，
在Rt△ABF中可得：
∴FC=BC-BF=4，
设CE=x，EF=DE=8-x，
则在Rt△ECF中， EF2=EC2+CF2，即x2+16=（8-x）2，
解得x=3，即CE=3；
故答案为：D.
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，解决本题的关键是结合图形，首先根据翻折的性质得到一些相等的线段，然后运用勾股定理进行解答．
7．D
【分析】根据四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形，每一步都踩在一块纸片的中心，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，进而可得这个小孩走的路线所围成的图形．
【详解】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
8．D
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到，再根据周长公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴（）
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．
9．
【分析】根据题意画出图形，过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求得CE的长，再求出AD=BE的长度，最后由面积公式求出即可．
【详解】如图所示：AB=8，BC=7，DC=10， 过点D作DE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD=BE，DE=AB=8，
在Rt△DEC中，CE=，
∴BE=BC-EC=7-6=1，
∴AD=1，
∴S梯形ABCE=．
故答案为：32．
【点睛】考查了直角梯形的面积、矩形的判定和性质，解题关键是根据题意画出对应图形，并正确作出辅助线．
10．9．
【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=3，再证明△OAB是等边三角形，即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC=3，OB=BD，AC=BD=6，
∴OA=OB=3，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=3，
∴△ABO的周长=OA+AB+OB=3OA=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
11．1
【分析】根据矩形的性质利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：当点P从点A运动到点D时，，点Q运动轨迹是圆弧，如图，

∵中，，
∴
点Q与点D的最近距离为，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】如图，
在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，
若平行四边形是AEMN，
则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，
此时，AN≠EC，
则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，
则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
当9-2t=8-t时，
解得：t=1（舍去），
当4.5＜t＜6时，M在BC上，
则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
当2t-9=8-t时，
解得：t=，
此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，
不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，正确对t的范围进行讨论是解决问题的关键．
13．
【分析】延长AE、BC交于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AE、AH，求出EH，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
延长AE、BC交于点H，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠HAC=45°，AE=，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴CH=AC=BC=6，AH=，
∴EH=AH-AE=4，
∵BC=CH，BF=FE，
∴FC=EH=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．
【分析】过点C作CF⊥BE交AB的延长线于点F，交BE于点M，CP+PQ=FP+PQ，当FQ⊥BC时，此时CP+PQ最小，即求出FQ的长．
【详解】过点C作CF⊥BE交AB的延长线于点F，交BE于点M，
∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴BE平分CF，CM=FM，则BC=BF=6，
过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，交BE于点P，连接CP，此时FQ最小，即CP+PQ最小，
在Rt△FBQ中，∠ABC=∠D＝60°，
∴∠BFQ=30°，
∴，
∴，
即CP+PQ的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定以及点到直线垂线段最短等知识，熟练掌握将线段和最小值问题转化为点到直线垂线段最短是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，得到，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，即，再根据等量代换得到，根据等角对等边得到，根据勾股定理解得长，然后求四边形的面积解题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由题意可证四边形是平行四边形，且，可得结论；
（2）方法一根据含角的直角三角形的边角关系可求的长度，则可得的长度，即可求的长度；方法二可以利用含角的直角三角形的边角关系，然后根据平行四边形及角平分线定义可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：方法一：
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，且，
∴．
方法二：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，运用含角的直角三角形是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由垂线的性质得出，由平行线的性质和对顶角相等得出，由即可得出；
（2）连接、，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：连接、，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【点睛】本题注意考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定方法，是解题的关键