2.2.3 直线的一般式方程 课时练习（含解析）人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2.3　直线的一般式方程
一、 单项选择题
1 (2024周口西华一中阶段练习)若直线l1：3x＋2y＋3＝0与l2：mx－y＋1＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A. － B. － C. D.
2 (2023凉山宁南中学期末)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A. [－1，1]
B. (－∞，－1]∪[1，＋∞)
C. (－∞，－1]∪[0，1]
D. [－1，0]∪[1，＋∞)
3 (2024烟台期末)“直线x sin θ＋y－1＝0与x＋y cos θ＋1＝0平行”是“θ＝”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都经过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是(　　)
A. 2x＋y＋1＝0 B. 2x－y＋1＝0
C. 2x＋y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0
5 (2023江苏专题练习)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时直线l的方程分别为(　　)
A. ，x＋y－2＝0
B. ，3x＋y－4＝0
C. ，3x＋2y－5＝0
D. ，2x－3y＋1＝0
6 已知直线ax＋y＋1＝0及两点P(－2，1)，Q(3，2).若直线与线段PQ(点P指向点Q)的延长线(不含点Q)相交，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B.
C. D. (－1，1)
二、 多项选择题
7 (2024泰安期末)已知直线l：(a2＋2a＋2)x－y＋2＝0，a∈R，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若直线l与直线15ax－3y＋2＝0平行，则a＝2
B. 直线l倾斜角的范围为
C. 当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
D. 直线l过定点(0，－2)
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. 平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示
B. 当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点
C. 当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
三、 填空题
9 (2024全国专题练习)不论m，n为何值，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0必过定点为________．
10 若直线ax－6y－12a＝0(a≠0)在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则该直线的斜率为________．
11 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，将直线l：kx－y－2k－1＝0绕着它所过的定点旋转90°得到直线l′，若直线l′与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024全国专题练习)根据下列条件求直线的一般式方程．
(1) 直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；
(2) 斜率为，且在y轴上的截距为4；
(3) 经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4) 在x轴，y轴上的截距分别为2，－4.
13 (2023贵州阶段练习)已知直线l的方程为(2m＋1)x＋(m＋2)y－14m－13＝0.
(1) 证明：不论m为何值，直线l过定点M；
(2) 当过(1)中的点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
【答案解析】
2．2.3　直线的一般式方程
1. C　若直线l1：3x＋2y＋3＝0与l2：mx－y＋1＝0垂直，则3m－2＝0，解得m＝.
2. A　直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0化为(x－2y＋2)k＋x＋2y－6＝0，令解得所以直线l过定点P(2，2).因为kPA＝＝－1，kPB＝＝1，且直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，所以结合图象可得直线l斜率的取值范围为[－1，1].
3. B　若直线x sin θ＋y－1＝0与x＋y cos θ＋1＝0平行，易得sin θ≠0，cos θ≠0，故＝≠，则sin θcos θ＝，sin 2θ＝，即sin 2θ＝1，所以2θ＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，故充分性不成立；反之，当θ＝时，＝≠成立，所以直线x sin θ＋y－1＝0与x＋y cos θ＋1＝0平行，故必要性成立．综上，“直线x sin θ＋y－1＝0与x＋y cos θ＋1＝0平行”是“θ＝”的必要不充分条件．
4. A　由点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，得2a1＋b1＋1＝0.由点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，得2a2＋b2＋1＝0，即点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的坐标都适合方程2x＋y＋1＝0，故点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x＋y＋1＝0.
5. C　由直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)，得直线l：x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，联立解得即直线l过定点Q(1，1).若要点P(－2，－1)到直线l的距离最大，则只需PQ⊥l，此时点P(－2，－1)到直线l的最大距离，即为线段PQ的长度，可得PQ＝.又因为直线PQ的斜率为kPQ＝＝，且PQ⊥l，所以kPQ·kl＝－1，解得kl＝－，故此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0.经检验，此时λ＝，上述直线l的方程能够成立．
6. B　直线ax＋y＋1＝0过定点M(0，－1)，作出图象如图所示．kPQ＝＝，kMQ＝＝1，直线ax＋y＋1＝0的斜率为－a.若直线与线段PQ(点P指向点Q)的延长线(不含点Q)相交，则<－a<1，即实数a的取值范围是.
7. BC　对于A，因为a2＋2a＋2≥1，所以直线l：(a2＋2a＋2)x－y＋2＝0，a∈R存在斜率，则直线l的方程可化为y＝(a2＋2a＋2)x＋2，直线15ax－3y＋2＝0也存在斜率，方程可化为y＝5ax＋，由2≠，则两直线平行的充要条件为a2＋2a＋2＝5a，即a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2，故A错误；对于B，由直线l的斜率k＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，则倾斜角的范围为，故B正确；对于C，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋2＝0，斜率为1，又直线x＋y＝0的斜率为－1，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，故C正确；对于D，直线l：(a2＋2a＋2)x－y＋2＝0，a∈R，令x＝0，得y＝2，故直线过定点(0，2)，故D错误．故选BC.
8. ABC　对于A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，可得A＝k，B＝－1，C＝b，显然A，B不同时为0；当α＝90°时，直线方程为x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，可得A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，故A正确；对于B，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A×0＋B×0＝0，即直线过原点O(0，0)，故B正确；对于C，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，故C正确；对于D，当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0不能化为斜截式，故D错误．故选ABC.
9. 　由题意，得直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0可化为m(3x＋y)＋n(2y－1－x)＝0，令解得不论m，n为何值，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0必过定点.
10. －　因为a≠0，所以ax－6y－12a＝0可化为＋＝1，所以该直线在x轴和y轴上的截距分别为12和－2a，所以3×(－2a)＝12，解得a＝－2，所以直线的方程为－2x－6y＋24＝0，即y＝－x＋4，所以直线的斜率为－.
11. 　直线l：kx－y－2k－1＝0，即k(x－2)－y－1＝0，令解得x＝2，y＝－1，所以直线l经过定点P(2，－1)，直线l绕着它所过的定点旋转90°得到直线l′：y＋1＝－(x－2)(k≠0)，kPA＝＝－1，kPB＝＝3.因为直线l′与线段AB有公共点，所以－≥3或－≤－1，解得0>k≥－或012. (1) 由k＝2，且经过点A(1，3)，
得直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)，
整理，得直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
(2) 由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，
得直线的斜截式方程为y＝x＋4，
整理，得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.
(3) 由直线的两点式方程，得＝，
整理，得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
(4) 由直线的截距式方程，得＋＝1，
整理，得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
13. (1) 直线l的方程(2m＋1)x＋(m＋2)y－14m－13＝0可转化为m(2x＋y－14)＋x＋2y－13＝0.
由解得
所以直线l过定点M(5，4).
(2) 由(1)知，直线l过定点M(5，4)，
设过点M且与直线l垂直的直线方程为y＝k(x－5)＋4(k<0).
令x＝0，则y＝－5k＋4；令y＝0，则x＝－＋5，
所以S＝(－5k＋4)＝(40－25k－)，
所以S≥[40＋2]＝×(40＋40)＝40，
当且仅当－25k＝－，即k＝－时，等号成立，
此时直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－4＝(x－5)，即5x－4y－9＝0.