2.2.4 直线的方程习题课 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．2.4　直线的方程习题课
一、 单项选择题
1 已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　)
A. 1 B. －1
C. －2或－1 D. －2或1
2 在等边三角形PQR中，点P(0，0)，Q(4，0)，且点R在第四象限内，则边PR和QR所在直线的方程分别为(　　)
A. y＝－x和y＝x
B. y＝－(x－4)和y＝(x－4)
C. y＝x和y＝－(x－4)
D. y＝－x和y＝(x－4)
3 过点P(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有(　　)
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 3条
4 (2023清远期中)若直线2mx＋y－4m－1＝0的斜率k<0，则该直线不经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5 (2023邯郸阶段练习)直线l的倾斜角是直线5x＋12y－1＝0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是(　　)
A. 5x＋y－10＝0
B. y＝－x＋1
C. ＋＝1
D. 5x－y－1＝0
6 数学家欧拉于1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为　(　　)
A. (0，－4) B. (－4，0)
C. (4，0)或(－4，0) D. (4，0)
二、 多项选择题
7 (2024沈阳期末)已知直线l：2x＋2y＋1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝(－1，1)是直线l的法向量
B. 直线l的倾斜角为135°
C. 直线l1：－x－y＋n＝0与直线l平行的充要条件是n≠
D. 直线l在两坐标轴上的截距相等
8 下列说法中，错误的是(　　)
A. 过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5
B. 直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1，3)
C. 经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D. 若直线kx－y－k－1＝0和以M(－3，1)，N(3，2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
三、 填空题
9 若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点________．
10 过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为____________．
11 (2023邢台阶段练习)设a∈R，则直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x－ay＋a－2＝0与l3：x－y－1＝0围成的三角形面积的最大值为________．
四、 解答题
12 (2023亳州阶段练习)已知直线l过点M(－1，－2).
(1) 若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2) 若直线l的斜率k<0，当直线l与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小时，求直线l的方程．
13 (2023深圳阶段练习)已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，且实数a的值在区间(0，2)内变化．
(1) 求证：直线l2恒过定点，并指出此定点的坐标；
(2) 求直线l1，l2与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值．
【答案解析】
2．2.4　直线的方程习题课
1. D　由题意，得＝2＋a，解得a＝1或a＝－2.
2. D　如图，由题意可知，边PR，QR所在直线的倾斜角分别为120°，60°，所以边PR，QR所在直线的斜率分别为－，，故边PR，QR所在直线的方程分别为y＝－x和y＝(x－4).
3. C　设直线在x轴，y轴上的截距分别为a和－a(a≠0)，则直线l的方程为－＝1.因为直线经过点P(3，4)，所以－＝1，解得a＝－1，此时直线l的方程为x－y＋1＝0；当a＝0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，过点P(3，4)，此时直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.综上，满足题意的直线l有2条．
4. C　直线2mx＋y－4m－1＝0可化为m(2x－4)＋(y－1)＝0，则直线2mx＋y－4m－1＝0过定点(2，1).又直线2mx＋y－4m－1＝0的斜率k<0，故该直线不经过第三象限．
5. C　由题意不妨设直线l与直线5x＋12y－1＝0的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为θ，2θ，，而tan 2θ＝k2＝－，tan θ＝k1.又由二倍角公式tan 2θ＝，得＝－，整理，得5k－24k1－5＝0，解得k1＝tanθ＝5或k1＝tan θ＝－(负值舍去)，所以设直线l的方程为y＝5x＋b，则直线l与坐标轴分别交于(0，b)，，所以由题意，得S＝×|－|×|b|＝＝10，解得b＝±10，所以直线l的方程为y＝5x±10，当y＝5x＋10时，它可以变形为＋＝1.
6. B　设点C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为，代入欧拉线方程得－＋2＝0，整理，得m－n＋4＝0①.因为边AB的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，所以边AB的垂直平分线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.由解得所以△ABC的外心为O(－1，1)，则OC2＝OA2，即(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理，得m2＋n2＋2m－2n＝8②，联立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，故舍去．故顶点C的坐标为(－4，0).
7. BD　对于A，直线l：2x＋2y＋1＝0的一个法向量为(2，2)，但m＝(－1，1)与向量(2，2)不共线，故A错误；对于B，直线l：2x＋2y＋1＝0的斜率为－1，故倾斜角为135°，故B正确；对于C，将直线l1：－x－y＋n＝0的方程改写为2x＋2y－2n＝0，则直线l1，l平行的充要条件是－2n≠1，即n≠－，故C错误；对于D，分别令x＝0，y＝0，得y＝－，x＝－，则直线l：2x＋2y＋1＝0在x轴，y轴上的截距分别是－，－，故D正确．故选BD.
8. ACD　对于A，当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝，此时直线方程为y＝x，故A错误；对于B，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可变形为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由解得即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1，3)，故B正确；对于C，当倾斜角θ＝时，tan θ无意义，故C错误；对于D，直线kx－y－k－1＝0，即y＋1＝k(x－1)，经过定点P(1，－1)，当直线经过点M(－3，1)时，斜率为k＝＝－，当直线经过点N(3，2)时，斜率为k＝＝，结合图象易得k≤－或k≥，故D错误．故选ACD.
9. (0，2)　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，故直线l2经过定点(0，2).
10. x＋2y－6＝0　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).由点P在直线l上，得＋＝1，所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝6，b＝3时取等号，所以直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
11. 2　由题意可知，直线l1⊥l2，且直线l1过定点A(0，－1)，直线l2过定点B(2，1)，点A，B在直线l3上．设直线l1，l2交于点P，则三条直线围成的三角形为△PAB，且PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝8.因为8＝PA2＋PB2≥2PA·PB，所以PA·PB≤4，当且仅当PA＝PB＝2时，等号成立，所以S△PAB＝PA·PB≤2，所以(S△PAB)max＝2.
12. (1) 当直线l过原点(0，0)时，截距均为0，可设直线l的方程为y＝kx.
因为直线l过点M(－1，－2)，所以－2＝－k，即k＝2，
此时直线l的方程为2x－y＝0；
当直线l不过原点时，可设直线l的方程为－＝1，
又直线l过点M(－1，－2)，则－＝1，解得a＝1，此时直线l的方程为x－y－1＝0.
综上，直线l的方程为2x－y＝0或x－y－1＝0.
(2) 设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k<0).
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝k－2，
所以直线l与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积S＝|||k－2|＝[(－k)＋＋4]
≥(2＋4)＝4，
当且仅当－k＝，即k＝－2时，等号成立，此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0.
13. (1) 方法一：因为0当a≠1时，y＝(x－2)＋2，无论a为何值，直线l2过定点(2，2)；
当a＝1时，2x－4＝0，x＝2，直线l2过定点(2，2).
综上，直线l2恒过定点(2，2).
方法二：将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为2x－y－2＋a2(y－2)＝0，
由得
即直线l2恒过定点(2，2).
(2) 将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点(2，2)，故直线l1与l2交于点B(2，2).
在直线ax－2y－2a＋4＝0中，由于a∈(0，2)，令 x＝0，得y＝－a＋2>0，
令y＝0，x＝<0，
故直线l1与y轴的正半轴交于点C(0，2－a)，
同理可得在直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0中，令y＝0，得x＝1＋a2>0，故直线l2与x轴的正半轴交于点A(1＋a2，0).
如图，在平面直角坐标系中作出点B(2，2)，连接OB，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.
因为0在△OAB中，边OA上的高为2，在△OBC中，边OC上的高为2，
所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3＝＋，
所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为.