2.3.1 两条直线的交点坐标 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2．3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
一、 单项选择题
1 (2024泸州阶段练习)若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2 (2023上海曹杨二中阶段练习)已知点A(a1，b1)，B(a2，b2)，若P(3，1)既是AB的中点，又是直线l1：a1x＋b1y－10＝0与l2：a2x＋b2y－10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A. 3x＋y－10＝0 B. x＋3y－6＝0
C. x－3y＝0 D. 3x－y－8＝0
3 (2023福州期中)已知直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)过定点M，则点M关于直线x－y＝0对称的点的坐标为(　　)
A. (2，2) B. (－2，2)
C. (2，－2) D. (－2，－2)
4 使直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能围成三角形的m的值有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5 (2023南通阶段练习)直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则PA＋PB的最大值为(　　)
A. 4 B. 8 C. 2 D. 4
6 若直线l1：y＝kx＋1＋2k与直线l2：y＝－x＋2的交点在直线x－y＝0的上方，则实数k的取值范围是(　　)
A.
B. ∪
C. ∪
D.
二、 多项选择题
7 (2023临沂期中)已知直线l：(a＋2)x＋ay＋2＝0与直线n：(a－2)x＋3y－6＝0，a∈R，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l∥n，则a＝6或a＝－1
B. 若直线l不经过第四象限，则－2C. 直线l恒过点(－1，1)
D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式方程为y＝－x＋2
8 (2024江西阶段练习)已知三条直线：直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是(　　)
A. －2 B. 1 C. 2 D. 3
三、 填空题
9 (2023扬州期中)已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－10＝0，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为________．
10 直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
11 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E，F在BC上，BF＝CE＝，点P在线段EF上移动，连接AP，作BH⊥AP于点H，则△ABH面积的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0.求：
(1) 顶点C的坐标；
(2) 直线BC的方程．
13 (2023全国高二期中)已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0.
(1) 若l1∥l3，求实数m的值；
(2) 若三条直线相交于一点，求实数m的值．
【答案解析】
2．3　直线的交点坐标与距离公式
2．3.1　两条直线的交点坐标
1. A　联立解得则两直线的交点为.因为交点在第一象限，所以解得－2. C　将直线l1：a1x＋b1y－10＝0与直线l2：a2x＋b2y－10＝0的方程相减，得(a1－a2)x＋(b1－b2)y＝0，将点P(3，1)代入可得3(a1－a2)＋(b1－b2)＝0，所以kAB＝＝－3，所以线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝(x－3)，即x－3y＝0.
3. C　直线3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)过定点M，由解得则定点为M(－2，2).设点M(－2，2)关于直线x－y＝0的对称点为(x，y)，则解得则M(－2，2)关于直线x－y＝0对称的点的坐标为(2，－2).
4. D　若三条直线中有两直线平行：①当直线l1：4x＋y＝4平行于l2：mx＋y＝0时，m＝4；②当直线l1：4x＋y＝4平行于l3：2x－3my＝4时，m＝－；③当l2：mx＋y＝0平行于l3：2x－3my＝4时，－m＝，此时方程无解；若三条直线经过同一个点，把直线l1与l2的交点代入l3：2x－3my＝4，得－3m×＝4，解得m＝－1或m＝.综上，满足条件的m的值有4个．
5. A　直线l1的方程可转化为x＋y－2＋m(y－2)＝0，由得即直线l1恒过点A(0，2).直线l2的方程可转化为x－y－2＋m(x－2)＝0，由得即直线l2恒过点B(2，0).又两条直线满足1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝8，PA＋PB≤＝4，当且仅当PA＝PB＝2时，等号成立，所以PA＋PB的最大值为4.
6. C　联立解得由两条直线的交点在直线x－y＝0的上方，得>，解得k<－或k>，所以实数k的取值范围是∪.
7. CD　对于A，由3(a＋2)－a(a－2)＝0，得a＝6或a＝－1.当a＝6时，直线l：8x＋6y＋2＝0可化为4x＋3y＋1＝0，直线n：4x＋3y－6＝0，此时l∥n，满足题意；当a＝－1时，直线l：x－y＋2＝0，直线n：－3x＋3y－6＝0，可化为x－y＋2＝0，此时l，n重合，不满足题意，故舍去，所以a＝6，故A错误；对于B，当a＝0时，直线l可化为x＋1＝0，不经过第四象限；当a≠0时，将直线l化为y＝－x－.要使直线l不经过第四象限，则有解得－2≤a<0.综上，当－2≤a≤0时，直线l不经过第四象限，故B错误；对于C，直线l可化为a(x＋y)＋2(x＋1)＝0，由得所以直线l恒过点(－1，1)，故C正确；对于D，由已知可得，直线n过点(6，0)，所以6(a－2)－6＝0，解得a＝3，所以直线n的方程为x＋3y－6＝0，化为斜截式方程为y＝－x＋2，故D正确．故选CD.
8. ABC　若直线l1，l2，l3中有两条相互平行或三条线过同一点都不可以围成封闭图形．若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系，得a＝1；若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系，得a＝－2；联立解得直线l2，l3的交点为(2，－1)，若直线l1，l2，l3交于同一点，即2a－1－3＝0，解得a＝2.故选ABC.
9. 3x－y＝0　由解得所以等腰三角形的顶点坐标为(3，－1)，又原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线的斜率为－，所以等腰三角形底边所在直线斜率为3，又底边所在直线过原点，故底边所在直线的方程为3x－y＝0.
10. 9　由得交点坐标为 (－2，6).又两条直线与y轴的交点分别为 (0，12)，(0，3)，所以所求三角形的面积为×(12－3)×2＝9.
11. 　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，E，F.设点P(1，a)，≤a≤，则直线AP的方程为y＝ax(a>0)，所以直线HB的斜率为－，方程为y＝－(x－1).由得y＝，所以△ABH的面积为S＝AB·y＝＝≤，当且仅当a＝1时取等号．又当a＝时，S＝；当a＝时，S＝，因为＜，所以△ABH面积的取值范围是.
12. (1) 因为边AC上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，所以kAC·kBH＝－1，且kBH＝，
所以kAC＝－2.
因为△ABC的顶点A(5，1)，
所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)，
即2x＋y－11＝0.
联立解得
所以顶点C的坐标为(4，3).
(2) 因为CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，
所以设点M的坐标为(m，2m－5).
因为M是AB的中点，且A(5，1)，
所以B(2m－5，4m－11).
因为点B(2m－5，4m－11)在直线x－2y－5＝0上，
所以2m－5－2(4m－11)－5＝0，解得m＝2，
所以点B的坐标为(－1，－3).
故直线BC的方程为y＋3＝(x＋1)，
整理，得6x－5y－9＝0.
13. (1) 因为l1：3x－4y＋11＝0，l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0，且l1∥l3，
所以3×[－(m＋1)]＝－4×(2m－3)，解得m＝3.
经检验，当m＝3时，l1∥l3，
所以m＝3.
(2) 由解得即直线l1与l2的交点为(－1，2).
因为三条直线相交于一点，
所以点(－1，2)在直线l3上，
所以(2m－3)×(－1)－(m＋1)×2－2m＋3＝0，解得m＝.