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多边形的内角和与外角和重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 多边形内角和问题
题型二 正多边形的内角问题
题型三 多（少）算一个角问题
题型四 多边形截角后的内角和问题
题型五 复杂图形的内角和
题型六 正多边形的外角问题
题型七 多边形外角和的实际应用
题型八 多边形内角和与外角和综合
【知识梳理】
知识点1 多边形
多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形公式
1. n 边形的内角和公式： （n-2）×180°
2. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
3. n 边形的对角线总数：
4. n 边形的外角和： 360°
5. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点 2 正多边形
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
【经典例题一 多边形内角和问题】
【例1】如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在三角形纸片中，，，现将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、处．其中，点B在纸片的内部，点D、E分别在边、上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有两个正方形夹在与之间，且，若，两个正方形的夹角，则的度数为 ．（正方形每个内角为）
3．（1）如图1，这是一个五角星，求的度数．
（2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数．
（3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数．
（4）如图4，求的度数．
【经典例题二 正多边形的内角问题】
【例2】正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．
【变式训练】
1．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正六边形和正方形的边长都为2，则的面积为 ．
3．（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O．
①如图1，容易得到______；
②探究：如图1，______；
如图2，______；
如图3，______；
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）．
【经典例题三 多（少）算一个角问题】
【例3】一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式训练】
1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或9 C．8或9 D．7或8或9
2．已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为 ．
3．解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？
【经典例题四 多边形截角后的内角和问题】
【例4】把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【变式训练】
1．有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能
2．已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ．
3．阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【经典例题五 复杂图形的内角和】
【例5】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【变式训练】
1．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
2．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ．
3．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【经典例题六 正多边形的外角问题】
【例6】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．不存在满足条件的的值
【变式训练】
1．从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
2．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ．
3．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角多60°，求这个多边形的边数．
【经典例题七 多边形外角和的实际应用】
【例7】如图，五边形中，，分别是的外角，则（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
【变式训练】
1．如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度为 ．
3．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
【经典例题八 多边形内角和与外角和综合】
【例8】如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是 (多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A．14 B．16 C．19 D．21
2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ．
3．如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：
（1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °；
（2）若已知则六边形的周长为 ．
【拓展培优】
1．（2024·河北唐山·二模）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
2．（2024·湖北·三模）如图，已知，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·三模）在一个正六边形中，若其相对两边的距离为，则该正六边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
6．（2024·陕西咸阳·一模）若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则 度．
9．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示）
10．（2024·河北·二模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心．
（1） °；
（2）已知点M在边上，则点M到线段的最大值 ．
11．（23-24八年级下·湖南·期中）已知一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，求这个多边形的内角和．
12．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
13．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：
（1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °；
（2）若已知则六边形的周长为 ．
14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；
(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）．
15．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．
学习任务：
(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
(2)图3中角1的度数是______．
(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
(4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．中小学教育资源及组卷应用平台
多边形的内角和与外角和重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 多边形内角和问题
题型二 正多边形的内角问题
题型三 多（少）算一个角问题
题型四 多边形截角后的内角和问题
题型五 复杂图形的内角和
题型六 正多边形的外角问题
题型七 多边形外角和的实际应用
题型八 多边形内角和与外角和综合
【知识梳理】
知识点1 多边形
多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形公式
1. n 边形的内角和公式： （n-2）×180°
2. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
3. n 边形的对角线总数：
4. n 边形的外角和： 360°
5. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点 2 正多边形
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
【经典例题一 多边形内角和问题】
【例1】如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线定理．
根据，可得，然后根据为角平分线，可求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵为角平分线，
∴
∴
即：．
故答案为：C．
【变式训练】
1．如图，在三角形纸片中，，，现将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、处．其中，点B在纸片的内部，点D、E分别在边、上．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】由折叠知，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
故选：C．
2．如图，有两个正方形夹在与之间，且，若，两个正方形的夹角，则的度数为 ．（正方形每个内角为）
【答案】/65度
【分析】本题考查了邻补角的计算，四边形的内角和定理和平行线性质，延长交的延长线于Q，作于O，交于P，过Q作，利用四边形内角和，求出，再根据，，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于Q，作于O，交于P，过Q作，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
3．（1）如图1，这是一个五角星，求的度数．
（2）如图2，如果点B向右移动到上，直接写出的度数．
（3）如图3，当点B向右移动到的另一侧时，直接写出的度数．
（4）如图4，求的度数．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形内角与外角的关系，解答此类题目时利用三角形内角与外角的关系把多个角划到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理解答即可．
（1）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）延长交于点，再根据三角形外角的性质得出，，再由三角形内角和定理即可得出结论；
（4）连接，利用三角形内角和定理结合四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，
是的外角，
．
是的外角，
．
，
；
（2）如图，
是的外角，
．
是的外角，
．
，
；
（3）如图，延长交于点，
是的外角，
．
是的外角，
，
，
；
（4）如图，连接，
则，
∴
．
【经典例题二 正多边形的内角问题】
【例2】正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
作于点，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
【变式训练】
1．以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质应用，熟练掌握多边形内角和及外角和的计算方法是解题的关键，连接，根据正六边形的外角为，可得，，再根据，可得，进而得到正六边形至少旋转的度数．
【详解】解：连接，
∵正六边形的每个外角，
∴正六边形的每个内角，
∴，，
∵
∴
∴
∴正六边形至少旋转的度数为
故选：B．
2．如图，正六边形和正方形的边长都为2，则的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正多边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握正多边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
过点C作，交延长线于P，利用正多边形的性质求出，再利用直角三角形的性质求出长，即可由三角形面积公式求解．
【详解】解：过点C作，交延长线于P，如图，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，
∵正六边形的边长为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
3．（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O．
①如图1，容易得到______；
②探究：如图1，______；
如图2，______；
如图3，______；
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）．
【答案】（1）① ②；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和正多边形的性质：
（1）①根据等边三角形的性质可以得出，再根据可证明；②在图1中，根据三角形的外角与内角的关系就可以求出的值，在图2中，连接，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出的值，在图3中同理可得的值；
（2）依据②中的规律就可以得出当作正n边形的时候就可以求出图4中的值．
【详解】解：①证明：如图1，
∵和是等边三角，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴．
②∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，连接，
，
∵五边形和五边形是正五边形，
∴，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①②；
（2）以此类推，当作正n边形时，．
故答案为：
【经典例题三 多（少）算一个角问题】
【例3】一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据n边形的内角和是(n-2) 180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．
【详解】，
则正多边形的边数是8+1+2=11．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握n边形的内角和公式(n-2) 180°是解题的关键．
【变式训练】
1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或9 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【分析】求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．
则（n-2） 180°=1080°，
解得：n=8，
∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
∴原多边形的边数可能为7或8或9，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．
2．已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】按照下列的思路求解即可：
给什么，得什么 由“除一个内角外其余内角的和为”可表示出“去除角”的度数．
求什么，想什么 求“去除角”的度数，关键是确定该多边形边数n的值．
差什么，找什么 由“去除角”的度数大于且小于，可得n的取值范围，进而确定n的值．
【详解】解：设这个多边形是边形，则其内角和为．
根据题意，得，
解得．
又n为正整数，故．
所以这个内角的度数为．
故答案为：．
另解：
因为多边形的内角和是的倍数，所以我们可以计算的余数，这个余数为，故加上刚好是的倍数，因此这个内角的度数为．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键．
3．解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？
【答案】(1)八边形
(2)八边形
【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得；
（2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设这个多边形是边形，
由题意得：，
解得，
答：这个多边形是八边形．
（2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，
由题意得：，
解得，
则，即，
解得，
为正整数，
，
答：这个多边形是八边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．
【经典例题四 多边形截角后的内角和问题】
【例4】把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【答案】D
【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时．
【详解】解：设这个多边形原来的边数为n，
①当剪掉一个角后多一个角时，此时有条边，
，
解得：，
②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边，
，
解得：，
③当剪掉一个角后少一个角时，此时有条边，
，
解得：，
综上：这个多边形原来的边数为8或9或10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，以及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ．
【变式训练】
1．有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得，
截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
原来多边形的边数是11或12或13．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
2．已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ．
【答案】或或
【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和是，
∴，
解得：，即原多边形是七边形，
因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形的边数减少了1条边，内角和；
当多边形的边数不变，内角和；
当多边形的边数增加一条边，内角和．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．
3．阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．
【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是；
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是．
所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【经典例题五 复杂图形的内角和】
【例5】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【答案】C
【分析】连接AB，根据三角形的内角和定理即可证得∠F+∠C=∠1+∠2，则∠EAC+∠DBF+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EAC+∠DBF+∠D+∠E+∠1+∠2=∠EAB+∠ABD+∠D+∠E，根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】连接AB，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠2=∠C+∠F，
∴∠EAC+∠DBF +∠C+∠D+∠E+∠F=∠EAC+∠DBF+∠D+∠E+∠1+∠2=∠EAB+∠ABD+∠D+∠E =360°．
故选C.
【点睛】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，证明∠F+∠C=∠1+∠2是关键．
【变式训练】
1．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）
A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
【答案】C
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．
2．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ．
【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
3．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
【经典例题六 正多边形的外角问题】
【例6】如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．不存在满足条件的的值
【答案】C
【分析】根据题中条件，先求出正五边形内角，根据拼接的是正多边形，每一个外角都相等，从而由多边形外角和为求解，即可得到答案．
【详解】解：对于正五边形，每一个内角为，
∵两个正五边形拼成一个角，
∴，
题中是由两个正五边形与一个正多边形的内角拼成一个周角，
则拼接成的正多边形内角为，
∴拼成的正多边形的一个外角为，
∴．
故选：C．
【变式训练】
1．从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，由从正多边形一个顶点出发共有7条对角线，得到，解得，对于正十边形，利用多边形外角为直接求解即可得到答案．
【详解】解：根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，得到边形一个顶点连成对角线条数为条，
∵经过多边形的一个顶点有7条对角线，
∴，解得，
∴根据多边形外角为得该正十边形的每个外角度数为，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形对角线的定义及应用，涉及多边形外角和为、正多边形性质等知识，灵活运用多边形对角线的相关结论是解决问题的关键．
2．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得．
【详解】解：∵八边形为正八边形，
∵，
∵正八边形的对角线，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：67.5．
3．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角多60°，求这个多边形的边数．
【答案】6
【分析】本题考查多边形外角的性质，多边形的外角和，设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，从而可列出关于的方程，解出的值，即得出该多边形的每个外角大小，再根据多边形的外角和为求解，掌握多边形的内角与其相邻的外角的和为，多边形的外角和为是解题关键．
【详解】设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，
由题意，得，
解得，即多边形的每个外角为．
∵多边形的外角和为，
∴多边形的边数为．
答：这个多边形的边数为6．
【经典例题七 多边形外角和的实际应用】
【例7】如图，五边形中，，分别是的外角，则（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
【答案】B
【分析】如图：根据平行线的性质可得，然后根据多边形的外角和即可解答．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．
【变式训练】
1．如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可
【详解】如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAO==60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO==72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．
2．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度为 ．
【答案】/36度
【分析】根据共走了50米，每前进5米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．
【详解】解：向左转的次数（次），
则左转的角度是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．
3．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可．
【详解】（1）五边形广场的内角和，
故答案为：；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是度，
故答案为：；
（3）延长NE交AB于点F
∵
∴
∵
∴
∵在五边形中
∴
【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．
【经典例题八 多边形内角和与外角和综合】
【例8】如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用多边形的外角和为360°和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于360°．
【变式训练】
1．如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是 (多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A．14 B．16 C．19 D．21
【答案】D
【分析】设，先表示中间正多边形的边数：外角为，根据外角和可得边数为，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论．
【详解】解：设，
∴以为内角的正多边形的边数为：，
以为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是：
，
根据题意可知：的值只能为，，，，
当x越小时，周长越大，
∴当时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ．
【答案】/1260度
【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握圆周角定理．先连接，，根据已知条件判断点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，然后根据圆周角定理和已知条件求出的度数，从而求出多边形的边数，最后根据多边形内角和公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示：连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数为：，
这个正多边形的内角和为：，
故答案为：．
3．如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：
（1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °；
（2）若已知则六边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查多边形的内角和以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，
（1）根据三角形的内角和即可得出的度数，
（2）分别延长相交于点，延长相交于点，证得都是等边三角形，，求出周长即可．
【详解】解：∵六边形的内角和为，在六边形中，每个内角的度数都相等，
∴六边形每个内角的度数为，
（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）分别延长相交于点，延长相交于点，如图，
∵，
∴，
∴都是等边三角形，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴六边形的周长为，
故答案为：．
【拓展培优】
1．（2024·河北唐山·二模）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A． B．（3，4） C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，得到A、C、D三点共线，求出，得到，则，再由，可得．
【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的一个内角度数为，
∴，
∴，
∴A、C、D三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键．
2．（2024·湖北·三模）如图，已知，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题、三角形外角的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据正多边形的性质解得，然后在中，由三角形外角的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
3．（2024·云南昆明·三模）在一个正六边形中，若其相对两边的距离为，则该正六边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形，勾股定理，过点作于点．正六边形中，每个内角为，即，，于是，可得，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点．
正六边形中，每个内角为，
，，
，
设，根据勾股定理可得，
，
即，
解得（负值舍去），
，
即边长为2．
故选：B．
4．（2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【详解】∵正五边形的每个内角为，
∴组成的正多边形的每个内角为，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：．
故选C．
5．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数．
【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角，
故正多边形的边数为（条）
∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个）
故选C．
6．（2024·陕西咸阳·一模）若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，掌握正多边形的每个内角都相等，外角和的大小与多边形的边数无关，即任何多边形的外角和都是是解题的关键．求出每个内角对应的外角，由任何多边形的外角和都是，除以每个外角的度数即可求得边数．也可以利用正多边形的内角和公式建立方程求解，即，解出边数即可．
【详解】解： 正多边形的每个内角为，
每个内角的外角为：，
又 任何多边形的外角和都是，
这个正多边形的边数为，
故答案为：12．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键．
利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质运算求解即可．
【详解】解：∵正六边形的内角度数为：，正方形的内角度数为：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则 度．
【答案】
【分析】此题考查了正多边形的性质，连接，先求出，，由正六边形是轴对称图形可得，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，
∴，，
由正六边形是轴对称图形可得，，
∴，
故答案为：．
9．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角．
通过证明，即可分别求出正三角形、正四边形、正五边形时的度数，找出规律即可解答．
【详解】解：图1：在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
图2：∵四边形为正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
图3：∵五边形为正五边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴ “正n边形”，其它条件不变时，的度数等于该多边形的一个内角，
即度数为．
故填：，，．
10．（2024·河北·二模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙的按如图所示摆放，O是中间正六边形的中心．
（1） °；
（2）已知点M在边上，则点M到线段的最大值 ．
【答案】
【分析】（1）由题意知，正六边形的一个内角为，则，计算求解即可；
（2）如图，连接交于，连接交于，则，当重合时，点M到线段的值最大，为，证明是等边三角形，则，，由，可得，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，正六边形的一个内角为，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，连接交于，连接交于，则，
∴当重合时，点M到线段的值最大，为，
∵正六边形，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形内角和，等边对等角，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握正多边形内角和，等边对等角，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键．
11．（23-24八年级下·湖南·期中）已知一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，求这个多边形的内角和．
【答案】
【分析】本题主要考查的是多边形的内角与外角的关系．记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征是解题的关键．
根据每个内角的度数等于和它相邻外角的度数的2倍并结合其外角和为360°得到多边形的内角和．
【详解】解：∵多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，
∴多边形内角和的度数是外角和度数的2倍，多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为．
答：这个多边形的内角和．
12．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
13．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：
（1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °；
（2）若已知则六边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查多边形的内角和以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，
（1）根据三角形的内角和即可得出的度数，
（2）分别延长相交于点，延长相交于点，证得都是等边三角形，，求出周长即可．
【详解】解：∵六边形的内角和为，在六边形中，每个内角的度数都相等，
∴六边形每个内角的度数为，
（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）分别延长相交于点，延长相交于点，如图，
∵，
∴，
∴都是等边三角形，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴六边形的周长为，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；
(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析；
(4)或．，图见解析 ．
【分析】本题考查的是邻补角的含义，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，理解类比解题思路是解本题的关键．
（1）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案；
（2）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案；
（3）如图3中，设交于M，再利用三角形的外角可得答案；
（4）分两种情况，先画图，再利用三角形的外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
（2）结论：；
理由：∵，，
∴，
∴．
（3）结论：，
理由：如图3中，设交于M．
∵，，
∴
（4）情况1：如图（4），结论：，
理由：设交于M．
∵，，
∴
情况2：，理由如下：
如图（5），，，
∴．
综上所述，或．
15．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．
学习任务：
(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
(2)图3中角1的度数是______．
(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
(4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．
【答案】(1)B
(2)
(3)正六边形
(4)见解析
【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定；
（1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解；
（2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解；
（3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解；
（4）先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想，
故选：B．
（2）解：，
故答案为：．
（3）解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形，
故答案为：正六边形．
（4）如图所示，连接，分别过点作垂足分别为，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
