2.1.1 倾斜角与斜率 课时练习（含解析）人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程
2．1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率(1)
一、 单项选择题
1 经过A(－2，0)，B(－2，3)两点的直线的倾斜角是(　　)
A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°
2 已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则实数m的取值范围是(　　)
A. (5，8) B. (8，＋∞)
C. D.
3 设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率是直线PB的斜率的 2倍，则点P的坐标为(　　)
A. (－2，0) B. (－5，0)
C. (2，0) D. (5，0)
4 (2024潮州期末)已知斜率为的直线经过点M(2，m)，N(1，2)，则实数m的值为(　　)
A. －2 B. ＋2
C. 1 D. 0
5 (2023石家庄期中)直线x＝tan 60°的倾斜角为(　　)
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
6 (2023九江开学考试)若A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)三点共线，则实数b的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 9 D. －9
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C. 若点A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°
D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4)
8 (2023商丘一中期中)已知在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A与原点重合，且边AB所在直线的斜率为，则边BC所在直线的斜率可能为(　　)
A. － B. － C. －2 D. －3
三、 填空题
9 已知直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的倾斜角为________．
10 (2024全国专题练习)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
11 过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________．
四、 解答题
12 (2023南阳阶段练习)已知直线l过点A(2m，3)，B(2，－1).
(1) 若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值；
(2) 若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围．
13 已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围．
2．1.1　倾斜角与斜率(2)
一、 单项选择题
1 已知直线斜率的绝对值等于1，则此直线的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 45°或135°
2 已知直线的斜率为k，且－1≤k≤，那么倾斜角α的取值范围是(　　)
A. ∪ B. ∪
C. ∪ D. ∪
3 (2024北京海淀期末)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos (α1－α2)>0”是“k1k2>0”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 (2023江苏专题练习)如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是(　　)
A. k1C. k35 (2023重庆黔江中学阶段练习)已知点A(1，2)，B(－2，0)，过点C(－1，4)的直线l与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. (－1，4)
B. (－4，1)
C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(4，＋∞)
6 已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围为(　　)
A. (－∞，－4]∪
B. ∪
C.
D.
二、 多项选择题
7 (2024安康期末)已知直线l过点P(－1，2)且与线段AB的延长线有公共点，若A(－2，－3)，B(3，0)，则直线l的斜率的取值可以是(　　)
A. － B. 0 C. D.
8 (2024焦作期末)已知直线l经过点A(1，0)，B(2，tan α)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l的斜率是tan α
B. 直线l的倾斜角是 α
C. 直线l的方向向量与向量a＝(sin α，cos α)平行
D. 直线l的法向量与向量b＝(sin α，－cos α)平行
三、 填空题
9 已知点A(1，0)，P为抛物线y＝x2＋2x－3上一点，若直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
10 过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________．
11 若过点P(1，1)，Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．
(1) 求证：点O，C，D在同一条直线上；
(2) 当直线BC平行于x轴时，求点A的坐标．
13 (2023江苏课时练习)已知在坐标平面内的三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1).
(1) 求直线AB的斜率和倾斜角；
(2) 若E(m，n)是线段AC上一动点，求的取值范围．
【答案解析】
第二章　直线和圆的方程
2．1　直线的倾斜角与斜率
2．1.1　倾斜角与斜率(1)
1. C　因为A(－2，0)，B(－2，3)，所以经过两点的直线斜率不存在，所以倾斜角为90°.
2. D　由题意，得>1，即>0，解得53. B　设点P(x，0).由题意，得kPA＝，kPB＝，所以＝2×，解得x＝－5，所以点P的坐标为(－5，0).
4. B　因为斜率为的直线经过点M(2，m)，N(1，2)，所以kMN＝＝，解得m＝＋2.
5. B　由题意，得直线x＝tan 60°＝为与x轴垂直的直线，故它的倾斜角为90°.
6. D　因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得b＝－9.
7. CD　对于A，当倾斜角为锐角时，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；对于B，当直线的倾斜角α为时，直线的斜率不存在，故B错误；对于C，由A(1，－3)，B(1，3)知，两点的横坐标相同，所以直线方程为x＝1，直线AB的倾斜角为90°，故C正确；对于D，过(1，2)，(3，4)两点的直线斜率为k＝＝1＝tan 45°，故D正确．故选CD.
8. AD　设直线AB的倾斜角为α，直线BC的倾斜角为β.如图1，图2所示，则β＝α＋或β＝＋α.又tan α＝kAB＝，所以当β＝α＋时，tan β＝tan (＋α)＝＝－3；当β＝＋α时，tan β＝tan ＝＝－.故选AD.
图1 图2
9. 120°　因为直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，所以直线l2的倾斜角是α＝30°＋90°＝120°.
10. －2　由点P(3，m)在过点A(2，－1)和B(－3，4)的直线上，得kAP＝kAB，即＝，解得m＝－2.
11. －1　由题意，得＝(2，y＋3)，即＝λn且λ∈R，所以(2，y＋3)＝(－λ，－λ)，即y＋3＝－λ＝2，解得y＝－1.
12. (1) 由题意，得k＝＝tan 45°＝1，解得m＝3.
(2) 由题意，得k＝<0，解得m<1，
故实数m的取值范围为(－∞，1).
13. 因为A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)，
所以kAC＝＝，
当a＋2＝1，即a＝－1，此时A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在，
此时A，B，C三点能构成一个三角形；
当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，
要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC，即≠，解得a≠.
综上，实数a的取值范围为(－∞，)∪(，＋∞).
2．1.1　倾斜角与斜率(2)
1. D　因为|k|＝1，所以k＝±1，所以当斜率为1时，直线的倾斜角为45°；当斜率为－1时，直线的倾斜角为135°.
2. B　因为直线l的斜率k满足－1≤k≤，又因为α∈[0，π)，所以α∈∪.
3. B　由题意，得两直线均有斜率，所以α1，α2∈∪，若取α1＝，α2＝，则cos (α1－α2)＝cos ＝>0，但k1k2＝tan tan ＝－3<0，故充分性不成立；若k1k2＝tan α1tan α2＝>0，又sin α1sin α2>0，所以cos α1cos α2>0，所以cos (α1－α2)＝cos α1cos α2＋sin α1sin α2>0，故必要性成立．综上，“cos (α1－α2)>0”是“k1k2>0”的必要不充分条件．
4. D　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由图可知，直线l1的倾斜角α为钝角，所以k1<0.又直线l2，l3的倾斜角α2，α3均为锐角，且α2>α3，所以05. A　因为A(1，2)，B(－2，0)，C(－1，4)，所以直线CA，CB的斜率分别为kCA＝＝－1，kCB＝＝4，由图可知，当k≤kCA或k≥kCB，即k≤－1或k≥4时，直线l与线段AB相交，所以当直线l与线段AB不相交时，直线l的斜率k的取值范围为(－1，4).
6. A　如图，取Q(1，1)，则的取值范围等价于直线PQ的斜率的取值范围．因为点A(2，－3)，B(－3，－2)，P(x，y)是线段AB上任一点，所以kAQ＝＝－4，kBQ＝＝，所以k≥或k≤－4，所以的取值范围是(－∞，－4]∪.
7. ABC　由图可知，要使直线l与线段AB的延长线有公共点，则直线l的斜率k满足kBP8. AD　对于A，由题意，得直线l的斜率是＝tan α，故A正确；对于B，直线l的倾斜角θ满足tan θ＝tan α，但不一定有θ＝α，故B错误；对于C，直线l的一个方向向量为m＝ (1，tan α)，因为1×cos α≠sin αtan α，所以直线l的一个方向向量m与向量a不平行，故C错误；对于D，直线l的一个法向量为n＝(tan α，－1)，因为－1×sin α＝－cos αtan α，所以直线l的一个法向量n与向量b平行，故D正确．故选AD.
9. (－2，－3)　设点P(x1，y1)(x1≠1)，则y1＝x＋2x1－3.因为点A(1，0)，所以kPA＝＝＝x1＋3.又直线PA的倾斜角为45°，所以kPA＝1，所以x1＋3＝1，即x1＝－2.当x1＝－2时，y1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，所以点P的坐标为(－2，－3).
10. －1　由直线的方向向量为(－1，－1)，得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1.
11. 　由题意，得kPQ＝＝<0，解得a<.
12. (1) 设点A，B的横坐标分别为x1，x2.
由题设知，x1>1，x2>1，则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.
因为点A，B在过点O的直线上，
所以＝.
点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2).
因为log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，所以OC的斜率k1＝＝，
OD的斜率k2＝＝，
所以k1＝k2，
即点O，C，D在同一条直线上．
(2) 由BC平行于x轴知log2x1＝log8x2，
即log2x1＝log2x2，所以x2＝x.
代入x2log8x1＝x1log8x2，
得xlog8x1＝3x1log8x1.
由x1>1知log8x1≠0，
所以x＝3x1，解得x1＝，
所以点A的坐标为(，log8).
13. (1) 由斜率公式，得直线AB的斜率为＝1.
记直线AB的倾斜角为α，则tan α＝1.
因为α∈[0，π)，所以直线AB的倾斜角为.
(2) 由题意知，为直线BE的斜率．
记直线BC和BA的倾斜角分别为α，β，直线BE的倾斜角为γ，
由图可知，γ∈[0，β]∪[α，π).
又kBC＝tan α＝＝－，kAB＝tan β＝1，
所以由正切函数性质，得直线BE的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.