2.2.2 直线的两点式方程 课时练习（含解析）人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.2 直线的两点式方程 课时练习（含解析）人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 29.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-03 10:46:07 | ||
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文档简介
2．2.2 直线的两点式方程
一、 单项选择题
1 经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为( )
A. ＝
B. ＝
C. (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
D. y－y1＝(x－x1)
2 已知△ABC的三个顶点为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则边AC上的中线所在直线的方程为 ( )
A. x－y＋4＝0
B. x＋2y＝0
C. 2x＋y－4＝0
D. x－2y＋4＝0
3 (2023天津武清期中)已知直线过点(2，1)，且横截距a，纵截距b满足a＝2b，则该直线的方程为( )
A. 2x＋y－5＝0
B. x＋2y－4＝0
C. x－2y＝0或x＋2y－4＝0
D. x－2y＝0或2x＋y－5＝0
4 若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则实数a，b满足( )
A. a<0，b<0 B. a<0，b>0
C. a>0，b>0 D. a>0，b<0
5 过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当 △OAB的面积最小时，直线l的方程为( )
A. 2x＋y－4＝0
B. x＋2y－5＝0
C. x＋y－3＝0
D. 2x＋3y－8＝0
6 一束光线从点A射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. 2x－y－1＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0
二、 多项选择题
7 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴和 y轴上的截距相等，则实数a的值可能是( )
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
8 (2023广州广雅中学期中)下列说法中，不正确的有( )
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程是＝
C. 经过点(1，1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是3
三、 填空题
9 经过两点(3，5)，(－1，4)的直线方程为______________．
10 已知直线l过点A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，则直线l的方程是________．
11 (2024广州实验中学期末)已知直线l过点P(1，2)且与x轴，y轴分别交于A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)两点，O为坐标原点，则OA＋2OB的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023西安联考)已知直线l经过点A(1，3).
(1) 若直线l的斜率为2，求直线l的斜截式方程；
(2) 若直线l在y轴上的截距为6，求直线l的截距式方程．
13 已知点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1) 求在△ABC中，过边AB，BC上中点的直线方程；
(2) 求△ABC的面积．
【答案解析】
2．2.2 直线的两点式方程
1. C 当经过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线不与x轴，y轴平行时，所有的直线均可以用＝表示．又因为x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x轴，y轴平行的直线．
2. D 因为线段AC中点的坐标为D(4，4)，所以中线BD所在直线的方程为＝，即x－2y＋4＝0.
3. C 当横、纵截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点(2，1)，所以1＝2k，即k＝，故直线的方程为x－2y＝0；当横、纵截距不为0时，设直线方程为＋＝1，因为直线过点(2，1)，所以＋＝1，解得b＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
4. D 若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则图象如下图所示，由图可知，a＞0，b＜0.
5. A 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则有＋＝1.因为a>0，b>0，所以＋≥2，即1≥2，所以ab≥8，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时，取等号，所以当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.
6. B 点A关于y轴对称的点的坐标为，由题意知，反射光线所在直线经过点和(0，1)，所以反射光线所在直线的方程为＋＝1，即2x＋y－1＝0.
7. AC 若直线过原点，则－2＋a＝0，解得a＝2；若直线不过原点，则在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2－a，则＝2－a，解得a＝1.综上，实数a的值可能是1或2.故选AC.
8. ABD 对于A，当倾斜角为60°时，斜率为，当倾斜角为120°时，斜率为－，故A错误；对于B，当x1＝x2时，斜率不存在，故B错误；对于C，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2，所以直线方程为＋＝1，综上，经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，直线－＝1，即＋＝1，故直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D错误．故选ABD.
9. x－4y＋17＝0 由两点式方程，得＝，整理，得直线的方程为x－4y＋17＝0.
10. x＋2y＝0或x－y＋3＝0 当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，直线过原点，设直线l的方程为y＝kx，将点A(－2，1)代入，解得k＝－，即直线l的方程为x＋2y＝0；当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线l的方程为＋＝1，将点A(－2，1)代入，解得a＝－3，即直线l的方程为x－y＋3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.
11. 9 因为直线l与x轴，y轴分别交于点A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，所以可设直线的截距式为＋＝1.因为直线l过点P(1，2)，所以＋＝1，且a>0，b>0，所以OA＋2OB＝a＋2b＝(a＋2b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝3时，OA＋2OB取得最小值9.
12. (1) 由题意，得直线l的方程为y－3＝2(x－1)，
故其斜截式方程为y＝2x＋1.
(2) 由题意，设直线l的截距式方程为＋＝1.
由题意，得＋＝1，解得a＝2，
所以直线l的截距式方程为＋＝1.
13. (1) 因为点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，
所以B(5，－1).
又因为点A(5，1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
所以C(－5，－1)，
所以AB的中点坐标是(5，0)，BC的中点坐标是(0，－1).
过点(5，0)，(0，－1)的直线方程是＝，
整理，得x－5y－5＝0.
(2) 易知AB＝|－1－1|＝2，BC＝|－5－5|＝10，且AB⊥BC，
所以S△ABC＝AB·BC＝×2×10＝10.
一、 单项选择题
1 经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为( )
A. ＝
B. ＝
C. (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
D. y－y1＝(x－x1)
2 已知△ABC的三个顶点为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则边AC上的中线所在直线的方程为 ( )
A. x－y＋4＝0
B. x＋2y＝0
C. 2x＋y－4＝0
D. x－2y＋4＝0
3 (2023天津武清期中)已知直线过点(2，1)，且横截距a，纵截距b满足a＝2b，则该直线的方程为( )
A. 2x＋y－5＝0
B. x＋2y－4＝0
C. x－2y＝0或x＋2y－4＝0
D. x－2y＝0或2x＋y－5＝0
4 若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则实数a，b满足( )
A. a<0，b<0 B. a<0，b>0
C. a>0，b>0 D. a>0，b<0
5 过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当 △OAB的面积最小时，直线l的方程为( )
A. 2x＋y－4＝0
B. x＋2y－5＝0
C. x＋y－3＝0
D. 2x＋3y－8＝0
6 一束光线从点A射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. 2x－y－1＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0
二、 多项选择题
7 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴和 y轴上的截距相等，则实数a的值可能是( )
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
8 (2023广州广雅中学期中)下列说法中，不正确的有( )
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程是＝
C. 经过点(1，1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是3
三、 填空题
9 经过两点(3，5)，(－1，4)的直线方程为______________．
10 已知直线l过点A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，则直线l的方程是________．
11 (2024广州实验中学期末)已知直线l过点P(1，2)且与x轴，y轴分别交于A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)两点，O为坐标原点，则OA＋2OB的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023西安联考)已知直线l经过点A(1，3).
(1) 若直线l的斜率为2，求直线l的斜截式方程；
(2) 若直线l在y轴上的截距为6，求直线l的截距式方程．
13 已知点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1) 求在△ABC中，过边AB，BC上中点的直线方程；
(2) 求△ABC的面积．
【答案解析】
2．2.2 直线的两点式方程
1. C 当经过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线不与x轴，y轴平行时，所有的直线均可以用＝表示．又因为x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x轴，y轴平行的直线．
2. D 因为线段AC中点的坐标为D(4，4)，所以中线BD所在直线的方程为＝，即x－2y＋4＝0.
3. C 当横、纵截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点(2，1)，所以1＝2k，即k＝，故直线的方程为x－2y＝0；当横、纵截距不为0时，设直线方程为＋＝1，因为直线过点(2，1)，所以＋＝1，解得b＝2，所以直线的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
4. D 若直线＋＝1经过第一、三、四象限，则图象如下图所示，由图可知，a＞0，b＜0.
5. A 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则有＋＝1.因为a>0，b>0，所以＋≥2，即1≥2，所以ab≥8，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时，取等号，所以当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.
6. B 点A关于y轴对称的点的坐标为，由题意知，反射光线所在直线经过点和(0，1)，所以反射光线所在直线的方程为＋＝1，即2x＋y－1＝0.
7. AC 若直线过原点，则－2＋a＝0，解得a＝2；若直线不过原点，则在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2－a，则＝2－a，解得a＝1.综上，实数a的值可能是1或2.故选AC.
8. ABD 对于A，当倾斜角为60°时，斜率为，当倾斜角为120°时，斜率为－，故A错误；对于B，当x1＝x2时，斜率不存在，故B错误；对于C，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2，所以直线方程为＋＝1，综上，经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，直线－＝1，即＋＝1，故直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D错误．故选ABD.
9. x－4y＋17＝0 由两点式方程，得＝，整理，得直线的方程为x－4y＋17＝0.
10. x＋2y＝0或x－y＋3＝0 当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，直线过原点，设直线l的方程为y＝kx，将点A(－2，1)代入，解得k＝－，即直线l的方程为x＋2y＝0；当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线l的方程为＋＝1，将点A(－2，1)代入，解得a＝－3，即直线l的方程为x－y＋3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.
11. 9 因为直线l与x轴，y轴分别交于点A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，所以可设直线的截距式为＋＝1.因为直线l过点P(1，2)，所以＋＝1，且a>0，b>0，所以OA＋2OB＝a＋2b＝(a＋2b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝3时，OA＋2OB取得最小值9.
12. (1) 由题意，得直线l的方程为y－3＝2(x－1)，
故其斜截式方程为y＝2x＋1.
(2) 由题意，设直线l的截距式方程为＋＝1.
由题意，得＋＝1，解得a＝2，
所以直线l的截距式方程为＋＝1.
13. (1) 因为点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，
所以B(5，－1).
又因为点A(5，1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
所以C(－5，－1)，
所以AB的中点坐标是(5，0)，BC的中点坐标是(0，－1).
过点(5，0)，(0，－1)的直线方程是＝，
整理，得x－5y－5＝0.
(2) 易知AB＝|－1－1|＝2，BC＝|－5－5|＝10，且AB⊥BC，
所以S△ABC＝AB·BC＝×2×10＝10.