2.2.1 直线的点斜式方程 课时练习（含解析）人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2　直线的方程
2.2.1　直线的点斜式方程
一、 单项选择题
1 (2024达州普通高中期末)经过点P(2，2)且倾斜角为的直线方程是(　　)
A. y＝x B. y＝x－2
C. y＝－x＋4 D. y＝x＋2
2 在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的个数为(　　)
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示一条直线；
④直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则实数a，c满足(　　)
A. a>0，c>0 B. a>0，c<0
C. a<0，c>0 D. a<0，c<0
4 已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，且l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－. 若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　)
A. －10 B. －2 C. 0 D. 8
5 已知三条直线l1：y＝1，l2：y＝－x－1，l3：y＝x＋1，设l1与l2的夹角为α，l1与l3的夹角为β，则α＋β等于(　　)
A. 105° B. 75° C. 195° D. 90°
6 已知点A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最小值为(　　)
A. －1 B. 3 C. 7 D. 8
二、 多项选择题
7 已知直线l过点P(－1，1)，且与直线l1：y＝2x＋3以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与直线l1的斜率互为相反数
B. 直线l与直线l1的倾斜角互补
C. 直线l在y轴上的截距为－1
D. 这样的直线l有两条
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. 直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
B. 直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C. 直线y＝－x－1的倾斜角为60°
D. 过点(－1，2)且垂直于直线y＝(x＋3)的直线方程为y＝－2x
三、 填空题
9 若直线l的斜率为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为________．
10 已知直线l的倾斜角是直线y＝(x＋3)的倾斜角的2倍，且直线l经过点(3，2)，则直线l的方程为________．
11 已知过点P(4，1)的直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________________．
四、 解答题
12 如图，在平行四边形OABC中，点C(1，3)，A(3，0).
(1) 求边AB所在直线的方程；
(2) 过点C作CD⊥AB于点D，求边CD所在直线的方程．
13 (2024常德第一中学检测)已知直线l过点P(3，4)，与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，O为坐标原点．
(1) 求△AOB面积的最小值；
(2) 求直线l的横截距与纵截距之和的最小值．
【答案解析】
2．2　直线的方程
2．2.1　直线的点斜式方程
1. A　因为直线的斜率k＝tan ＝1，所以直线的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
2. B　对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故①错误；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，故②正确；对于③，方程k＝(x≠2)与方程y＋1＝k(x－2)(x∈R)不表示同一直线，故③错误；对于④，直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故④正确．综上，正确的个数为2.
3. A　因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
4. A　因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2，解得m＝－8.又因为l2⊥l3，所以×(－2)＝－1，解得n＝－2.故m＋n＝－8＋(－2)＝－10.
5. A　由题意，得直线l1的斜率为0，直线l1平行于x轴．由直线l2：y＝－x－1，得直线l2的斜率为－1，故直线l2的倾斜角为135°，故直线l1与l2的夹角α＝45°.再根据直线l3的斜率为，可得直线l3的倾斜角为60°，故直线l1与l3的夹角为β＝60°，所以α＋β＝45°＋60°＝105°.
6. A　因为直线AB的斜率为kAB＝＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－4)，即y＝－2x＋9，所以线段AB的方程为y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9∈[－1，7]，所以2x－y的最小值为－1.
7. ABC　如图，因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与l1的倾斜角互补，斜率互为相反数，故A，B正确；因为直线y＝2x＋3的斜率为2，所以直线l的斜率为k＝－2，可得直线l的方程为y－1＝－2(x＋1)，因此其在y轴上的截距为－1，故C正确；结合图象，可得这样的直线l只有一条，故D错误．故选ABC.
8. ABD　y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，所以直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；因为直线y＝－x－1的斜率为－，所以倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1，2)且垂直于直线y＝(x＋3)的直线的斜率为k.因为直线y＝(x＋3)的斜率为，所以k·＝－1，解得k＝－2，则过点(－1，2)且垂直于直线y＝(x＋3)的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即y＝－2x，故D正确．故选ABD.
9. y＝x＋5　由题意，得方程x2－2x＋1＝0的根为1，所以k＝1.又直线l在y轴上的截距为5，故直线l的方程为y＝x＋5.
10. y＝x－2　设直线l的倾斜角为α，直线y＝(x＋3)的倾斜角为β，则tan β＝，tan α＝tan 2β＝＝.又因为直线l过点(3，2)，所以直线l的方程为y＝x－2.
11．y＝－x＋2　由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，可设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即y＝kx＋1－4k.令x＝0，可得y＝1－4k；令y＝0，可得x＝，即点 A(，0)，B(0，1－4k).由题意，得解得k<0，所以△AOB的面积为S△AOB＝××(1－4k)＝(8－－16k)≥[8＋2]＝8，当且仅当－＝－16k(k<0)，即k＝－时，等号成立，所以直线l的方程为y－1＝－(x－4)，即y＝－x＋2.
12. (1) 因为四边形OABC为平行四边形，
所以AB∥OC，所以边AB所在直线的斜率为kAB＝kOC＝＝3.
又因为A(3，0)，
所以边AB所在直线的方程为y＝3(x－3)，即y＝3x－9.
(2) 因为CD⊥AB，
所以kCD·kAB＝－1，解得kCD＝－.
又因为C(1，3)，
所以边CD所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋.
13. (1) 由题意，得直线l的斜率存在，可设直线l的斜率为k(k<0).
因为直线l过点P(3，4)，所以直线l的方程为y－4＝k(x－3).
令x＝0，可得y＝4－3k；令y＝0，可得x＝3－，
则△AOB的面积为S＝OA·OB＝(4－3k)·＝·[24＋(－9k)＋]≥·[24＋2]＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时，等号成立，
所以△AOB面积的最小值为24.
(2) 由(1)知，直线l在x轴和y轴上的截距分别为3－和4－3k，且k<0，
则3－＋4－3k＝7＋(－3k)＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当－3k＝－，即k＝－时，等号成立，
所以直线l的横截距与纵截距之和的最小值为7＋4.