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平行四边形的判定与性质重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 平行四边形相关的综合问题
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【变式训练】
1．在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ．
3．学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：
①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形中，对角线，相交于点O，且，添加下列条件后仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形．
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当 秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．
3．如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为
(1)用含t的代数式表示：_________；___________；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；请说明理由．
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式训练】
1．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12 B．16 C．24 D．25
2．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．
【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【变式训练】
1．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式并画出它的图像；
(2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为___（直接写出答案）．
【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
【变式训练】
1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
2．若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ．
3．如图，在中，点E、F分别在上，与相交于点O，且．
(1)求证：；
(2)连接，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为( )度．
A．30 B．40 C．45 D．50
【变式训练】
1．如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（ ）
A．24 B．16 C．22.8 D．18.2
2．如图，在平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ．
3．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练】
1．如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点，于点，连接，若，则下列结论：
四边形是平行四边形
图中共有四对全等三角形．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上）
3．课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，．
知识应用
（2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在菱形中，点，，，分别是边，，，的中点，连接，，，.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．
3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，P是上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先画平行四边形，连接，再画，使它与成中心对称；
(2)如图2，M是与网格线的交点，先在上画点N，使，再在上画点H，使．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：（1）；（2）四边形是平行四边形；（3）；（4）．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
3．（2022上·江苏·八年级专题练习）如图1，等边三角形的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为（），与相交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由
(2)连接，求t为何值时，；
(3)如图2，若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2023·江苏·八年级假期作业）阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，，分别是边，的中点． 求证：，且． 证明：延长到点，使，连接，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图2，连接，．先后证明四边形，分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
【变式训练】
1．（2023下·八年级单元测试）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
2．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．
3．（2023·江苏泰州·统考二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，、分别是的边、中点，求证：，．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法：延长至点，使，连接；
方法：过点作交的延长线于；
方法：过作交于，过A作交的延长线于点．
应用：如图，、分别是的边、中点，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线必经过点O；
（3）四边形是中心对称图形；
（4）四边形和四边形的面积相等；
（5）和关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2014下·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
3．（2023下·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，的周长为24，求的长．
【经典例题十二 平行四边形相关的综合问题】
【例13】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[阅读理解]
“倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则
．
[问题提出]
(1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)按照你（1）中的作图过程证明．
【变式训练】
1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（ ）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．
成立的有 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
3．如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标．
【拓展培优】
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点，平分交于点F．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A． B． C．7 D．
4．（2024·山东济南·三模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
6．（2024·广东梅州·一模）如图，为的对角线，，点在上，连结，分别延长，交于点，若，则的长为 ．
7．（23-24八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则坐标是 ．
8．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，直线l平分平行四边形的面积，交边于点M，交边于点N，当线段最短时，则的长为 ．
9．（2024·四川南充·二模）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
10．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
11．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是平行四边形．
12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，，求平行四边形的面积．
13．（2024·北京东城·二模）如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
14．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
(1)求，的解析式；
(2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
(3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当______秒时，P，Q两点相遇；
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
平行四边形的判定与性质重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 平行四边形相关的综合问题
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【答案】C
【详解】A．∵∠D＝∠5，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D．∵AB∥CD，∴∠B＝∠5．
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠5，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．
【变式训练】
1．在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
、∵，，
∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
、由，，不能判定这个四边形是平行四边形；
、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形，
故选：．
2．下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①③
【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题．
【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题；
②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题；
③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个四边形是平行四边形，那么③是真命题；
④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形是平行四边形，那么④是假命题．
综上：真命题有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的定义是解决本题的关键．
3．学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：
①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【答案】(1)B
(2)①见解析；②见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及命题与定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（1）根据四边形中，对角线与相交于点，，补充条件即可判定四边形是平行四边形；
（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；
（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例．
【详解】（1）解：在四边形中，对角线与相交于点，
若，则当时，四边形是平行四边形；
故答案为：B；
（2）解：①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形．
．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形中，对角线，相交于点O，且，添加下列条件后仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对角线互相平分是四边形是平行四边形，即可判断A；通过，得出，进而证明，得出，即可判断B；根据不能证明，即可判断C；通过证明，得出，即可判断D．
【详解】解：A、∵，，∴四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C、已知，，，则不能证明，进而得不到四边形为平行四边形，故C符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意；
添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意；
添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；
添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
2．如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当 秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形．
【答案】2或3
【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：①和②，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设当运动秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形，
则，
，，
，，
由题意，分以下两种情况：
①当时，四边形是平行四边形，
则，
解得；
②当时，四边形是平行四边形，
则，
解得；
综上，当2秒或3秒时，直线在四边形内部能截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
3．如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为
(1)用含t的代数式表示：_________；___________；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；请说明理由．
【答案】(1)tcm，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)存在，时，四边形是平行四边形
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可进行解答；
（2）当时，四边形是平行四边形，列出方程求解即可；
（3）当时，四边形是平行四边形，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点以的速度运动，点以的速度运动，
∴，，
故答案为：tcm，．
（2）解：∵，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
（3）解：∵，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，，
∴，解得：，
∴存在，当时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想，根据平行四边形的判定定理，列出方程求解．
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
【变式训练】
1．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？( )
A．12 B．16 C．24 D．25
【答案】D
【分析】如下图，先对网格进行编号，然后找出所有符合条件的平行四边形即可．
【详解】如下图，对网格编号
情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有：
ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个
情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有：
AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个
情况三：其他符合条件平行四边形有：
AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种
故共有：6+8+11=25种
故答案为：25
【点睛】本题考查在格点中寻找平行四边形，建议在寻找过程中，按照一定的规律依次寻找，防止遗漏和重复．
2．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
【答案】4
【详解】试题解析：∵在 ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上 ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．
【答案】5，图见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：
故答案为：5．
【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答．
【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即；
当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式训练】
1．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．
【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
【答案】
【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
∴轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，
∴轴，
，
点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式并画出它的图像；
(2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为___（直接写出答案）．
【答案】(1)，图像见解析；
(2)或或．
【分析】（1）设一次函数解析式为，然后利用待定系数法求解，最后运用两点法画出函数图像即可；
（2）分对角线为、、三种情况，分别画图解答即可．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
把和．代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
画出函数图像如图所示：
（2）解：如图： ①以为对角线，则点A向左平移两个单位可得点；
②以为对角线，则点A关于x轴的对称点；
③以为对角线，则点A向右平移两个单位可得点；
综上，点C的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、轴对称的判定、平移的性质等知识点，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．
【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】根据平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理求解，再结合平行四边形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意，选项正确；
C、若，对角线平分对角线，
，，，
，
，即对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
D、若，平分，平分，且，
，，，，，，
，
，，
，即对角相等，
由选项A可知，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题，平行四边形的判定定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
【变式训练】
1．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
2．若在四边形中，的长度之比是，则四边形是平行四边形，判定的依据是 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
【详解】解：∵四边形中，的长度之比是，
∴，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3．如图，在中，点E、F分别在上，与相交于点O，且．
(1)求证：；
(2)连接，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)是
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握、平行四边形的性质，是解题的关键。
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：是．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为( )度．
A．30 B．40 C．45 D．50
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和计算旋转角即可．
【详解】∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
∴，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．
【变式训练】
1．如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（ ）
A．24 B．16 C．22.8 D．18.2
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．理解当最小时最小，且当时最小是解题关键．由题意易证四边形为平行四边形，从而可证，得出，进而求出，即说明当最小时最小，且当时最小．过点A作，可知，由勾股定理可求得，最后根据等积法可求出，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴当最小时最小，且当时最小．
如图过点A作，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，即最小值为，
∴四边形周长的最小值为．
故选C．
2．如图，在平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ．
【答案】3或9/9或3
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先由平行四边形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则，分两种情况讨论，分别表示出，列出对应的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
若要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则，
当时，，
∵，
∴，
∴，解得；
当时，，
∴，解得；
综上，t的值为3或9，
故答案为：3或9．
3．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定：
（1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论；
（2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，而，则是等边三角形，所以，则，所以，即可求得，所以，可判断①正确；由，，得，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
，
∴，
∴，
故③错误，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点，于点，连接，若，则下列结论：
四边形是平行四边形
图中共有四对全等三角形．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质； ①由平行线的判定方法得，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的性质即可判断；②由平行四边形的性质即可判断；③，由线段的和差得，由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法即可判断；④数出全等三角形的个数，即可判断；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：①，，
，
，
在和中，
()，
，
四边形是平行四边形，
，
故正确
②四边形是平行四边形，
，
故正确
③，
即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
故正确
④由题意可得
，，
，，，
，，，
，，，
共对全等三角形，
故错误．
正确的结论是，
故选C．
2．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上）
【答案】③
【分析】本题考查了轴对称图形的的基本特征，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称以及平行，证明，知道，结合，知道四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质判断即可．
【详解】是四边形的对称轴，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
故①②④正确，③错误；
所以答案是③．
3．课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，．
知识应用
（2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等：
（1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明，；
（2）过点B作交于H，连接，则，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），证明如下：
如图所示，过点B作交于H，连接，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分，
∵点P为的中点，
∴A、P、H三点共线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．如图，在菱形中，点，，，分别是边，，，的中点，连接，，，.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形中位线定理先证明，再结合菱形的对角线的性质可得出是直角三角形，利用勾股定理可得出；然后再利用菱形及中点的性质证明四边形是平行四边形，即可证明，则
【详解】如图，连接．
∵点分别是的中点，
∴
∵由四边形是菱形，可得．
∴
∴是直角三角形．
∵
∴
∴．
∵是菱形，且点分别是的中点
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
又
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．
2．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．
【答案】 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
【详解】解：（1），，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型．
3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，P是上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先画平行四边形，连接，再画，使它与成中心对称；
(2)如图2，M是与网格线的交点，先在上画点N，使，再在上画点H，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点，结合网格特点，作，，连接，即可得到所作平行四边形，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，所作即与成中心对称；
（2）结合网格特点作出， ，记与网格线的交点，可得，连接，可使，连接交于点，连接并延长交于点，可得，进而得到，连接交于点，可使，即可得到．
【详解】（1）解：所作平行四边形，以及如图所示：
（2）解：按题目要求所作图形如下：
【点睛】本题考查了网格作图，平行四边形性质和判定，中心对称、全等三角形判定，等腰直角三角形特点等知识，解题关键是充分利用网格中的隐含条件，并能正确运用相关概念与知识．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】连接，可证四边形是平行四边形，故；在的延长线上截取，连接，则；由即可求解．
【详解】解：如图，连接
在矩形中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∴
则
在的延长线上截取，连接
则
∵
∴
连接，则
∵
∴的最小值为
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用．正确作出辅助线是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：（1）；（2）四边形是平行四边形；（3）；（4）．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由，得出，故①正确；再由SAS证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，故①正确；
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∴，故③正确；
过A作于G，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
2．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接、，先证明四边形，是平行四边形，进而得到，再证明是等边三角形，进一步证明，得到，则，，即可由勾股定理得到．
【详解】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、等边三角形的性质于判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
3．（2022上·江苏·八年级专题练习）如图1，等边三角形的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为（），与相交于点F．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由
(2)连接，求t为何值时，；
(3)如图2，若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)5
(3)7
【分析】（1）由已知可得，，然后根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据平行线的性质得到，证明是等边三角形，可得，继而列出关于t的方程，解之即可；
（3）作点关于对称点交于点，连接，交于点，根据平行四边形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：由已知可得，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
与相等；
（2）是等边三角形，
，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
解得：；
（3），
平分，
如图，作点关于对称点交于点，连接，交于点，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
的最小值为7．
【点睛】此题考查的是线段的最短线路问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2023·江苏·八年级假期作业）阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，，分别是边，的中点． 求证：，且． 证明：延长到点，使，连接，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图2，连接，．先后证明四边形，分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
【答案】C
【分析】分别按照甲、乙两人的思路写出证明过程即可做出判断．
【详解】解：按照甲的思路证明如下：
延长到点，使，连接，如图1，
∵，分别是边，的中点．
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
按照乙的思路证明如下：
如图2，延长到点，使，连接，，．
∵，分别是边，的中点．
∴，，
，，
四边形是平行四边形，，，
∴，，．
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
综上可知，甲、乙两人思路都正确，
故选：C
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·八年级单元测试）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
【详解】解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
2．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，四边形纸片，，．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，为折痕，交于点K．若，则 °．
【答案】140
【分析】首先判定四边形是平行四边形，得到，，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
根据翻转折叠的性质可知，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角度灵活转化求解．
3．（2023·江苏泰州·统考二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，、分别是的边、中点，求证：，．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法：延长至点，使，连接；
方法：过点作交的延长线于；
方法：过作交于，过A作交的延长线于点．
应用：如图，、分别是的边、中点，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图、平行线的判定与性质、角平分线的性质和三角形中位线定理，
证明：方法1：延长至点，使，连接，先证明得到，，则，加上，则可判断四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，从而得到，；
方法2：过点作交的延长线于，先证明，得到相应的边长相等，可得到四边形为平行四边形，即可得到答案；
方法3：需要证明两次三角形全等，以及证明两次平行四边形可得到结果；
应用：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得到答案；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
【详解】证明：方法1：延长至点，使，连接，如图所示：
，
、分别是的边、中点，
，，
在和中，
，
∴（SAS），
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，；
方法2：过点作交的延长线于，如图所示：
，
∵，
∴，
、分别是的边、中点，
，，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，，
即，
四边形为平行四边形，
，，
，；
方法3：过作交于，过A作交的延长线于点，如图所示：
，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
、分别是的边、中点，
，，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，；
应用：如图，为所作的角平分线，
，
先在上截取，连接并延长交于点，由得到，再根据为的中位线得到，所以，则，从而得到平分．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线必经过点O；
（3）四边形是中心对称图形；
（4）四边形和四边形的面积相等；
（5）和关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题．
【详解】解：与关于点O成中心对称，
，，，
即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，
点O是的对称中心，则有：
（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确．
（2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确．
（3）四边形是中心对称图形，（3）正确．
（4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确．
（5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确．
综上所述，正确的有5个，
故选：D．
【变式训练】
1．（2014下·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB，
∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴；
同理可得：，，，
∴
即，也即．
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键．
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点；
（2）设，则，即，可知点Q在直线上，且，当点Q在x轴上方时，则；当点Q在x轴上方时，则，分别求出x的值再求出点C的坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
因为，所以不是点P的等积点，
因为，所以是点P的等积点，
因为，所以不是点P的等积点，
故答案为：；
（2）解：如图1所示：
设，则，即，
可知点Q在直线上，且，
作轴于点D，轴于点F，则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
若点Q在x轴上方，则，即，
所以；
当点Q在x轴上方时，则，即，
所以；
因为点C在x正半轴上，
所以点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．
3．（2023下·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，的周长为24，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定可得，，根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行四边形的性质可得，推得，设，则，根据的周长列式求得，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
设，则，
∴，．
∵的周长为，
∴，
在中，，
∴．
解得：，（不合题意，舍去）
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【经典例题十二 平行四边形相关的综合问题】
【例13】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[阅读理解]
“倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则
．
[问题提出]
(1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)按照你（1）中的作图过程证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作，交于点F，点F即为所求；
（2）结合（1）证明，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）解：以A为圆心，任意长度为半径画弧，与分别交于点M、N，
以M为圆心，的长度为半径画弧，以A为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点F，点F即为所求，
；
（2）证明：延长交于点G，如图，
在平行四边形中，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ 点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了是全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角的作法等，合理添加辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（ ）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．
2．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．
成立的有 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④⑤
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确，
∵，，
∵，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
3．如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，或，
【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解；
（2）由“”可证，可得结论；
（3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，分别为边，上的高，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图，点在轴的上方，过点作轴于，
点坐标为，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
如图，在轴的下方，过点作轴于，
由①可知：，直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【拓展培优】
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点，平分交于点F．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义，平行四边形的性质，平行线的性质确定，进而利用等腰三角形性质得到，，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求出的长度．
【详解】解：四边形为平行四边形，，，
，，，
平分交于点，
，
，
，
，
平分交于点F．
同理可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，线段的和差关系，熟练掌握这些知识点是解题关键．
2．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解．
【详解】解：设与交于点，过点作于，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：D
3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点，平分交于点，连结．若，，则的长为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；根据题意得是等边三角形，，，设，则，根据，得出，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵平分交于点，
∴
∴
∴，
又∵
∴是等边三角形，
∴
∴
设，则
∴
∵
∴
∴，
∴
解得：
∴
在中，，
∴
故选：A．
4．（2024·山东济南·三模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了作图基本作图，也考查了平行四边形的性质．过点作于点，如图，在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着根据基本作图得到，平分，然后证明得到，所以，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
，
，
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
∴，，
，
由作法得，平分，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
故选：C．
5．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故①错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2024·广东梅州·一模）如图，为的对角线，，点在上，连结，分别延长，交于点，若，则的长为 ．
【答案】8
【分析】此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质即可得到结论，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
．
故答案为：8．
7．（23-24八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则坐标是 ．
【答案】
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用分类思想和中点坐标公式计算即可，本题考查了平行四边形的判定和中点坐标公式的应用，熟练掌握判定和公式是解题的关键．
【详解】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，
设，
当为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性，
∴与是重合的，
∴，
解得，
故；
当，为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性，
∴与是重合的，
∴，
解得，
故；
当，为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性，
∴与是重合的，
∴，
解得，
故；
故答案为：．
8．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，直线l平分平行四边形的面积，交边于点M，交边于点N，当线段最短时，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查平行四边形持性质和全等三角形的判定与性质，经过平行四边形对角线的中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当时，最短，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于O，过O作线段，交于M，交于N，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即将四边形分成面积相等的两部分，
当时，最短；
过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，线段的长度最短为，
∴平行四边形的面积为，
∴
∴
解得，
故答案为：3
9．（2024·四川南充·二模）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．由题意可知，，由平行四边形的性质推出，，，得到，证明，推出，由勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：由题意可知，，
四边形是平行四边形，
∴，，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，，，
，
．
故答案为：8．
10．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，，进而求得，，根据折叠的性质得出，进而在中，根据勾股定理求出即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
在中，，，，
，，，，
，
在中，，
沿折叠得到，当点恰好落在上，
，
又，
，
，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
11．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】由平行线的性质得到，再由三角形全等的判定与性质得到，再由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
【详解】证明：在四边形中，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，涉及平行线性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等判定与性质及平行四边形的判定是解决问题的关键．
12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证；
（3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由（1）知，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
在中，由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴平行四边形的面积＝的面积．
13．（2024·北京东城·二模）如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
(1)求，的解析式；
(2)若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
(3)若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
(3)的坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）将代入，得，
解得．
将代入，得，
解得．
，的解析式分别为，；
（2）对于，当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
对于，当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
．
设点的坐标为．
则．
，
，
解得或
符合条件的点的坐标为或；
（3）存在，点的坐标为或或．
如解图，由（1）（2）可知，，，
设点的坐标为．
①当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为；
②当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为；
③当为对角线时，，，
解得，．
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当______秒时，P，Q两点相遇；
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可；
（2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可．
【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动，
点t秒运动的距离为，
，
当点在上运动时，，
故答案为：；
（2）解：在中，，，
的周长为．
由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为，
，两点相遇时，，
，
．
当秒时，，两点相遇．
故答案为：；
（3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由：
①当为平行四边形时，如图，
由题意得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
．
②当为平行四边形时，如图，
由题意得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
．
综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．
