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三角形的中位线重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 利用三角形中位线求线段长
题型二 利用三角形中位线求角度
题型三 三角形中位线与三角形面积问题
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
题型五 三角形中位线的实际应用
题型六 三角形中位线的综合大题
【知识梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】
【例1】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出，再代入计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
由勾股定理得：
平分，
分别为的中点，
故选A．
【变式训练】
1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，可得，根据平分，进一步得到，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长．
【详解】解：在平行四边形中，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，，取中点，连接，已知点D的坐标为，那么将线段绕点O的旋转过程中，的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据中位线定理得出，由，即可求解．本题考查的是几何变换，主要考查了坐标与图形的变化，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【详解】解：连接取中点F，
∵点C是中点
∴是的中位线
则
即，
则，
当共线时，则
∵，点D的坐标为
∴
则点
∵点
由点E、F的坐标得
∴
故的最小值为
故答案为：
3．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【详解】（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【经典例题二 利用三角形中位线求角度】
【例2】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义计算即可．
【详解】∵沿它的中位线折叠后，点A落在点处，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，平角的意义，熟练掌握中位线定理，折叠性质是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数．
【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．如图， 在平行四边形中，对角线相交于点 O，， 点 E、F 分别是的中点， 连接，于点 M， 交于点N， 若，则 °， 线段的长为 ．
【答案】 45
【分析】设，根据三角形的中位线定理表示，可得，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】设
∵点 E、F 分别是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴；
连接
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，即，解得：
∴
故答案为：45，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理：解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
3．如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为O．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，关键是能够利用平移的性质和三角形中位线定理推导出所需条件．
（1）利用三角形中位线定理得出，进而利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：由平移可知，，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【经典例题三 三角形中位线与三角形面积问题】
【例3】（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】延长交于E，利用“”证明得到，，再根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可求解．
【详解】解：延长交于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的面积是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是3．如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的中位线先证明，同理求解，再利用三角形的内角和定理及勾股定理即可得解．
【详解】解：∵、分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
同理可得，是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
过点作的延长线于点，则
∴
∴
∴的面积为：
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
2．如图，将沿直线平移到，使点和点C重合，连接交于点D，若的面积是36，则的面积是 ．
【答案】
【分析】由平移的性质可得，则，取的中点E，连接，根据中位线的性质得到，进而证明重合，即点D与点E重合，由此得到．
【详解】解：由平移的性质可得，
∴，
取的中点E，连接，
∴是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点D与点E重合，
∴点D是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位的性质，三角形中位线定理，平移的性质等等，证明点D是的中点是解题的关键．
3．我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且．
【探究学习】
如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论；
【学以致用】
在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积．
【答案】[探究学习]：且，证明见解析；[学以致用]
【分析】[探究学习]
连接并延长交延长线于F，易证，则可得，因此是的中位线．根据三角形的中位线的性质可得且 由此可得且．
[学以致用]
由梯形的中位线的性质可得，过点D作于点G，根据三角函数的定义求出的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形的面积．
【详解】[探究学习]
连接并延长交延长线于F，
梯形且，
，
是的中点，
，
又，
，
，
又M是的中点，
是的中位线，
且 ，
且．
故结论为：且．
[学以致用]
、N分别是、的中点，，
，
过点D作于点G，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决问题是解题的关键．
【经典例题四 与三角形中位线有关的证明问题】
【例4】（2023上·山东·九年级专题练习）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识；正确作出辅助线是解题关键．
延长到点E，使，过点E作于点F，利用平行线的性质求得四边形是矩形，于是可得和，由的长进而可得，在中利用勾股定理求得后，根据三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半即可
【详解】如下图，延长到点E，使，过点E作于点F，
∵，，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
中由勾股定理可得，
∵M是的中点，C是的中点，
∴是的中位线，
，
故选∶C．
【变式训练】
1．数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，． 淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F．
A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理和性质定理判断嘉嘉的作法；证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断淇淇的作法．
【详解】解：嘉嘉的作法：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，；
淇淇的作法：
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，
故选：D．
2．如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是，的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是 ．（填写所以正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质及菱形的判定判断①；根据全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质判断③；由中位线性质及平行四边形的判定与性质判断④．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，故①正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
如图，作出线段的中点P，连接，
P是线段的中点，F是线段的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，故④正确；
从现有条件无法推得②成立，
故答案为：①③④
3．小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点．
(1)请你完成这一命题的证明．
(2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法：
如图，要作线段的中点：
①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；
③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点．
请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线等分线段，解题的关键是读懂题意，掌握全等三角形的判定定理．
（1）证明过E作交于F，证明，可得，即E为的中点；
（2）①作射线；②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，则H，I，J，K即为线段的五等分点．
【详解】（1）证明：过E作交于F，如图：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵D为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴E为的中点；
（2）解：①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点C，再以C为圆心，以长为半径画弧，交射线于点D，再以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点F，再以F为圆心，以长为半径画弧，交射线于点G；
③连接，分别过C，D，E，F作的平行线，交于H，I，J，K，
如图：
则H，I，J，K即为线段的五等分点．
【经典例题五 三角形中位线的实际应用】
【例5】（2023下·河北衡水·九年级校考期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形． 乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
【答案】A
【分析】甲中，如图，连接，由矩形，可得，则、、、、分别是、、、的中位线，，，即，四边形是菱形；乙中，由折叠可知，，，由矩形，可得，，则，，，四边形是菱形．
【详解】解：甲中，如图，连接，
∵矩形，
∴，
∴、、、、分别是、、、的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知，，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．
【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF=，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．
2如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键．
3．应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．
【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值；
【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为．
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键．
（1）由，，得到，即可求解；
（2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解；
（3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图：
当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴旋转角，
∴（秒），
∴的值为；
（3）取中点，连接，如图：
∵是中点，
∴中位线，
在中，，
∴，
∴ ，
∵是斜边上中线，
∴，
当不在同一直线上时， ，
当在线段上时， ，
，
∴三点共线时，最大值，
此时，如图，
，，
∴，
∵，
∴，
∴旋转角为，
∴（秒），
综上，存在最大值为，此时的值为．
【经典例题六 三角形中位线的综合大题】
【例6】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（ ）
A．，， B．， C．，， D．，，，
【答案】C
【分析】连接并延长至，使得，连接、，证明，根据三角形三边关系，可得的范围，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长至，使得，连接、，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
当时，，，三点共线，
，
分别是的中点，，
是的中位线，
，
长的取值范围为：，
的长可以是：，，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，三角形全等的判定与性质，三角形的三边关系，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级期末）如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】连接，交于点，连接，易得是的中位线，得到，取的中点，连接，得到，得到当三点共线时，最长，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，连接，
∵菱形的对角线长度为4，边长，
∴，，，
∴，
∵N为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中点，连接，
则：，
∵，
∴当三点共线时，的长度最大为；
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
2．（2024上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）则面积是 ，
（2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，（1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可；
（2）要使面积最大，值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可．
【详解】解：（1）点P，N是，的中点，
，
点P，M是，的中点，
，
，
，
，
，即，
，
为等腰直角三角形，
故，
故答案为：；
（2）由（1）可知为等腰直角三角形，
则，
最大时，面积最大，即最大时，面积最大，
点D在BA的延长线上，
，
，
∴△PMN面积的最大值；
故答案为：．
3．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期中）如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．
（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是 ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；[问题探究]：，证明见解析
【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论；
（2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
[问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
[问题探究]：结论：，证明如下：
延长线，相交于点G，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【拓展培优】
1．（2024·广东广州·二模）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，先证明，，，可得，再证明，从而可得答案．
【详解】解：∵为的中位线，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
2．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在中，点D在上，，于点E，F是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中位线的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中位线的性质是解题的关键．
由题意知，，，由，，可得，即为的中点，进而可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，，
∴，即为的中点，
又∵F是的中点，
∴，
故选：C．
3．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，，，，点M、N分别是边、上的动点（不与A、B、C重合）， 点E、F分别为、的中点， 连接， 则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出的最小值，即可求解．
【详解】解：连接，
∵点分别为的中点，
∴，
当时，最小，则最小，
∵，
∴，
设中边上高为h，
则，
∴，
∴，
∴最小值为，则最小值为，
故选：A．
4．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质，中位线性质定理，等边三角形性质及判定，三角形周长等．根据题意可得，再根据平行线性质可得，继而得到是等边三角形，再利用周长公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵P、N是和的中点，，，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是12．
故选：B．
5．（2024·浙江·二模）如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】由勾股定理得：，由平分，可得，由D，E分别为的中点，可得，，，进而可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵平分，
∴，
∵D，E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边．熟练掌握勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边是解题的关键．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角形中位线的性质，得出，计算，，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，推出，根据等角对等边，得出的长，最后根据计算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，，点是的中点，
又∵的角平分线交于点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质于判定，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为．
【详解】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接，
∴分别是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知三点共线，
点在上运动，
∴当时，最小，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴当点G与点重合时，最小，
设交于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
8．（2024·广西河池·三模）如图，在中，于点是的中点，G是的中点，连接．若，，则的长是 ．
【答案】5
【分析】连接，相交于点O，连接，，由平行四边形的性质可得出，结合已知条件可得出是的中位线，是的中位线，由三角形的中位线定理可得出，，，，由平行线公理可得出，即可证明是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出．
【详解】解：连接，相交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质， 三角形中位线定理的判定以及性质，平行线公理以及勾股定理的应用，作出辅助线以及证明是的中位线，是的中位线是解题的关键．
9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：∵平分，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：1．
10．（2024·河南郑州·一模）如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案，
【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即，
在中，，
∴．
∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴
当时，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴和均为等腰三角形，且，
∴，
由得到，则，
当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是正方形，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
11．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理可得，可知当取得最小值时，取得最小值，根据折叠可知在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，此时取得最小值，最小值为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长，根据勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值．
【详解】解：连接，过点作于点，如图，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
当取得最小值时，取得最小值，
在平行四边形中，，，
，
，，，
，，
点为线段的中点，
，
根据折叠可知，
点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，
当点运动到线段上时，此时取得最小值，最小值为，
则，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，找出线段最小时点的位置是解题的关键．
12．（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．
【答案】证明见解析
【分析】连接并延长，交延长线于，如图所示，由平行线性质得到，再由两个三角形全等的判定与性质得到，，在中，根据三角形中位线的判定与性质即可得证．
【详解】求证：，且．
证明：连接并延长，交延长线于，如图所示：
，
，
是腰的中点，
，
，
，
，，
在中，是腰的中点，是腰的中点，即是的中位线，
，且，
又，
，且．
【点睛】本题考查阅读理解、涉及平行线性质、中点定义、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，读懂题意，掌握题中的证明方法，结合三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键．
13．（2024·江苏无锡·二模）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了中位线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握中位线，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由分别为的中点，为的中点，可得，，则，进而可证；
（2）由（1）知，，，则，进而可得．
【详解】（1）证明：∵分别为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：，证明如下；
由（1）知，，，
∴，即．
14．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得出；证明是的中位线，得出，证出，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得．
问题：如图2，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状并证明．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线．连接，取的中点，连接、，则是的中位线，是的中位线，从而判断，从而得出，判断为等边三角形，求出后，即可得出结论．
【详解】解：是直角三角形．
证明：如图，连接，取的中点，连接、，
是的中点，
，，
，
同理，，，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
即是直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
三角形的中位线重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 利用三角形中位线求线段长
题型二 利用三角形中位线求角度
题型三 三角形中位线与三角形面积问题
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
题型五 三角形中位线的实际应用
题型六 三角形中位线的综合大题
【知识梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】
【例1】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）
A． B．1 C．2 D．
【变式训练】
1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，，取中点，连接，已知点D的坐标为，那么将线段绕点O的旋转过程中，的最小值为 ．
3．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【经典例题二 利用三角形中位线求角度】
【例2】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 在平行四边形中，对角线相交于点 O，， 点 E、F 分别是的中点， 连接，于点 M， 交于点N， 若，则 °， 线段的长为 ．
3．如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为O．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【经典例题三 三角形中位线与三角形面积问题】
【例3】（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练】
1．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是3．如图在中，，，，、、分别是、、的中点，则的面积是（ ）
A．12 B． C． D．
2．如图，将沿直线平移到，使点和点C重合，连接交于点D，若的面积是36，则的面积是 ．
3．我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且．
【探究学习】
如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论；
【学以致用】
在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积．
【经典例题四 与三角形中位线有关的证明问题】
【例4】（2023上·山东·九年级专题练习）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式训练】
1．数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，． 淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F．
A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
2．如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是，的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是 ．（填写所以正确结论的序号）
3．小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点．
(1)请你完成这一命题的证明．
(2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法：
如图，要作线段的中点：
①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；
③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点．
请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）．
【经典例题五 三角形中位线的实际应用】
【例5】（2023下·河北衡水·九年级校考期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形． 乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
【变式训练】
1．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
2如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ．
3．应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．
【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值；
【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由．
【经典例题六 三角形中位线的综合大题】
【例6】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，、分别是、的中点，若的长恰为整数，则的长可以是（ ）
A．，， B．， C．，， D．，，，
【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级期末）如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）则面积是 ，
（2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ．
3．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期中）如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．
（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是 ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
【拓展培优】
1．（2024·广东广州·二模）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在中，点D在上，，于点E，F是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．2
3．（2024·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，，，，点M、N分别是边、上的动点（不与A、B、C重合）， 点E、F分别为、的中点， 连接， 则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
4．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
5．（2024·浙江·二模）如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为 ．
7．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____．
8．（2024·广西河池·三模）如图，在中，于点是的中点，G是的中点，连接．若，，则的长是 ．
9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ．
10．（2024·河南郑州·一模）如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为 ．
11．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为的中点，则的最小值是 ．
12．（23-24八年级下·云南昆明·期中）阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．
13．（2024·江苏无锡·二模）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论．
14．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的度数．
15．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得．
问题：如图2，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状并证明．
